2021年中考數(shù)學考點一遍過(上海專版) 第8章 圓四正多邊形和圓（教師版含解析）

備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點一遍過（上海專用）

第八章圓⑷正多邊形和圓

知識梳理

1.各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

2.有”條邊的正多邊形（〃是正整數(shù)，且”23）就稱作正〃邊形.

3.正多邊形的外接圓（或內(nèi)切圓）的圓心叫做正多邊形的中心.

4.正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

5.正多邊形的內(nèi)切圓的半徑長叫做正多邊形的邊心距.

6.正多邊形一邊所對的關(guān)于外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角.

【總結(jié)】

1.正”邊形，若〃是奇數(shù)，則正〃邊形是軸對稱圖形；

若"是偶數(shù)，則正"邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

2.正"邊形的條對稱軸交于一點，其外接圓和內(nèi)切圓的圓心都是這個正〃邊形的對稱軸的

交點.這個交點到正“邊形的各頂點的距離相等，到正N邊形各邊的距離也相等.

例題精講

【例1】正多邊形的中心角為72度，那么這個正多邊形的內(nèi)角和等于度.

【參考答案】540.

【例2】正六邊形繞其中心至少旋轉(zhuǎn)度可以與其自身完全重合.

【參考答案】60.

【例3】正六邊形的邊長為。，面積為S,那么S關(guān)于〃的函數(shù)關(guān)系式是.

【參考答案】5=攣".

2

【例4】對于平面圖形A,如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于

這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓“覆蓋”.例如圖中的三角形被一個圓“覆蓋”.如果

邊長為1的正六邊形被一個半徑.長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為.

【參考答案】/?>1.

真題訓練

1.（2015?上海中考真題）如果一個正多邊形的中心角為72。，那么這個正多邊形的邊數(shù)是

（）.

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

試題分析：根據(jù)正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系，其邊數(shù)為360。+72。=5.

考點：正多邊形的中心角定義及求法.

2.（2017?上海中考真題）我們規(guī)定：一個正n邊形（n為整數(shù)，n24）的最短對角線與最長對

角線長度的比值叫做這個正n邊形的“特征值”，記為3,那么入戶—.

【答案】曼

罷

【詳解】解：如圖，正六邊形ABCDEF中，對角線BE、CF交于點0,連接EC.

易知BE是正六邊形最長的對角線，EC的正六邊形的最短的對角線,

?.?△OBC是等邊三角形，AZ0BC=Z0CB=ZB0C=60°,

VOE=OC,AZOEC=ZOCE,VZBOC=ZOEC+ZOCE,N0EC=N0CE=30°

.,.ZBCE=90°,.?.△BEC是直角三角形

考點：1.正多邊形與圓；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.銳角三角函數(shù)

模擬題專練

一、單選題

1.（2021?上海崇明區(qū)?九年級一模）如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的虛倍,

那么這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.無法確定

【答案】B

【分析】如圖，畫出簡圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得N0CA=90°,根據(jù)NAOC的余弦可得/

A0C=45°,即可得出此多邊形的中心角為90°,即可求出多邊形的邊數(shù).

【詳解】如圖，OA、0C分別為此多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，AB為邊長，

.\OC±AB,.\Z0CA=90o,

???外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的0倍，???COS/A0C=^-￥，

二NA0C=45°,/.ZA0B=90°,即此多邊形的中心角為90°,

...此多邊形的邊數(shù)=360°+90°=4,故選：B.

【點睛】本題考查正多邊形和圓及三角函數(shù)的定義，熟練掌握余弦的定義并熟記特殊角的三

角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

2.（2020?上海九年級二模）若一個正〃邊形（〃為大于2的整數(shù)）的半徑為「，則這個正鹿形的

邊心距為（）

*.360°?360°°.180°r180°

A.rsin---B.rcos----C.rsin---D.rcos---

nnnn

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后由三角函數(shù)及正多邊形與圓的關(guān)系進行求解即可.

【詳解】解：由題意可得如圖：

146。。1QAO

假設(shè)AB為正n多邊形的一條邊，0C1AB,/.ZAOC=----=——，

2nn

1QQO

1/0A=r,OC=OA-cosZAOC=r-cos----；故選D.

n

【點睛】本題主要考查解直角三角形及正多邊形與圓，熟練掌握三角函數(shù)及正多邊形與圓是

解題的關(guān)鍵.

