2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-43 用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系

第1課時空間中的角

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一兩條直線所成的角

1.（2022安徽合肥瑤海月考）已知兩條異面直線的方向向量分別是u=（3,l,-

2）,（3,2,1）,則這兩條異面直線所成的角。滿足（）

..9

A.sin0n=——B.sin0=i

144

C.cos0—D.cos6—

144

2.（2021山西呂梁賀昌中學(xué)期中）如圖，在正三棱柱ABC-ABG中,AB=AA二2,M,N

分別是BBi和B￡的中點,則直線AM與CN所成角的余弦值等于（）

A.—B.V5

2

C.-

5

3.（2021天津塘沽一中期中）如圖所示,長方體ABCD-ABCD中,AB=BC=2,CC尸4,

點E是線段CC.的中點，點F是正方形ABCD的中心,則直線AE與直線B.F所成角

的余弦值為

2G

44

-yc

4.（2021北京中關(guān)村中學(xué)期中）如圖,在直三棱柱ABC-A.B.C.

中，AC±BC,AC=BC=AA,=2.

(1)求證:AC_LBC;

⑵求直線AG和AB所成角的大小.

題組二直線與平面所成的角

5.設(shè)直線1與平面a相交,且1的一個方向向量為a,a的一個法向量為n,若

<a,n>號，則1與a所成的角為（）

A.—B.-C.-D.—

3366

6.（2021山東棗莊第八中學(xué)月考）在正方體ABCD-ABCD中,棱AB,AD的中點分

別為E,F,則直線EF與平面AADD所成角的正弦值為（）

A.回B里

65

C.漁D.在

65

7.（2021福建南平高級中學(xué)期中）在三棱錐P-ABC中,PA,平面

ABC,ZBAC=90°,D,E,F分別是棱AB,BC,CP的中點,AB=AC=2,PA=4,則直線PA與

平面DEF所成角的正弦值為（）

A.iB.—C.—D.-

5555

8.（2021北京首都師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）已知平面a的一個法向量n=（0,-?-

⑹,A6Q,P莊a,且同閭，則直線「人與平面0所成的角

為.

題組三兩個平面所成的角

9.（2020廣東深圳實驗學(xué)校期中）設(shè)平面a與平面P所成二面角的平面角為0,

若平面a,P的法向量分別為國,則Icos。|二（）

A,n2B1nl.n21

*|nil|n2|*|ni||n2|

C131忸210匕1。21

?ni?n2*In1?n2\

10.（2020上海華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)期末）如圖，點A,B,C分別在空間直角

坐標(biāo)系0-xyz的三條坐標(biāo)軸上,0C=（0,0,2）,平面ABC的一個法向量為

n二（2,1,2）,設(shè)二面角C-AB-0的平面角為。，則cos。=（）

A..-3B?苧c

4-l

11.在正方體ABCD-ABCD中，點E為BB1的中點,則平面A.ED與平面ABCD所成二

面角的平面角的余弦值為()

C-TD-T

12.如圖，四邊形ABCD為正方形,QA，平面ABCD,PD/7QA,QA=AB^PD.

⑴證明：平面PQCJ_平面DCQ;

(2)求二面角Q-BP-C的平面角的余弦值.

13.(2020天津河西期末)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD±

底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.

⑴證明：PA〃平面BDE;

(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值.

p

能力提升練

題組一兩條直線所成的角

1.（2021天津靜海瀛海學(xué)校月考）如圖,在長方體ABCD-ABCD

中,AB=2,BC=BB尸1,P是A.C的中點,則直線BP與AD所成角的余弦值為（）

B耳

2.（2022重慶外國語學(xué)校月考）將邊長為1的正方形AAOO（及其內(nèi)部）繞00i所在

直線旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖,能的長為李腿1的長為今其中B與C在平面

AAOO的同側(cè),則異面直線BiC與AA1所成的角的大小為（）

3.（2021浙江杭州高級中學(xué)期中）已知四棱錐P-ABCD,底面是邊長為2的正方

形，APAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,AB_L平面PAD,E是線段PD上的動點

（不含端點）.若線段AB上存在點F（不含端點），使得異面直線PA與EF所成的角

的大小為30°,則線段PE的長的取值范圍是（）

A,（吟）B.（0,乎）

C.（Y，V2）D.（y,V2）

題組二直線與平面所成的角

4.在正方體ABCD-ABCD中，點P在線段CD上,若直線B.P與平面BCD所成的

角為0,則tan0的取值范圍是（）

A.性身B.E1,V3]

