專題9.4一元一次不等式（組）的實際應(yīng)用（知識解讀）

專題9.4一元一次不等式（組）的實際應(yīng)用（知識解讀）【學(xué)習(xí)目標】能夠用一元一次不等式解決一些簡單的實際問題熟能能夠用一元一次不等式組解決實際問題【知識點梳理】知識點一：根據(jù)實際問題列出一元一次不等式；知識點二：積分、分配和行程問題積分問題分類問題行程問題，常用等量關(guān)系：路程=速度×?xí)r間知識點三：經(jīng)濟與方案問題1.經(jīng)濟問題：常見等量關(guān)系：利潤=售價成本.利潤率=（售價成本）/成本X100%.售價=成本X（1+利潤率）2.方案問題【典例分析】【考點1：根據(jù)實際問題列一元一次不等式】【典例1】（2023春?西安月考）“x的3倍與2的差是正數(shù)”用不等式可以表示為（）A．3x﹣2＞0 B．（3+2）x＞0 C．3x﹣2≥0 D．3x+2＜0【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得：3x﹣2＞0．故選：A．【變式11】（2023春?定遠縣校級月考）根據(jù)“x的2倍與5的和小于3”列出的不等式是（）A．2x+5≥3 B．2x+5≤3 C．2x+5＞3 D．2x+5＜3【答案】D【解答】解：根據(jù)題意可得：2x+5＜3．故選：D．【變式12】（2023?邯山區(qū)校級一模）語句“x的與x的差不超過3”可以表示為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：“x的與x的差不超過3”，用不等式表示為x﹣x≤3．故選：B．【變式13】（2023春?桐柏縣校級月考）“m的2倍與8的和不大于2與m的差”用不等式表示為．【答案】2m+8≤2+m．【解答】解：由題意可列不等式為：2m+8≤2+m．故答案為：2m+8≤2+m．【考點2：積分問題】【典例2】（2022秋?洪江市期末）我校舉行數(shù)學(xué)競賽，一共有25道題，滿分100分，每答對一題得4分，答錯扣一分，不答記0分．（1）某同學(xué)只有一道題未作答，最后滿分86分，則該生一共答對多少題？（2）若規(guī)定參賽者每題必須作答，得分大于或等于90分，才可以評為一等獎，則參賽者至少答對多少題才能獲評一等獎？【答案】（1）該生一共答對了22道題；（2）參賽者至少需答對23道題才能獲評一等獎．【解答】解：（1）設(shè)該生一共答對了x道題，則答錯了25﹣x﹣1＝（24﹣x）道題，由題意可得：4x﹣（24﹣x）×1＝86，解得x＝22，答：該生一共答對了22道題；（2）設(shè)參賽者需答對a道題才能獲評一等獎，由題意可得：4a﹣（25﹣a）≥90，解得a≥23，答：參賽者至少需答對23道題才能獲評一等獎．【變式21】（2023春?定遠縣校級月考）某大學(xué)舉辦“學(xué)習(xí)強國”知識競賽，規(guī)定答對一題得20分，答錯一題扣10分，在8道必答題中，得分不低于100分即可進入下一輪，冉冉進入了下一輪，則冉冉答錯題數(shù)最多為2道．【答案】2道．【解答】解：設(shè)冉冉答錯了x道題，則答對了（8﹣x）道題，根據(jù)題意得：20（8﹣x）﹣10x≥100，解得：x≤2，∴x的最大值為2，∴冉冉答錯題數(shù)最多為2道．故答案為：2道．【變式22】（2022春?唐河縣期中）為了慶祝中國共產(chǎn)黨的生日，增進廣大師生對中國共產(chǎn)黨發(fā)展歷程的了解，加強同學(xué)們愛國愛黨的意識，某校開展了題為“學(xué)黨史，慶黨生，銘黨恩，跟黨走”的知識競賽，本次知識競賽共25題，答對一題得10分，答錯一題或不答題扣5分，設(shè)小凌同學(xué)在這次競賽中答對了x道題．（1）根據(jù)所給的條件，補全表格：答題情況題數(shù)（題）每題得分（分）得分（分）答對x1010x答錯或不答（25﹣x）﹣5﹣5（25﹣x）（2）若小凌同學(xué)的競賽成績不低于150分，則小凌至少要答對幾道題？