專題01平行線的判定與性質壓軸題四種模型全攻略(原卷版+解析)

專題01平行線的判定與性質壓軸題四種模型全攻略【類型一平行線的判定與性質問題】例1．（2021·云南峨山·七年級期末）如圖，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．（1）BF與DE平行嗎？請說明理由；（2）若DE垂直于AC，∠AFG=60°，求∠2的度數．【變式訓練1】（2022·廣東揭西·八年級期末）如圖，已知AC∥FE，∠1＋∠2＝180°(1)求證：∠FAB＝∠BDC；(2)若AC平分∠FAD，EF⊥BE于點E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度數．【變式訓練2】（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校七年級期末）如圖，已知EFAB，∠DEF=∠A．(1)求證：DEAC；(2)若CD平分∠ACB，∠BED=60°，求∠ACD的度數．【變式訓練3】（2021·山東濰坊·八年級期中）如圖，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，DC是∠NDE的平分線（1）AB與DE平行嗎？請說明理由；（2）試說明∠ABC=∠C；（3）試說明BD是∠ABC的平分線．【類型二含一個拐點模型】例2．如圖1，已知AB∥CD，直線AB、CD把平面分成①、②、③三個區(qū)域（直線AB、CD不屬于①、②、③中任何一個區(qū)域）．點P是直線AB、CD、AC外一點，聯結PA、PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC．(1)如圖2，當點P位于第①區(qū)域一位置時，請?zhí)顚憽螦PC＝∠PAB+∠PCD的理由．解：過點P作PE//AB，因為AB//CD，PE//AB，所以PE//CD（）．因為PE//AB，所以∠APE＝∠PAB（）．同理∠CPE＝∠PCD．因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD．即∠APC＝∠PAB+∠PCD．(2)在第（1）小題中改變點P的位置，如圖3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？為什么？(3)當點P在第②區(qū)域時，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎樣的數量關系？請畫出圖形，并直接寫出相應的結論．【變式訓練1】如圖所示，AB∥CD，分別寫出下面四個圖形中∠A與∠P，∠C的數量關系，請你從所得到的關系中任選一圖的結論加以說明．【變式訓練2】感知與填空：如圖①，直線AB∥CD．求證：∠B+∠D=∠BED．證明：過點E作直線EF∥CD，∠2=______，（）AB∥CD(已知），EF∥CD_____∥EF，（）∠B=∠1，（）∠1+∠2=∠BED，∠B+∠D=∠BED，（）方法與實踐：如圖②，直線AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，則∠E=______度．【變式訓練3】已知直線AB∥CD，P為平面內一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數量關系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數．【類型三含兩個或多個拐點模型】例3．如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠D，∠E滿足的數量關系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【變式訓練1】如圖，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，設∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，則α，β，γ的數量關系是（）A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°【變式訓練2】綜合與探究問題情境：“公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤山公路連接了山里與外面的世界．數學活動課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一個問題：如圖1，，，，求的度數．小康的解法如下：解：如圖1，過點P作．∵，∴（根據1）．∵，∴（根據2）．……(1)①小康的解法中的根據1是指_______________；②根據2是指______________．(2)按照上面小康的解題思路，完成小康剩余的解題過程．(3)聰明的小明在圖1的基礎上，將圖1變?yōu)閳D2，其中，，，，求的度數．【變式訓練3】如圖①，直線AB∥CD，點E，F分別在直線AB，CD上．(1)若∠1=135°，∠2=155°，試猜想∠P=______．(2)在圖①中探究∠1，∠P，∠2之間的數量關系，并證明你的結論．(3)將圖①變?yōu)閳D②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數．【類型四生活中應用模型】例4.潛望鏡中的兩面鏡子是互相平行放置的，如圖1，光線經過鏡子反射時，，，那么和有什么關系？為什么進入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行的？先畫幾何圖形，如圖2，再寫已知未知．如圖，，（1）猜想和有什么關系，并進行證明；（2）求證：．【變式訓練1】（1）若組成和的兩條邊互相平行，且是的2倍小，求的度數．（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁始終平行于與上拉桿形成的，主柱垂直于地面，通過調整和后拉桿的位置來調整籃筐的高度．當時，點H，D，B在同一直線上，求的度數．【變式訓練2】如圖，政府規(guī)劃由西向東修一條公路．從A修至B后為了繞開村莊，改為沿南偏東25°方向修建BC段，在C處又改變方向修建CD段，測得∠BCD＝70°，在D處繼續(xù)改變方向，朝與出發(fā)時相同的方向修至E．（1）補全施工路線示意圖，求∠CDE的度數；（2）原計劃在AB的延長線上依次修建兩個公交站M，N（均在CD右側），連結DM和MN，求∠CDM與∠DMN的數量關系．【變式訓練3】實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．（1）如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1=38°，則∠2=°，∠3=°．（2）在（1）中，若∠1=55°，則∠3=°；若∠1=40°，則∠3=°．（3）由（1）、（2），請你猜想：當兩平面鏡a、b的夾角∠3=°時，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行．你能說明理由嗎？【課后訓練】1．（2022·福建·泉州五中七年級期末）如圖，直線a、b被直線c所截，下列說法不正確的是（）A．1與5是同位角 B．3與6是同旁內角C．2與4是對頂角 D．5與2是內錯角2．（2021·江蘇·開明中學九年級期末）如圖，直線a∥b，直線AB⊥AC，若∠1＝52°，則∠2的度數是（）A．38° B．42° C．48° D．52°3．（2022·福建·晉江市季延中學七年級期末）如圖，和分別為直線與直線和相交所成角．如果，那么添加下列哪個條件后，可判定．（）．A． B． C． D．4．