D.朋

5.如圖1,在等腰三角形ABC中，ZA=90°,BC=6,D,E分別是AC,AB上的

點,CD二BE二或,。為BC的中點.將4ADE沿DE折起,得到如圖2所示的四棱錐A，-

BCDE.若A'0,平面BCDE,則直線A'D與平面A'BC所成角的正弦值等于（）

A*

3324

6.（2021山東師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）如圖,三棱柱ABC-ABG的側(cè)棱與底面垂

直,AALAB=AOI,AB±AC,N是BC的中點，點P在AB上,且滿足工了二X工瓦,當(dāng)直

線PN與平面ABC所成的角取得最大值時，入的值為（）

*22*2,5

7.（2020山東新泰期中）在正三棱柱ABC-A3C中,AB=2,E,F分別為AC,AB的中

點，當(dāng)AE和BF所成角的余弦值為5時,AE與平面BCC.B.所成角的正弦值為（）

10

爪叵B.叵C.漁口店

510105

題組三兩個平面所成的角

8.如圖，四棱柱ABCD-ABCD為長方體,AAFAB=2AD,E為CD的中點，則二面角B-

AB-E的平面角的余弦值為（

A.--B.--C.—D.—

3232

9.（2020湖北荊州灘橋高級中學(xué)期末）如圖所示，四邊形AEFB為矩形,AE，平面

ABCD,BC/7AD,BA±AD,AE=AD=2AB=2BC=4.

⑴求證:CF〃平面ADE;

（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的平面角的余弦值.

10.（2020天津南開一模）在三棱柱ABC-ABG中,AA」底面

ABC,AB=AOAAi,AB±AC,P為線段BG上一點.

⑴若BP二PG,求PC與AAi所成角的余弦值；

⑵若BP=V2PCb求PC與平面ABBA所成角的大?。?/p>

⑶若平面AACG與平面ACP的夾角為45。，求”的值.

R

第2課時空間中的距離問題

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一點到平面的距離

L（2021北京豐臺期中）若平面a的一個法向量為n=（l,2,l）,A（l,0,-l）,B（0,一

1,1）,AEQ,BEa,則點A到平面a的距離為（）

A.1B.—C.—D.i

633

2.（2021山東師范大學(xué)附中月考）四棱錐P-ABCD中，荏=（2,-1,3）,前二（一

2,1,0）,AP=（3,-1,4）,則這個四棱錐的高為（）

3.（2021山西懷仁期中）如圖,在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中,0是底面

ABCD的中心,則點0到平面ABCD的距離是（）

AV2

12

4.（2022重慶外國語學(xué)校月考）在棱長為2的正方體ABCD-ABCD中，E,F分別為

棱AA.,BBi的中點,G為棱AB上的一點,且A.G=入（0VBV2）,則點G到平面DEF

的距離為.

題組二點到直線的距離

5.（2021天津武清楊村第三中學(xué)月考）在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中,E為

A.D.的中點,則點G到直線CE的距離為（）

A.iB.—C.—D.—

3333

6.（2021天津和平匯文中學(xué)質(zhì)檢）已知直線1的一個方向向量為m=（l,V2,-l）,若

點P（-l,l,-l）為直線1外一點,A（4,1,-2）為直線1上一點,則點P到直線1的距

離為.

7.（2021山東濟寧魚臺第一中學(xué)月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中,ACABD=0,底面

ABCD為菱形,邊長為2,PC±BD,PA=PC,且NABC=60°,異面直線PB與CD所成的

角為60°.

(1)求證:P0_L平面ABCD;

⑵若E是線段0C的中點,求點E到直線BP的距離.

B

答案與分層梯度式解析

第1課時空間中的角

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C由題意得u?V=3X3+1X2+(-2)X1=9,

Iu|=yj32+l2+(-2)2=V14,

Iv|=V32+22+12=V14,

所以coso=|cos<u,V故選C.

