福建省福州文博中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷

福州文博中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二10月份月考數(shù)學(xué)科（題目卷）（完卷時(shí)間：150分鐘，總分：150分）第I卷（選擇題）一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.2.在空間直角坐標(biāo)系中，記點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，則（）A.B.C.D.3.如圖，空間四邊形中，，且，則（）A.B.C.D.4.如果向量共面，則實(shí)數(shù)的值是（）A.B.1C.D.55.已知空間向量滿足，則的夾角為（）A.B.C.D.6.如圖，二面角的大小為分別在平面內(nèi)，，則（）A.B.C.D.7.已知正四面體為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為（）A.B.C.D.8.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為底面的重心，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面分別交棱于點(diǎn)，若，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知是空間中兩條互相垂直的異面直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在平面，使得且B.存在平面，使得且C.存在平面，使得D.存在平面，使得10.已知空間四點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.點(diǎn)到直線的距離為D.四點(diǎn)共面11.如圖，平面，，則（）A.B.平面C.二面角的余弦值為D.直線與平面所成角的正弦值為第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則__________.13.長(zhǎng)方體中，，則點(diǎn)到平面的距離為__________.14.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，平面平面是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題13分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求；（2）若的面積為，且，求.16.（本小題15分）如圖，在平行六面體中，，分別為的中點(diǎn).求證.17.（本小題15分）在如圖所示的多面體中，平面平面，且是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面所成的銳二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18.（本小題17分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是線段的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.19.（本小題17分）如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，，點(diǎn)在面上的射影恰為的重心.（1）證明：；（2）證明：面；（3）求該五面體的體積.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本題考查直線斜率，傾斜角，屬基礎(chǔ)題.由方程求得斜率，得傾斜角.【解答】解：直線方程可以化為，斜率為1，設(shè)其傾斜角為，則，又故.故選D.2.【答案】B【解析】【分析】本題考查空間兩點(diǎn)間的距離公式，涉及空間點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意，求出的坐標(biāo)，進(jìn)而由空間兩點(diǎn)間距離公式分析可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，則.故選：B.3.【答案】A【解析】【分析】本題考查了空間向量的加減運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.由，可得，由，可得，由即可求解.【解答】解：，，，.故選A.4.【答案】B【解析】【分析】本題考查空間向量共面定理，屬于中檔題.設(shè)，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出方程組，即可解得的值.【解答】解：由于向量共面，設(shè)，可得，解得.故選：B.5.【答案】C【解析】【分析】本題考查了向量的夾角和向量的數(shù)量積.先得出，設(shè)與的夾角為，根據(jù)，即可得出結(jié)果.【解答】解：，設(shè)與的夾角為故，即，解得，因?yàn)椋?，故選C.6.【答案】A【解析】【分析】本題考查空間中線段長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，考查了學(xué)生的空間思維能力與運(yùn)算能力.由向量加法可得，再利用向量的模長(zhǎng)公式，結(jié)合向量數(shù)量積公式，化簡(jiǎn)整理式子即可得到答案.【解答】解：，與夾角大小為二面角的大小，，又利用向量加法運(yùn)算知，，即解得：，故選：A.7.【答案】B【解析】【分析】本題考查異面直線所成角，屬于中檔題.連接，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，可知即為直線與直線所成角，再由余弦定理可得直線與直線所成角的余弦值.【解答】解：連接，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，在三角形中，分別為的中點(diǎn)，可得，可知即為直線與直線所成角，因?yàn)椋?，在直角三角形中，可得，又，在三角形中，由余弦定理可得，則直線與直線所成角的余弦值為，故選B.8.【答案】D【解析】【分析】本題考查空間向量基本定理，空間向量共面定理，屬于中檔題.由空間向量基本定理，用表示，由四點(diǎn)共面，可得存在實(shí)數(shù)，使，再轉(zhuǎn)化為，由空間向量分解的唯一性，分析即得解.【解答】解：由題意可知，，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，所以.故選：D.9.【答案】ABD【解析】【分析】本題考查空間中線線，線面的位置關(guān)系，屬于中檔題.根據(jù)異面直線的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)，線面平行的判定定理和性質(zhì)，進(jìn)行逐項(xiàng)分析判斷，即可求解.【解答】解：對(duì)于A，設(shè)的公垂線為，其中.