江蘇省蘇州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE19-江蘇省蘇州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共有8小題，每題5分，共40分）1.復(fù)數(shù)(2?i)i（i是虛數(shù)單位）的虛部是（）A.2i B.2 C.1+2i D.?2【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題得，所以復(fù)數(shù)的虛部為2.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的虛部，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.2.有三對(duì)師徒共6個(gè)人，站成一排照相，每對(duì)師徒相鄰的站法共有（）A.72種 B.48種 C.54種 D.8種【答案】B【解析】【分析】因?yàn)槊繉?duì)師徒必需相鄰，所以，三對(duì)師徒進(jìn)行捆綁，則有，捆綁后再次進(jìn)行排列，則有種組合拍列，所以，每對(duì)師徒相鄰的站法共有種【詳解】由題意得每對(duì)師徒相鄰的站法共有故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合中的相鄰問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)潔題3.已知隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性得出，由此可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由于隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，則，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率，解題時(shí)要充分利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性來(lái)求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中隨意取出3臺(tái)，其中甲型與乙型電視機(jī)都要取到，則不同的取法種數(shù)為（）A.40 B.50 C.60 D.70【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，可分為2種狀況，①取出的3臺(tái)電視機(jī)為：甲型1臺(tái)與乙型2臺(tái)，②取出的3臺(tái)電視機(jī)為：甲型2臺(tái)與乙型1臺(tái)，結(jié)合組合數(shù)的公式，即可求解.【詳解】依據(jù)題意，可分為2種狀況，①取出的3臺(tái)電視機(jī)為：甲型1臺(tái)與乙型2臺(tái)，共有種不同的取法；②取出的3臺(tái)電視機(jī)為：甲型2臺(tái)與乙型1臺(tái)，共有種不同的取法，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，可得不同的取法共有種.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，以及組合數(shù)公式的應(yīng)用，其中解答中合理分類(lèi)，結(jié)合組合數(shù)的公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力.5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，解導(dǎo)數(shù)小于0的不等式，即可得答案.【詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，解得，∴函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查運(yùn)算求解實(shí)力，求解時(shí)留意定義域優(yōu)先法則的運(yùn)用.6.通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)110名性別不同的高校生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的22列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由算得，.附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”；B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”；C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”；D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”．【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定的的值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論.【詳解】由，所以有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，其中解答中正確理解附表中數(shù)據(jù)的意義是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從二項(xiàng)分布ξ～B(6，)，則P(ξ≤3)等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由及二項(xiàng)分布的概率公式即可求解.【詳解】.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布及其概率求解，屬于基礎(chǔ)題.8.已知，若，則（）A.－32 B.1 C.32 D.1或－32【答案】B【解析】【分析】由求出a，再利用賦值法令代入等式即可得解.【詳解】由題意知，，令得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)綻開(kāi)式中特定項(xiàng)的系數(shù)、賦值法求二項(xiàng)式系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共有4小題，每題5分，共20分）9.在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么概率為的事務(wù)是（）A.至多一件一等品 B.至少一件一等品C.至多一件二等品 D.至少一件二等品【答案】AD【解析】【分析】從5件產(chǎn)品中任取2件，有種結(jié)果，至多一件一等品有種狀況，至少一件一等品有種狀況，至多一件二等品有種狀況，至少一件二等品有種狀況，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式可得結(jié)果【詳解】從5件產(chǎn)品中任取2件，共有種結(jié)果，∵“任取的2件產(chǎn)品至多一件一等品”有種狀況，其概率是，故A正確；“任取的2件產(chǎn)品中至少一件一等品”有種狀況，其概率是，故B錯(cuò)誤；“任取的2件產(chǎn)品中至多一件二等品”有種狀況，其概率是，故C錯(cuò)誤；“任取的2件產(chǎn)品在至少一件二等品”有種狀況，其概率是，故D正確；故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，是一個(gè)由概率來(lái)對(duì)應(yīng)事務(wù)的問(wèn)題，須要把選項(xiàng)中的全部事務(wù)都作出概率，解題過(guò)程比較麻煩，屬于中檔題.10.