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校七年級期末）如圖，給出下列條件，①∠1=∠2，②∠3=∠4，③ADBE，且∠D=∠B，④ADBE，且∠DCE=∠D，其中能推出ABDC的條件為（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④二、填空題5．（2021·全國·七年級專題練習）如圖所示，直線a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，則直線a與b的位置關系是________．6．（2021·上海浦東新·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，∠ABC＝120°，∠1＝27°，則直線CB和CE的夾角是_____°．7．（2021·山東·濟寧市第十五中學八年級階段練習）如圖，已知的面積為16，．現將沿直線向右平移個單位到的位置．當所掃過的面積為32時，那么的值為__________．8．（2021·北京市海淀區(qū)清華附中稻香湖學校七年級期末）一副直角三角板疊放如圖所示，現將含30°角的三角板ABC固定不動，把含45°角的三角板ADE繞頂點A順時針轉動，若0°＜∠BAD＜180°，要使兩塊三角板至少有一組互相平行，則符合要求的∠BAD的值為________．三、解答題9．（2021·上海奉賢·七年級期末）如圖，已知AE平分∠BAC交BC于點E，AF平分∠CAD交BC的延長線于點F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，試判斷AD與BC是否平行．解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝（）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝°（等式性質）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝°．∴（）．10．（2022·廣東陽山·八年級期末）如圖，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）試說明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝142°，求∠B的度數．11．問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數．（1）麗麗同學看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補全她的推理依據．如圖2，過點P作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數量關系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數量關系．12．已知AB∥CD，點E在AB上，點F在DC上，點G為射線EF上一點．【基礎問題】如圖1，試說明：∠AGD＝∠A＋∠D．（完成圖中的填空部分）．證明：過點G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD（）∵MN∥AB，∴∠A＝（）（）∵MN∥CD，∴∠D＝（）∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．【類比探究】如圖2，當點G在線段EF延長線上時，直接寫出∠AGD、∠A、∠D三者之間的數量關系．【應用拓展】如圖3，AH平分∠GAB，DH交AH于點H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接寫出∠DGA的度數．13．如圖，，點E為兩直線之間的一點(1)如圖1，若，，則____________；(2)如圖2，試說明，；(3)①如圖3，若的平分線與的平分線相交于點F，判斷與的數量關系，并說明理由；②如圖4，若設，，，請直接用含、的代數式表示的度數．14．如圖，AB//CD，定點E，F分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動點P，且滿足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF與∠EQF之間的數量關系時，我們需要對點P的位置進行分類討論：（1）如圖1，當P點在EF的右側時，若∠EPF＝110°，則∠EQF＝；猜想∠EPF與∠EQF的數量關系，請直接寫出結果；（2）如圖2，當P點在EF的左側時，探究∠EPF與∠EQF的數量關系，請說明理由；（3）若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點Q2，∠BEQ2與∠DFQ2的角平分線交于點Q3；…以此類推，則∠EPF與∠EQ2021F滿足怎樣的數量關系？15．如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．16．圖1展示了光線反射定律：EF是鏡面AB的垂線，一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與垂線EF所夾的銳角．（1）在圖1中，證明：∠1＝∠2．（2）圖2中，AB，BC是平面鏡，入射光線m經過兩次反射后得到反射光線n，已知，，判斷直線m與直線n的位置關系，并說明理由．（3）圖3是潛望鏡工作原理示意圖，AB，CD是平行放置的兩面平面鏡．請解釋進入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的？17．在數學實踐活動課上，小亮同學利用一副三角尺探索與研究共直角頂點的兩個直角三角形中的位置關系與數量關系．（其中，，）（1）將三角尺如圖1所示疊放在一起．①與大小關系是_____，依據是_____．②與的數量關系是_____．（2）小亮固定其中一塊三角尺不變，繞點順時針轉動另一塊三角尺，從圖2的與重合開始，到圖3的與在一條直線上時結束．探索的一邊與的一邊平行的情況．①求當時，如圖4所示，的大小．②直接寫出的其余所有可能值．18．如圖，錢塘江入?？谀程幒拥纼砂端谥本€（PQ，MN）夾角為20°，在河道兩岸安裝探照燈B和A，若燈A射線自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線自BQ逆時針旋轉至BP便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．設燈A轉動的速度是a度/秒，燈B轉動的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°．（1）當b＝2時，問燈B轉動幾秒后，射出的光束第一次經過燈A？（2）當a＝3，b＝6時，若兩燈同時轉動，在1分鐘內（包括1分鐘），問A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）若A、B兩燈同時轉動（a＞b），在45秒與90秒時，兩燈的光束各平行一次，求a，b的值．專題01平行線的判定與性質壓軸題四種模型全攻略【類型一平行線的判定與性質問題】例1．（2021·云南峨山·七年級期末）如圖，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．（1）BF與DE平行嗎？請說明理由；（2）若DE垂直于AC，∠AFG=60°，求∠2的度數．【答案】（1）平行，見解析；（2）150°．【解析】【分析】（1）根據同位角相等兩直線平行，得到GF//BC，再利用兩直線平行，內錯角相等，解得∠1＝∠FBC，最后根據同旁內角互補，兩直線平行解題即可；（2）由BF//DE，DE垂直于AC，可證得∠AFB＝90°，結合題意，可解得∠1的度數，再由∠1＝∠FBC，兩直線平行，同旁內角互補，即可解得∠2的度數．