廣東省廣州市八區(qū)聯(lián)考2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

廣東省廣州市八區(qū)聯(lián)考2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.12．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點(diǎn)，分別沿AE，AF將三角形ADE，ABF折起，使得點(diǎn)B，D恰好重合，記為點(diǎn)P，則AC與平面PCE所成角等于（）A. B.C. D.3．如圖是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在內(nèi)是增函數(shù)B.在內(nèi)是增函數(shù)C.在時(shí)取得極大值D.在時(shí)取得極小值4．下列命題中，結(jié)論為真命題的組合是（）①“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直”的充分而不必要條件②若命題“”為假命題，則命題一定是假命題③是的必要不充分條件④雙曲線(xiàn)被點(diǎn)平分的弦所在的直線(xiàn)方程為⑤已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè).A.①③④ B.②③④C.①③⑤ D.①②⑤5．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A B.C. D.66．已知a，b為不相等實(shí)數(shù)，記，則M與N的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定7．圓與圓的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離8．下面三種說(shuō)法中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）①如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；②兩條直線(xiàn)可以確定一個(gè)平面；③若，，，則A.1 B.2C.3 D.09．若動(dòng)圓的圓心在拋物線(xiàn)上，且恒過(guò)定點(diǎn)，則此動(dòng)圓與直線(xiàn)（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定10．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.11．雙曲線(xiàn)的離心率是，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．長(zhǎng)方體中，，，已知點(diǎn)H，A，三點(diǎn)共線(xiàn)，且，則點(diǎn)H到平面ABCD的距離為_(kāi)_____14．在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)、、滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.15．已知是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________16．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)滿(mǎn)足.（1）求的解析式，并判斷其奇偶性；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．（12分）年月初，浙江杭州、寧波、紹興三地相繼爆發(fā)新冠肺炎疫情．疫情期間口罩需求量大增，某醫(yī)療器械公司開(kāi)始生產(chǎn)口罩，并且對(duì)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量按指標(biāo)測(cè)試分?jǐn)?shù)進(jìn)行劃分，其中分?jǐn)?shù)不小于的為合格品，否則為不合格品，現(xiàn)隨機(jī)抽取件口罩進(jìn)行檢測(cè)，其結(jié)果如表：測(cè)試分?jǐn)?shù)數(shù)量（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)該公司生產(chǎn)口罩的不合格率；（2）若用分層抽樣的方式按是否合格從所生產(chǎn)口罩中抽取件，再?gòu)倪@件口罩中隨機(jī)抽取件，求這件口罩全是合格品的概率19．（12分）如圖所示在多面體中，平面，四邊形是正方形，，，，.（1）求證：直線(xiàn)平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.20．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面的夾角大小22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】計(jì)算后，根據(jù)判斷框直接判斷即可得解.【詳解】輸入，計(jì)算，判斷為否，計(jì)算，輸出.故選：B.2、A【解析】如圖，以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】由題意得，因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點(diǎn)，所以，所以，所以所以PA，PE，PF三線(xiàn)互相垂直，故以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則由，，，得，解得，則設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以AC與平面PCE所成角的正弦值，因?yàn)锳C與平面PCE所成角為銳角，所以AC與平面PCE所成角為，故選：A3、B【解析】根據(jù)圖象判斷的單調(diào)性，由此求得的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定正確選項(xiàng).【詳解】由圖可知，在區(qū)間上,單調(diào)遞減；在區(qū)間上,單調(diào)遞增.所以不是的極值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn).所以ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.故選：B4、C【解析】求出兩直線(xiàn)垂直時(shí)m值判斷①；由復(fù)合命題真值表可判斷②；化簡(jiǎn)不等式結(jié)合充分條件、必要條件定義判斷③；聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程組成的方程組驗(yàn)證判斷④；判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷⑤作答.【詳解】若直線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直，則，解得或，則“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直”的充分而不必要條件，①正確；命題“”為假命題，則與至少一個(gè)是假命題，不能推出一定是假命題，②不正確；，，則是的必要不充分條件，③正確；由消去y并整理得：，，即直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，④不正確；點(diǎn)在圓上，則直線(xiàn)與圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)，而過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線(xiàn)為，直線(xiàn)不包含，因此，直線(xiàn)與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，⑤正確，所以所有真命題的序號(hào)是①③⑤.