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文檔簡介
2025屆阿里市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有的點(diǎn)()A.向左平移個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變B.向左平移個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變C.向左平移個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標(biāo)不變D.向左平移個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變2.如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績,算法框圖中輸入的,,,,為莖葉圖中的學(xué)生成績,則輸出的,分別是()A., B.,C., D.,3.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.4.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,則a3=()A.2 B.4 C. D.85.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),是的奇函數(shù),且,則的值為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.7.若函數(shù)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.8.已知正四面體的棱長為,是該正四面體外接球球心,且,,則()A. B.C. D.9.已知實(shí)數(shù),滿足,則的最大值等于()A.2 B. C.4 D.810.已知,,,,則()A. B. C. D.11.若函數(shù)滿足,且,則的最小值是()A. B. C. D.12.已知集合,,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是()A.8 B.7 C.4 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為________.14.已知數(shù)列與均為等差數(shù)列(),且,則______.15.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在曲線:上,且在第四象限內(nèi).已知曲線在點(diǎn)處的切線為,則實(shí)數(shù)的值為__________.16.已知函數(shù)則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)設(shè),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并證明函數(shù)有唯一零點(diǎn).(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),證明:.18.(12分)設(shè),函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求在內(nèi)的極值;(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),總有,求實(shí)數(shù)的值.19.(12分)(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)A(1,0)的直線與橢圓C交于點(diǎn)M,N,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且OM+ON=t20.(12分)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長度為,只要誤差的絕對(duì)值不超過就認(rèn)為合格,工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件,檢測(cè)其長度,繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如圖:(1)估計(jì)該批次產(chǎn)品長度誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望;(2)如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率,要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時(shí),該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值.21.(12分)已知是遞增的等差數(shù)列,,是方程的根.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)已知某種細(xì)菌的適宜生長溫度為12℃~27℃,為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量(單位:個(gè))隨溫度(單位:℃)變化的規(guī)律,收集數(shù)據(jù)如下:溫度/℃14161820222426繁殖數(shù)量/個(gè)2530385066120218對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后,得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值,如表所示:20784.11123.8159020.5其中,.(1)請(qǐng)繪出關(guān)于的散點(diǎn)圖,并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于溫度的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由);(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(結(jié)果精確到0.1);(3)當(dāng)溫度為27℃時(shí),該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為多少?參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計(jì)分別為,,參考數(shù)據(jù):.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
由函數(shù)的最大值求出,根據(jù)周期求出,由五點(diǎn)畫法中的點(diǎn)坐標(biāo)求出,進(jìn)而求出的解析式,與對(duì)比結(jié)合坐標(biāo)變換關(guān)系,即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知,,又,,又,,,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有向左平移個(gè)長度單位,得到的圖象,再將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變)即可.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象求解析式,考查函數(shù)圖象間的變換關(guān)系,屬于中檔題.2、B【解析】
試題分析:由程序框圖可知,框圖統(tǒng)計(jì)的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數(shù),由莖葉圖可知,成績不小于80的有12個(gè),成績不小于60且小于80的有26個(gè),故,.考點(diǎn):程序框圖、莖葉圖.3、B【解析】
由題意得,,求解即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,,解得或(舍去).故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系,轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式,通過變形求解出的周期,進(jìn)而算出.【詳解】為上的奇函數(shù),,而函數(shù)是上的偶函數(shù),,,故為周期函數(shù),且周期為故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的周期性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
運(yùn)用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對(duì)稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對(duì)稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時(shí),的最小值,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.7、B【解析】因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象,即可排除;對(duì)B滿足函數(shù)定義,故符合;對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒有原象,故可否定.故選B.8、A【解析】
如圖設(shè)平面,球心在上,根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,重心的性質(zhì),結(jié)合已知求出的值.【詳解】如圖設(shè)平面,球心在上,由正四面體的性質(zhì)可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因?yàn)闉橹匦模虼耍瑒t,因此,因此,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了正四面體的性質(zhì),考查了平面向量加法的幾何意義,考查了重心的性質(zhì),屬于中檔題.9、D【解析】
畫出可行域,計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離,由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,其中,由于,,所以,所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時(shí),令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.11、A【解析】
由推導(dǎo)出,且,將所求代數(shù)式變形為,利用基本不等式求得的取值范圍,再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足,,即,,,,即,,則,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.,由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),取得最小值.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算,涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.12、D【解析】