【詳解】(1)解：平行．理由：∴∠AGF＝∠ABC∴GF//BC，∴∠1＝∠FBC∵∠1+∠2＝180°∴∠2+∠FBC＝180°，∴BF//DE；(2)∵DE垂直于AC∴∠AED=90°，由（1）知BF//DE∴∠AFB＝90°∵∠AFG＝60°，∴∠1＝30°，由（1）知∠1＝∠FBC∴∠FBC=30°∵BF//DE∴∠2=180°－∠FBC＝180°－30°＝150°.【點睛】本題考查平行線的判定與性質，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.【變式訓練1】（2022·廣東揭西·八年級期末）如圖，已知AC∥FE，∠1＋∠2＝180°(1)求證：∠FAB＝∠BDC；(2)若AC平分∠FAD，EF⊥BE于點E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度數．【答案】(1)見解析(2)50°【解析】【分析】（1）由已知可證得∠2=∠FAC，根據平行線的判定得到FA∥CD，根據平行線的性質即可得到∠FAB=∠BDC；（2）根據角平分線的定義得到∠FAD=2∠FAC，即∠FAD=2∠2，由平行線的性質可求得∠2，再平行線的判定和性質定理求出∠ACB，繼而求出∠BCD．(1)證明：∵AC∥EF，∴∠1+∠FAC=180°，又∵∠1+∠2=180°，∴∠FAC=∠2，∴FA∥CD，∴∠FAB=∠BDC；(2)解：∵AC平分∠FAD，∴∠FAC=∠CAD，∠FAD=2∠FAC，由（1）知∠FAC=∠2，∴∠FAD=2∠2，∴∠2=∠FAD，∵∠FAD=80°，∴∠2=×80°=40°，∵EF⊥BE，AC∥EF，∴AC⊥BE，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=90°∠2=50°．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，根據平行線的性質和角平分線的定義求出∠2是解題的關鍵．【變式訓練2】（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校七年級期末）如圖，已知EFAB，∠DEF=∠A．(1)求證：DEAC；(2)若CD平分∠ACB，∠BED=60°，求∠ACD的度數．【答案】(1)見解析(2)30°【解析】【分析】（1）根據EFAB，可得∠BDE=∠DEF，又∠DEF=∠A等量代換可得∠BDE=∠A，進而可得DEAC；（2）根據（1）的結論可得，根據角平分線的定義即可求得∠ACD的度數．(1)∵EFAB，∴∠BDE=∠DEF，又∠DEF=∠A∴∠BDE=∠A，∴DEAC；(2)DEAC，∠BED=60°，CD平分∠ACB，【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，角平分線的意義，掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵．【變式訓練3】（2021·山東濰坊·八年級期中）如圖，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，DC是∠NDE的平分線（1）AB與DE平行嗎？請說明理由；（2）試說明∠ABC=∠C；（3）試說明BD是∠ABC的平分線．【答案】（1）AB∥DE，理由見解析，（2）見解析，（3）見解析【解析】【分析】（1）首先根據平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等即可證得∠ABC＝∠1＝60°，進而證明∠ABC＝∠2，根據同位角相等，兩直線平行，即可證得；（2）根據平行線的性質，兩直線平行，同旁內角互補求得∠NDE的度數，然后根據角平分線的定義，以及平行線的性質即可求得∠C的度數，從而判斷；（3）先求得∠ADB的度數，根據平行求出∠DBC的度數，然后求得∠ABD的度數，即可證得．【詳解】解：（1）AB∥DE，理由如下：∵MN∥BC，（已知）∴∠ABC＝∠1＝60°．（兩直線平行，內錯角相等）又∵∠1＝∠2，（已知）∴∠ABC＝∠2．（等量代換）∴AB∥DE．（同位角相等，兩直線平行）；（2）∵MN∥BC，∴∠NDE+∠2＝180°，∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°．∵DC是∠NDE的平分線，∴∠EDC＝∠NDC＝∠NDE＝60°．∵MN∥BC，∴∠C＝∠NDC＝60°．∴∠ABC＝∠C．（3）∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°．∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°．∵MN∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°．∵∠ABC＝∠C＝60°．∴∠ABD＝30°∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC．∴BD是∠ABC的平分線．【點睛】本題考查了平行線的性質和判定定理，垂線的性質，解題關鍵是熟練運用平行線的性質與判定進行推理證明和計算．【類型二含一個拐點模型】例2．如圖1，已知AB∥CD，直線AB、CD把平面分成①、②、③三個區(qū)域（直線AB、CD不屬于①、②、③中任何一個區(qū)域）．點P是直線AB、CD、AC外一點，聯結PA、PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC．(1)如圖2，當點P位于第①區(qū)域一位置時，請?zhí)顚憽螦PC＝∠PAB+∠PCD的理由．解：過點P作PE//AB，因為AB//CD，PE//AB，所以PE//CD（）．因為PE//AB，所以∠APE＝∠PAB（）．同理∠CPE＝∠PCD．因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD．即∠APC＝∠PAB+∠PCD．(2)在第（1）小題中改變點P的位置，如圖3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？為什么？(3)當點P在第②區(qū)域時，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎樣的數量關系？請畫出圖形，并直接寫出相應的結論．【答案】(1)平行的傳遞性；兩直線平行，內錯角相等；(2)360°，理由見解析；(3)∠PCD=∠PAB+∠APC，見解析．【解析】【分析】（1）根據平行線的性質解題；（2）過點P作PE//AB，由兩直線平行，同旁內角相等解得∠APE+∠PAB=180°，∠EPC+∠PCD=180°，再根據∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD解題；（3）根據題意，畫出圖形，再由兩直線平行，內錯角相等得到∠APE=∠PAB，∠PCD=∠CPE，結合∠CPE=∠APE+∠APC解題．(1)解：因為AB//CD，PE//AB，所以PE//CD(平行的傳遞性)因為PE//AB，所以∠APE＝∠PAB（兩直線平行，內錯角相等）．故答案為：平行的傳遞性；兩直線平行，內錯角相等；(2)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，見解析：過點P作PE//AB，所以∠APE+∠PAB=180°，因為PE//CD，所以∠EPC+∠PCD=180°，所以∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°；(3)∠PCD=∠PAB+∠APC，理由如下，當點P在第②區(qū)域時，如圖，過點P作PE//AB，所以∠APE=∠PAB，因為PE//CD，所以∠PCD=∠CPE因為∠CPE=∠APE+∠APC所以∠PCD=∠PAB+∠APC．