故選：C5、C【解析】按照空間中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故選：C.6、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因?yàn)?，又，所以，即故選：A7、B【解析】判斷圓心距與兩圓半徑之和、之差關(guān)系即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】由得圓心坐標(biāo)為，半徑，由得圓心坐標(biāo)為，半徑，∴，，∴，即兩圓相交.故選：B.8、A【解析】對(duì)于①，有兩種情況，對(duì)于②考慮異面直線(xiàn)，對(duì)于③根據(jù)線(xiàn)面公理可判斷.【詳解】如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合或者是相交，故①不正確；兩條異面直線(xiàn)不能確定一個(gè)平面，故②不正確；若，，，可知必在交線(xiàn)上，則，故③正確；綜上所述只有一個(gè)說(shuō)法是正確的.故選：A9、B【解析】根據(jù)題意得定點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)，進(jìn)而根據(jù)拋物線(xiàn)的定義判斷即可.【詳解】解：由題知，定點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)，因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在拋物線(xiàn)上，且恒過(guò)定點(diǎn)，所以根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得動(dòng)圓的圓心到直線(xiàn)的距離等于圓心到定點(diǎn)，即圓心到直線(xiàn)的距離等于動(dòng)圓的半徑，所以動(dòng)圓與直線(xiàn)相切.故選：B10、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C11、B【解析】利用雙曲線(xiàn)的離心率，以及漸近線(xiàn)中，關(guān)系，結(jié)合找關(guān)系即可【詳解】解：，又因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)中，，所以，故，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故選：B12、D【解析】根據(jù)題意參變分離得到，求出的最小值，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意得：在上恒成立，即，其中在處取得最小值，，所以，解得：，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件求出點(diǎn)H的坐標(biāo)作答.【詳解】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，因點(diǎn)H，A，三點(diǎn)共線(xiàn)，令，點(diǎn)，則，又，則，解得，所以點(diǎn)到平面ABCD的距離為.故答案為：14、##【解析】分析可知，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，，因?yàn)椋瑒t，即，解得.故答案為：.15、【解析】先求得，再得出，對(duì)于任意的，都有成立，說(shuō)明是中的最小項(xiàng)【詳解】由題意，∴，易知函數(shù)在和上都是減函數(shù)，且時(shí)，，即，時(shí)，，，由題意對(duì)于任意的，都有成立，則是最小項(xiàng)，∴，解得，故答案為：16、【解析】根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚栽谳S上的投影向量為.故答案為:三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），是奇函數(shù)（2）【解析】(1)由求出，進(jìn)而求得的解析式，利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可；(2)根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)任意使得恒成立即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所?所以.的定義城為，且，所以是奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，在上均為增函?shù)，所以在上增函數(shù)，所以.對(duì)任意，不等式恒成立，則，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范固為.18、（1）；（2）.【解析】（1）由題意知分?jǐn)?shù)小于的產(chǎn)品為不合格品，故有件，一共有件口罩，即可求出口罩的不合格率.（2）先利用分層抽樣確定抽取的件口罩中合格產(chǎn)品和不合格產(chǎn)品的數(shù)量分別為件和件，再利用古典概型把所有基本事件種都列舉出來(lái)，在判斷件口罩全是合格品的事件有種情況，即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】在抽取的件產(chǎn)品中，不合格的口罩有（件）所以口罩為不合格品的頻率為，根據(jù)頻率可估計(jì)該公司所生產(chǎn)口罩的不合格率為【小問(wèn)2詳解】由題意所抽取件口罩中不合格的件，合格的件設(shè)件合格口罩記為，件不合格口罩記為而從件口罩中抽取件，共有共種情況，這件口罩全是合格品的事件有共種情況故件口罩全是合格品的概率為19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證明出直線(xiàn)平面；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量為，依題意有，即，令，可得，，則，平面，因此，平面.【小問(wèn)2詳解】解：由題，，設(shè)平面的法向量為，依題意有，即，取，可得，，因此，平面與平面的夾角余弦值為.20、【解析】由題設(shè)A是的真子集，結(jié)合已知集合的描述列不等式求a的范圍.【詳解】由“”是“”的充分不必要條件，即A是的真子集，又，，所以，可得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，證得，利用線(xiàn)面平行的判定定理，即可求解；（2）以為原點(diǎn)，以方面為軸，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，建立坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量的夾角公式，即可求解【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連