【答案】（1）10x，（25﹣x），﹣5，﹣5（25﹣x）；（2）小凌至少要答對19道題．【解答】解：（1）∵本次知識競賽共25題，且小凌同學(xué)在這次競賽中答對了x道題，∴答錯或不答（25﹣x）道題；又∵答對一題得10分，答錯一題或不答題扣5分，∴答對題目的得分為10x分，答錯或不答題目的得分為﹣5（25﹣x）分．故答案為：10x，（25﹣x），﹣5，﹣5（25﹣x）；（2）根據(jù)題意得：10x﹣5（25﹣x）≥150，解得：x≥，又∵x為整數(shù)，∴x的最小值為19．答：小凌至少要答對19道題．【變式23】（2022秋?雨花區(qū)期中）為了慶祝中共二十大勝利召開，雅禮某初中舉行了以“二十大知多少”為主題的知識競賽，一共有25道題，滿分100分，每一題答對得4分，答錯扣1分，不答得0分．（1）若某參賽同學(xué)有2道題沒有作答，最后他的總得分為82分，則該參賽同學(xué)一共答對了多少道題？（2）若規(guī)定參賽者每道題都必須作答且總得分大于或等于92分才可以被評為“二十大知識小達人”，則參賽者至少需答對多少道題才能被評為“二十大知識小達人”？【答案】（1）21道；（2）24道．【解答】解：（1）設(shè)該參賽同學(xué)一共答對了x道題，則答錯了（25﹣2﹣x）道題，依題意得：4x﹣（25﹣2﹣x）＝82，解得：x＝21．答：該參賽同學(xué)一共答對了21道題．（2）設(shè)參賽者需答對y道題才能被評為“二十大知識小達人”，則答錯了（25﹣y）道題，依題意得：4y﹣（25﹣y）≥92，解得：y≥，又∵y為正整數(shù)，∴y的最小值為24．答：參賽者至少需答對24道題才能被評為“二十大知識小達人”．【考點3：分配問題】【典例3】（2022春?番禺區(qū)期末）把一部分書分給幾名同學(xué)，如果每人分3本，則余8本；如果前面的每名同學(xué)分5本，那么最后一人就分不到3本（包含分不到書的情況），這些書有多少本？共有多少人？【答案】這些書有26本，共有6人．【解答】解：設(shè)共有x人，則這些書有（3x+8）本，依題意得：，解得：5＜x≤．又∵x為正整數(shù)，∴x＝6，∴3x+8＝3×6+8＝26．答：這些書有26本，共有6人．【變式31】（2021春?高明區(qū)校級期末）現(xiàn)在有住宿生若干名，分住若干間宿舍，若每間住4人，則還有19人無宿舍??；若每間住6人，則有一間宿舍不空也不滿．若設(shè)宿舍間數(shù)為x，則可以列得不等式組為．【答案】【解答】解：∵若每間住4人，則還有19人無宿舍住，∴學(xué)生總?cè)藬?shù)為（4x+19）人，∵一間宿舍不空也不滿，∴學(xué)生總?cè)藬?shù)﹣（x﹣1）間宿舍的人數(shù)在1和5之間，∴列的不等式組為：，故答案為：．【變式32】（2022春?嘉定區(qū)校級期中）某校學(xué)生志愿服務(wù)小組在“學(xué)雷鋒”活動中購買了一批牛奶到敬老院慰問老人．如果分給每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．問該敬老院的老人至少有多少人？【答案】30人．【解答】解：設(shè)該敬老院的老人有x人，依題意，得：，解得：29＜x≤32，又∵x為正整數(shù)，∴x可以取的最小值為30．答：該敬老院的老人至少有30人．【變式33】（2020春?崇川區(qū)校級期中）啟秀中學(xué)初一年級組計劃將m本書獎勵給本次期中考試取得優(yōu)異成績的n名同學(xué)，如果每人分4本，那么還剩下78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的書不足8本，但不少于4本，最終，年級組經(jīng)討論后決定，給這n名同學(xué)每人發(fā)6本書，那么將剩余多少本書？【答案】38本．【解答】解：依題意，得：，解得：＜n≤．又∵n為正整數(shù)，∴n＝20，∴m＝4n+78＝158，∴m﹣6n＝158﹣6×20＝38．