江蘇省南通市南通中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

江蘇省南通市南通中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.2．已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于A. B.C. D.3．曲線與曲線的（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等4．已知函數(shù)對(duì)于任意的滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.5．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點(diǎn)，，設(shè)，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.6．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Q(4，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：上存在點(diǎn)P滿足.則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，在拋物線上有一點(diǎn)，滿足，則的中點(diǎn)到軸的距離為（）A. B.C. D.8．已知命題“”為真命題，“”為真命題，則（）A.為假命題，為真命題 B.為真命題，為真命題C.為真命題，為假命題 D.為假命題，為假命題9．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，，與分別交于，則直線過(guò)定點(diǎn)（）A. B.C. D.10．下列命題錯(cuò)誤的是()A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.若命題p：或；命題q：或，則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件11．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.12．已知圓與圓，則圓M與圓N的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交C.外切 D.外離二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.14．設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關(guān)系為_(kāi)_______15．已知拋物線，則的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____.16．已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上的一點(diǎn)，與橢圓交于.若△的內(nèi)切圓與線段在其中點(diǎn)處相切，與切于，則橢圓的離心率為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，（1）求的值；（2）求展開(kāi)式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項(xiàng)18．（12分）如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）求直線與平面所成角的大小.19．（12分）近年來(lái)某村制作的手工藝品在國(guó)內(nèi)外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（ⅰ）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí)；（ⅱ）若3位行家中僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)．若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí)；若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí)；（ⅲ）若3位行家中有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí)．已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過(guò)關(guān)相互獨(dú)立（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率；（2）求81件手工藝品中，質(zhì)量為C級(jí)的手工藝品件數(shù)的方差；（3）求10件手工藝品中，質(zhì)量為D級(jí)的手工藝品最有可能是多少件？20．（12分）若數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）已知函數(shù)，記f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）．若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時(shí)y＝f（x）有極值，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值22．（10分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.【詳解】由，有曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理為故選：A2、C【解析】過(guò)作，連接，由于，故平面，所以所求直線與平面所成的角為，設(shè)棱長(zhǎng)為，則，故，.點(diǎn)睛：本題主要考查空間立體幾何直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面所成的角，考查線面垂直的證明方法和常見(jiàn)幾何體的結(jié)構(gòu)特征.由于題目所給幾何體為直三棱柱，故側(cè)棱和底面垂直，這是一個(gè)重要的隱含條件，通過(guò)作交線的垂線，即可得到高，由此作出二面角的平面角.3、D【解析】分別求出兩曲線表示的橢圓的位置，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率和焦距，比較可得答案.【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，離心率為,焦距為8,曲線焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為,焦距為,故選：D4、C【解析】令，結(jié)合題意可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出，變形即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，又，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，則.故選：C5、D【解析】通過(guò)尋找封閉的三角形，將相關(guān)向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D6、A【解析】根據(jù)給定直線設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再借助列出關(guān)于的不等式，然后由不等式有解即可計(jì)算作答.【詳解】因點(diǎn)P在直線l：上，則設(shè)，于是有，而，因此，，即，依題意，上述關(guān)于的一元二次不等式有實(shí)數(shù)解，從而有，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：A7、A【解析】設(shè)點(diǎn)，利用拋物線的定義求出的值，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，易知拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，得，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故點(diǎn)到軸的距離為.故選：A.8、A【解析】根據(jù)復(fù)合命題的真假表即可得出結(jié)果.【詳解】若“”為真命題，則為假命題，又“”為真命題，則至少有一個(gè)真命題，所以為真命題，即為假命題，為真命題.故選：A9、A【解析】由橢圓方程可求得坐標(biāo)，由此求得拋物線方程；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，根據(jù)可得，由此構(gòu)造方程求得，根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求法可求得定點(diǎn).【詳解】由橢圓方程知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又拋物線焦點(diǎn)，，解得：，則拋物線的方程為，由題意知：直線斜率不為，可設(shè)，由得：，則，即，設(shè)，，則，，，，，解得：或；又與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，，，當(dāng)時(shí)，，直線恒過(guò)定點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)直線方程；④根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.10、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A；根據(jù)否命題的定義可判斷B；求出、，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可以判斷C；解出不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；若命題p：或；命題q：或，則：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；或x＜1，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：C.11、B【解析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質(zhì)可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B12、B【解析】將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，計(jì)算圓心距，和兩圓半徑的和差比較，可得答案,【詳解】圓,即，圓心，圓，即，圓心，則故有，所以兩圓是相交的關(guān)系，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】參變分離，可得，設(shè)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，可得，即得解【詳解】因?yàn)椋圆坏仁娇苫癁?，設(shè)，則，設(shè)，由于故在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，則，即.故答案為：14、a＞b【解析】構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調(diào)性求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.15、##【解析】根據(jù)拋物線的方程求出的值即得解.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€，所以，所以的準(zhǔn)線方程為.故答案為：16、【解析】利用橢圓及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得、，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)得的大小，在△中應(yīng)用余弦定理得到a、c的齊次式，即可求離心率.【詳解】由題意知：由內(nèi)切圓的性質(zhì)得：,由橢圓的性質(zhì),而,∴,∴由內(nèi)切圓的性質(zhì)得：再由橢圓的性質(zhì),得：,由此，△為等邊三角形,可得,在△中，由余弦定理得：，解得，則,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得答案；（2）求出的通項(xiàng)，利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問(wèn)1詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，所以.【小問(wèn)2詳解】，因此時(shí)，有理項(xiàng)，有理項(xiàng)是第一項(xiàng)和第七項(xiàng).18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接，交于，連接，推導(dǎo)出，由此能證明平面.（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的大小.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接，∵在正方體中，是正方形，∴是中點(diǎn)，∵為棱的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，∴，∴直線與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通過(guò)垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角19、（1）（2）（3）2件【解析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）首先求出一件手工藝品質(zhì)量為C級(jí)的概率，設(shè)81件手工藝品中質(zhì)量為C級(jí)的手工藝品是X件，則，再根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算可得；（3）首先求出一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率，設(shè)10件手工藝品中質(zhì)量為D級(jí)的手工藝品是ξ件，則，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出的最大值，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為【小問(wèn)2詳解】解：一件手工藝品質(zhì)量為C級(jí)的概率為，設(shè)81件手工藝品中質(zhì)量為C級(jí)的手工藝品是X件，則，所以【小問(wèn)3詳解】解：一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為，設(shè)10件手工藝品中質(zhì)量為D級(jí)的手工藝品是ξ件，則，則，由解得，所以當(dāng)時(shí)，，即，由解得，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最大，即10件手工藝品中質(zhì)量為D級(jí)的最有可能是2件20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義可求解；（2）根據(jù)（1）化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，得，則所以數(shù)列是首項(xiàng)為﹣1，公比為3的等比數(shù)列所以【小問(wèn)2詳解】由（1）得：所以，所以21、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值為1，最小值為﹣3【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)可得f′（x）的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2處有極值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，討論f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的單調(diào)性，即可求得f（x）的極值，檢驗(yàn)邊界值，即可得答案.【詳解】（Ⅰ）由題意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，解得a＝﹣3，b＝0，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是減函數(shù)，所以f（x）的極大值為f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值為1，最小值為﹣322、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和線面垂直的性質(zhì)定理可證得；由