定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得微小值【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像推斷出函數(shù)的單調(diào)性和極值，由此推斷出正確選項(xiàng).【詳解】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像可知，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增.所以在處取得微小值，沒(méi)有極大值.所以A,B,D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)圖像推斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值，屬于基礎(chǔ)題11.下列對(duì)各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是（）A.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為B.三人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為，，，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨(dú)立的，則此密碼被破譯的概率為C.甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中各任取一個(gè)球，則取到同色球的概率為D.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事務(wù)A發(fā)生的概率是【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)每個(gè)選項(xiàng)由題意進(jìn)行計(jì)算，從而進(jìn)行推斷即可【詳解】對(duì)于A,該生在第3個(gè)路口首次遇到紅燈的狀況為前2個(gè)路口不是紅燈,第3個(gè)路口是紅燈,所以概率為,故A正確；對(duì)于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則,,,“三個(gè)人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為,所以此密碼被破譯的概率為,故B不正確；對(duì)于C,設(shè)“從甲袋中取到白球”為事務(wù)A,則,設(shè)“從乙袋中取到白球”為事務(wù)B,則,故取到同色球的概率為,故C正確；對(duì)于D,易得,即,即∴,又,∴,∴,故D錯(cuò)誤故選AC【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查事務(wù)的積,考查獨(dú)立事務(wù),嫻熟駕馭概率的求解公式是解題關(guān)鍵12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)既存在極大值又存在微小值C.當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若時(shí)，，則的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)的圖像，最終干脆推斷選項(xiàng).【詳解】A.,解得，所以A正確；B.，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的微小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確.C.當(dāng)時(shí)，，依據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再依據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；

D.由圖像可知，的最大值是2，所以不正確.故選A,B,C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)，以及函數(shù)的圖像，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，推斷零點(diǎn)兩側(cè)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，本題易錯(cuò)的地方是是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，但當(dāng)時(shí)，，所以圖像是無(wú)限接近軸，假如這里推斷錯(cuò)了，那選項(xiàng)簡(jiǎn)潔推斷錯(cuò)了.三、填空題（本大題共有4小題，每題5分，共20分）13.已知復(fù)數(shù)滿意，其中是虛數(shù)單位，則_____________．【答案】【解析】復(fù)數(shù)z滿意z(1＋i)＝i，所以.所以.故答案為.14.的綻開(kāi)式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是__________．【答案】15【解析】∵二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，，

則綻開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為．

令，求得，故綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，

故答案為15.15.將A，B，C，D四個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球且A，B不能放入同一個(gè)盒子中，則不同的放法有______種．【答案】30【解析】【分析】先假設(shè)可放入一個(gè)盒里，那么方法有種，減去在一個(gè)盒子的狀況，就有5種，把2個(gè)球的組合考慮成一個(gè)元素，就變成了把三個(gè)不同的球放入三個(gè)不同的盒子，從而可得到結(jié)果．【詳解】解：由題意知有一個(gè)盒子至少要放入2球，先假設(shè)可放入一個(gè)盒里，那么方法有.再減去在一起的狀況，就是種．把2個(gè)球的組合考慮成一個(gè)元素，就變成了把三個(gè)不同的球放入三個(gè)不同的盒子，那么共有種．∴依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有種．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理，考查帶有限制條件的元素的排列問(wèn)題.兩個(gè)元素不能同時(shí)放在一起，或兩個(gè)元素不能相鄰，這都是常見(jiàn)的問(wèn)題，須要駕馭方法．16.設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】采納構(gòu)造函數(shù)法，設(shè)，，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方，對(duì)求導(dǎo)可推斷函數(shù)在處取到最小值，再結(jié)合兩函數(shù)位置關(guān)系，建立不等式且，即可求解【詳解】設(shè)，，由題設(shè)可知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；故，而當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)且，解之得故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查由導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)法求解參數(shù)取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.