答：將剩余38本書【考點4：行程問題】【典例4】（2019春?番禺區(qū)期末）張翔上午7：30出發(fā)，從學(xué)校騎自行車去縣城，路程全長20km，中途因道路施工步行一段路他步行的平均速度是5km/h．（1）若張翔騎車的平均速度是15km/h，當天上午9：00到達縣城，則他騎車與步行各用多少時間？（2）若張翔必須在當天上午9：00之前趕到縣城，他的步行平均速度不變，則他騎車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）騎車用了1.25小時，步行用了0.25小時（2）的平均速度大于15km/h【解答】解：（1）設(shè)他騎車用了x小時，步行用了y小時，依題意得：，解得，答：他騎車用了1.25小時，步行用了0.25小時，（2）設(shè)騎車的平均速度為vkm/h，依題意得：1.25v+5×0.25＞20，解得：v＞15，答：騎車的平均速度大于15km/h【變式41】（2020春?嘉祥縣期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分鐘內(nèi)到達，已知他每分鐘走90米．若跑步每分鐘可跑210米，問這人完成這段路程，至少要跑（）A．3分鐘 B．4分鐘 C．4.5分鐘 D．5分鐘【答案】B【解答】解：設(shè)這人跑了x分鐘，則走了（18﹣x）分鐘，根據(jù)題意得：210x+90（18﹣x）≥2100，解得：x≥4，答：這人完成這段路程，至少要跑4分鐘．故選：B．【變式42】（2021春?市南區(qū)校級期中）甲、乙兩地相距45km，小李要從甲地到乙地辦事，若他以7km/h的速度可按時到達，現(xiàn)在小李走了4h后因有事停留了0.5h，為了不遲到，小李后來的速度至少是多少？【解答】解：設(shè)小李后來的速度為xkm/h，由題意得：4×7+（﹣4﹣0.5）x≥45，解得：x≥8，答：為了不遲到，小李后來的速度至少是8km/h【考點5：經(jīng)濟問題】【典例5】（2022秋?碑林區(qū)校級期末）新年到來之際，百貨商場進行促銷活動，某種商品進價1000元，出售時標價為1400元，本次打折銷售要保證利潤不低于5%，則最多可打（）A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折【答案】C【解答】解：設(shè)該商品打x折銷售，依題意得：1400×﹣1000≥1000×5%，解得：x≥7.5，∴該商品最多可打七五折．故選：C．【變式51】21.（2022?牡丹江一模）某種商品每件的進價為120元，商場按進價提高50%標價，為增加銷量，準備打折銷售，但要保證利潤率不低于5%，則至多可以打_______折（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】A【解答】解：設(shè)打x折，由題意可得：120（1+50%）×﹣120≥120×5%，解得x≥7，即至多打7折，故選：A．【變式52】（2022春?上蔡縣期中）某種商品進價為20元，標價為30元出售，商場規(guī)定可以打折銷售，但其利潤率不能少于5%這種商品最多可以按幾折銷售？設(shè)這種商品打x折銷售，則下列符合題意的不等式是（）A．30x﹣20≥20×5% B．30x﹣20≤20×5% C．30×﹣20≥20×5% D．30×﹣20≤20×5%【答案】C【解答】解：設(shè)這種商品可以按x折銷售，則售價為30×，那么利潤為：30×﹣20，根據(jù)題意可得：30×﹣20≥20×5%，故選：C．【典例6】（2023?大連模擬）學(xué)校為了獎勵在“詩詞大賽”中獲獎同學(xué)，準備購買甲、乙兩種獎品，已知購買1件甲獎品、4件乙獎品，共需240元；購買2件甲獎品、1件乙獎品，共需165元．（1）求每件甲獎品和每件乙獎品各多少元？（2）如果學(xué)校準備購買甲、乙兩種獎品共40件，總費用不超過2140元，那么至少購買多少件乙獎品？