專題07一次函數(shù)圖像的四種考法全攻略(原卷版+解析)

專題07一次函數(shù)圖像的四種考法全攻略類型一、圖像共存問(wèn)題例1．一次函數(shù)與（k，b是常數(shù)，且）在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（）A．B．C． D．例2．在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作一次函數(shù)和圖象，可能是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練1】下列圖中，表示一次函數(shù)與正比例函數(shù)（其中、為常數(shù)，且）的大致圖像，其中表示正確的是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2】一次函數(shù)的圖像可能正確的是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3】如圖，是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，若一次函數(shù)的圖象與線段AB有交點(diǎn)，則k的取值范圍是_______．類型二、一次函數(shù)圖像與應(yīng)用問(wèn)題例1．如圖點(diǎn)按的順序在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，是邊上的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為自變量，的面積為，則函數(shù)的大致圖象是（

）．A．B．C． D．例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿的路線向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接、，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，的面積為，下列圖像能表示與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練1】如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C． D．【變式訓(xùn)練2】如圖，點(diǎn)是菱形邊上的一動(dòng)點(diǎn)，它從點(diǎn)出發(fā)沿在路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3】如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練4】如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練5】如圖，在直角梯形ABCD中，AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直角梯形的邊上沿A→B→C→M運(yùn)動(dòng)，則△APM的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示是（

）A．B．C． D．類型三、參數(shù)問(wèn)題例．直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④若，，則，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【變式訓(xùn)練1】一次函數(shù)與的圖像如圖所示，下列說(shuō)法：①對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)，y隨x的增大而增大；②函數(shù)不經(jīng)過(guò)第二象限；③不等式的解集是；④，其中正確的是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【變式訓(xùn)練2】如圖，一次函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)．下列結(jié)論中，正確的有（

）①；②；③當(dāng)時(shí)，；④；⑤．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練3】如圖，是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，若一次函數(shù)的圖象與線段AB有交點(diǎn)，則k的取值范圍是_______．類型四、規(guī)律性問(wèn)題例．如圖，直線：與直線：相交于動(dòng)點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線上的點(diǎn)處后，改為垂直于x軸方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線上的點(diǎn)A1處后，再沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線上的點(diǎn)處后，又改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線的點(diǎn)處后，仍沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，．．．，照此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C依次進(jìn)過(guò)點(diǎn)，，，，，，…，，則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C到達(dá)處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)為（

）A．22022-1 B．22022-2 C．22023+1 D．22023-2【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)在直線l：上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，以為邊向右作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)；以為邊向右作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)……按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【變式訓(xùn)練2】如圖，點(diǎn)在直上，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為直角邊，在的右側(cè)作等腰直角，再過(guò)點(diǎn)作軸交直線y＝x和直線于，兩點(diǎn)，再以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為直角邊在的右側(cè)作等腰直角，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則等腰直角的邊長(zhǎng)為_(kāi)____．（用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線y=x圖象上，過(guò)點(diǎn)作y軸平行線，交直線于點(diǎn)，以線段為邊在右側(cè)作第一個(gè)正方形所在的直線交的圖象于點(diǎn)，交的圖象于點(diǎn)，再以線段為邊在右側(cè)作第二個(gè)正方形…依此類推，按照?qǐng)D中反映的規(guī)律，第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是______；第100個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是______．【變式訓(xùn)練4】如圖，直線的解析式為與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)A，以為邊作正方形，點(diǎn)B坐標(biāo)為．過(guò)B點(diǎn)作直線交于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線交于點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作直線交于，交x軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線交于點(diǎn)．以為邊作正方形，…，則點(diǎn)的坐標(biāo)_____．專題07一次函數(shù)圖像的四種考法全攻略類型一、圖像共存問(wèn)題例1．一次函數(shù)與（k，b是常數(shù)，且）在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（）A．B．C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)一次函數(shù)的圖象分析可得：A、由一次函數(shù)圖象可知，，；正比例函數(shù)的圖象可知，矛盾，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由一次函數(shù)圖象可知，；即，與正比例函數(shù)的圖象可知，一致，故此選項(xiàng)正確；C、由一次函數(shù)圖象可知，；即，與正比例函數(shù)的圖象可知，矛盾，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由一次函數(shù)圖象可知，；即，與正比例函數(shù)的圖象可知，矛盾，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．例2．在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作一次函數(shù)和圖象，可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A、反映，，反映，，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、反映，，反映，，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、反映，，反映，，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、反映，，反映，，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．【變式訓(xùn)練1】下列圖中，表示一次函數(shù)與正比例函數(shù)（其中、為常數(shù)，且）的大致圖像，其中表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：A.由一次函數(shù)圖像可知，則；正比例函數(shù)的圖像可知不矛盾，故此選項(xiàng)正確，符合題意；B.由一次函數(shù)圖像可知；正比例函數(shù)的圖像可知，矛盾，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C.由一次函數(shù)圖像可知；正比例函數(shù)的圖像可知，矛盾，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.由一次函數(shù)圖像可知；正比例函數(shù)的圖像可知，矛盾，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．【變式訓(xùn)練2】一次函數(shù)的圖像可能正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：令x＝0，則y＝k2+1＝0，所以一次函數(shù)y＝kx+k2+1（k≠0）的圖像與y軸交于點(diǎn)（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴圖像與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上．故選：C．【變式訓(xùn)練3】如圖，是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，若一次函數(shù)的圖象與線段AB有交點(diǎn)，則k的取值范圍是_______．【答案】k<-1或k>2【詳解】解：當(dāng)直線y=kx-1過(guò)點(diǎn)A時(shí)，得-2k-1=1，解得k=-1，當(dāng)直線y=kx-1過(guò)點(diǎn)B時(shí)，得2k-1=3，解得k=2，∵一次函數(shù)的圖象與線段AB有交點(diǎn)，∴k<-1或k>2，故答案為：k<-1或k>2．類型二、一次函數(shù)圖像與應(yīng)用問(wèn)題例1．如圖點(diǎn)按的順序在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，是邊上的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為自變量，的面積為，則函數(shù)的大致圖象是（

