專題5.1二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一）（六大題型）（原卷版）

專題5.1二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一）（六大題型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1判斷二次函數(shù)的個數(shù)】【題型2利用二次函數(shù)的概念求字母的值】【題型3二次函數(shù)的一般式】【題型4根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)銷售問題】【題型5根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)面積類】【題型6根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)幾何類】【題型1判斷二次函數(shù)的個數(shù)】【典例1】已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，⑥y＝x2++5其中二次函數(shù)的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式11】已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函數(shù)的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式12】已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函數(shù)的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式13】已知函數(shù)：①y＝ax2；②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2；④y＝+x．其中，二次函數(shù)的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式14】（2022秋?揚(yáng)州期末）下列函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)的有（）①y＝x（2x﹣1）；②y=1x2；③y=32x2?1；④y＝ax2+2x（a為任意實(shí)數(shù)）；⑤y＝（x﹣1）2A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式15】（2022秋?廣漢市期中）觀察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3﹣2x；⑤y=x2?1x+312；⑥y＝（x+1）2【題型2利用二次函數(shù)的概念求字母的值】【典例2】已知y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式為y＝（m﹣2）x|m|，則m＝（）A．±2 B．1 C．﹣2 D．±1【變式21】有二次函數(shù)y＝xm﹣2﹣2x+1，則m的值是（）A．4 B．2 C．0 D．4或2【變式22】已知y＝mx|m﹣2|+2mx+1是y關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為（）A．0 B．1 C．4 D．0或4【變式23】（2022秋?江油市校級月考）函數(shù)y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，則當(dāng)m＝時，它為正比例函數(shù)；當(dāng)m＝時，它為一次函數(shù)；當(dāng)m時，它為二次函數(shù)．【變式24】（2022秋?新昌縣校級月考）已知函數(shù)y＝（m2+m）xm（1）當(dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時，求m的值；；（2）當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時，求m的值．．【變式25】若關(guān)于x的函數(shù)y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函數(shù)，則a的取值范圍是．【題型3二次函數(shù)的一般式】【典例3】二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．3【變式31】將二次函數(shù)y＝x（x﹣1）+3x化為一般形式后，正確的是（）A．y＝x2﹣x+3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x【變式32】把二次函數(shù)y＝﹣（x+3）2+11變成一般式是（）A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2【變式33】把二次函數(shù)y＝﹣（x+3）（x+4）+11變成一般形式后，其二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（）A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．﹣1，7 D．﹣1，﹣7【變式34】二次函數(shù)的一般形式為（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝ax2+bx+c（a≠0） C．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac≥0） D．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac＝0）【變式35】把拋物線y＝（x﹣1）2+1化成一般式是．【變式36】把y＝（3x﹣2）（x+3）化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為．【變式37】（2022春?肇東市期末）已知二次函數(shù)y＝1﹣5x+3x2，則二次項(xiàng)系數(shù)a＝，一次項(xiàng)系數(shù)b＝，常數(shù)項(xiàng)c＝．【變式38】（2022秋?新昌縣期末）若二次函數(shù)y＝（2x﹣1）2+1的二次項(xiàng)系數(shù)為a，一次項(xiàng)系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)為c，則b2﹣4ac0（填寫“＞”或“＜”或“＝”）【題型4根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)銷售問題】【典例4】（2023秋?蒼南縣月考）經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，將進(jìn)貨價格為45元的商品按單價70元售出時，能賣出150個．