【答案】（1）每件甲獎品的價格是60元，每件乙獎品的價格是45元；（2）至少購買18件乙獎品．【解答】解：（1）設(shè)每件甲獎品的價格是x元，每件乙獎品的價格是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：每件甲獎品的價格是60元，每件乙獎品的價格是45元；（2）設(shè)購買m件乙獎品，則購買（40﹣m）件甲獎品，根據(jù)題意得：60（40﹣m）+45m≤2140，解得：m≥，又∵m為正整數(shù)，∴m的最小值為18．答：至少購買18件乙獎品．【變式61】（2023?高新區(qū)模擬）某文具店經(jīng)銷甲、乙兩種筆記本，每次購買同一種筆記本的單價相同，購進筆記本的具體信息如表：進貨批次甲種筆記本數(shù)量（單位：本）乙種筆記本數(shù)量（單位：本）購買總費用（單位：元）第一次1520640第二次3025980（1）求甲、乙兩種筆記本的購買單價；（2）若第三次計劃用不超過920元購買甲、乙兩種筆記本共50本，求至少購買甲種筆記本多少本？【答案】（1）甲種筆記本的購買單價為16元/本，乙種筆記本的購買單價為20元/本；（2）至少購買甲種筆記本20本．【解答】解：（1）設(shè)甲種筆記本的購買單價為x元/本，乙種筆記本的購買單價為y元/本，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲種筆記本的購買單價為16元/本，乙種筆記本的購買單價為20元/本；（2）設(shè)購買甲種筆記本m本，則購買乙種筆記本（50﹣m）本，根據(jù)題意得：16m+20（50﹣m）≤920，解得：m≥20，∴m的最小值為20．答：至少購買甲種筆記本20本．【變式62】（2023?蜀山區(qū)校級模擬）某超市現(xiàn)有甲、乙兩種商品，已知一個甲商品比一個乙商品貴20元，購買甲、乙兩種型號各10個共需1760元．（1）求甲、乙兩種商品的單價各是多少元？（2）為吸引顧客，該超市準備對甲商品進行打折促銷活動．已知甲商品的進價為49元/個，為保證打折后利潤率不低于20%，至多可打幾折．【答案】（1）甲種商品的單價是98元，乙種商品的單價是78元；（2）至多可打6折．【解答】解：（1）設(shè)乙種商品的單價是x元，則甲種商品的單價是（x+20）元，由題意得：10（x+20）+10x＝1760，解得：x＝78，∴x+20＝78+20＝98，答：甲種商品的單價是98元，乙種商品的單價是78元；（2）設(shè)甲商品可打a折，由題意得：98×0.1a﹣49≥49×20%，解得：a≥6，答：至多可打6折【考點6：方案問題】【典例7】（2023?林州市模擬）某初級中學(xué)為了提高教職工的身體素質(zhì)，舉辦了“堅持鍛煉，活力無限”的健身活動，并準備購買一些體育器材為活動做準備．已知購買2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，購買6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．（1）購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（2）已知該中學(xué)需要購買兩種球拍共80副，羽毛球拍的數(shù)量不超過40副．現(xiàn)商店推出兩種購買方案，方案A：購買一副羽毛球拍贈送一副乒乓球拍；方案B：按總價的八折付款．試說明選擇哪種購買方案更實惠．【答案】（1）購買一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元；（2）當購買羽毛球拍的數(shù)量少于20副時，選項方案B更實惠；當當購買羽毛球拍的數(shù)量等于20副時，選項兩種購買方案所需總費用相同；當購買羽毛球拍的數(shù)量大于20副且不超過40副時，選項方案A更實惠．