【點睛】本題考查平行線的拐角問題、平行線的性質等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．【變式訓練1】如圖所示，AB∥CD，分別寫出下面四個圖形中∠A與∠P，∠C的數量關系，請你從所得到的關系中任選一圖的結論加以說明．【答案】（1）∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A，證明見解析【解析】【分析】（1）作PE∥AB，利用兩直線平行內錯角相等證明即可；（2）作PE∥AB，利用兩直線平行同旁內角互補證明即可；（3）作PH∥AB，利用兩直線平行同旁內角互補證明即可；（4）作PE∥AB，利用兩直線平行內錯角相等證明即可；【詳解】解：（1）∠A+∠C＝∠P；證明如下：如圖所示，作PE∥AB，則PE∥CD，∴∠A=∠1，∠C=∠2，∵∠APC=∠1+∠2，∴∠APC=∠A+∠C，即：∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；證明如下：如圖所示，作PE∥AB，則PE∥CD，∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，∴∠A+∠C+∠1+∠2=360°，∵∠APC=∠1+∠2，∴∠A+∠C+∠APC=360°，即：∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；證明如下：如圖所示，作PH∥AB，則PH∥CD，∴∠HPA＋∠A＝180°，∴∠HPA＝180°－∠A，∵∠HPA＋∠APC＋∠C＝180°，∴180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，即：∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A；證明如下：如圖所示，作PE∥AB，則PE∥CD，∴∠EPC=∠C，∠EPA=∠A，∵∠APC=∠EPC－∠EPA，∴∠APC=∠C－∠A，即：∠C＝∠P+∠A．【點睛】本題考查平行線的性質運用，理解并熟練運用平行線的性質，靈活構造輔助線是解題關鍵．【變式訓練2】感知與填空：如圖①，直線AB∥CD．求證：∠B+∠D=∠BED．證明：過點E作直線EF∥CD，∠2=______，（）AB∥CD(已知），EF∥CD_____∥EF，（）∠B=∠1，（）∠1+∠2=∠BED，∠B+∠D=∠BED，（）方法與實踐：如圖②，直線AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，則∠E=______度．【答案】∠D；兩直線平行，內錯角相等；AB；兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內錯角相等；等量代換；31．【解析】【分析】過點E作直線EF//CD，由兩直線平行，內錯角相等得出∠2=∠D；由兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行得出AB//EF；由兩直線平行，內錯角相等得出∠B=∠1；由∠1+∠2=∠BED，等量代換得出∠B+∠D=∠BED；方法與實踐：如圖②，由平行的性質可得∠BOD=∠D=53°，然后再根據三角形外角的性質解答即可【詳解】解：過點E作直線EF∥CD，∠2=∠D，（兩直線平行，內錯角相等）AB∥CD(已知），EF∥CDAB//EF，（兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）∠B=∠1，（兩直線平行，內錯角相等）∠1+∠2=∠BED，∠B+∠D=∠BED，（等量代換）方法與實踐：如圖②，∵直線AB∥CD∴∠BOD=∠D=53°∵∠BOD=∠E+∠B∴∠E=∠BOD-∠B=53°-22°=31°．故答案依次為：∠D；兩直線平行，內錯角相等；AB；兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內錯角相等；等量代換；31．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質、三角形內角和定理等知識點；熟練掌握平行線的性質是解答本題的關鍵．【變式訓練3】已知直線AB∥CD，P為平面內一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數量關系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【解析】【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內角互補以及內錯角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據平行線的性質，即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結論即可求解．【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，過點P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如圖，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)設PD交AN于O，如圖，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【點睛】本題考查了平行線的性質以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．【類型三含兩個或多個拐點模型】例3．如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠D，∠E滿足的數量關系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【答案】C【解析】【分析】如圖，過點C作CG∥AB，過點D作DH∥EF，根據平行線的性質可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根據AB∥EF可得CG∥DH，根據平行線的性質可得∠CDH＝∠DCG，進而根據角的和差關系即可得答案．【詳解】如圖，過點C作CG∥AB，過點D作DH∥EF，∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；熟練掌握平行線的性質，正確作出輔助線是解題關鍵．【變式訓練1】如圖，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，設∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，則α，β，γ的數量關系是（）A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°【答案】A【解析】【分析】過E作EN∥AB，過F作FQ∥AB，根據已知條件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根據平行線的性質得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．