過(guò)作的平行線，設(shè)直線與確定的平面為平面，則，，又平面，.故A正確；對(duì)于B，過(guò)上一點(diǎn)作，設(shè)與所確定的平面為，則，故B正確.對(duì)于C，若，則與異面相矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則平面或，故正確.故選ABD.10.【答案】ABC【解析】【分析】本題考查空間向量的數(shù)量積與模的運(yùn)算，空間向量的數(shù)量積等運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.得出即可分析A，B選項(xiàng)，運(yùn)用等積法可分析C選項(xiàng)，運(yùn)用空間向量的共面定理可分析D選項(xiàng).【解答】解：由題意，，，故A正確；，故B正確；由等面積法可得點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；假設(shè)四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)滿足，即，而該方程組無(wú)解，故四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò)誤；故選ABC.11.【答案】BC【解析】【分析】本題考查利用利用空間向量求線面和面面的夾角?利用空間向量判定線線的垂直?利用空間向量判定線面的平行關(guān)系，屬于中檔題.建立空間直角坐標(biāo)系，利用，判斷；依題意，是平面的法向量，由，則，判斷；分別求出平面的一個(gè)法向量，平面的法向量，再求出，，即可判斷CD.【解答】解：以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，所以，所以不垂直，故A錯(cuò)誤；依題意，是平面的法向量，又，可得，則，又因?yàn)橹本€平面，所以平面，故B正確；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，可得，依題意，，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨令，可得，所以，故C正確；因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選BC.12.【答案】2【解析】【分析】本題考查了直線的方向向量，是基礎(chǔ)題.根據(jù)向量平行列出等式即可.【解答】解：由題可知，又直線的方向向量為，故與平行，所以，所以13.【答案】【解析】【分析】本題考查點(diǎn)到平面距離的向量求法，屬于中檔題.建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【解答】解：在長(zhǎng)方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為：，，令得：，又，點(diǎn)到平面的距離為：.故答案為.14.【答案】【解析】解：以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)作平行線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量，，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則故答案為：以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)作平行線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值.本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.15.【答案】解：（1）由，得：，，，解得，所以，，，，即；（2）由，得，解得，由，解得：，所以或.【解析】本題考查了利用正?余弦定理解三角形和三角形面積公式，屬于中檔題.（1）由，由三角恒等變換得，可得的大??；（2）由，得出，結(jié)合余弦定理聯(lián)立得出.16.【答案】證明：設(shè)，這三個(gè)向量不共面，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，我們用它們表示，則，所以.所以.【解析】本題考查了空間向量的基本定理和加減數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.要證，只需證明.由已知，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.把和分別用基底表示，然后計(jì)算即可.17.【答案】（1）證明：是的中點(diǎn)，，又平面平面，，平面平面，平面，平面，.（2）解：如圖，以為原點(diǎn)，為軸，以過(guò)點(diǎn)平行的直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為，則，所以.平面與平面所成的二面角的正弦值為；（3）解：在棱上存在一點(diǎn)，設(shè)，且，，解得，，直線與平面所成角為，，解得，存在點(diǎn)符合條件，且是棱的中點(diǎn).【解析】本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查利用空間向量求解二面角，屬于中檔題.（1）證明平面即可得；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，以及平面的一個(gè)法向量，通過(guò)空間向量的數(shù)量積求解平面與平面所成的銳二面角正弦值；（3）設(shè)，利用若直線與平面所成的角為，列出方程求出，即可得到點(diǎn)的位置.18.【答案】解：（1）法一：連結(jié)，因?yàn)闉榈冗吶切?，為中點(diǎn)，，又平面平面，平面，平面，又平面，由題設(shè)知四邊形為菱形，，分別為中點(diǎn)，，又平面平面.法二：由平面平面，又為等邊三角形，為中點(diǎn)，，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又平面平面.法三：（同法二建系）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，即，不妨取，則，則，所以平面的一個(gè)法向量為，平面.（2）由（1）坐標(biāo)法得，平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)到平面的距離為.（3），設(shè)，則，；由（1）知：平面平面的一個(gè)法向量（或者由（1）中待定系數(shù)法求出法向量）；設(shè)平面的法向量，則，令，則；，令，則，，即銳二面角的余弦值的取值范圍為.【解析】本題考查知識(shí)點(diǎn)為線面垂直的判定，空間向量求點(diǎn)面距離?二面角，屬于一般題.（1）法一：根據(jù)題意求到平面，得，證明，從而可得平面.法二?三：建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明線面垂直；（2）由（1）得平面的法向量，利用點(diǎn)面距離公式求解即可；（3）由（1）得平面的法向量