）．A．B．C． D．【答案】C【詳解】由點(diǎn)M是CD中點(diǎn)可得：CM=，（1）如圖：當(dāng)點(diǎn)P位于線段AB上時(shí)，即0≤x≤1時(shí)，y==x；（2）如圖：當(dāng)點(diǎn)P位于線段BC上時(shí)，即1<x≤2時(shí)，BP=x－1，CP=2－x，y===；（3）如圖：當(dāng)點(diǎn)P位于線段MC上時(shí)，即2<x≤時(shí)，MP=，y===．綜上所述：．根據(jù)一次函數(shù)的解析式判斷一次函數(shù)的圖像，只有C選項(xiàng)與解析式相符．故選：C．例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿的路線向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接、，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，的面積為，下列圖像能表示與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵矩形的頂點(diǎn)，,∴OA=BC=6，OC=AB=4，當(dāng)點(diǎn)P在OA邊上即0≤t<3時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上即3≤t<5時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上即5≤t≤8時(shí)，，故選：B.【變式訓(xùn)練1】如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【詳解】解：根據(jù)y1,y2的圖象可知，k＜0，b＞0，且當(dāng)x=1時(shí)，y2=0，即k+b=0.∴對(duì)于函數(shù)，有b＞0，當(dāng)x=1時(shí)，y=k-1+b=0-1=-1＜0.∴符合條件的是A選項(xiàng).故選：A.【變式訓(xùn)練2】如圖，點(diǎn)是菱形邊上的一動(dòng)點(diǎn)，它從點(diǎn)出發(fā)沿在路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)菱形的高為h，有三種情況：①當(dāng)P在AB邊上時(shí)，如圖1，y=AP?h，∵AP隨x的增大而增大，h不變，∴y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C不正確；②當(dāng)P在邊BC上時(shí)，如圖2，y=AD?h，AD和h都不變，∴在這個(gè)過(guò)程中，y不變，故選項(xiàng)A不正確；③當(dāng)P在邊CD上時(shí)，如圖3，y=PD?h，∵PD隨x的增大而減小，h不變，∴y隨x的增大而減小，∵P點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，∴P在三條線段上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，故選項(xiàng)D不正確，故選：B．【變式訓(xùn)練3】如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】作AD∥x軸，作CD⊥AD于點(diǎn)D，如圖所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是y，∵AD∥x軸，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵點(diǎn)C到x軸的距離為y，點(diǎn)D到x軸的距離等于點(diǎn)A到x的距離1，∴y=x+1（x＞0）．【變式訓(xùn)練4】如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】作AD∥x軸，作CD⊥AD于點(diǎn)D，如圖所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是y，∵AD∥x軸，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵點(diǎn)C到x軸的距離為y，點(diǎn)D到x軸的距離等于點(diǎn)A到x的距離1，∴y=x+1（x＞0）．【變式訓(xùn)練5】如圖，在直角梯形ABCD中，AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直角梯形的邊上沿A→B→C→M運(yùn)動(dòng)，則△APM的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示是（

