第5講圖形的相似（二）（相似三角形）（題型精講）（原卷版）

第5講圖形的相似（一）（相似三角形）（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：相似三角形的判定角度1：證明兩個三角形相似角度2：選擇或補充條件使兩個三角形相似題型二：相似三角形的性質(zhì)角度1：利用相似三角形的性質(zhì)求解角度2：證明相似三角形對應線段成比例角度3：利用相似求坐標角度4：在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形角度5：相似三角形中的動點問題題型三：相似三角形的判斷與性質(zhì)的綜合應用題型四：相似三角形應用舉例第四部分：中考真題感悟第一部分：知識點精準記憶知識點一：相似三角形1、如果兩個三角形的各角對應相等各邊對應成比例,那么這兩個三角形相似.2、圖示3、數(shù)學語言如圖：在和中，如果,,,,我們就說與相似，記作.就是它們的相似比，“”讀作“相似于”.知識點二：相似三角形的判定1、判定定理1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交,所構成的三角形與原三角形相似.1.1圖示：1.2數(shù)學語言2、判定定理2：兩角分別相等的兩個三角形相似.2.1圖示：2.2數(shù)學語言,3、判定定理3：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.3.1圖示：3.2數(shù)學語言且4、判定定理4：三邊成比例的兩個三角形相似.4.1圖示：4.2數(shù)學語言5、判定定理5：在直角三角形中，斜邊和一直角邊成比例的兩個直角三角形相似.5.1圖示：5.2數(shù)學語言且知識點三：相似三角形的常見模型模型1：字型——有一個公共角1如圖，在中，點在上，點在上，，則，．2拓展1：斜交A字型條件：為公共角，，圖2結論：；3拓展2：如圖，．模型2：8字型——有一組對頂角1如圖1，；2如圖2，．3模型拓展：如圖3，．模型3：母子型——有一個公共角且該角的一邊為公共邊1如圖1：,（或）2如圖2：，,模型4：一線三等角型——三個角相等且這三個角的頂點在同一條直線上1如圖1：2如圖2：3如圖3：知識點四：相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：相似三角形的對應角相等，對應邊對應成比例性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.說明：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.性質(zhì)3：相似三角形周長的比等于相似比如圖一：，則,由比例性質(zhì)可得性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖二，，則分別作出與的高和，則第二部分：課前自我評估測試1．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）兩個相似三角形的相似比是，則其面積之比是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考期末）如圖，已知，下列式子錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·上海閔行·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某零件的外徑為，用一個交叉卡鉗（兩條尺長和相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑．如果，且量得，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．4．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，已知與，下列條件一定能推得它們相似的是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·上海閔行·九年級統(tǒng)考期末）已知、分別是的邊、上的點（不與端點重合），要使得與相似，那么添加一個條件可以為___________（只填一個）．6．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，點在邊上從向點運動，速度為，同時點在邊上從向點運動，速度為．連接、，設、交于點，取的中點，則的最小值為_____________．第三部分：典型例題剖析題型一：相似三角形的判定角度1：證明兩個三角形相似典型例題例題1．（2023秋·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期末）下列條件中，不能判定與相似的是（

）A．，B．，，C．，，，，D．，，，，例題2．（2023秋·廣東廣州·九年級校考期末）如圖，，分別是的邊，上的點，，，，(1)求證：；(2)若，求的長．例題3．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，中，是斜邊上的高，，．(1)求證；(2)求的長．例題4．（2022秋·河南周口·九年級?？计谥校﹦痈袉诬囀且环N新型的運動器械，是經(jīng)過科學地實驗設計，它不僅不勞損腰部，還能使得健身達到最大的效果．圖①是一輛動感單車的實物圖，圖②是它的側面示意圖，為主車架，為調(diào)節(jié)管，點，，在一條直線上，其中，，點在線段上，的延長線與交于點，．(1)求證：．(2)已知的長為，，當?shù)拈L度調(diào)節(jié)至時，求點到的距離（參考數(shù)據(jù)：，，）．例題5．（2022秋·四川成都·九年級成都外國語學校?？计谥校﹩栴}背景:如圖，(1)已知，求證：；(2)嘗試應用:如圖，在和中，，，與相交于點，點在邊上，，求的值；(3)拓展創(chuàng)新:如圖，是內(nèi)一點，，，，，直接寫出的長．同類題型歸類練1．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形為臺球桌面，，球目前在E點位置，，如果小丁瞄準BC邊上的點F將球打過去，經(jīng)過反彈后，球剛好彈到D點位置．