【詳解】解：過E作EN∥AB，過F作FQ∥AB，∵∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，∠ABE＝α，∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，∵AB∥CD，∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，∴∠ECD＝β﹣α，∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，即4β﹣α+γ＝360°，故選A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質．【變式訓練2】綜合與探究問題情境：“公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤山公路連接了山里與外面的世界．數學活動課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一個問題：如圖1，，，，求的度數．小康的解法如下：解：如圖1，過點P作．∵，∴（根據1）．∵，∴（根據2）．……(1)①小康的解法中的根據1是指_______________；②根據2是指______________．(2)按照上面小康的解題思路，完成小康剩余的解題過程．(3)聰明的小明在圖1的基礎上，將圖1變?yōu)閳D2，其中，，，，求的度數．【答案】(1)①如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行；②兩直線平行，同旁內角互補(2)(3)【解析】【分析】（1）根據平行線的性質和判定即可的得出答案；（2）過點P作得，根據，得，即知，從而得出答案；（3）過點P作，過點作，從而得出，再根據平行線的性質即可得出答案；(1)解：①如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．②兩直線平行，同旁內角互補．(2)解：∵，∴．∵，，∴．(3)解：如圖，過點P作，過點作．∵，∴，∴，，．∵，，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行線的性質與判定，解題的關鍵是作平行線，利用平行線的性質轉化角．【變式訓練3】如圖①，直線AB∥CD，點E，F分別在直線AB，CD上．(1)若∠1=135°，∠2=155°，試猜想∠P=______．(2)在圖①中探究∠1，∠P，∠2之間的數量關系，并證明你的結論．(3)將圖①變?yōu)閳D②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數．【答案】(1)70°；(2)∠EPF+(∠1+∠2)=360°，理由見解析；(3)∠PGF的度數為140°．【解析】【分析】（1）過點P作PQ∥AB，由平行線的性質得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，進一步計算即可求得∠EPF的度數；（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2)=360°；（3）過點P作PQ∥AB，過點G作GH∥AB，由平行線的性質即可求解．(1)解：過點P作PQ∥AB，∴∠1+∠EPQ=180°，∵∠1=135°，∴∠EPQ=180°-∠1=45°，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠2+∠FPQ=180°，∵∠2=155°，∴∠FPQ=180°-∠2=25°，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；故答案為：70°；(2)解：∠EPF+(∠1+∠2)=360°，理由如下：過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；即∠EPF+(∠1+∠2)=360°；(3)解：過點P作PQ∥AB，過點G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥GH∥CD，∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，∵∠EPG=75°，∴∠3+∠4=75°，∵∠1+∠2=325°，∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)=540°-325°-75°=140°．∴∠PGF的度數為140°．．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．【類型四生活中應用模型】例4.潛望鏡中的兩面鏡子是互相平行放置的，如圖1，光線經過鏡子反射時，，，那么和有什么關系？為什么進入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行的？先畫幾何圖形，如圖2，再寫已知未知．如圖，，（1）猜想和有什么關系，并進行證明；（2）求證：．【答案】（1），證明見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據兩面鏡子是互相平行放置的可知，再根據平行線的性質（兩直線平行，內錯角相等）即可直接證明．（2）結合題意可證明，再由，，即可證明，最后由平行線的判定定理（內錯角相等，兩直線平行），即可證明．【詳解】解：（1）根據題意可知，∴（兩直線平行，內錯角相等）.（2）∵，∴；∵，，∴，∴（內錯角相等，兩直線平行）．【點睛】本題考查平行線的判定與性質在生活中的應用．掌握平行線的性質與判定是解答本題的關鍵．【變式訓練1】（1）若組成和的兩條邊互相平行，且是的2倍小，求的度數．（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁始終平行于與上拉桿形成的，主柱垂直于地面，通過調整和后拉桿的位置來調整籃筐的高度．當時，點H，D，B在同一直線上，求的度數．【答案】（1）15°或115°；（2）120°【解析】【分析】（1）根據∠1，∠2的兩邊分別平行，所以∠1，∠2相等或互補列出方程求解則得到答案．（2）過D點作DI∥EF，根據兩直線平行，同旁內角互補可求∠FDI=35°，根據平角的定義可求∠ADB=30°，根據直角三角形的性質可求∠ABH=60°，再根據兩直線平行，同旁內角互補可求∠H．【詳解】解：（1）①當∠1=∠2時，∵∠1=2∠2-15°，∴∠1=2∠1-15°，解得∠1=15°；②當∠1+∠2=180°時，∵∠1=2∠2-15°，∴∠2+2∠2-15°=180°，解得∠2=65°，∴∠1=180°-∠2=115°；（2）過D點作DI∥EF，∵∠F=145°，∴∠FDI=35°，∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，∴∠ABH=90°-30°=60°．∵GH∥AB，∴∠H=180°-60°=120°．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行線性質定理：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；

