第5講圖形的相似（二）（相似三角形）（題型精講）（原卷版）

第5講圖形的相似（一）（相似三角形）（精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：相似三角形的判定角度1：證明兩個(gè)三角形相似角度2：選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似題型二：相似三角形的性質(zhì)角度1：利用相似三角形的性質(zhì)求解角度2：證明相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例角度3：利用相似求坐標(biāo)角度4：在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形角度5：相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題型三：相似三角形的判斷與性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型四：相似三角形應(yīng)用舉例第四部分：中考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：相似三角形1、如果兩個(gè)三角形的各角對(duì)應(yīng)相等各邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似.2、圖示3、數(shù)學(xué)語(yǔ)言如圖：在和中，如果,,,,我們就說(shuō)與相似，記作.就是它們的相似比，“”讀作“相似于”.知識(shí)點(diǎn)二：相似三角形的判定1、判定定理1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.1.1圖示：1.2數(shù)學(xué)語(yǔ)言2、判定定理2：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.2.1圖示：2.2數(shù)學(xué)語(yǔ)言,3、判定定理3：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.3.1圖示：3.2數(shù)學(xué)語(yǔ)言且4、判定定理4：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.4.1圖示：4.2數(shù)學(xué)語(yǔ)言5、判定定理5：在直角三角形中，斜邊和一直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.5.1圖示：5.2數(shù)學(xué)語(yǔ)言且知識(shí)點(diǎn)三：相似三角形的常見模型模型1：字型——有一個(gè)公共角1如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，則，．2拓展1：斜交A字型條件：為公共角，，圖2結(jié)論：；3拓展2：如圖，．模型2：8字型——有一組對(duì)頂角1如圖1，；2如圖2，．3模型拓展：如圖3，．模型3：母子型——有一個(gè)公共角且該角的一邊為公共邊1如圖1：,（或）2如圖2：，,模型4：一線三等角型——三個(gè)角相等且這三個(gè)角的頂點(diǎn)在同一條直線上1如圖1：2如圖2：3如圖3：知識(shí)點(diǎn)四：相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.說(shuō)明：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.性質(zhì)3：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比如圖一：，則,由比例性質(zhì)可得性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖二，，則分別作出與的高和，則第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2023秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）兩個(gè)相似三角形的相似比是，則其面積之比是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知，下列式子錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某零件的外徑為，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)和相等）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑．如果，且量得，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．4．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，已知與，下列條件一定能推得它們相似的是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知、分別是的邊、上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），要使得與相似，那么添加一個(gè)條件可以為___________（只填一個(gè)）．6．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，點(diǎn)在邊上從向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為，同時(shí)點(diǎn)在邊上從向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為．連接、，設(shè)、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，則的最小值為_____________．第三部分：典型例題剖析題型一：相似三角形的判定角度1：證明兩個(gè)三角形相似典型例題例題1．（2023秋·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列條件中，不能判定與相似的是（

）A．，B．，，C．，，，，D．，，，，例題2．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，，分別是的邊，上的點(diǎn)，，，，(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．例題3．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，是斜邊上的高，，．(1)求證；(2)求的長(zhǎng)．例題4．（2022秋·河南周口·九年級(jí)?？计谥校﹦?dòng)感單車是一種新型的運(yùn)動(dòng)器械，是經(jīng)過(guò)科學(xué)地實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，它不僅不勞損腰部，還能使得健身達(dá)到最大的效果．圖①是一輛動(dòng)感單車的實(shí)物圖，圖②是它的側(cè)面示意圖，為主車架，為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)，，在一條直線上，其中，，點(diǎn)在線段上，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，．(1)求證：．(2)已知的長(zhǎng)為，，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度調(diào)節(jié)至?xí)r，求點(diǎn)到的距離（參考數(shù)據(jù)：，，）．例題5．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校﹩?wèn)題背景:如圖，(1)已知，求證：；(2)嘗試應(yīng)用:如圖，在和中，，，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，求的值；(3)拓展創(chuàng)新:如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，直接寫出的長(zhǎng)．同類題型歸類練1．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形為臺(tái)球桌面，，球目前在E點(diǎn)位置，，如果小丁瞄準(zhǔn)BC邊上的點(diǎn)F將球打過(guò)去，經(jīng)過(guò)反彈后，球剛好彈到D點(diǎn)位置．(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．2．（2023秋·上海嘉定·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)在△的外部，，點(diǎn)在邊上，．(1)求證：；(2)在邊取一點(diǎn)，如果，，求證：．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，滿足，且點(diǎn)，分別在邊，上．求證：．4．（2022秋·北京順義·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將等邊三角形折疊，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)D處（不與B、C重合），折痕為．(1)求證：；(2)若，，分別求，的周長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，求BE的長(zhǎng)．5．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，已知，且，將與重合在一起，不動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與交于M點(diǎn).(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到邊的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).角度2：選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似典型例題例題1．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，已知，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．例題2．