3.（2020?上海楊浦區(qū)?九年級二模）如果正十邊形的邊長為a,那么它的半徑是（）

aaaa

A.~B.~C.~D.~

sin36cos362sinl82cos18

【答案】C

【分析】如圖，畫出圖形，在直角三角形0AM中，直接利用三角函數(shù)即可得到0A.

【詳解】如圖，正十邊形的中心角NA0B=360°4-10=36°,AB=a

AMa

/.ZA0M=ZB0M=18°,AM=MB=-a；0A=----------=故選C.

2sinZOAM2sinl80

【點睛】本題考查三角函數(shù)，能夠畫出圖形，找到正確的三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

4.（2020?上海浦東新區(qū)?九年級二模）如果一個正多邊形的中心角等于72。，那么這個多

邊形的內(nèi)角和為（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

【答案】B

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360°和正多邊形的中心角相等，列式計算可求出這個

多邊形的邊數(shù)，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）X180°可得出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，這個多邊形的邊數(shù)為：360+72=5,

這個多邊形的內(nèi)角和為:（5-2）X180°=540°.故選：B.

【點睛】

本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計算以及多邊形的內(nèi)角和公式，掌握正多邊形的中心

角和為360°和正多邊形的中心角相等是解題的關(guān)鍵.

5.（2019?上海中考模擬）己知正六邊形的邊心距為則它的半徑為（）

A.2B.4C.2JsD.4P

【答案】A

【分析】設(shè)正六邊形的中心是0,一邊是AB,過0作0GLAB與G,在直角△0AG中，根據(jù)三角函

數(shù)即可求得OA.

【詳解】如圖,

在RtZ\AOG中，0G=,3，ZA0G=30°,/.0A=0G4-cos300=J3+《=2；故選A.

【點睛】本題主要考查正多邊形的計算問題，常用的思路是轉(zhuǎn)化為直角三角形中邊和角的計?

算.

6.（2019?上海嘉定區(qū)?中考模擬）下列四個命題中，錯誤的是（）

A.所有的正多邊形是軸對稱圖形，每條邊的垂直平分線是它的對稱軸

B.所有的正多邊形是中心對稱圖形，正多邊形的中心是它的對稱中心

C.所有的正多邊形每一個外角都等于正多邊形的中心角

D.所有的正多邊形每一個內(nèi)角都與正多邊形的中心角互補

【答案】B

【分析】利用正多邊形的性質(zhì)、對稱性、中心角的定義及中心角的性質(zhì)作出判斷即可.

【詳解】A、正多邊形是軸對稱圖形，每條邊的垂直平分線是它的對稱軸，正確，故此選項

不符合題意；

B、正奇數(shù)多邊形不是中心對稱圖形，錯誤，故此選項符合題意；

C、正多邊形每一個外角都等于正多邊形的中心角，正確，故此選項不符合題意；

D、正多邊形每一個內(nèi)角都與正多邊形的中心角互補，正確，故此選項不符合題意.

故選B.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關(guān)鍵是正確的理解正多邊形的有關(guān)的定義.

7.（2019?上海江灣初級中學九年級三模）。虛一個正〃邊形的外接圓，若J半徑與這個

正〃邊形的邊長相等，貝M的值為（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可以求出這個正〃邊形的中心角是60°,即可求出邊數(shù).

【詳解】。渥一個正〃邊形的外接圓，若。她半徑與這個正〃邊形的邊長相等，

則這個正〃邊形的中心角是60°,360+60。=6〃的值為6,故選C

【點睛】考查正多邊形和圓，求出這個正多邊形的中心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.（2018?上海楊浦區(qū)?中考模擬）如圖，RtaABC中，ZC=90°,AC=4,BC=4百，兩等圓。A,

0B外切，那么圖中兩個扇形（即陰影部分）的面積之和為（）

A.2nB.4nC.6兀D.8n

【答案】B

【分析】先依據(jù)勾股定理求得AB的長，從而可求得兩圓的半徑為4,然后由NA+/B=90°可

知陰影部分的面積等于一個圓的面積的,.

4

【詳解】在aABC中，依據(jù)勾股定理可知AB=JAC?+BC2=8,

?.?兩等圓。A,OB外切，.?.兩圓的半徑均為4,VZA+ZB=90°,

...陰影部分的面積==4”.故選：B.