已知函數(shù)，在曲線的全部切線中，有且僅有一條切線與直線垂直．求實(shí)數(shù)的值和切線的方程．【答案】，.【解析】【分析】求得，依據(jù)題意可知方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，可知二次函數(shù)的最小值為，求得實(shí)數(shù)的值及對(duì)應(yīng)的的值，可得出切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式可得出切線的方程.【詳解】因?yàn)?，所?由題意可知，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根．則，又，，解得，則，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，切線的方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的切線方程，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè).已知.（1）求n的值；（2）設(shè)，其中，求的值.【答案】（1）；（2）-32.【解析】【分析】(1)首先由二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式確定的值，然后求解關(guān)于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值確定有理項(xiàng)和無(wú)理項(xiàng)從而可得a,b的值，然后計(jì)算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由題意得到的綻開(kāi)式，最終結(jié)合平方差公式即可確定的值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以，解得．?）由（1）知，．．解法一：因?yàn)椋裕瑥亩夥ǘ海驗(yàn)?，所以．因此．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查分析問(wèn)題實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力.19.某設(shè)備的運(yùn)用時(shí)間x（單位：年）和所支出的修理費(fèi)用y（單位：萬(wàn)元）有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：運(yùn)用時(shí)間x/年23456修理費(fèi)用y/萬(wàn)元2.23.85.56.57.0若由數(shù)據(jù)知x與y具有線性相關(guān)關(guān)系.（1）試求線性回來(lái)方程；（2）試估計(jì)運(yùn)用年限為10年時(shí)的修理費(fèi)用是多少？參考公式：線性回來(lái)方程中，【答案】（1）；（2）運(yùn)用年限為10年時(shí)的修理費(fèi)用是12.38萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）依據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出的平均數(shù)，再由公式計(jì)算出即得；（2）將代入（1）中的線性回來(lái)方程，即得修理費(fèi)用的估計(jì)值.【詳解】（1）由題得，，，則，，故線性回來(lái)方程為.（2）由（1）知線性回來(lái)方程為，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元），即運(yùn)用年限為10年時(shí)，估計(jì)修理費(fèi)用是萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查求線性回來(lái)方程，以及它的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是駕馭線性回來(lái)方程的求法，難度不大.20.已知函數(shù)f(x)＝(a≠0)．（1）當(dāng)a＝－1，b＝0時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；（2）當(dāng)b＝1時(shí)，若函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）微小值為，無(wú)極大值；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)極值的定義，即可求解；（2）把函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程ax－a＋ex＝0無(wú)實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以的微小值為，無(wú)極大值．（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)沒(méi)有零點(diǎn)，即方程無(wú)實(shí)根，即ax－a＋ex＝0無(wú)實(shí)根，令，則，若時(shí)，則在R上單調(diào)遞增，此時(shí)存在，使得，不合題意；若時(shí)，令，即，得；令，得，所以當(dāng)，函數(shù)取得最小值，最小值為，要使得函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，則滿意，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，其中解答中把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，列出不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與計(jì)算實(shí)力.21.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，網(wǎng)民在網(wǎng)上光顧某淘寶小店，經(jīng)過(guò)一番閱讀后，對(duì)該店鋪中的三種商品有購(gòu)買(mǎi)意向．該淘寶小店推出買(mǎi)一種送5元實(shí)惠券的活動(dòng)．已知某網(wǎng)民購(gòu)買(mǎi)商品的概率分別為，，，至少購(gòu)買(mǎi)一種的概率為，最多購(gòu)買(mǎi)兩種的概率為．假設(shè)該網(wǎng)民是否購(gòu)買(mǎi)這三種商品相互獨(dú)立．（1）求該網(wǎng)民分別購(gòu)買(mǎi)兩種商品的概率；（2）用隨機(jī)變量表示該網(wǎng)民購(gòu)買(mǎi)商品所享受的實(shí)惠券錢(qián)數(shù)，求的分布列．【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)由題意和概率的乘法公式可得進(jìn)而可求購(gòu)買(mǎi)兩種商品的概率.(2)由題意知列出的可能取值,再求出每種取值下的概率.【詳解】解:(1)由題意知,至少購(gòu)買(mǎi)一件的概率為,所以一件都不買(mǎi)的概率為.①.因?yàn)樽疃噘?gòu)買(mǎi)兩件商品的概率為所以三件都買(mǎi)的概率為.即②.聯(lián)立①②解得或.因?yàn)?所以.(2).由題意知.則,,則的分布列為051015【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列,考查了相互獨(dú)立事務(wù)的概率.對(duì)于列分布列的問(wèn)題,在寫(xiě)出分布列后,可將得到的概率加起來(lái),推斷是否為1,從而可以