2025屆新疆烏魯木齊地區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆新疆烏魯木齊地區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）2．設(shè)各項(xiàng)均為正項(xiàng)的數(shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C.5 D.63．設(shè)雙曲線（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.44．已知圓，則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為（）A.-1 B.C.+1 D.65．中秋節(jié)吃月餅是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，若一盤(pán)中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現(xiàn)從盤(pán)中任取3塊，在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）A B.C. D.6．函數(shù)，的最小值為（）A.2 B.3C. D.7．設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與焦距分別為2,4，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．已知點(diǎn)，，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)且經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.9．如圖，在長(zhǎng)方體中，是線段上一點(diǎn)，且，若，則（）A. B.C. D.10．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B.“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C.“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”D.“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”11．一道數(shù)學(xué)試題，甲、乙兩位同學(xué)獨(dú)立完成，設(shè)命題是“甲同學(xué)解出試題”，命題是“乙同學(xué)解出試題”，則命題“至少一位同學(xué)解出試題”可表示為（）A. B.C. D.12．中，三邊長(zhǎng)之比為，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不存在這樣的三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，，則橢圓離心率是___________14．已知，且，則的最小值為_(kāi)___________15．已知函數(shù)的圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，則的外接圓E的方程是________16．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)為了解下屬某部門(mén)對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問(wèn)50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門(mén)的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分不低于80的概率；（3）從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率.18．（12分）已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM（1）當(dāng)λ＝3時(shí)，求|AB|的值；（2）當(dāng)λ∈[]時(shí)，求|+|的最大值19．（12分）在直三棱柱中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，且（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值20．（12分）已知函數(shù)（1）解關(guān)于的不等式；（2）若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．（12分）已知函數(shù)的圖像為曲線，點(diǎn)、.（1）設(shè)點(diǎn)為曲線上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)（用表示）；（2）設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求證：為常數(shù)；（3）由（2）可知，曲線為雙曲線，請(qǐng)研究雙曲線的性質(zhì)（從對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率四個(gè)角度進(jìn)行研究）.22．（10分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線分別與橢圓C交于點(diǎn)，過(guò)作直線的平行線與橢圓交于點(diǎn)，問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量坐標(biāo)，即可求解.【詳解】設(shè)，，，所以，，，解得：，，，即.故選：C2、D【解析】由利用因式分解可得，即可判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而得到數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出【詳解】等價(jià)于，而，所以，即可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即有，所以，故故選：D3、B【解析】根據(jù)可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】先求出圓心和半徑，求出圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從而求出圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值.【詳解】變形為，故圓心為，半徑為1，故圓心到原點(diǎn)的距離為，故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最小值為.故選：A5、C【解析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得解.【詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有種情況，取到3塊月餅都是五仁月餅有種情況，所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是.故選：C.6、B【解析】求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性即可求解最小值【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為故選：B.7、C【解析】由已知可求出，即可得出漸近線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的漸近線方程為.故選：C.8、C【解析】求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線所過(guò)的兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程即可.【詳解】由已知，AB中點(diǎn)為，又，∴所求直線斜率為，故直線方程為，即故選：C.9、A【解析】將利用、、表示，再利用空間向量的加法可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】連接、，因，因?yàn)槭蔷€段上一點(diǎn)，且，則，因此，因此，.故選：A.10、C【解析】結(jié)合互斥事件與對(duì)立事件的概念,對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對(duì)立事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)B,“至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的,而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)C,“恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件,符合題意;對(duì)于選項(xiàng)D,“至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件的定義的運(yùn)用,考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】根據(jù)“或命題”的定義即可求得答案.