兩直線平行，內錯角相等．【變式訓練2】如圖，政府規(guī)劃由西向東修一條公路．從A修至B后為了繞開村莊，改為沿南偏東25°方向修建BC段，在C處又改變方向修建CD段，測得∠BCD＝70°，在D處繼續(xù)改變方向，朝與出發(fā)時相同的方向修至E．（1）補全施工路線示意圖，求∠CDE的度數；（2）原計劃在AB的延長線上依次修建兩個公交站M，N（均在CD右側），連結DM和MN，求∠CDM與∠DMN的數量關系．【答案】（1）畫圖見解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45°【解析】【分析】（1）補全DE∥AB即可，過C作l⊥AB的延長線于G，過D作直線m⊥AB的延長線于H，則l∥m，由平行線性質可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，從而可得∠CDE的度數；（2）設∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，則x-y=45°，從而得∠DMN-∠CDM=45°．【詳解】解：（1）補全施工路線如圖1所示．過C作l⊥AB的延長線于G，過D作直線m⊥AB的延長線于H，則l∥m，根據平行線的性質可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°，又∠HDE=90°，∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°．（2）如圖所示，設∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°，則x-y=45°，即∠DMN-∠CDM=45°．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，作出正確的輔助線以及得到∠CDF=135°是解題的關鍵．【變式訓練3】實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．（1）如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1=38°，則∠2=°，∠3=°．（2）在（1）中，若∠1=55°，則∠3=°；若∠1=40°，則∠3=°．（3）由（1）、（2），請你猜想：當兩平面鏡a、b的夾角∠3=°時，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行．你能說明理由嗎？【答案】（1）76°，90°；（2）90°，90°（3）90°．【解析】【分析】（1）根據平面鏡反射光線的規(guī)律，可得∠1=∠5，∠7=∠6，根據平角的定義可得∠4=104°，根據m∥n，所以∠2=76°，∠5=38°，根據三角形內角和為180°，即可求出答案；（2）結合題（1）可得∠3的度數都是90°；（3）證明m∥n，由∠3=90°，證得∠2與∠4互補即可．【詳解】（1）由平面鏡反射光線的規(guī)律可得：∠1=∠5，∠7=∠6．又∵∠1=38°，∴∠5=38°，∴∠4=180°﹣∠1﹣∠5=104°．∵m∥n，∴∠2=180°﹣∠4=76°，∴∠6=（180°﹣76°）÷2=52°，∴∠3=180°﹣∠6﹣∠5=90°；（2）同（1）可得當∠1=55°和∠1=40°時，∠3的度數都是90°；（3）∵∠3=90°，∴∠6+∠5=90°，又由題意知∠1=∠5，∠7=∠6，∴∠2+∠4=180°﹣（∠7+∠6）+180°﹣（∠1+∠5）=360°﹣2∠5﹣2∠6=360°﹣2（∠5+∠6）=180°．由同旁內角互補，兩直線平行，可知：m∥n．故答案為76°，90°，90°，90°90°．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，本題是數學知識與物理知識的有機結合，充分體現了各學科之間的滲透性．【課后訓練】1．（2022·福建·泉州五中七年級期末）如圖，直線a、b被直線c所截，下列說法不正確的是（）A．1與5是同位角 B．3與6是同旁內角C．2與4是對頂角 D．5與2是內錯角【答案】D【解析】【分析】根據同位角、對頂角、同旁內角以及內錯角的定義對各選項作出判斷即可．【詳解】解：A、∠1與∠5是同位角，故本選項不符合題意；B、∠3與∠6是同旁內角，故本選項不符合題意．C、∠2與∠4是對頂角，故本選項不符合題意；D、∠5與2不是內錯角，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了同位角、對頂角、同旁內角、內錯角的定義，解答此題的關鍵是確定三線八角，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義．2．（2021·江蘇·開明中學九年級期末）如圖，直線a∥b，直線AB⊥AC，若∠1＝52°，則∠2的度數是（）A．38° B．42° C．48° D．52°【答案】A【解析】【分析】利用直角三角形的性質先求出∠B，再利用平行線的性質求出∠2．【詳解】解：∵AB⊥AC，∠1＝52°，∴∠B＝90°﹣∠1＝90°﹣52°＝38°∵a∥b，∴∠2＝∠B＝38°．故選：A．【點睛】本題考查平行線的性質、兩直線平行同位角相等，直角三角形兩個銳角互余等知識，在基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．3．（2022·福建·晉江市季延中學七年級期末）如圖，和分別為直線與直線和相交所成角．如果，那么添加下列哪個條件后，可判定．（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】通過同位角相等兩直線平行進行判定即可.【詳解】A.∵，∴∠3=180o-∠2=62o=∠1，∴能判定，此選項正確；B.∵，∴∠3=180o-∠4=52o≠∠1，∴不能判定，此選項錯誤；C.∵，∴∠3≠∠1，∴不能判定，此選項錯誤；D.∵，∴∠3=∠28o≠∠1，∴不能判定，此選項錯誤；故選：A【點睛】此題考查平行線的判定，掌握同位角相等兩直線平行是解答此題的關鍵.4．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校七年級期末）如圖，給出下列條件，①∠1=∠2，②∠3=∠4，③ADBE，且∠D=∠B，④ADBE，且∠DCE=∠D，其中能推出ABDC的條件為（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【解析】【分析】根據平行線的判定逐個判斷即可．【詳解】①∠1=∠2，②∠3=∠4，③ADBE，∠D=∠B，④∠DCE=∠D，能推出ABDC的條件為②③故選B【點睛】本題考查了平行線的性質與判定定理，掌握平行線的判定定理是解題的關鍵．二、填空題5．（2021·全國·七年級專題練習）如圖所示，直線a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，則直線a與b的位置關系是________．【答案】平行【解析】【分析】根據∠2:∠3＝1:5，求出的度數，然后根據同位角相等兩直線平行進行解答即可．【詳解】解：∵∠2:∠3＝1:5，∴∠2＝30°，∴∠1＝∠2，∴a∥b，故答案為：平行．【點睛】本題考查了角的和差倍分求角度以及平行的判定，根據題意求出∠2＝30°是解本題的關鍵．6．（2021·上海浦東新·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，∠ABC＝120°，∠1＝27°，則直線CB和CE的夾角是_____°．【答案】93【解析】【分析】AB∥CD，∠DCB＝∠ABC＝120°，將角度代入∠BCE＝∠DCB-∠1求解即可．【詳解】解：∵AB∥CD∴∠DCB＝∠ABC＝120°又∵∠1＝27°∴∠BCE＝∠DCB-∠1=93°故答案為93．【點睛】本題考查了平行線中關于內錯角的性質．解題的關鍵在于熟練使用兩直線平行，內錯角相等的性質．7．（2021·山東·濟寧市第十五中學八年級階段練習）如圖，已知的面積為16，．現將沿直線向右平移個單位到的位置．當所掃過的面積為32時，那么的值為__________．【答案】4【解析】【分析】作AH⊥BC于H，根據△ABC的面積為16，BC=8，可先求出AH的長，△ABC所掃過的面積為32，即可求出a的值.【詳解】解：如圖，連接AD，過點A作AH⊥BC交BC于H.∵SΔABC=16,BC=8,即BC?AH=×8×AH=16,∴AH=4,∴S梯形ABFD=∴a=4,故答案為4.【點睛】本題考查了圖形的平移，靈活運用圖形面積間的關系是解題的關鍵.8．