360

【點睛】本題主要考查的是相切兩圓的性質(zhì)、勾股定理的應用、扇形面積的計算，求得兩個

扇形的半徑和圓心角之和是解題的關(guān)鍵.

9.（2020?上海寶山區(qū)?九年級一模）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長

為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB=2,則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為

()

A.7+B.萬一百C.2?！?D.2萬一2百

【答案】D

【分析】萊洛三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積=三塊扇形的面積相加,

再減去兩個等邊上角形的面積，分別求出即可.

【詳解】過A作ADLBC于D,

「△ABC是等邊三角形，.,.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

VAD1BC,.\BD=CD=1,AD=GBD=VL

△ABC的面積為:■BOA［）L二x2x,S，iii；?..?=^2^_--n,

223603

2

...萊洛三角形的面積S=3X§萬-2xG=2n-2后，

故選D.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和扇形的面積計算，能根據(jù)圖形得出萊洛三角形的面

積=三塊扇形的面積相加、再減去兩個等邊三角形的面積是解此題的關(guān)鍵.

二、填空題

10.（2020?上海崇明區(qū)?九年級一模）正五邊形的中心角的度數(shù)是

【答案】72。.

【分析】根據(jù)正多邊形的圓心角定義可知：正滋形的圓中心角為幽，則代入求解即可.

【詳解】解：正五邊形的中心角為：幽=72°.故答案為72°.

5

【點睛】此題考查了正多邊形的中心角的知識.題目比較簡單，注意熟記定義.

11.（2019?上海金山區(qū)?九年級二模）一個正多邊形的對稱軸共有10條，且該正多邊形的半

徑等于4,那么該正多邊形的邊長等于—.

【答案】275-2.

【分析】根據(jù)題意作圖，由一個正多邊形的對稱軸共有10條，可知這個正多邊形為正十邊形,

故每個內(nèi)角為144°,則圖中N0AB=/0BA=72。，故ZA0B=36。，在B0上找一點C,使AC=CO,

可證得△ACO、Z\ABC都為等腰三角形.故/BAC=/A0B=36°,故可得△ABOsaBCA,設(shè)AB=X,

可知OC=x,BC=4-x,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】根據(jù)題意作圖，：一個正多邊形的對稱軸共有10條，

這個正多邊形為正十邊形，故每個內(nèi)角為144°,則圖中N0AB=N0BA=72°,

故NA0B=36°,在B0上找一點C,使AC=CO,則N0AC=NA0B=36°,ZBAC=Z0AB-Z0AC=36°,

.?.ZACB=180°-ZCAB-ZABC=72°..,.△ACO,△ABC都為等腰三角形.

,.,ZBAC=ZA0B=36°,/.AABO^ABCA,

設(shè)AB=x,可知OC=x,BC=4-x,絲,即d

ABBCx4一x

解得x=2逐-2.（-2石-2舍去）則正多邊形的邊長2石—2

AB

【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形進行求解.

12.（2021?上海閔行區(qū)?九年級一模）正六邊形的邊心距與半徑的比值為（結(jié)果

保留根號）.

【答案】B

2

【分析】正六邊形的半徑為人r,根據(jù)正六邊形的半徑與外接圓的半徑相等，構(gòu)建直角三角

形，利用勾股定理即可解得邊心距，繼而解題.

【詳解】如圖,

設(shè)正六邊形的半徑OB=r,則外接圓的半徑r,NO84=60°,

在RABOG中，sin60°=—OG=—r,

OB2

內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，因而邊心距是，

2

則正六邊形的邊心距與半徑比值為：故答案為：走.

22

【點睛】本題考查正多邊形與外接圓，涉及勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握

相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

13.（2020?上海大學附屬學校九年級三模）正五邊形繞著它的中心至少旋轉(zhuǎn)度，能

與它本身重合.

【答案】72

【分析】如圖（見解析），先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得，正五邊ABCDE至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為

NAC出的度數(shù)，再根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】如圖，由題意可知，所求的問題為NAO8的度數(shù)

由正五邊形的性質(zhì)得：ZAOB=NBOC=ZCOD=ZDOE=ZAOE

又QZAOB+NBOC+ZCOD+NDOE+ZAOE=360°

.?.4408=^x360°=72。。故答案為：72.