14

2.D取AC的中點0,過點0作001〃AA/交A￡于點0b連接OB.以O(shè)B,0C,0(h所

在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:

則A(0,-1,0),M(V3,0,l),C(0,l,0),NC，2)

所以宿二(V5,1,1),而二(今$2).

設(shè)直線AM與CN所成角為0,

則cos0=|cos</lM,CN)|

3.答案詈

解析如圖所示，以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DDi所在直線分別為x軸、y軸、z軸

建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則Ai⑵0,4),Bi(2,2,4),E(0,2,2),F(l,1,0),

.,?碇二(-2,2,-2),亭二(-1,-1,-4),

?/An41E?BF82y[6

??cos〈』iE,B、F>-___——r=二——,

11|A1E||席I2V3X3V29

因此,直線A,E與直線B.F所成角的余弦值為手.

4.解析(1)證明：因為三棱柱ABC-ABC是直三棱柱,所以CG，平面ABC,所以

CCilAC,CCi±BC,

又AC±BC,ACACCFC,所以BC_L平面ACCA,

所以ACJ_BC.

⑵以C為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則

A⑵0,0),A1⑵0,2),G(0,0,2),B1(0,2,2),

則帶(-2,0,2),灰瓦二(-2,2,0),

設(shè)直線AG和AB所成的角為a,

?而町二」

貝ljcosa=Jg4

|福||石瓦|l2V2X2V22'

所以直線AG與A周所成角的大小為半

3

5.C結(jié)合題意，作出圖形如圖:

因為<a,n>W^,所以NOAB=T，

oo

所以1與a所成的角為N0BA=］故選C.

6

6.C以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD.所在直線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

設(shè)正方體ABCD-ABCD的棱長為2,

則E(2,1,0),F(l,0,2),EF=(-1,-1,2),

易知y軸與平面AADD垂直，

則平面AADD的一個法向量為n=(0,1,0),

設(shè)直線EF與平面AA.D.D所成角為。，

則sin0=Icos〈銃n>|二需

|EF||n|V66

??.直線EF與平面AADD所成角的正弦值為萼.

6

故選C.

7.C以A為原點,AC,AB,AP所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖，則A(0,0,0),P(0,0,4),D(0,l,0),F(l,0,2),E(1,1,0),

所以據(jù)(0,0,4),反二(1,0,0),DF=(l,-l,2),

設(shè)n=(x,y,z)為平面DEF的一個法向量,

則卜,巴=6即x=0,

n?DF=0,x-y+2z=0,

令z=l,可得n=(0,2,1).

設(shè)直線PA與平面DEF所成角為0,

則sin°=bos〈而,n小緇子點亭.

故選C.

8.答案TT

3

解析設(shè)直線PA與平面a所成的角為0,

則sin0=|cos<n,PA>\一!八三1

17111PAi

|0-r21-V3

?,?直線PA與平面a所成的角為去

9.B由題意可知平面a與平面B所成二面角的平面角9與<口,m>相等或互

補，

所以IcosoI=|cos<nbn2>|

|nd|n2|

10.C由題意可知,平面ABO的一個法向量為反二(0,0,2),

由二面角C-AB-0的平面角為銳角得

cos0=|cos<OC,n>|->^5*n|-_j_=￡

|OC||n|2X33

11.B以A為原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則A,(0,O,D,E(IA|),

D(0,1,0),???碩二(0,1,-1),碓二(1,0,-0,

/I.?二."?"-?

必二廠

設(shè)平面AiED的一個法向量為n尸(x,y,z),

則有［竺,"1=0,即『彳=°o

WE?幾i=o,gz=o,

令x=l,則y=z=2,Ani=(l,2,2).

易得平面ABCD的一個法向量為止二(0,0,1),

?/、一九1,n_2_2

??cosxHi,r)2/""""2",

|ni||n2|3X13

又平面AtED與平面ABCD所成二面角的平面角為銳角，，其余弦值為|.故選B.

12.解析如圖，以D為坐標(biāo)原點,線段DA的長為單位長度,DA所在直線為x軸建

立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

(1)證明:依題意有D(0,0,O),Q(1,1,O),C(O,0,1),P(0,2,0),則

麗二(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,O),

所以所?DQ=0tPQ?DC=0,

即PQ±DQ,PQ±DC.

又DQADOD,故PQ,平面DCQ.

又PQc平面PQC,所以平面PQCL平面DCQ.