（2021·北京市海淀區(qū)清華附中稻香湖學校七年級期末）一副直角三角板疊放如圖所示，現將含30°角的三角板ABC固定不動，把含45°角的三角板ADE繞頂點A順時針轉動，若0°＜∠BAD＜180°，要使兩塊三角板至少有一組互相平行，則符合要求的∠BAD的值為________．【答案】45°或90°或120°【解析】【分析】分三種情況根據平行線的性質解答即可．【詳解】解：如圖1，當AE//BC時，則∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=180°-90°=90°,∴∠BAD＝90°-45°=45°；如圖2，當DE//AB時，∠BAD＝∠D=90°；如圖3，當DE//AC時，則∠CAD=∠D=90°，∴∠BAD＝30°+90°=120°；綜上所述，滿足條件的∠BAD的值為45°或90°或120°．故答案為：45°或90°或120°．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解答本題的關鍵．平行線的性質：①兩直線平行同位角相等，②兩直線平行內錯角相等，③兩直線平行同旁內角互補．在運用平行線的性質定理時，一定要找準同位角，內錯角和同旁內角．三、解答題9．（2021·上海奉賢·七年級期末）如圖，已知AE平分∠BAC交BC于點E，AF平分∠CAD交BC的延長線于點F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，試判斷AD與BC是否平行．解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝（）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝°（等式性質）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝°．∴（）．【答案】2∠2；角平分線的定義；116；180；AD；BC；同旁內角互補，兩直線平行【解析】【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分線的定義可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，結合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁內角互補，兩直線平行”即可得出AD∥BC．【詳解】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分線的定義）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式性質）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁內角互補，兩直線平行）．故答案為：2∠2；角平分線的定義；116；180；AD；BC；同旁內角互補，兩直線平行．【點睛】此題考查了角平分線的定義，角的計算，平行線的判定．正確掌握線段、角、相交線與平行線的知識是解題的關鍵，還需掌握推理能力．10．（2022·廣東陽山·八年級期末）如圖，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）試說明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝142°，求∠B的度數．【答案】（1）見解析；（2）∠B＝38°．【解析】【分析】（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可證明；（2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分線，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°．【詳解】（1）∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°.∵AD∥EF.（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分線，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質與判定條件是解題的關鍵．11．問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數．（1）麗麗同學看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補全她的推理依據．如圖2，過點P作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數量關系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數量關系．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁內角互補；（2），理由見解析；（3）或【解析】【分析】（1）根據平行線的判定與性質填寫即可；（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖2，過點P作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（兩直線平行同旁內角互補）因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖3所示，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當P在BA延長線時，如圖4所示：過P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；當P在AB延長線時，如圖5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．綜上所述，∠CPD與∠α、∠β之間的數量關系為：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【點睛】本題考查了平行線的性質和判定定理，正確作出輔助線是解答此題的關鍵．12．已知AB∥CD，點E在AB上，點F在DC上，點G為射線EF上一點．【基礎問題】如圖1，試說明：∠AGD＝∠A＋∠D．（完成圖中的填空部分）．證明：過點G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD（）∵MN∥AB，∴∠A＝（）（）∵MN∥CD，∴∠D＝（）∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．【類比探究】如圖2，當點G在線段EF延長線上時，直接寫出∠AGD、∠A、∠D三者之間的數量關系．【應用拓展】如圖3，AH平分∠GAB，DH交AH于點H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接寫出∠DGA的度數．【答案】基礎問題：平行于同一條直線的兩條直線平行；∠AGM；兩直線平行，內錯角相等；∠DGM，兩直線平行，內錯角相等；類比探究：∠AGD＝∠A-∠D；應用拓展：42°．【解析】【分析】基礎問題：由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，則∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D；類比探究：如圖所示，過點G作直線MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，則∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．