【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、正五邊形的性質(zhì)，理解題意，掌握正五邊形的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

14.（2019?上海中考模擬）已知一個正多邊形的中心角為30度，邊長為x厘米（x>0）,周長

為y厘米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為.

【答案】y=12x

【分析】由正多邊形的中心角的度數(shù)，根據(jù)圓心角定理求出正多邊形的邊數(shù)，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：?.?正多邊形的中心角為30度，.?.駕=12....正多邊形為正十二邊形，

設(shè)邊長為x厘米（x>0）,周長為y厘米，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=12x；

故答案為：y=12x.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓、圓心角定理、函數(shù)關(guān)系式等知識，熟練掌握由正多邊形

的中心角求正多邊形的邊數(shù)是關(guān)鍵.

15.（2018?上海浦東新區(qū)?中考模擬）已知正方形的邊長為2cm,那么它外接圓的半徑長是

【答案】亞

【解析】分析：運用正方形的性質(zhì)，以及與外接圓的關(guān)系，可求出外接圓半徑.

詳解：???正方形的邊長為2,由中心角只有四個可得出：羽2_=90。，二中心角是：90°,

正方形的外接圓半徑是：sin/力3=，

OA

2OA-—產(chǎn)~—A/2.,,—

???AC=-=1,ZAOC=45°,???1故答案為0.

點睛：考查正多邊形和圓，涉及垂徑定理，解直角三角形，比較簡單.

16.（2017?上海普陀區(qū)?中考模擬）如圖，矩形ABCD中，如果以AB為直徑的。0沿著8c滾

動一周，點3恰好與點C重合，那么空的值等于.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

【答案】3.14

分析：由題意可知：式的長就是。曲周長，列式即可得出結(jié)論.

詳解：?.?以及為直徑的。3占著8c滾動一周，點8恰好與點俚合，.?.比的長就是⑥確J周

長，n'AB^BC,：.—=Ji弋3.14.故答案為3.14.

AB

點睛：本題考查了圓的周長以及線段的比.解題的關(guān)鍵是弄懂比的長就是。曲周長.

17.（2019?上海徐匯區(qū)?中考模擬）如圖，把半徑為2的。。沿弦AB折疊，AB經(jīng)過圓心

。，則陰影部分的面積為—.（結(jié)果保留萬）

【答案】:萬一G

【分析】過。作ODLAB于D,交劣弧AB于E,根據(jù)勾股定理求出AD,根據(jù)垂徑定理求出AB,分

別求出扇形AOB和三角形AOB的面積，即可得出答案.

【詳解】過0作ODLAB于D,交劣弧AB于E,如圖：

?.?把半徑為2的。0沿弦AB折疊，AB經(jīng)過圓心°，，°D=DE=1,OA=2,

?.,在RtZ\ODA中，sinA=—=-,/.ZA=30°,.?.NA0E=60。，同理NB0E=60°,

OA2

/.ZA0B=60°+60°=120°,

在RtZ^ODA中，由勾股定理得：AD=y]o^-OD2=722-12^-

VODXAB,()D過0,；.AB=2AD=2G,

，陰影部分的面積5=5肅網(wǎng)切6"、“||'=12。乃x2_彳*2百x1=：-白，故答案為：—-8.

360233

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形的面積，折疊的性質(zhì)等知識點，能求出扇形

A0B和AAOB的面積是解此題的關(guān)鍵.

18.（2020?上海九年級專題練習）如圖，在RtZiABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6.在邊AB上

取一點0,使BO=BC,以點0為旋轉(zhuǎn)中心，把AABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到4A'B'C（點A、B、

C的對應點分別是點A'、B'、C'、），那么aABC與AA'B'C'的重疊部分的面積是

【答案】三

【分析】先求得0D,AE,DE的值，再利用Sw加阿產(chǎn)SA'OLSA'UW師

【詳解】

334

如圖，OA'=0A=4,則OD=—OA'=3,OD=3.\AD=1,可得DE=—,AE=-

455

1134144工―144

??Sn：ii?<??"SziA(>F_SAAt>ii=-X3X4----X—X—=-------.故答案為---.

22552525

【點睛】本題考查的知識點是三角形的旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形的旋轉(zhuǎn).

