高中數(shù)學導數(shù)滿分通關專題13 導數(shù)中對數(shù)單身狗指數(shù)找基友的應用(原卷版)

專題13導數(shù)中對數(shù)單身狗指數(shù)找基友的應用導數(shù)在高考中占據(jù)了及其重要的地位，導數(shù)是研究函數(shù)的一個重要的工具，在判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值、最值與解決函數(shù)的零點(方程的根)、不等式問題中都用到導數(shù)．而這類問題都有一條經(jīng)驗性規(guī)則：對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友，指對在一起，常常要分手．考點一對數(shù)單身狗【方法總結(jié)】在證明或處理含對數(shù)函數(shù)的不等式時，如f(x)為可導函數(shù)，則有(f(x)lnx)′＝f′(x)lnx＋eq\f(f(x),x)，若f(x)為非常數(shù)函數(shù)，求導式子中含有l(wèi)nx，這類問題需要多次求導，煩瑣復雜．通常要將對數(shù)型的函數(shù)“獨立分離”出來，這樣再對新函數(shù)求導時，就不含對數(shù)了，只需一次就可以求出它的極值點，從而避免了多次求導．這種相當于讓對數(shù)函數(shù)“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過程，我們形象的稱之為“對數(shù)單身狗”．1．設f(x)>0，f(x)lnx＋g(x)>0lnx＋eq\f(g(x),f(x))>0，則(lnx＋eq\f(g(x),f(x)))′＝eq\f(1,x)＋(eq\f(g(x),f(x)))′，不含超越函數(shù)，求解過程簡單．或者f(x)lnx＋g(x)>0f(x)(lnx＋eq\f(g(x),f(x)))>0，即將前面部分提出，就留下lnx這個單身狗，然后研究剩余部分．2．設f(x)≠0，f(x)lnx＋g(x)＝0lnx＋eq\f(g(x),f(x))＝0，則(lnx＋eq\f(g(x),f(x)))′＝eq\f(1,x)＋(eq\f(g(x),f(x)))′，不含超越函數(shù)，求解過程簡單．或者f(x)lnx＋g(x)＝0f(x)(lnx＋eq\f(g(x),f(x)))＝0，即將前面部分提出，就留下lnx這個單身狗，然后研究剩余部分．【例題選講】[例1](2016·全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)當a＝4時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)若當x∈(1，＋∞)時，f(x)＞0，求a的取值范圍．[例2]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(alnx,x＋1)＋eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x＋2y－3＝0．(1)求a，b的值；(2)證明：當x＞0，且x≠1時，f(x)＞eq\f(lnx,x－1)．【對點精練】1．若不等式xlnx≥a(x－1))對所x≥1有都成立，求實數(shù)a的取值范圍．2．(2017·全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0．(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e－2<f(x0)<2－2．3．(2018·全國Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝(2＋x＋ax2)·ln(1＋x)－2x．(1)若a＝0，證明：當－1<x<0時，f(x)<0；當x>0時，f(x)>0；(2)若x＝0是f(x)的極大值點，求a．

考點二指數(shù)找基友【方法總結(jié)】在證明或處理含指數(shù)函數(shù)的不等式時，通常要將指數(shù)型的函數(shù)“結(jié)合”起來，即讓指數(shù)型的函數(shù)乘以或除以一個多項式函數(shù)，這樣再對新函數(shù)求導時，只需一次就可以求出它的極值點，從而避免了多次求導．這種相當于讓指數(shù)函數(shù)尋找“合作伙伴”的變形過程，我們形象的稱之為“指數(shù)找基友”．1．由ex＋f(x)>01＋eq\f(f(x),ex)>0，則(1＋eq\f(f(x),ex))′＝eq\f(f′(x)－f(x),ex)是一個多項式函數(shù)，變形后可大大簡化運算．2．由ex＋f(x)＝01＋eq\f(f(x),ex)＝0，則(1＋eq\f(f(x),ex))′＝eq\f(f′(x)－f(x),ex)是一個多項式函數(shù)，變形后可大大簡化運算．【例題選講】[例3](2018·全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2．(1)若a＝1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一個零點，求a．[例4](2020·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－x．(1)當a＝1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當x≥0時，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范圍．【對點精練】1．已知函數(shù)f(x)＝ex－1－x－ax2，當x≥0時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．2．已知函數(shù)f(x)＝e－x＋ax(a∈R)．(1)討論f(x)的最值；(2)若a＝0，求證：f(x)>－eq\f(1,2)x2＋eq\f(5,8)．3．已知函數(shù)f(x)＝a(x－1)，g(x)＝(ax－1)·ex，a∈R．(1)求證：存在唯一實數(shù)a，使得直線y＝f(x)和曲線y＝g(x)相切；(2)若不等式f(x)＞g(x)有且只有兩個整數(shù)解，求a的取值范圍．

考點三指對在一起，常常要分手【方法總結(jié)】設f(x)為可導函數(shù)，則有(exlnx－f(x))′＝exlnx＋eq\f(ex,x)－f′(x)，若f(x)為非常數(shù)函數(shù)，求導式子中還是含有ex，lnx，針對此類型，可以采用作商的方法，構造eq\f(exlnx－f(x),ex)＝lnx－eq\f(f(x),ex)，從而達到簡化證明和求極值、最值的目的，exlnx膩在一起，常常會分手．【例題選講】[例5](2014·全國Ⅰ)設函數(shù)f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為y＝e(x－1)＋2．(1)求a，b；(2)證明：f(x)＞1．[例6]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)＋alnx，g(x)＝eq\f(ex,x)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明：a＝1時，f(x)＋g(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(e,x2)))lnx＞e．【對點精練】1．設函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋1,x)，求證：當x＞1時，不等式eq\f(f(x),e＋1)＞eq\f(2ex－1,(x＋1)(xex＋1))．2．已知f(x)＝ex－alnx－a，其中常數(shù)a>0．(1)當a>e時，求函數(shù)f(x)的極值；(2)求證：e2x－2－ex－1lnx－x≥