(1)求證：；(2)求的長．2．（2023秋·上海嘉定·九年級校考期末）如圖，已知點在△的外部，，點在邊上，．(1)求證：；(2)在邊取一點，如果，，求證：．3．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，點在邊上，滿足，且點，分別在邊，上．求證：．4．（2022秋·北京順義·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將等邊三角形折疊，使點A落在邊上的點D處（不與B、C重合），折痕為．(1)求證：；(2)若，，分別求，的周長；(3)在（2）的條件下，求BE的長．5．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，已知，且，將與重合在一起，不動，運動，并滿足：點E在邊上沿B到C的方向運動，且始終經(jīng)過點A，與交于M點.(1)求證：；(2)當點E運動到邊的中點時，求的長；(3)在運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形，請直接寫出的長.角度2：選擇或補充條件使兩個三角形相似典型例題例題1．（2023秋·河北唐山·九年級?？计谀┤鐖D，在四邊形中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．例題2．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，如果，那么添加下列一個條件后，仍不能確定與相似的是（）A． B．C． D．例題3．（2022秋·甘肅蘭州·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，點、分別在邊、上，在下列五個條件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，為頂點的三角形與相似的條件有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個例題4．（2022秋·北京石景山·九年級?？计谥校┤鐖D，標記了與邊、角的一些數(shù)據(jù)，如果再添加一個條件使，那么這個條件可以是______．（只填一個即可）例題5．（2022秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期中）如圖所示，，，：，點從點出發(fā)，沿向點以的速度移動，點從點出發(fā)沿向點以的速度移動，如果、分別從、同時出發(fā)，過多少秒時，以、、為頂點的三角形恰與相似？同類題型歸類練1．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點在的邊上，要判斷，添加下列一個條件，不正確的是（）A． B．C． D．3．（2023秋·湖南湘潭·九年級湘潭鳳凰初級中學?？计谀┤鐖D所示，若，則需滿足（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，是上一點且，當________時，使得與相似．5．（2022秋·九年級課時練習）在①，②，③這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，使命題正確，并證明．問題：如圖，四邊形的兩條對角線交于點，若（填序號）求證：．題型二：相似三角形的性質(zhì)角度1：利用相似三角形的性質(zhì)求解典型例題例題1．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）已知，若，，則的度數(shù)是（

）A．35° B．65° C．80° D．100°例題2．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知，與的相似比為，與的相似比為，那么與的相似比為_________．例題3．（2023·江蘇·九年級專題練習）從三角形(不是等腰三角形)的一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中，一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．(1)如圖①，在中，為角平分線，，求證：為的完美分割線；(2)在中，，是的完美分割線，且為等腰三角形，求的度數(shù)；(3)如圖②，在中，，是的完美分割線，且是以為底邊的等腰三角形，求完美分割線的長．同類題型歸類練1．（2023秋·上海嘉定·九年級校考期末）如果∽，且的三邊長分別為3、4、5，的最短邊長為6，那么的周長等于________．2．（2023秋·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，點E在邊上，交對角線于F，若，的面積等于，那么的面積等于_____．3．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在矩形中，P是上的動點，連接，若上存在三個不同位置的點P，使與相似，設，則d的取值范圍是____________．角度2：證明相似三角形對應線段成比例典型例題例題1．（2022秋·廣東深圳·九年級?？计谀┮阎c相似，且，那么下列結論中，一定成立的是（

）A． B． C．相似比為 D．相似比為例題2．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如下圖所示，在中，點在線段上，且，則下列結論一定正確的是(