19.（2020?上海市民辦新復興初級中學九年級月考）如圖，正六邊形4兆加的頂點氏C分別

在正方形4區(qū)切的邊4Z版V上.若46=4,則GV=

【答案】6-2A/3

【分析】求出正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)直角二角形的性質(zhì)求事BM、CM,根據(jù)正多邊形的

性質(zhì)計算即可.

【詳解】解：:?正六邊形ABCDEF的頂點B,C分別在正方形AMNP的邊AM,MN上

(6-2)x180°4x180°°

AZABC^------------=--------=120°,ZM=90,AB=BC,AM=MN

66

VZABC+ZCBM=180°,Z.ZCBM=60°，VAB=4,；.BC=4

.".CM=BCsinZCBM=2V3.MB=BCcosZCBM=2,.*.AM=AB+MB=6,.\MN=AM=6

；.CN=MN-CM=6-26，故答案為：6-2石.

【點睛】本題考查的是正多邊形的有關(guān)計算，掌握正多邊形的性質(zhì)、內(nèi)角的計算公式是解答

本題的關(guān)鍵.

20.（2017?上海普陀區(qū)?）一個滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的半徑是10cm,當滑輪的一條半

徑0A繞軸心0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角度為120。時，重物上升__cm（結(jié)果保留n）.

…上、2（）

【答案】—“

3

分析：求得半徑為10cm,圓心角為120°的弧長，即可得出答案.

詳解：觀察圖象，可知重物上升的高度就是旋轉(zhuǎn)的角度為120,所對應的弧長,

1207rx1020

-------------=■Ttcm\故答案為：—?！?/p>

3

點睛：考查弧長的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵.

21.（2020?上海嘉定區(qū)?九年級二模）如圖，在正六邊形48四必中，如果向量通=a,

AF=b>那么向量而用向量M，5表示為.

【答案】2M+2方.

【分析】如圖，連接破交于。.則AAO8是等邊三角形，OA=OD,根據(jù)三角形法則

求出正即可解決問題.

【詳解】如圖，連接班交4汗0.

?：ABCDEF是正六邊形,；.△/如是等邊三角形，AO=OD,:.NFA/NA0廬60。,陰A廬AF,

J.AF//OB,：.BO=AF=b<AO=AB+BO=a+b''：AD=2AO,：.AD=2a+2b.

故答案為：2a+2b.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，平面向量，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性

質(zhì)等知識，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

22.（2020?上海嘉定區(qū)?九年級一模）如圖，在。0中,AB、CD是兩條弦，。。的半徑長為rem,

弧AB的長度為4cm,弧CD的長度為4cm（溫馨提醒:弧的度數(shù)相等,弧的長度相等,弧相等,有聯(lián)

系也有區(qū)別）當'=4時,求證:AB=CD

【分析】利用弧長公式得出圓心角相等，再利用圓心角，弧，弦之間的關(guān)系即可證明.

【詳解】解：令/A0B=a,NCOD=P.：l,=l2：.怒=名在

1OU180

TAB和CD在同圓中，rt=r2.a=H,.\AB=CD

【點睛】本題主要考查弧長公式及圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，掌握圓心角，弧，弦之間的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

23.（2020?上海閔行區(qū)?九年級二模）如圖，已知圓碾正六邊形四（力環(huán)外接圓，直徑應'=8,

點G、/價別在射線切、加上（點與點C、〃重合），且ZGBH=&0°,設(shè)EH=y.

（1）如圖①，當直線而經(jīng)過弧切的中點洲寸，求/函的度數(shù)；

（2）如圖②，當點疏邊。止時，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）聯(lián)結(jié)///、EG,如果△/必與△龍琳目似，求的的長.

Qr

【答案】⑴N=G=15°；⑵尸一-(0<x<4)；⑶C6的長為12

x+4

【分析】(1)連接。，根據(jù)正六邊形的特點和內(nèi)角和求出/微7與0°,然后通過弧之間的關(guān)

系得出/網(wǎng)=/戊刈印0°,又因為60=制，得出N0BQ=NBQ0=45°,最后利用/狽

N0幽即可求出答案；

(2)在出、上截取以*/公，連接〃M,首先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出AERW是等邊三角形，則有

EM=HE=HM=y,NHME$Q°,從而有仍=120°,然后通過等量代換得出/戰(zhàn)'=/小，

nrcd4x

由此可證明△8(%s△刃%則有生=黑，即^—=一,則y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式可求，因

BMMH8-yy

為點Q在邊CD上，貝Ik的取值范圍可求；

(3)分兩種情況：①當點G在邊切上時：又分當黑=之時和當槳=黑時兩種情況：②當

EDDGDGDE

點窿勿的延長線上時，同樣分當空=2時和當煞=￡時兩種情況，分別建立方程求

EDDGDGDE

解并檢驗即可得出答案.