已知該商品單價每降低2元，其銷售量就增加10個．設(shè)這種商品的售價減低x元時，獲得的利潤為y元，則下列關(guān)系式正確的是（）A．y＝（25﹣x）（150+5x） B．y＝（25﹣x）（150+10x） C．y＝（70﹣x）（150+5x） D．y＝（70﹣x）（150+10x）【變式41】（2023秋?瑞安市月考）已知某種產(chǎn)品的成本價為30元/千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關(guān)系：y＝﹣2x+80．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w（元），則w與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（）A．w＝（x﹣30）（﹣2x+80） B．w＝x（﹣2x+80） C．w＝30（﹣2x+80） D．w＝x（﹣2x+50）【變式42】（2023?南海區(qū)模擬）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀(jì)念品進(jìn)價40元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元（x＞44），商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元，則下列等式正確的是（）A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）【變式43】（2023?裕華區(qū)校級模擬）某農(nóng)戶要改造部分農(nóng)田種植蔬菜，經(jīng)調(diào)查，平均每畝改造費(fèi)用是900元，添加輔助設(shè)備費(fèi)用（元）與改造面積（畝）的平方成正比，比例系數(shù)為18，每畝種植蔬菜還需種子、人工費(fèi)用600元，若每畝蔬菜年銷售額為7000元，設(shè)改造農(nóng)田x畝，改造當(dāng)年收益為y元，則y與x之間的數(shù)量關(guān)系可列式為（）A．y＝7000x﹣（900x+18x+600x） B．y＝7000x﹣（900x+18x2+600x） C．y＝7000﹣（900x+18x2+600x） D．y＝7000x﹣（900x+18x2+600）【變式44】（2022秋?齊河縣期末）今年由于受新型冠狀病毒的影響，一次性醫(yī)用口罩的銷量劇增．某藥店一月份銷售量是5000枚，二、三兩個月銷售量連續(xù)增長．若月平均增長率為x，則該藥店三月份銷售口罩枚數(shù)y（枚）與x的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2 C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）【題型5根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)面積類】【典例5】（2022秋?代縣月考）如圖，矩形的寬比長少25%，在四個角處各剪去一個邊長為1cm的正方形（圖中陰影部分），沿圖中虛線折疊得到一個無蓋的長方體．若原矩形的長為xcm，折成的長方體的底面積是ycm2，則這個長方體的底面積ycm2與原矩形的長xcm之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝（x﹣1）（x﹣1） B．y＝（x﹣2）（x+2） C．y＝（x+2）（x+2） D．y＝（x﹣2）（x﹣2）【變式51】（2022秋?科左中旗期末）某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為40米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，圍成的苗圃面積為y平方米，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）【變式52】（2022秋?硚口區(qū)月考）如圖，用一段長為60米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形ABCD菜園，墻長為18米，設(shè)矩形ABCD菜園的面積為S（單位：米2），AB的長為x（單位：米），則S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是，自變量x的取值范圍是．【變式53】（2022秋?烏魯木齊縣校級期中）如圖是一個矩形花圃的平面圖，花圃由一堵舊墻（舊墻的長度不小于30m）和總長為28m的籬笆圍成，中間用籬笆分隔成兩個小矩形．設(shè)大矩形的垂直于舊墻的一邊長為x米，花圃總面積為y平方米，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．（用二次函數(shù)一般式表示）【變式54】（2022秋?永城市月考）如圖，利用長為30米的籬笆及一面很長的墻圍一矩形花圃ABCD（30米長的籬笆全用于花圃的三邊），為了便于管理，決定在與墻平行的邊BC上預(yù)留出長度為2米的出口EF．設(shè)AB邊的長為x米，花圃面積為y平方米，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是．【題型6根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)幾何類】【典例6】（2023春?市南區(qū)校級期中）如圖，長方形ABCD中，寬AB＝4，點(diǎn)P沿著四邊按B→C→D→A方向運(yùn)動，開始以每秒m個單位勻速運(yùn)動，a秒后變?yōu)槊棵?個單位勻速運(yùn)動，b秒后恢復(fù)原速勻速運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，△ABP的面積S與運(yùn)動時間t的關(guān)系如圖所示．（1）直接寫出長方形的長＝，長方形的寬＝；（2）直接寫出m＝，a＝，b＝；（3）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到BC中點(diǎn)時，有一動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿C→D→A運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動的時間為x秒，△BPQ的面積為y，求當(dāng)2≤x≤4時，y與x之間的關(guān)系式．【變式61】（2023春?石景山區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AD以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動．P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t（單位：