)A． B．C． D．例題3．（2022秋·全國·九年級專題練習）在中，為上的一點，E為延長線上的一點，交于．求證：同類題型歸類練1．（2022秋·甘肅天水·九年級統(tǒng)考期末）如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，點F是矩形ABCD的邊CD上一點，射線BF交AD的延長線于點E，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，平行四邊形ABCD中，CE是∠DCB的角平分線，且交AB于點E，DB與CE相交于點O，（1）求證：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．角度3：利用相似求坐標典型例題例題1．（2022秋·福建漳州·九年級漳州實驗中學?？计谥校┤鐖D，中，、兩點在軸的上方，點的坐標是，以點為位似中心，把的邊長縮小為原來的，所得的位似圖形為，設的對應點的橫坐標為，則的橫坐標為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，則點坐標為___________．例題3．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點和點，與軸，軸分別交于，兩點，(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)點為反比例函數(shù)（）上一點（不與點，重合），過點作軸，垂足為點，當時，求點坐標．同類題型歸類練1．（2022·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的點A在函數(shù)的圖象上，點C在函數(shù)的圖象上，若點B的橫坐標為，則點A的坐標為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南三門峽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標系xOy中，，，連接AB并延長到點C，連接CO，若，則點C的坐標為______．3．（2023·江西·九年級專題練習）圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與軸交于點．(1)求，，的值．(2)是軸上一點，若，求點的坐標．角度4：在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形典型例題例題1．（2023·江蘇·九年級專題練習）在的網(wǎng)格中，格點的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．(1)填空：的面積為___________．(2)請利用網(wǎng)格再畫一個格點，且面積最小，并將此三角形涂上陰影．（注：標上字母）例題2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在的網(wǎng)格中，的三個頂點都在格點上．（1）在圖1中畫出一個以為邊的平行四邊形，頂點，在格點上；（2）在圖2中畫出以為邊且與相似的，使頂點D在格點上（不與全等）．例題3．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在的方格紙中，點，，均為格點，請按要求在方格紙內(nèi)作圖．(1)在圖1中作出與相似的格點；(2)在圖2中作出與相等的，點為格點且不與點重合．同類題型歸類練1．（2022秋·浙江金華·九年級義烏市繡湖中學教育集團校聯(lián)考期中）如圖在6×5的正方形網(wǎng)格中，每一個正方形的頂點都稱為格點，的三個頂點都是格點．請按要求完成下列作圖．(1)在圖1網(wǎng)格中作格點三角形，使與相似，且相似比不等于1；(2)如圖2，將繞點逆時針旋轉得到，畫出．2．（2022秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在的正方形方格中，的頂點都在邊長為的小正方形的頂點．(1)填空：__________，__________；(2)請在圖中的兩個的正方形方格中各畫一個和相似但不全等的格點三角形．3．（2022秋·山東·九年級校聯(lián)考期中）小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形叫做格點圖形．如圖，在7×7的正方形網(wǎng)格中，畫出符合要求的格點三角形．(1)在圖1中畫出以為邊的三角形，且與相似（不全等）；(2)在圖2中畫出以為邊的三角形，且與相似（不全等）．角度5：相似三角形中的動點問題典型例題例題1．（2023秋·云南楚雄·九年級校考期中）如圖，在銳角三角形中，，，動點從點出發(fā)到點停止，動點從點出發(fā)到點停止，點運動的速度為，點運動的速度為，如果兩點同時開始運動，那么以點，，為頂點的三角形與相似時的運動時間為（

）A．或 B． C． D．或例題2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖（1）所示，為矩形的邊上一點，動點，同時從點出發(fā)，點沿折線運動到點時停止，點沿運動到點時停止，它們運動的速度都是1cm/秒．設、同時出發(fā)秒時，的面積為cm2．已知與的函數(shù)關系圖像如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結論：①；②；③當時，；④當秒時，；其中正確的結論是（）A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④例題3．（2023秋·上?！ぞ拍昙壭？计谀┤鐖D，在中，，是邊上的中線，，，點是延長線上的一動點，過點作，交的延長線于點．(1)當點為的中點時，求的長；(2)設，，求關于的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；(3)過點作交于，當和相似時，求的長．同類題型歸類練1．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點P從點A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點B運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向點A運動，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動，設運動時間為xs．(1)當時，求x的值．(2)△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．2．（2023秋·河北邯鄲·九年級邯鄲市翰光學校校考期末）如圖，在中，，，點從點開始沿邊向點以2cm/s的速度移動，點從點開始沿邊向點以4cm/s的速度移動，如果點、分別從點、同時出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘與相似？