⑵依題意有B(l,0,l),C5=(l,0,0),fiP=(-1,2,-1).

設(shè)n=(x,y,z)是平面PBC的一個法向量,

則卜二°即X=0,

、幾?BP=0,-x+2y-z=0.

因此可取n=(0,-1,-2).

同理可得平面PBQ的一個法向量為m=(l,1,1),

易知二面角Q-BP-C的平面角為鈍角，所以二面角Q-BP-C的平面角的余弦值為一

715

13.解析⑴證明：以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)PD=DC=2,則D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,2),B設(shè)2,0),E(0,1,1),

則對二(2,0,-2),反二(0,1,1),而二(2,2,0),

設(shè)n尸(x,y,z)是平面BDE的一個法向量，

取y=-l,得ni=(l,-1,1).

9

：PA?ni=2-2=0,：.PALnh

又PAQ平面BDE,???PA〃平面BDE.

(2)由(1)知n尸(1,-1,1)是平面BDE的一個法向量,

易知我二萬?二(2,0,0)是平面DEC的一個法向量.

cos<nbn2>=——,

|ni||n2|3

易知二面角B-DE-C的平面角為銳角，

故二面角B-DE-C的平面角的余弦值為日.

能力提升練

1.D如圖，以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD.所在直線為

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則B(l,2,0),P(|x|),A(l,0,0),Di(0,0,1),

設(shè)直線BP與AD所成角為0,

則cos0=|cos<BP,AD^>|―聆,竺LQI_8,

118Pll曲I但x涯3

2.B以。為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

A(0,1,0),A.(0,1,1),8.(^^,1),C(今4,0),

所以近二(0,0,1),煦二

AA1?81C

所以cos<44；BXC>-

I府ill乖I

_0XQ-t-QX(-l)-HX(-l)__/2

222：

1XA/0+(-1)+(-1)2

所以〈麗\煦》二手,

4

所以異面直線BC與A'所成的角為也故選B.

3.B取AD的中點G,連接PG,日題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(1,O,O),D(-1,0,0),P(0,0,1),所以研(1,0,1),PA={lt0,-1),設(shè)

F(l,y,0),0<y<2,DE=xDP=x(1,0,l)=(x,0,x),0<x<l,故E(x-1,0,x),所以

EF=(2-x,y,-x).又異面直線PA與EF所成角的大小為30°,所以

\PA^EF\=\PA\|FF|cos30°,即2=&XJ(2?%)2+*+%2義今則廣―2(x-

D2+1,0<x<l,故丫2中，|).又0<y<2,故y￡(0,里.

4.D以D為原點,DA,DC,DD所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體的棱長為1,可得0),B.(l,1,1),G(0,1,1),Di(0,0,1),

設(shè)P(O,t,l),t￡[O,1],

則瓦?=(-l,t-l,O).

設(shè)n=(x,y,z)是平面BC1D1的一個法向量，

/i?%=01％+z=0,

?麗=0,U"-y+z=o，

取x=l,可得n=(l,0,1).

則sin9=|cos<SP,n>|」呢」一/[工W]

11x'?|B]P||n|0(t-l)2+2[2f2i

Atan()二J，叱二〒惇,1].

Vl-sin20IT,L3J

\/sin20

5.D取DE的中點H,連接OH,0D,則OH_LOB,以0為坐標(biāo)原點,OH,OB,而的方

向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

由題意，知0H=l,DH=2,D0=V5,A'D=2a,

???0A=VJ廬麗=V5,AA，(0,0,V3),

又D(「2,0),

Z.jD=(l,-2,-V3)，設(shè)直線A'D與平面A'BC所成的角為0,易得平面A'BC的一

個法向量為n=(l,0,0),?,.sin0=|cos<斤瓦n>|二黑:：二高二中

6.A如圖，以AB,AC,AAi所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系

A-xyz,

貝此,“)廣(人,0,1),

.??麗=(2'),

易得平面ABC的一個法向量為n=(0,0,1).

設(shè)直線PN與平面ABC所成的角為0,

|PN?n\

則sin0=|cos<P/V,n>|二.,.當(dāng)人時，(sin0)a專,此時角

麗?何

。最大.故選A.