轉(zhuǎn)化條件得,利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可得解.【詳解】由題意得,,集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡和運(yùn)算,考查了集合真子集個(gè)數(shù)問題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
解法一:曲線上任取一點(diǎn),利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線的距離的最小值;解法二:曲線函數(shù)解析式為,由求出切點(diǎn)坐標(biāo),再計(jì)算出切點(diǎn)到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一(基本不等式):在曲線上任取一點(diǎn),該點(diǎn)到直線的距離為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,曲線上任意一點(diǎn)到直線距離的最小值為;解法二(導(dǎo)數(shù)法):曲線的函數(shù)解析式為,則,設(shè)過曲線上任意一點(diǎn)的切線與直線平行,則,解得,當(dāng)時(shí),到直線的距離;當(dāng)時(shí),到直線的距離.所以曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最小值的計(jì)算,可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點(diǎn),轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離,也可以設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.14、20【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得,,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,,因?yàn)?所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng);考查運(yùn)算求解能力;等差中項(xiàng)的運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先設(shè)切點(diǎn),然后對(duì)求導(dǎo),根據(jù)切線方程的斜率求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入原函數(shù)求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo),即可得出切得,最后將切點(diǎn)代入切線方程即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:依題意設(shè)切點(diǎn),因?yàn)?則,又因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線為,,解得,又因?yàn)辄c(diǎn)在第四象限內(nèi),則,.則又因?yàn)辄c(diǎn)在切線上.所以.所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和已知切線斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo),本題屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先由解析式求得(2),再求(2).【詳解】(2),,所以(2),故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對(duì)號(hào)入座”,屬于容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)為增區(qū)間;為減區(qū)間.見解析(2)見解析【解析】
(1)先求得的定義域,然后利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出有唯一零點(diǎn).(2)求得的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合在區(qū)間上不單調(diào),證得,通過證明,證得成立.【詳解】(1)∵函數(shù)的定義域?yàn)?,由,解得為增區(qū)間;由解得為減區(qū)間.下面證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn):∵,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),∵,函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn),故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).(2)證明:函數(shù),則當(dāng)時(shí),,不符合題意;當(dāng)時(shí),令,則,所以在上單調(diào)增函數(shù),而,又∵區(qū)間上不單調(diào),所以存在,使得在上有一個(gè)零點(diǎn),即,所以,且,即兩邊取自然對(duì)數(shù),得即,要證,即證,先證明:,令,則∴在上單調(diào)遞增,即,∴①在①中令,∴令∴,即即,∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn),考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.18、(1)極大值是,無極小值;(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),可求得,令,利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點(diǎn),從而可得原函數(shù)的極值點(diǎn)及極大值;(2)表示出,并求得,由題意,得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,,從而可得△及,由,得.則可化為對(duì)任意的恒成立,按照、、三種情況分類討論,分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決;【詳解】(1)當(dāng)時(shí),.令,則,顯然在上單調(diào)遞減,又因?yàn)椋蕰r(shí),總有,所以在上單調(diào)遞減.由于,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:+-增極大減所以在上的極大值是,無極小值.(2)由于,則.由題意,方程有兩個(gè)不等實(shí)根,則,解得,且,又,所以.由,,可得又.將其代入上式得:.整理得,即當(dāng)時(shí),不等式恒成立,即.當(dāng)時(shí),恒成立,即,令,易證是上的減函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,故.當(dāng)時(shí),恒成立,即,因此,當(dāng)時(shí),所以.綜上所述,.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識(shí),考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力,該題綜合性強(qiáng),難度大,對(duì)能力要求較高.19、(1)x24+【解析】試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問,先利用離心率、a2=b2+c2、四邊形的面積列出方程,解出a和b的值,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問,討論直線MN的斜率是否存在,當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消參,利用韋達(dá)定理,得到x1+x2、x1x試題解析:(1)∵e=22,??∴又S=12×2a×2b=4∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)由題意知,當(dāng)直線MN斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x-1),M(x聯(lián)立方程x24+因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn),所以Δ=16k∴x又∵OM∴因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓x24+即2k又∵|OM即|NM|<4化簡得:13k4-5k2∵t2=1-當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),M(1,??62∴t∈[-1,??考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系.20、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)題意即可寫出該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對(duì)值的頻率分布列,再根據(jù)期望公式即可求出;(2)由(1)可知,任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4,即可求出隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品,都不是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率,由對(duì)立事件的概率公式即可得到隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品,至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率,判斷其是否符合生產(chǎn)要求;當(dāng)不符合要求時(shí),設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為,可根據(jù)上述方法求出,解,即可得出最小值.【詳解】(1)由柱狀圖,該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對(duì)值的頻率分布列為下表:00.010.020.030.04頻率0.40.30.20.0750.025所以的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)為.(2)由(1)可知任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4,設(shè)至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品為事件,則,故不符合概率不小于0.8的要求.設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為,由題意,又,解得,所以符合要求時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望的求法,相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,對(duì)立事件的概率
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