試說明理由．3．（2023春·九年級單元測試）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，動點P從點C出發(fā)沿線段CB以2cm/s的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動，當其中一個動點停止運動時另一個動點也停止運動，設運動時間為t（單位：s），以點Q為圓心，BQ長為半徑的⊙Q與射線BA、線段BC分別交于點D，E，連接DP．(1)當t為何值時，線段DP與⊙Q相切；(2)若⊙Q與線段DP只有一個公共點，求t的取值范圍；(3)當△APC是等腰三角形時，直接寫出t的值．題型三：相似三角形的判斷與性質(zhì)的綜合應用典型例題例題1．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，于點，如果，那么__________．例題2．（2023秋·陜西西安·九年級西安市鐵一中學校聯(lián)考期末）《九章算術》中記載著這樣的一個問題：今有邑方，不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木，問邑方幾何？大意如下：如圖，、為正方形一組對邊的中點，中，、、、四點共線，，、、三點共線，且，，，，設正方形的邊長為，請根據(jù)題意列方程，并將方程整理成一元二次方程的一般形式：______．例題3．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）在中，點，分別在邊，上，連接，交于點，且，(1)求證：：(2)當為邊的中點時，且，①若，求；②若為等腰直角三角形，且，求四邊形的面積．例題4．（2023秋·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期末）綜合實踐課上，小慧用兩張如圖1所示的直角三角形紙片：，斜邊重合拼成四邊形，接著在，上取點，,連，，使．(1)若拼成的四邊形如圖2所示：則______________﹔(2)如圖3，連接對角線，相交于點O，分別交，于點，，若平分，①判斷的形狀并說明理由．②，求的長．同類題型歸類練1．（2023秋·湖北武漢·九年級校考期末）如圖，平行四邊形的三個頂點A、B、D均在上，且對角線經(jīng)過點O，與相切于點B，已知的半徑為6，則平行四邊形的面積為_____．2．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形ABCD中，，DF分別交對角線AC、底邊BC于點E、F，且．(1)求證：；(2)點G在底邊BC上，，，連接，如果與的面積相等，求的長．3．（2023秋·河北唐山·九年級校考期末）如圖，矩形中，，，點P為邊上一動點，交于點Q．(1)求證：；(2)P點從A點出發(fā)沿邊以每秒2個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒．當t為何值時，？4．（2023秋·河北保定·九年級?？计谀┤鐖D，已知，分別是的邊，上的高．(1)求證：；(2)連接，若，試判斷與之間的數(shù)量關系，并說明理由．題型四：相似三角形應用舉例典型例題例題1．（2023秋·山東棗莊·九年級校考期末）古代一位數(shù)學家想出了一種測量金字塔高度的方法：如圖，為了測量金字塔的高度，先豎一根已知長度的木棒，比較木棒的影長與金字塔的影長，即可近似計算出金字塔的高度．若米，米，米，則金字塔的高度___________米．例題2．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）為了測試成都熊貓基地觀光瞭望塔“竹筍”建筑物的高度，小軍同學采取了如下方法：在地面上點處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個標記，然后人向后退，直至站在點處恰好看到建筑物的頂端在鏡子中的像與鏡子上的標記重合（如圖所示）.其中，，三點在同一條直線上.已知小軍的眼睛距離地面的高度的長約為，和的長分別為和，求建筑物的高度.（說明：由物理知識，可知）例題3．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，己知直角三角形的鐵片的兩直角邊、的長分別為3cm和4cm，分別采用（1）、（2）兩種剪法，剪出一塊正方形鐵片，為使所得的正方形面積最大，問哪一種剪法好？為什么？例題4．（2023·全國·九年級專題練習）某中學數(shù)學實踐小組決定利用所學知識去測量一古建筑的高度（如圖1）．如圖2，在地面上取，兩點，分別豎立兩根高為的標桿和，兩標桿間隔為，并且古建筑，標桿和在同一豎直平面內(nèi)，從標桿后退到處（即），從處觀察點，、、三點成一線；從標桿后退到處（即），從處觀察點，、、三點也成一線．已知、、、、在同一直線上，，請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助實踐小組求出該古建筑的高度．同類題型歸類練1．（2023秋·河南南陽·九年級校考期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點C是支點，當用力壓杠桿的A端時，杠桿繞C點轉動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的B端必須向上翹起，已知，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓___________．2．（2023秋·湖北武漢·九年級武漢一初慧泉中學?？茧A段練習）如圖，為了估計河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點A，在近岸取點B，使與河岸垂直，在近岸取點C，E，使，與交于點D．已測得米，米，米，求河寬．3．（2023秋·陜西西安·九年級校聯(lián)考期末）已知有一塊三角形材料，其中，高，現(xiàn)需要在三角形上裁下一個正方形材料做零件，使得正方形的頂點、分別在邊，上，、在上，裁下的正方形的邊長是多少？4．（2023秋·山西太原·九年級山西大附中?？计谀┬”蜃隽颂骄课矬w投影規(guī)律的實驗，并提出了一些數(shù)學問題請你解答：(1)如圖1，白天在陽光下，小彬?qū)⒛?/p>