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果，那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能確定與相似的是（）A． B．C． D．例題3．（2022秋·甘肅蘭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，在下列五個(gè)條件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似的條件有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)例題4．（2022秋·北京石景山·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，標(biāo)記了與邊、角的一些數(shù)據(jù)，如果再添加一個(gè)條件使，那么這個(gè)條件可以是______．（只填一個(gè)即可）例題5．（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，，，：，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果、分別從、同時(shí)出發(fā)，過(guò)多少秒時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形恰與相似？同類題型歸類練1．（2023秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在的邊上，要判斷，添加下列一個(gè)條件，不正確的是（）A． B．C． D．3．（2023秋·湖南湘潭·九年級(jí)湘潭鳳凰初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，若，則需滿足（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，是上一點(diǎn)且，當(dāng)________時(shí)，使得與相似．5．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，使命題正確，并證明．問(wèn)題：如圖，四邊形的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)，若（填序號(hào)）求證：．題型二：相似三角形的性質(zhì)角度1：利用相似三角形的性質(zhì)求解典型例題例題1．（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，若，，則的度數(shù)是（

）A．35° B．65° C．80° D．100°例題2．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知，與的相似比為，與的相似比為，那么與的相似比為_________．例題3．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）從三角形(不是等腰三角形)的一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中，一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．(1)如圖①，在中，為角平分線，，求證：為的完美分割線；(2)在中，，是的完美分割線，且為等腰三角形，求的度數(shù)；(3)如圖②，在中，，是的完美分割線，且是以為底邊的等腰三角形，求完美分割線的長(zhǎng)．同類題型歸類練1．（2023秋·上海嘉定·九年級(jí)?？计谀┤绻?，且的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，的最短邊長(zhǎng)為6，那么的周長(zhǎng)等于________．2．（2023秋·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，交對(duì)角線于F，若，的面積等于，那么的面積等于_____．3．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，P是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，若上存在三個(gè)不同位置的點(diǎn)P，使與相似，設(shè)，則d的取值范圍是____________．角度2：證明相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例典型例題例題1．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)?？计谀┮阎c相似，且，那么下列結(jié)論中，一定成立的是（

）A． B． C．相似比為 D．相似比為例題2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如下圖所示，在中，點(diǎn)在線段上，且，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A． B．C． D．例題3．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，為上的一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，交于．求證：同類題型歸類練1．（2022秋·甘肅天水·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)F是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，射線BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，CE是∠DCB的角平分線，且交AB于點(diǎn)E，DB與CE相交于點(diǎn)O，（1）求證：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．角度3：利用相似求坐標(biāo)典型例題例題1．（2022秋·福建漳州·九年級(jí)漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，中，、兩點(diǎn)在軸的上方，點(diǎn)的坐標(biāo)是，以點(diǎn)為位似中心，把的邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的，所得的位似圖形為，設(shè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則點(diǎn)坐標(biāo)為___________．例題3．（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)為反比例函數(shù)（）上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．同類題型歸類練1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南三門峽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，，，連接AB并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，連接CO，若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．3．（2023·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求，，的值．(2)是軸上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．角度4：在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形典型例題例題1．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在的網(wǎng)格中，格點(diǎn)的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．(1)填空：的面積為___________．(2)請(qǐng)利用網(wǎng)格再畫一個(gè)格點(diǎn)，且面積最小，并將此三角形涂上陰影．（注：標(biāo)上字母）例題2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）在圖1中畫出一個(gè)以為邊的平行四邊形，頂點(diǎn)，在格點(diǎn)上；（2）在圖2中畫出以為邊且與相似的，使頂點(diǎn)D在格點(diǎn)上（不與全等）．例題3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在的方格紙中，點(diǎn)，，均為格點(diǎn)，請(qǐng)按要求在方格紙內(nèi)作圖．(1)在圖1中作出與相似的格點(diǎn)；(2)在圖2中作出與相等的，點(diǎn)為格點(diǎn)且不與點(diǎn)重合．同類題型歸類練1．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)校聯(lián)考期中）如圖在6×5的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)正方形的頂點(diǎn)都稱為格點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．請(qǐng)按要求完成下列作圖．(1)在圖1網(wǎng)格中作格點(diǎn)三角形，使與相似，且相似比不等于1；(2)如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫出．2．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在的正方形方格中，的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為的小正方形的頂點(diǎn)．(1)填空：__________，__________；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中的兩個(gè)的正方形方格中各畫一個(gè)和相似但不全等的格點(diǎn)三角形．3．（2022秋·山東·九年級(jí)校聯(lián)考期中）小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形叫做格點(diǎn)圖形．如圖，在7×7的正方形網(wǎng)格中，畫出符合要求的格點(diǎn)三角形．(1)在圖1中畫出以為邊的三角形，且與相似（不全等）；(2)在圖2中畫出以為邊的三角形，且與相似（不全等）．