【詳解】解：(D如圖，連接0。.

:六邊形4?0明嗯正六邊形，：.BC=DE,/W=120°.

:?冶C=DE，NEBC=；NABC=&0°.;點硬C。的中點，CQ=DQ.

：.BC+CQ=QD+DE,即BQ=EQ.：.ZB0Q=Z.EOQ,

又,：4B0Q+NE0QC8y,:.NB0Q=/E0Q由。.

又,：B0=0Q,:.N0BQ=NBQ0工5°,：.ACBG^°一45°=15°.

(2)如圖，在6反上截取以勺花，連接HM.

???六邊形力%ft%是正六邊形，直徑小8,：.BO=OE=BC=A,ZC-Z/E9-1200,

：?ZFEB二L/FED$O°.?:EM=HE,，是等邊三角形，

2

:?EM=HE二HM二y,/HMEWT,工NGN〃跖=120°.

?：/EBC=/GBH$G,:"EBC-/GBE=4GBH-4GBE,

於NGBC=NHBE.：./\BCG<^：.——=——.

BMMH

4x

又CG=x,SE=8,BCW,/.--=-,

8-y>1

Q

???HM的函數(shù)關(guān)系式為y=\r(0<x<4).

(3)如圖，當點磕邊如上時.

由^千AAFHs4EDG,且/斂?=/4郎=120°,

ApFH

①當前=麗時?:AF=ED,:.FH=DG,：.CG=EH,

即：尸尸彳,解分式方程得x=4.

經(jīng)檢驗X=4是原方程的解，但不符合題意舍去.

②當簽=短時，即：士;〒，解分式方程得x=12.

經(jīng)檢驗x=12是原方程的解，但不符合題意外2；.

如圖，當點如夕的延長線上時.

①當若嚼時,'：AF=ED,：.FH=DG,:.CG=EH，

Qr

②即：，解分式方程得x=4.

經(jīng)檢驗x=4是原方程的解，但不符合題意舍去.

②當需時，即：＜=寧

解分式方程得x=12.

經(jīng)檢驗x=12是原方程的解，且符合題意.

.?.綜上所述，如果/與相似，那么謝I長為12.

【點睛】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性

質(zhì)，解分式方程，做出輔助線并分情況討論是解題的關(guān)鍵.

3

24.（2019?上海徐匯區(qū)?中考模擬）如圖，在△A8C中，AC=BC=1O,cosC=,點P是

8C邊上一動點（不與點AC重合），以叢長為半徑的。P與邊AB的另一個交點為O,過

點D作DELCB于點E.

（1）當。。與邊相切時.，求。尸的半徑;

（2）聯(lián)結(jié)交。E于點F,設(shè)AP的長為x,PR的長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并

直接寫出x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當以PE長為直徑的。。與OP相交于AC邊上的點G時，求相交所得

的公共弦的長.

【答案】⑴⑵"嚏H且(3)10-2^

3

【分析】（1）設(shè)。P與邊BC相切的切點為H,圓的半徑為R,連接HP,則HPLBC,cosOg,則

4HPR4

sinC=—,sinC------------一，口|J"J求解;

5CP10-R5

2__________

(2)PD〃BE,則電"=更\即：45XJx?-8x+8°-y,即可求解;

PDPF--------=---------------------

xy

（3）證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG=GP二BD,即：AB=DB+AD=AG+AD=4逐，即可求解.