）A．B．C． D．【答案】D【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，如圖1，作AB邊上的高M(jìn)H，∵AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中點(diǎn)，∴MH是梯形的中位線．∴MH=×（6+4）=5．∴△APM的面積=×2×5=5．∴當(dāng)x=2時(shí)，y=5．從而可排除A，B選項(xiàng)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，如圖2，分別作△ACD和△AMD的AD邊H的高CE和MF，∵AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中點(diǎn)，∴MF是△CDE的中位線．∴MF=×2=1．∴S△APM==×6×2-×6×1=3∴當(dāng)x=6時(shí)，y=3．從而可排除C選項(xiàng)．故選：D．類型三、參數(shù)問(wèn)題例．直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④若，，則，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【詳解】解：由圖像可得經(jīng)過(guò)二、三、四象限，∴，，①正確由圖象可得：經(jīng)過(guò)一、三、四象限，∴，∴，②正確；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，③正確；由題意可得，和經(jīng)過(guò)點(diǎn)則，又∵，解得，則：，將代入，，解得，即，，，④錯(cuò)誤正確的個(gè)數(shù)為3故選：C【變式訓(xùn)練1】一次函數(shù)與的圖像如圖所示，下列說(shuō)法：①對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)，y隨x的增大而增大；②函數(shù)不經(jīng)過(guò)第二象限；③不等式的解集是；④，其中正確的是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】B【詳解】解：由圖像可知，對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)，y隨x的增大而增大，故①正確；根據(jù)題意可知：a＞0，d＞0，則函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限，故②不正確；由可得，故不等式的解集是，故③不正確；可以得到，故④正確；故正確的有①④；故選B．【變式訓(xùn)練2】如圖，一次函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)．下列結(jié)論中，正確的有（

）①；②；③當(dāng)時(shí)，；④；⑤．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【詳解】解：由圖象可知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，故①選項(xiàng)不符合題意；由圖象可知一次函數(shù)y=cx+d的圖象經(jīng)過(guò)一、二、三象限，∴c＞0，d＞0，∴ac＜0，故②選項(xiàng)不符合題意；由圖象可知，當(dāng)x＞1時(shí)，ax+b＜cx+d，故③選項(xiàng)不符合題意；∵一次函數(shù)y=ax+b與y=cx+d的圖象交于點(diǎn)P，且P的橫坐標(biāo)為1，∴a+b=c+d，故④選項(xiàng)符合題意；∵函數(shù)y=cx+d=0時(shí)，x=-，由圖象可知，-＞-1，∵c＞0，∴d＜c，故⑤選項(xiàng)不符合題意；綜上，正確的選項(xiàng)有：④共1個(gè)，故選：A．【變式訓(xùn)練3】如圖，是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，若一次函數(shù)的圖象與線段AB有交點(diǎn)，則k的取值范圍是_______．【答案】k<-1或k>2【詳解】解：當(dāng)直線y=kx-1過(guò)點(diǎn)A時(shí)，得-2k-1=1，解得k=-1，當(dāng)直線y=kx-1過(guò)點(diǎn)B時(shí)，得2k-1=3，解得k=2，∵一次函數(shù)的圖象與線段AB有交點(diǎn)，∴k<-1或k>2，故答案為：k<-1或k>2．類型四、規(guī)律性問(wèn)題例．如圖，直線：與直線：相交于動(dòng)點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線上的點(diǎn)處后，改為垂直于x軸方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線上的點(diǎn)A1處后，再沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線上的點(diǎn)處后，又改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線的點(diǎn)處后，仍沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，．．．，照此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C依次進(jìn)過(guò)點(diǎn)，，，，，，…，，則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C到達(dá)處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)為（

）A．22022-1 B．22022-2 C．22023+1 D．22023-2【答案】D【詳解】解：將代入解析式，可得，，由直線：可知，，由平行于坐標(biāo)軸的兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征和直線、對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式可知，，，，，，，，，，，…，由此可得，，∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)為，∴當(dāng)點(diǎn)到達(dá)處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)為．故選：D．【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)在直線l：上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，以為邊向右作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)；以為邊向右作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)……按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【詳解】解：∵點(diǎn)在直線l：上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，∴，，∵四邊形是正方形，∴，??∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】如圖，點(diǎn)在直上，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)