【解答】解：（1）設(shè)購買一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球需y元，依題意得：，解得：．答：購買一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元．（2）設(shè)購買m（0＜m≤20且m為整數(shù)）副羽毛球拍，則選擇方案A所需總費用為70m+35（80﹣m）＝2800（元），選項方案B所需總費用為80%×[70m+35（80﹣m）]＝（28m+2240）（元）．當2800＞28m+2240時，m＜20，∵m＞0，∴0＜m＜20；當2800＝28m+2240時，m＝20；當2800＜28m+2240時，m＞20，∵m≤40，∴20＜m≤40．答：當購買羽毛球拍的數(shù)量少于20副時，選項方案B更實惠；當當購買羽毛球拍的數(shù)量等于20副時，選項兩種購買方案所需總費用相同；當購買羽毛球拍的數(shù)量大于20副且不超過40副時，選項方案A更實惠．【變式7】（2022?長垣市一模）書法是中華民族的文化瑰寶，是人類文明的寶貴財富，是我國基礎(chǔ)教育的重要內(nèi)容．某學(xué)校準備為學(xué)生的書法課購買一批毛筆和宣紙，已知購買40支毛筆和100張宣紙需要280元；購買30支毛筆和200張宣紙需要260元．（1）求毛筆和宣紙的單價；（2）某超市給出以下兩種優(yōu)惠方案：方案A：購買一支毛筆，贈送一張宣紙；方案B：購買200張宣紙以上，超出的部分按原價打八折，毛筆不打折．學(xué)校準備購買毛筆50支，宣紙若干張（超過200張）．選擇哪種方案更劃算？請說明理由．【答案】（1）毛筆的單價為6元，宣紙的單價為0.4元；（2）當購買的宣紙數(shù)量超過200張不足450張時，選擇方案A更劃算；當購買的宣紙數(shù)量等于450張時，選擇兩方案所需費用相同；當購買的宣紙數(shù)量超過450張時，選擇方案B更劃算．【解答】解：（1）設(shè)毛筆的單價為x元，宣紙的單價為y元，依題意得：，解得：．答：毛筆的單價為6元，宣紙的單價為0.4元．（2）設(shè)購買宣紙m（m＞200）張．選擇方案A所需費用為50×6+0.4×（m﹣50）＝0.4m+280（元）；選擇方案B所需費用為50×6+0.4×200+0.4×0.8×（m﹣200）＝0.32m+316．當0.4m+280＜0.32m+316時，解得：m＜450，∴當200＜m＜450時，選擇方案A更劃算；當0.4m+280＝0.32m+316時，解得：m＝450，∴當m＝450時，選擇方案A和方案B所需費用一樣；當0.4m+280＞0.32m+316時，解得：m＞450，∴當m＞450時，選擇方案B更劃算．答：當購買的宣紙數(shù)量超過200張不足450張時，選擇方案A更劃算；當購買的宣紙數(shù)量等于450張時，選擇兩方案所需費用相同；當購買的宣紙數(shù)量超過450張時，選擇方案B更劃算．【典例8】（2023春?新城區(qū)校級月考）學(xué)校準備購進一批甲、乙兩種辦公桌若干張．若學(xué)校購進20張甲種辦公桌和15張乙種辦公桌共花費17000元，購買10張甲種辦公桌比購買5張乙種辦公桌多花費1000元．（1）求甲、乙兩種辦公桌每張各多少元；（2）若學(xué)校購買甲、乙兩種辦公桌共40張，甲種辦公桌數(shù)量不多于乙種辦公桌數(shù)量的3倍，且總費用不超過18400元，那么有幾種購買方案？【答案】（1）甲種辦公桌每張400元，乙種辦公桌每張600元；（2）3種方案．【解答】解：（1）設(shè)甲種辦公桌每張x元，乙種辦公桌每張y元，由題意可得，解得，∴甲種辦公桌每張400元，乙種辦公桌每張600元；（2）設(shè)購買甲種辦公桌m(xù)張，由題意可得，解得28≤m≤30，∵m取整數(shù)，∴m的取值為28或29或30，∴共有3種方案．【變式81】（2023春?長沙月考）某商店從批發(fā)商處購進甲、乙兩種產(chǎn)品，購進5件甲產(chǎn)