【詳解】（1）設(shè)。P與邊BC相切的切點為H,圓的半徑為R,

33HPR440

連接HP,則HP_LBC,cosC=—,貝iJsinO—,sinO---二------二一，解得：R二一；

55CP10-R59

3

(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=-,

設(shè)AP=PD=x,ZA=ZABC=3,過點B作B1ILAC,

則BH=ACsinC=8,同理可得:

CH=6,HA=4,AB=46，則：tanZCAB=2BP=^82+(x-4)2=yjx2-8x+80>

DA=^^x,則BD=46-孚x,如下圖所示,

5

12

PA=PD,ZPAD=ZCAB=ZCBA=3,tanP=2,貝UcosB=^^,sin6=^^,

EB=BDcosP=(4J5-^^x)X-4=-4--X,；.PD〃BE,

5J55

2__________

???黑=||，即:%=6-8X+80A

整理得：y=5xjx--8x+8()

(0<x<10)：

3x+20

⑶以EP為直徑作圓Q如下圖所示,

兩個圓交于點G,則PG=PQ,即兩個圓的半徑相等，則兩圓另外一個交點為D,GD為相交所得

的公共弦，..?點Q時弧GD的中點，；.DG，EP,「AG是圓P的直徑，

AZGDA=90°,，EP〃BD,

由（2）知，PD〃BC,...四邊形PDBE為平行四邊形,

AG=EP=BD,：.AB=DB+AD=AG+AD=4亞，

2r4r

設(shè)圓的半徑為r,在aADG中，AD=2rcosP=,I）G=AG=2r,

2r204r

+2r=4逐，解得：2r二則:DG==10-2班,

V5+1

相交所得的公共弦的長為10-26.

【點睛】本題考查的是圓知識的綜合運用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知識，其中

(3),要關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫圖，此題用大量的解直角三角形的內(nèi)容，綜合難度很大.

3

25.(2017?上海松江區(qū)?)如圖，已知在以%中，N4方=90°,cos^=1,叱3,乃是射

線46上的一個動點，以/為圓心，力為半徑的。尸與射線/比勺另一個交點為〃，直線切咬直線

BC于點E.

(1)當為=1時，求您的長；

(2)如果點/在邊4邪J上，當。嗎以點C為圓心，口為半徑的。納切時，求。用J半徑；

(3)設(shè)線段跳的中點為0,射線夕。與。心目交于點凡點雁運動過程中，當陽〃臼時，求處的

長.

【答案】（1）C￡1=《；⑵；⑶值或

3

試題分析：（1）作PHLAC,垂足為H,由垂徑定理可得AH二DH,由cosB二§BC=3,可得AB=5,

PHPA34

AC=4,再由PH〃BC,可得——=——,代入數(shù)據(jù)求得PH二一，即可求得AH=OH=—,由

BCAB55

PHDH

—代入數(shù)據(jù)求得CE的長即可；（2）當。咫。訥切時，點。在。胭，可得點琳/C

4

3AG=X

的延長線上，過點祚PdC,垂足為G,設(shè)El=x,則尸G=gx,5-

Q4DCCFc人七

CD=^x-4,CG=4--x,根據(jù)黑=三，代入數(shù)據(jù)可得=%—，解得

55PGDG士,

55

A

CE=~x-3,因。尸與。C內(nèi)切，即可得PA—CE=PC,所以

x——3）=J（|x+（4-，即24爐―1308+175=0，解得為=^|，々="|（舍

35

去），即當與。訥切時，0屈勺半徑為不；（3）先證明四邊形PDCF是平行四邊形，可得

12

PF=CD,再分當點的邊力碘上和當點的邊腳的延長線上兩種情況求AP的長.

試題解析：（1）作力L/C,垂足為〃，時圓心，.../〃=〃〃

3

VZJG5=90°,Z.PH//BC,；cos廬一，633,：.AB=^>,A(=4

5

,PHPA.PH34

YPH〃BC,?.=，??,:?PH=一,/.AH:二DH二-

BCAB~~555

34

._12又?:里DH9

nr------,._5_-pr,CE—

5CEDC"CE125

y

(2)當。P與。納切時，點C在。曬，...點水4曲延長線上

34

過點用乍AGU4G垂足為G,設(shè)川=%,則尸G=gx,AG^DG=-x

5

Q4..CEDC

CD=-x-4,CG=4--x,CE=-…(1分)

55.PG~DG5

Y。/7與。辦切，PA—CE=PC,

355

A24x2-130x+175=0,：.x=—,x,=不（舍去）

t122

.?.當。咫。爾I切時，。曲半徑為一.

12

⑶筋/月=90°,APEC+ACDE=^°,N4=N物，："ABC=2PEC

'：NABC=NEBP,：.4PEC=4EBP,：.PB=PE

?點。為線段龐的中點，.??HU6C,

二當必〃時，四邊形如伊是平行四邊形，：.PF=CD

82