2025屆山東省濰坊市高密市數(shù)學高二上期末考試試題含解析

2025屆山東省濰坊市高密市數(shù)學高二上期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數(shù)學歸納法證明“”時，由假設證明時，不等式左邊需增加的項數(shù)為（）A. B.C. D.2．已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α的位置關系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)3．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D4．如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是A. B.C. D.5．如果直線與直線垂直，那么的值為（）A. B.C. D.26．已知橢圓的右焦點為，為坐標原點，為軸上一點，點是直線與橢圓的一個交點，且，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的兩個頂點分別為A、B，點P為雙曲線上除A、B外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.38．已知數(shù)列滿足，，在（）A.25 B.30C.32 D.649．若，則的虛部為（）A. B.C. D.10．在等差數(shù)列中，若，則（）A.5 B.6C.7 D.811．若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.12．美學四大構件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數(shù)學．素描是學習繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結構素描，而學習幾何體結構素描是學習素描最重要的一步．某同學在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是有一個底角為60度的直角梯形，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線，（，）的左右焦點分別為，過的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點，且有軸，則直線的斜率是___________，雙曲線的漸近線方程為___________.14．如圖，某河流上有一座拋物線形的拱橋，已知橋的跨度米，高度米（即橋拱頂?shù)交诘闹本€的距離）．由于河流上游降雨，導致河水從橋的基座處開始上漲了1米，則此時橋洞中水面的寬度為______米15．定義在上的函數(shù)滿足：有成立且，則不等式的解集為__________16．已知方程表示焦點在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項和18．（12分）已知函數(shù)，.（1）令，求函數(shù)的零點；（2）令，求函數(shù)的最小值.19．（12分）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前100項和20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.21．（12分）已知數(shù)列的前n項和，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，，求數(shù)列的前n項和22．（10分）已知一張紙上畫有半徑為4圓O，在圓O內(nèi)有一個定點A，且，折疊紙片，使圓上某一點剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當取遍圓上所有點時，所有折痕與的交點形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點在軸上的標準方程；（2）過曲線C的右焦點（左焦點為）的直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】當成立，寫出左側的表達式，當時，寫出對應的關系式，觀察計算即可【詳解】從到成立時，左邊增加的項為，因此增加的項數(shù)是，故選：C2、D【解析】根據(jù)題意，結合線面位置關系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因為，所以，所以直線l與平面α的位置關系是平行或在平面內(nèi)故選：D3、A【解析】由已知，分別表示出選項對應的向量，然后利用平面向量共線定理進行判斷即可完成求解.【詳解】因，，，選項A，，，若A，B，D三點共線，則，即，解得，故該選項正確；選項B，，，若A，B，C三點共線，則，即，解得不存，故該選項錯誤；選項C，，，若B，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；選項D，，，若A，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；故選：A.4、A【解析】如圖：如圖，取小圓上一點，連接并延長交大圓于點，連接，，則在小圓中，，在大圓中，，根據(jù)大圓的半徑是小圓半徑的倍，可知的中點是小圓轉(zhuǎn)動一定角度后的圓心，且這個角度恰好是，綜上可知小圓在大圓內(nèi)壁上滾動，圓心轉(zhuǎn)過角后的位置為點，小圓上的點，恰好滾動到大圓上的也就是此時的小圓與大圓的切點．而在小圓中，圓心角（是小圓與的交點）恰好等于，則，而點與點其實是同一個點在不同時刻的位置，則可知點與點是同一個點在不同時刻的位置．由于的任意性，可知點的軌跡是大圓水平的這條直徑．類似的可知點的軌跡是大圓豎直的這條直徑.故選A.5、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直列方程，化簡求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以.故選：A6、D【解析】設橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可知，則，所以，即可得到的關系，利用橢圓的定義進而求得離心率.