高中數(shù)學導(dǎo)數(shù)滿分通關(guān)專題31 單變量恒成立之最值分析法(原卷版)_第1頁
高中數(shù)學導(dǎo)數(shù)滿分通關(guān)專題31 單變量恒成立之最值分析法(原卷版)_第2頁
高中數(shù)學導(dǎo)數(shù)滿分通關(guān)專題31 單變量恒成立之最值分析法(原卷版)_第3頁
高中數(shù)學導(dǎo)數(shù)滿分通關(guān)專題31 單變量恒成立之最值分析法(原卷版)_第4頁
高中數(shù)學導(dǎo)數(shù)滿分通關(guān)專題31 單變量恒成立之最值分析法(原卷版)_第5頁
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專題31單變量恒成立之最值分析法【方法總結(jié)】單變量恒成立之最值分析法遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立問題時,一般采用作差法,構(gòu)造“左減右”的函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)或“右減左”的函數(shù)u(x)=g(x)-f(x),進而只需滿足h(x)min≥0或u(x)max≤0,將比較法的思想融入函數(shù)中,轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值的問題,適用范圍較廣,但是往往需要對參數(shù)進行分類討論.【例題選講】[例1]已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.[例2]已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax+1(a∈R).(1)討論f(x)在(1,+∞)上的零點個數(shù);(2)當a>1時,若存在x∈(1,+∞),使得f(x)<(e-1)·(a-3),求實數(shù)a的取值范圍.[例3]已知函數(shù)f(x)=alnx+xb(a≠0).(1)當b=2時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當a+b=0,b>0時,對任意的x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e),e)),恒有f(x)≤e-1成立,求實數(shù)b的取值范圍.[例4]已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=aln(x+a)+lnx.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)≤+lneq\f(x,a)-1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.[例5](2017·全國Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)設(shè)m為整數(shù),且對于任意正整數(shù)n,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,22)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,2n)))<m,求m的最小值.[例6]已知函數(shù)f(x)=xlnx-a(x-1)2-x+1(a∈R).(1)當a=0時,求f(x)的極值;(2)若f(x)<0對x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.[例7](2020·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.(1)當a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;(2)當x≥0時,f(x)≥eq\f(1,2)x3+1,求a的取值范圍.[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.[例9]已知函數(shù)f(x)=alnx-ex.(1)討論f(x)的極值點的個數(shù);(2)若a∈N*,且f(x)<0恒成立,求a的最大值.參考數(shù)據(jù):x1.61.71.8ex4.9535.4746.050lnx0.4700.5310.588【對點訓練】1.函數(shù)f(x)=x2-2ax+lnx(a∈R).(1)若函數(shù)y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x-2y+1=0垂直,求a的值;(2)若不等式2xlnx≥-x2+ax-3在區(qū)間(0,e]上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.2.已知函數(shù)f(x)=(x+a-1)ex,g(x)=eq\f(1,2)x2+ax,其中a為常數(shù).(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)若對任意的x∈[0,+∞),不等式f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.3.已知函數(shù)f(x)=ex-a.(1)若函數(shù)f(x)的圖象與直線l:y=x-1相切,求a的值;(2)若f(x)-lnx>0恒成立,求整數(shù)a的最大值.4.已知函數(shù)f(x)=x2+(a+1)x-lnx,g(x)=x2+x+2a+1.(1)若f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;(2)當x∈[1,e]時,f(x)<g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.5.已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex-eq\f(1,2)ax2+ax(a∈R).(1)當a=0時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)當x≥2時,f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.6.已知函數(shù)f(x)=eax-ax-1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)m為整數(shù),且對于任意正整數(shù)n(n≥2).若恒成立,求m的最小值.7.已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax+1(a∈R).(1)討論f(x)在(1,+∞)上的零點個數(shù);(2)當a>1時,若存在x∈(1,+∞),使得f(x)<(e-1)·(a-3),求實數(shù)a的取值范圍.8.已知函數(shù)f(x)=ex-1-ax+lnx(a∈R).(1)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線與直線3x-y=0平行,求a的值;(2)若不等式f(x)≥lnx-a+1對一切x∈[1,+∞)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.9.已知正實數(shù)a,設(shè)函數(shù)f(x)=x2-a2xlnx.(1)若a=eq\r(2),求實數(shù)f(x)在[1,e]的值域;(2)對任意實數(shù)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞))均有f(x)≥aeq\r(2x-1)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.10.設(shè)函數(shù)f(x)=x-eq\f(1,x),g(x)=tlnx(t∈R).(1)討論函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若當x∈(0,1)時,f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象的下方,求正實數(shù)t的取值范圍.11.已知函數(shù)f(x)=lnx+x+1,g(x)=x2+2x.(1)求函數(shù)φ(x)=f(x)-g(x)的極值;(2)若m為整數(shù),對任意的x>0都有f(x)-mg(x)≤0成立,求實數(shù)m的最小值.1

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