【詳解】“至少一位同學(xué)解出試題”的意思是“甲同學(xué)解出試題，或乙同學(xué)解出試題”.故選：D.12、C【解析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角為鈍角.【詳解】設(shè)三邊分別為，，，中的最大角為，，為鈍角，為鈍角三角形.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由，根據(jù)橢圓的定義，求出，，再由余弦定理，根據(jù)，即可列式求出離心率.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，又，所以，因，在中，由，根據(jù)余弦定理可得，解得（負(fù)值舍去）故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，屬于?？碱}型.14、16【解析】根據(jù)，且，利用“1”的代換將，轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為16.故答案為：16【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由題可求三角形三頂點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的外接圓的方程即求.【詳解】令，得或，則，∴外接圓的圓心的橫坐標(biāo)為2，設(shè)，半徑為r，由，得，則，即，得，.∴的外接圓的方程為.故答案為：.16、4【解析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在軸上方程的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以有，因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，所以有，故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）0.006；（2）；（3）.【解析】（1）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（2）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，由頻率與概率關(guān)系可得該部門(mén)評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為；（3）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有3人，記為，受訪職工評(píng)分在[40，50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應(yīng)的概率.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為（3）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即為；受訪職工評(píng)分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即為.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40，50)的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、概率與頻率關(guān)系、古典概型，屬中檔題；利用頻率分布直方圖解題的時(shí)，注意其表達(dá)的意義，同時(shí)要理解頻率是概率的估計(jì)值這一基礎(chǔ)知識(shí)；在利用古典概型解題時(shí)，要注意列出所有的基本事件，千萬(wàn)不可出現(xiàn)重、漏的情況.18、（1）（2）【解析】（1）由面積之比可得向量之比，設(shè)直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，與向量的關(guān)系可得的A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系聯(lián)立求出直線AB的斜率，再由拋物線的性質(zhì)可得焦點(diǎn)弦的值；（2）由（1）的解法類(lèi)似的求出AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，可得直線AB的斜率與λ的關(guān)系，再由λ的范圍，求出直線AB的斜率的范圍，由題意設(shè)直線MF的方程，令y＝﹣1求出M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值【小問(wèn)1詳解】當(dāng)λ＝3時(shí)，即S△AFM＝3S△BFM，由題意可得＝3，因?yàn)閽佄锞€C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為y＝﹣1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y＝kx+1，聯(lián)立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，顯然，x1+x2＝4k①，x1x2＝﹣4②，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，由＝3，則（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1）可得x1＝﹣3x2③，①③聯(lián)立可得x2＝﹣2k，x1＝6k，代入②中可得﹣12k2＝﹣4，解得k2＝，由拋物線的性質(zhì)可得|AB|＝y(tǒng)1+y2+2＝4×+2＝，所以|AB|的值為；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得AB中點(diǎn)N（2k，2k2+2），由＝λ，則x1＝﹣λx2④，同（1）的算法：①②④聯(lián)立4k2λ＝（1﹣λ）2，因?yàn)棣恕蔥]，所以4k2＝λ+﹣2，令y＝λ+，λ∈[]，則函數(shù)y先減后增，所以λ＝2或時(shí)，y最大且為2+，此時(shí)4k2最大，且為，所以k2的最大值為：，直線MF的方程為：y＝﹣x+1，令y＝﹣1，可得x＝2k，即M（2k，﹣1），因?yàn)閨+|＝2||，而|NM|＝|2k2+2+1|＝2k2+3≤2×+3＝，所以|+|的最大值為19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量證明與平面的法向量垂直（2）由空間向量求解【小問(wèn)1詳解】以C為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，故，得，同理求得，所以，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，且，所以，又平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即令，則，所以，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)表示平面與平面所成銳二面角，則20、（1）當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或（2）【解析】（1）由題意得對(duì)的值進(jìn)行分類(lèi)討論可得不等式的解集；（2）將條件轉(zhuǎn)化為，，再利用基本不等式求最值可得的取值范圍；【小問(wèn)1詳解】，即，所以，所以，①當(dāng)時(shí)不等式的解為或，②當(dāng)時(shí)不等式的解為，③當(dāng)時(shí)不等式的解為或，綜上：原不等式的解集為當(dāng)時(shí)或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)或【小問(wèn)2詳解】不等式在上有解，即在上有解，所以在上有解，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以.21、（1）；（2）具體見(jiàn)解析；（3）具體見(jiàn)解析.【解析】（1）由兩點(diǎn)間的距離公式求出距離，進(jìn)而將式子化簡(jiǎn)即可；（2）求出，進(jìn)而討論兩種情況，然后結(jié)合基本不等式即可證明問(wèn)題；（3）根據(jù)為雙曲線的焦點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的圖形特征即可求得該雙曲線的相關(guān)性質(zhì).【小問(wèn)1詳解】由題意，.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由（1），.若x>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，，所以.若x<0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，，所以.綜上：，為常數(shù).【小問(wèn)3詳解】易知函數(shù)：為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).由（2）可知，曲線為雙曲線，為雙曲線的焦點(diǎn)，則它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，還關(guān)于與垂直且過(guò)原點(diǎn)的直線對(duì)稱(chēng).，則，易得.綜上：雙