應用拓展：如圖所示，過點G作直線MN∥AB，過點H作直線PQ∥AB，由MN∥AB，PQ∥AB，得到∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，由MN∥CD，PQ∥CD，得到∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，再由∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，可得∠GDH=44°，∠DHP=22°，則∠CDG=66°，∠AHP=54°，∠DGM=66°，∠BAH=54°，再由AH平分∠BAG，即可得到∠AGM=108°，則∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．【詳解】解：基礎問題：過點G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），∵MN∥AB，∴∠A＝∠AGM（兩直線平行，內錯角相等），∵MN∥CD，∴∠D＝∠DGM（兩直線平行，內錯角相等），∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；∠AGM；兩直線平行，內錯角相等；∠DGM，兩直線平行，內錯角相等；類比探究：如圖所示，過點G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∵MN∥AB，∴∠A＝∠AGM，∵MN∥CD，∴∠D＝∠DGM，∴∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．應用拓展：如圖所示，過點G作直線MN∥AB，過點H作直線PQ∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，PQ∥CD∵MN∥AB，PQ∥AB，∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，∵MN∥CD，PQ∥CD，∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，∴∠GDH=44°，∠DHP=22°，∴∠CDG=66°，∠AHP=54°，∴∠DGM=66°，∠BAH=54°，∵AH平分∠BAG，∴∠BAG=2∠BAH=108°，∴∠AGM=108°，∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，平行公理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質．13．如圖，，點E為兩直線之間的一點(1)如圖1，若，，則____________；(2)如圖2，試說明，；(3)①如圖3，若的平分線與的平分線相交于點F，判斷與的數量關系，并說明理由；②如圖4，若設，，，請直接用含、的代數式表示的度數．【答案】(1)(2)見解析(3)①，理由見解析；②【解析】【分析】（1）如圖①，過點E作EFAB．利用平行線的性質即可解決問題；（2）如圖②中，作EGAB，利用平行線的性質即可解決問題；（3）結合（1）、（2）的結論，進行等量代換即可求解．(1)解：過E點作EFAB，∵ABCD，∴EFCD，∵ABCD，∴∠BAE＝∠1，∵EFCD，∴∠2＝∠DCE，∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．∵，，∴(2)過E點作ABEG．∵ABCD，∴EGCD，∵ABCD，∴∠BAE＋∠AEG＝180°，∵EGCD，∴∠CEG＋∠DCE＝180°，∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．(3)①由（1）知，∵FA為∠BAE平分線，CF為平分線，∴，∴，即，由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，∴，②由①知，∵，，，∴即，∴，∵，∴．【點睛】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是學會添加輔助線構造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．14．如圖，AB//CD，定點E，F分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動點P，且滿足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF與∠EQF之間的數量關系時，我們需要對點P的位置進行分類討論：（1）如圖1，當P點在EF的右側時，若∠EPF＝110°，則∠EQF＝；猜想∠EPF與∠EQF的數量關系，請直接寫出結果；（2）如圖2，當P點在EF的左側時，探究∠EPF與∠EQF的數量關系，請說明理由；（3）若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點Q2，∠BEQ2與∠DFQ2的角平分線交于點Q3；…以此類推，則∠EPF與∠EQ2021F滿足怎樣的數量關系？【答案】（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°，理由見解析；（3）∠EPF+22022?∠EQ2021F＝360°或∠EPF＝22022∠EQ2021F【解析】【分析】（1）過P作PM//AB，過Q作QN//AB，根據平行線的性質和角平分線的定義便可解決問題；（2）如圖2，過P作PM//AB，過Q作QN//AB，根據平行線的性質和角平分線的定義便可2∠EQF+∠EPF＝360°；（3）分兩種情況討論，根據（1）中的解題方法得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出規(guī)律∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的結論2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可計算出∠EPF+2n+1?∠EQnF的結果，從而得出結論．【詳解】解：（1）過P作PM//AB，過Q作QN//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝×110°＝55°；猜想：∠EPF與∠EQF的數量關系為∠EPF＝2∠EQF．理由如下：∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，即∠EPF＝2∠EQF；故答案為：55°；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：如圖2，過P作PM//AB，過Q作QN//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°，即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，∴2∠EQF+∠EPF＝360°；（3）當點P在EF的左側，根據（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，∠Q2＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，…則∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP）＝（）n∠EQF，∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，∴∠EPF+2n+1?∠EQnF＝360°．當點P在EF的右側，同理可求∠EPF＝2n+1∠EQnF．綜上，∠EPF+22022?∠EQ2021F＝360°或∠EPF＝22022∠EQ2021