角度5：相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題典型例題例題1．（2023秋·云南楚雄·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在銳角三角形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)停止，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為，如果兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，那么以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．或 B． C． D．或例題2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖（1）所示，為矩形的邊上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒．設(shè)、同時(shí)出發(fā)秒時(shí)，的面積為cm2．已知與的函數(shù)關(guān)系圖像如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)秒時(shí)，；其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④例題3．（2023秋·上海·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，是邊上的中線，，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(3)過(guò)點(diǎn)作交于，當(dāng)和相似時(shí)，求的長(zhǎng)．同類題型歸類練1．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．(1)當(dāng)時(shí)，求x的值．(2)△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)邯鄲市翰光學(xué)校?？计谀┤鐖D，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以4cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘與相似？試說(shuō)明理由．3．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），以點(diǎn)Q為圓心，BQ長(zhǎng)為半徑的⊙Q與射線BA、線段BC分別交于點(diǎn)D，E，連接DP．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，線段DP與⊙Q相切；(2)若⊙Q與線段DP只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍；(3)當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．題型三：相似三角形的判斷與性質(zhì)的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，于點(diǎn)，如果，那么__________．例題2．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中記載著這樣的一個(gè)問(wèn)題：今有邑方，不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木，問(wèn)邑方幾何？大意如下：如圖，、為正方形一組對(duì)邊的中點(diǎn)，中，、、、四點(diǎn)共線，，、、三點(diǎn)共線，且，，，，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，請(qǐng)根據(jù)題意列方程，并將方程整理成一元二次方程的一般形式：______．例題3．（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，交于點(diǎn)，且，(1)求證：：(2)當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，且，①若，求；②若為等腰直角三角形，且，求四邊形的面積．例題4．（2023秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）綜合實(shí)踐課上，小慧用兩張如圖1所示的直角三角形紙片：，斜邊重合拼成四邊形，接著在，上取點(diǎn)，,連，，使．(1)若拼成的四邊形如圖2所示：則______________﹔(2)如圖3，連接對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，分別交，于點(diǎn)，，若平分，①判斷的形狀并說(shuō)明理由．②，求的長(zhǎng)．同類題型歸類練1．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)校考期末）如圖，平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、D均在上，且對(duì)角線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，與相切于點(diǎn)B，已知的半徑為6，則平行四邊形的面積為_____．2．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形ABCD中，，DF分別交對(duì)角線AC、底邊BC于點(diǎn)E、F，且．(1)求證：；(2)點(diǎn)G在底邊BC上，，，連接，如果與的面積相等，求的長(zhǎng)．3．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，矩形中，，，點(diǎn)P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)Q．(1)求證：；(2)P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿邊以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為何值時(shí)，？4．（2023秋·河北保定·九年級(jí)校考期末）如圖，已知，分別是的邊，上的高．(1)求證：；(2)連接，若，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．題型四：相似三角形應(yīng)用舉例典型例題例題1．（2023秋·山東棗莊·九年級(jí)?？计谀┕糯晃粩?shù)學(xué)家想出了一種測(cè)量金字塔高度的方法：如圖，為了測(cè)量金字塔的高度，先豎一根已知長(zhǎng)度的木棒，比較木棒的影長(zhǎng)與金字塔的影長(zhǎng)，即可近似計(jì)算出金字塔的高度．若米，米，米，則金字塔的高度___________米．例題2．（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）為了測(cè)試成都熊貓基地觀光瞭望塔“竹筍”建筑物的高度，小軍同學(xué)采取了如下方法：在地面上點(diǎn)處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后人向后退，直至站在點(diǎn)處恰好看到建筑物的頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖所示）.其中，，三點(diǎn)在同一條直線上.已知小軍的眼睛距離地面的高度的長(zhǎng)約為，和的長(zhǎng)分別為和，求建筑物的高度.（說(shuō)明：由物理知識(shí)，可知）例題3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，己知直角三角形的鐵片的兩直角邊、的長(zhǎng)分別為3cm和4cm，分別采用（1）、（2）兩種剪法，剪出一塊正方形鐵片，為使所得的正方形面積最大，問(wèn)哪一種剪法好？為什么？例題4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量一古建筑的高度（如圖1）．如圖2，在地面上取，兩點(diǎn)，分別豎立兩根高為的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿間隔為，并且古建筑，標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察點(diǎn)，、、三點(diǎn)成一線；從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察點(diǎn)，、、三點(diǎn)也成一線．已知、、、、在同一直線上，，請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助實(shí)踐小組求出該古建筑的高度．同類題型歸類練1．（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)校考期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點(diǎn)C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的B端必須向上翹起，已知，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓___________．2．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)武漢一初慧泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，為了估計(jì)河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，使與河岸垂直，在近岸取點(diǎn)C，E，使，與交于點(diǎn)D．已測(cè)得米，米，米，求河寬．3．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知有一塊三角形材料，其中，高，現(xiàn)需要在三角形上裁下一個(gè)正方形材料做零件，使得正方形的頂點(diǎn)、分別在邊，上，、在上，裁下的正方形的邊長(zhǎng)是多少？4．（2023秋·山西太原·九年級(jí)山西大附中?？计谀┬”蜃隽颂骄课矬w投影規(guī)律的實(shí)驗(yàn)，并提出了一些數(shù)學(xué)問(wèn)題請(qǐng)你解答：(1)如圖1，白天在陽(yáng)光下，小彬?qū)⒛?/p>