7.B設(shè)AA尸t,以B為原點,過B所作的BC的垂線為x軸,直線BC,BB1分別為y

軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(V3,1,0),B(0,0,0),F停/)，，荏=(喙?jié)?前二停/).

VAE和BF所成角的余弦值為京

7

???平面BCCB的一個法向量為n=(l,0,0),

???AE與平面BCCB所成角a的正弦值為sin°二磊二?黑，故選B.

8.C建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AD=1,貝ijA」(1,O,2),B(l,2,0),

因為E為CD的中點,所以E(0,1,2),

所以碓二(-1,1,0),碰二(0,2,-2),

設(shè)m=(x,y,z)是平面AiBE的一個法向量，

則但5=。，即償］

?m=0,12y-2z—0,

取x=l,貝ljy=z=l,所以m=(l,1,1).

又因為DA_L平面A,B.B,所以五心(1,0,0)是平面ABB的一個法向量,

所以cos<m,萬彳>一y,上二3二勺,

'|m||DA|V33'

易知二面角B-A.B-E的平面角為銳角，

所以二面角B-A^-E的平面角的余弦值為當(dāng)

故選C.

9.解析(1)證明：???四邊形AEFB為矩形,

ABF/7AE.

又BFQ平面ADE,AEc平面ADE,

???BF〃平面ADE.

同理可得,BC〃平面ADE.

又BFGBOB,BF,BCc平面BCF,

J平面BCF〃平面ADE.

又CFu平面BCF,，CF〃平面ADE.

(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),F(2,0,4),

：.AD=(0,4,0),CD=(-2,2,0),CF=(0,-2,4).

設(shè)n=(x,y,z)是平面CDF的一個法向量，

貝卜?色=0,即仁］二弁

(n?CF=0,(A2Z=0,

令y=2,貝ijx=2,z=l,/.n=(2,2,1).

又前是平面AEFB的一個法向量，

2

-

—瑞3

???平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的平面角的余弦值為(

10.解析三棱柱ABC-A出C中，,?，AA」底面ABC,，AA」AB,AA」AC,又

ABJ_AC,???以A為原點，直線AB,AC,AAi分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系,如圖所示.

設(shè)AB=1,則A(0,0,0),B(l,0,0),C(0,l,0),A.(0,0,1),C.(0,1,1),0,1).

(l)VBP=PCb

設(shè)PC與AAl所成角為0,則PC與AAl所成角的余弦值為cos0二懸離二”.

\CP\\AAX\3

⑵設(shè)P(a,b,c),由BP=V2PCbBPBP=V2PQW(a-1,b,c)=好(一氏Lb,『c),

可得P(V2-l,2-V2,2,

/.CT=(V2-1,1-V2,2-V2).

設(shè)PC與平面ABBA所成角為a,易知平面ABBA的一個法向量為n=(0,1,0),

|n?CP||1-V2|1

貝IJsina=-~J=L7彳二一,

|n||CP|2V2-22

.??PC與平面ABBA所成角的大小為30°.

(3)設(shè)前二入酩二(一入，入，入)，0W入W1,則而二通+而二(1,一1,0)+(-

入，入)=(1-入，入T,入).易得4c二(0,1,0),

設(shè)平面ACP的法向量為m=(x,y,z),

mil機?AC-o,pu(y=0,

Vn.CP=O；+U-l)y+=0,

取z二人-1,得m=(入，0,X-1),易知平面AiACCi的一個法向量為p=(l,0,0),

???平面AiACG與平面ACP的夾角為45。，

?cos45°?Pl-陽一巫

MIIPI02+(；1T)22、

解得入三，則前耳竭，

???p為BG的中點，，瞿二1,

PC]

.,?當(dāng)平面AlACG與平面ACP的夾角為45。時，

%.

PC1

第2誤時空間中的距離問題

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B易知南二(-1,-1,2),根據(jù)點到平面的距離公式可得點A到平面Q的距離

為

|麗?川」?1X1+(-1)X2+2X1|—歷

.故選B.

|n|Vl2+22+l26

2.A設(shè)平面ABCD的一個法向量為n=(x,y,z),則卜*野二.即2x-y+3z=0,

、n?AD=0,-2x+y=0,

令x=l,可得y=2,z=0,即n=(l,2,0),

???點P到平面ABCD的距離為絆予”,即四棱錐P-ABCD的高為咚