2025屆廣東省中山一中等七校數學高三第一學期期末復習檢測模擬試題含解析

2025屆廣東省中山一中等七校數學高三第一學期期末復習檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，三國時代數學家趙爽在《周髀算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一內角為，若向弦圖內隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計，取），則落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為（）A．134 B．67 C．182 D．1082．已知集合，則集合（）A． B． C． D．3．中國鐵路總公司相關負責人表示，到2018年底，全國鐵路營業(yè)里程達到13.1萬公里，其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程（單位：萬公里）的折線圖，以下結論不正確的是（）A．每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B．從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程與年價正相關C．2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D．從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程數依次成等差數列4．下圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C．1 D．5．已知曲線的一條對稱軸方程為，曲線向左平移個單位長度，得到曲線的一個對稱中心的坐標為，則的最小值是（）A． B． C． D．6．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．7．如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．8．設、，數列滿足，，，則（）A．對于任意，都存在實數，使得恒成立B．對于任意，都存在實數，使得恒成立C．對于任意，都存在實數，使得恒成立D．對于任意，都存在實數，使得恒成立9．為虛數單位,則的虛部為（）A． B． C． D．10．各項都是正數的等比數列的公比，且成等差數列，則的值為()A． B．C． D．或11．設函數的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．12．已知函數，給出下列四個結論：①函數的值域是；②函數為奇函數；③函數在區(qū)間單調遞減；④若對任意，都有成立，則的最小值為；其中正確結論的個數是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，兩個同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條直徑，過點作小圓的切線交大圓于另一點，切點為，點為劣弧上的任一點（不包括兩點），則的最大值是__________．14．隨著國力的發(fā)展，人們的生活水平越來越好，我國的人均身高較新中國成立初期有大幅提高.為了掌握學生的體質與健康現(xiàn)狀，合理制定學校體育衛(wèi)生工作發(fā)展規(guī)劃，某市進行了一次全市高中男生身高統(tǒng)計調查，數據顯示全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，那么該市身高高于的高中男生人數大約為__________.15．在棱長為的正方體中，是正方形的中心，為的中點，過的平面與直線垂直，則平面截正方體所得的截面面積為______.16．三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，（其中）.(1)求；(2)求證：當時，．18．（12分）設函數（）.（1）討論函數的單調性；（2）若關于x的方程有唯一的實數解，求a的取值范圍.19．（12分）已知函數，曲線在點處的切線方程為求a，b的值；證明：．20．（12分）是數列的前項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列中最小的項.21．（12分）已知函數，不等式的解集為.（1）求實數，的值；（2）若，，，求證：.22．（10分）已知數列的前項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）若，為數列的前項和.求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據幾何概型的概率公式求出對應面積之比即可得到結論.【詳解】解：設大正方形的邊長為1，則小直角三角形的邊長為，

則小正方形的邊長為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為，

故選：B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應用，求出對應的面積之比是解決本題的關鍵.2、D【解析】

弄清集合B的含義，它的元素x來自于集合A，且也是集合A的元素.【詳解】因，所以，故，又，，則，故集合.故選：D.【點睛】本題考查集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎題.3、D【解析】

由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項，顯然正確；對于，，選項正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數列，故錯.故選：D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識，考查數據處理能力和應用意識,是基礎題4、D【解析】

根據以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，考查二倍角公式，屬于基礎題.5、C【解析】

在對稱軸處取得最值有，結合，可得，易得曲線的解析式為，結合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對稱軸.，又..∴平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為..，注意到故的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數性質的應用，涉及到函數的平移、函數的對稱性，考查學生數形結合、數學運算的能力，是一道中檔題.6、A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是由向量數量積為0得出垂直關系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關系．7、C【解析】

根據三視圖作出幾何體的直觀圖，結合三視圖的數據可求得幾何體的體積.【詳解】根據三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎題.8、D【解析】

取，可排除AB；由蛛網圖可得數列的單調情況，進而得到要使，只需，由此可得到答案.【詳解】取，，數列恒單調遞增，且不存在最大值，故排除AB選項；由蛛網圖可知，存在兩個不動點，且，，因為當時，數列單調遞增，則；當時，數列單調遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡得且.故選：D．【點睛】本題考查遞推數列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題．9、C【解析】