【詳解】設橢圓的左焦點為，連接，因為，所以，如圖所示，所以，設，，則，所以，故選：D.7、C【解析】根據(jù)題意設設，根據(jù)題意得到，進而求得離心率【詳解】根據(jù)題意得到設，因為，所以，所以，則故選：C.8、A【解析】根據(jù)題中條件，得出數(shù)列公差，進而可求出結果.【詳解】由得，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量運算，屬于基礎題型.9、A【解析】根據(jù)復數(shù)的運算化簡，由復數(shù)概念即可求解.【詳解】因為，所以的虛部為，故選：A10、B【解析】由得出.【詳解】由可得，故選：B11、A【解析】由和的分母異號可得【詳解】由題意，解得或故選：A12、A【解析】設圓柱的底面半徑為，由題意知，，橢圓的長軸長，短軸長為，可以求出的值，即可得離心率.【詳解】設圓柱的底面半徑為，依題意知，最長母線與最短母線所在截面如圖所示從而因此在橢圓中長軸長，短軸長，，故選：A【點睛】本題主要考查了橢圓的定義和橢圓離心力的求解，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】由題意，不妨設直線與圓相切于點，由可得，代入雙曲線方程，可得，因此，即得解【詳解】如圖所示，不妨設直線與圓相切于點，，由于代入進入，可得，漸近線方程為故答案為：，14、【解析】以橋的頂點為坐標原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標系，則根據(jù)點在拋物線上，可得拋物線的方程，設水面與橋的交點坐標為，求出，進而可得水面的寬度.【詳解】以橋的頂點為坐標原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標系，則拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設河水上漲1米后，水面與橋的交點坐標為，則，得，所以此時橋洞中水面的寬度為米故答案為：15、【解析】由，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解即可【詳解】設,又有成立，函數(shù)，即是上的增函數(shù)，，即,，故答案為：16、【解析】根據(jù)焦點在軸的雙曲線的標準方程的特征可得答案.【詳解】因為雙曲線的焦點在軸上，則，解得.所以的取值范圍為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)公式得到，得到，再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，再利用錯位相減法計算得到答案.【小問1詳解】，當時，，得到；當時，，兩式相減得到，整理得到，即，故，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，即，驗證時滿足條件，故.【小問2詳解】，故，，，兩式相減得到：，整理得到：，故.18、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）函數(shù)零點的個數(shù)，就是方程的解的個數(shù)，顯然是方程的一個解，再對a分類討論，即得函數(shù)的零點；（2）令，可得，得，再對二次函數(shù)的對稱軸分三種情況討論得解.【詳解】（1）由，可知函數(shù)零點的個數(shù)，就是方程的解的個數(shù)，顯然是方程的一個解；當時,方程可化為，得，由函數(shù)單調(diào)遞增，且值域為，有下列幾種情況如下:①當時，方程沒有根，可得函數(shù)只有一個零點；②當時，方程的根為，可得函數(shù)只有一個零點；③當且時，方程的根為，由，可得函數(shù)有兩個零點和；由上知，當或時，函數(shù)的零點為；當且時，數(shù)的零點為和.（2）令，可得，由，，可得，二次函數(shù)的對稱軸為，①當時，即，此時函數(shù)的最小值為；②當時，即，此時函數(shù)的最小值為；③當，即，此時函數(shù)最小值為.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點問題，考查指數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的最值問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）（2）【解析】（1）由題意得出，然后與原式結合，兩式相減并化簡求出，最后根據(jù)等差數(shù)列的定義求得答案；（2）結合（1），分別討論，和三種情況，分別求出，進而求出.【小問1詳解】因為，所以，兩式相減得，所以又，所以數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由得，當時，，當時，，當時，，所以.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則有在上恒成立，即.令函數(shù)，，所以時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當時，為增函數(shù)，不妨取，則有在上單調(diào)遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.【點睛】方法點睛：(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號，當f(x)含參數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論．(2)若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到21、（1）；（2）【解析】（1）將代入可求得.根據(jù)通項公式與前項和的關系,可得數(shù)列為等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列的通項公式.（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式,代入中,結合裂項法求和即可得前n項和.【詳解】（1）當時,由得；當時,由得是首項為3,公比為3的等比數(shù)列當,滿足此式所以（2）由（1）可知,【點睛】本題考查了通項公式與前項和的關系,裂項法求和的應用,屬于基礎題.22、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)題意，作出圖像，可得，由此可知M的軌跡C為以O、A