利用復數的運算法則計算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數的運算以及復數的概念，注意復數的虛部為，不是，本題為基礎題，也是易錯題.10、C【解析】分析：解決該題的關鍵是求得等比數列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關系，從而得到公比所滿足的等量關系式，解方程即可得結果.詳解：根據題意有，即，因為數列各項都是正數，所以，而，故選C.點睛：該題應用題的條件可以求得等比數列的公比，而待求量就是，代入即可得結果.11、B【解析】

求出在的解析式，作出函數圖象，數形結合即可得到答案.【詳解】當時，，，，又，所以至少小于7，此時，令，得，解得或，結合圖象，故.故選：B.【點睛】本題考查不等式恒成立求參數的范圍，考查學生數形結合的思想，是一道中檔題.12、C【解析】

化的解析式為可判斷①，求出的解析式可判斷②，由得，結合正弦函數得圖象即可判斷③，由得可判斷④.【詳解】由題意，，所以，故①正確；為偶函數，故②錯誤；當時，，單調遞減，故③正確；若對任意，都有成立，則為最小值點，為最大值點，則的最小值為，故④正確.故選：C.【點睛】本題考查三角函數的綜合運用，涉及到函數的值域、函數單調性、函數奇偶性及函數最值等內容，是一道較為綜合的問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，從而可得、，，，然后利用向量數量積的坐標運算可得，再根據輔助角公式以及三角函數的性質即可求解.【詳解】以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則、，由，且，所以，所以，即又平分，所以，則,設，則，，所以，所以，，所以的最大值是.故答案為：【點睛】本題考查了向量數量積的坐標運算、利用向量解決幾何問題，同時考查了輔助角公式以及三角函數的性質，屬于中檔題.14、3000【解析】

根據正態(tài)曲線的對稱性求出，進而可求出身高高于的高中男生人數.【詳解】解：全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，則，該市身高高于的高中男生人數大約為.故答案為：.【點睛】本題考查正態(tài)曲線的對稱性的應用，是基礎題.15、【解析】

確定平面即為平面，四邊形是菱形，計算面積得到答案.【詳解】如圖，在正方體中，記的中點為，連接，則平面即為平面．證明如下：由正方體的性質可知，，則，四點共面，記的中點為，連接，易證．連接，則，所以平面，則．同理可證，，，則平面，所以平面即平面，且四邊形即平面截正方體所得的截面．因為正方體的棱長為，易知四邊形是菱形，其對角線，，所以其面積．故答案為：【點睛】本題考查了正方體的截面面積，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.16、192【解析】

根據題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】根據題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

(1)取，則；取，則，∴；(2)要證，只需證，當時，；假設當時，結論成立，即，兩邊同乘以3得：而∴，即時結論也成立，∴當時，成立.綜上原不等式獲證.18、（1）當時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2）或.【解析】

（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標準，若不恒成立，求解，即可得出結論；（2）有解，即，令，轉化求函數只有一個實數解，根據（1）中的結論，即可求解.【詳解】（1），當時，恒成立，當時，，綜上，當時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2），令，原方程只有一個解，只需只有一個解，即求只有一個零點時，的取值范圍，由（1）得當時，在單調遞增，且，函數只有一個零點，原方程只有一個解，當時，由（1）得在出取得極小值，也是最小值，當時，，此時函數只有一個零點，原方程只有一個解，當且遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；，當，有兩個零點，即原方程有兩個解，不合題意，所以的取值范圍是或.【點睛】本題考查導數的綜合應用，涉及到單調性、零點、極值最值，考查分類討論和等價轉化思想，屬于中檔題.19、（1）；（2）見解析【解析】分析：第一問結合導數的幾何意義以及切點在切線上也在函數圖像上，從而建立關于的等量關系式，從而求得結果；第二問可以有兩種方法，一是將不等式轉化，構造新函數，利用導數研究函數的最值，從而求得結果，二是利用中間量來完成，這樣利用不等式的傳遞性來完成，再者這種方法可以簡化運算.詳解：（1）解：，由題意有，解得（2）證明：（方法一）由（1）知，.設則只需證明，設則，在上單調遞增，，使得且當時，，當時，當時，，單調遞減當時，，單調遞增，由，得，，設，，當時，，在單調遞減，，因此（方法二）先證當時，，即證設，則，且，在單調遞增，在單調遞增，則當時，（也可直接分析顯然成立）再證設，則，令，得且當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.，即又，點睛：該題考查的是有關利用導數研究函數