2024年初中九年級數(shù)學上冊同步講義（人教版）第03課 公式法（教師版）

第03課公式法目標導航目標導航課程標準（1）知道一元二次方程根的判別式，能運用根的判別式直接判斷一元二次方程的根的情況.（2）會用公式法解一元二次方程.（3）會應用公式法解一元二次方程的其他問題知識精講知識點01一元二次方程根的判別式知識精講對于一元二次方程的一般式，我們也可以用配方法進行配方：∵當時，該方程才有實數(shù)根，且，∴方程才有實數(shù)根1、一元二次方程根的判別式是.2、表示:通常用希臘字母“△”表示,即；3、一元二次方程實數(shù)根的情況△的符號根的情況方程有2個不相等的實數(shù)根方程有2個相等的實數(shù)根方程沒有實數(shù)根【注意】（1）一元二次方程有實數(shù)根包括一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根和有兩個相等的實數(shù)根.此時b2－4ac≥0,切勿丟掉等號（2）當一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根時，不說方程只有一個實數(shù)根.（3）當a,c異號時，一元二次方程一定有兩個不相等的實數(shù)根.4、一元二次方程實數(shù)根的情況判斷△：一元二次方程根的情況△的符號一元二次方程有實數(shù)根一元二次方程有兩個實數(shù)根一元二次有兩個不相等的實數(shù)根一元二次沒有實數(shù)根知識點02求根公式及公式法對于一元二次方程進行配方可得到一元二次方程的求根公式：推導過程：【注意】（1）一元二次方程的求根公式的應用條件是,且.（2）用求根公式可求出任何有解的一元二次方程的根.用公式法解一元二次方程的步驟：步驟示例：解釋1、化為一般式移項：先將方程化為一般式（a≠0）2、確定a、b、c確定a、b、c時，要注意帶前面的符號3、計算△當△≥0時，才能用求根公式；當△＜0，則方程沒有實數(shù)根4、代入公式求根∵△＞0，∴方程有2個不相等的實數(shù)根能力拓展能力拓展考法01由根的判別式判斷方程根的情況【例題1】一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定【答案】B【解析】∵，，，∴，∴方程有兩個相等的實數(shù)根．故選：B．【即學即練1】一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【解析】解：原方程可化為：，，，，，方程由兩個不相等的實數(shù)根．故選A．考法02根據(jù)根的情況求參數(shù)范圍【例題2】關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【解析】解：根據(jù)一元二次方程一元二次方程有兩個實數(shù)根，解得：，根據(jù)二次項系數(shù)可得：故選D．【即學即練1】已知關于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，則下列關于該方程根的判斷，正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)b的取值有關【答案】A【解析】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．考法03公式法解一元二次方程【例題3】方程的根是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，，，∴，∴；故選：D.【即學即練1】用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4時，b2-4ac的值為（）A．52 B．32 C．20 D．-12【答案】C【解析】解：∵（x+2）2=6（x+2）﹣4，∴x2﹣2x﹣4=0，∴a=1，b=﹣2，c=﹣4，∴b2﹣4ac=4+16=20．故選C．【即學即練2】用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正確的是（）A．x1、2= B．x1、2=C．x1、2= D．x1、2=【答案】D【解析】∵3x2+4=12x，∴3x2-12x+4=0，∴a=3，b=-12，c=4，∴，故選D.【即學即練3】x=是下列哪個一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0【答案】D【解析】一元二次方程的求根公式是，對四個選項一一代入求根公式，正確的是D.所以答案選D.【即學即練4】方程的解為（）A．5 B．-2C．5和-2 D．以上結(jié)論都不對【答案】D【解析】分析：先把原方程化成一般形式，再代入求根公式計算即可.詳解：：∵（x-5）（x+2）=1，∴x2-3x-11=0，∵a=1，b=-3，c=-11，∴x=.故選D.【即學即練5】解方程：（1）；

（2）．【答案】（1）x1=5，x2=-1；（2）.【解析】（1）x2-4x-5=0，分解因式得：（x-5）（x+1）=0，x-5=0，x+1=0，x1=5，x2=-1；（2）2x2-2x-1=0，a=2，b=-2，c=-1，△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（-1）=12＞0，方程有兩個不相等實數(shù)根，.考法04公式法的其他應用【例題4】已知關于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．【答案】（1）證明見解析；（2）m=1．【解析】方法1（1）利用判別式（1）證明：．∵不論m為何值，，即．∴不論m為何值，方程總有實數(shù)根．（2）解關于x的一元二次方程，得，∴，．∵方程的兩個根都是正整數(shù)，∴是正整數(shù)，∴或．又∵方程的兩個根不相等，∴，∴．方法2（1）直接解一元二次方程求出根（1）證明：解關于x的一元二次方程，得，，∴不論m為何值，方程總有實數(shù)根．（2）解關于x的一元二次方程，得，∴，．∵方程的兩個根都是正整數(shù)，∴是正整數(shù)，∴或．又∵方程的兩個根不相等，∴，∴．【例題5】三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣6x+8=0的一個根，則這個三角形的周長為（）A．11 B．12 C．11或13 D．13【答案】D【解析】∵x2﹣6x+8=0，即（x﹣2）（x﹣4）=0，∴x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x=2或x=4，若x=2，則三角形的三邊2+3＜6，構不成三角形，舍去；當x=4時，這個三角形的周長為3+4+6=13，故選D．【即學即練1】已知△ABC為等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC為方程x2﹣8x+m＝0兩根，則m的值等于（）A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16【答案】D【解析】解：∵△ABC為等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC為方程x2﹣8x+m＝0兩根，則①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，∴m＝12；②AB＝AC，此時方程的判別式為0，∴Δ＝64﹣4m＝0，∴m＝16．故m的值等于12或16．故選：D．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．下列方程中，沒有實數(shù)根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2﹣2x+2=0【答案】D【解析】A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，此選項不符合題意；B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，此選項不符合題意；C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有兩個相等的實數(shù)根，此選項不符合題意；D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程沒有實數(shù)根，此選項符合題意．故選D．2．下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A.變形為，此時△=4-4=0，此方程有兩個相等的實數(shù)根，故選項A正確；B.中△=0-4=-4＜0，此時方程無實數(shù)根，故選項B錯誤；C.整理為，此時△=4+12=16＞0，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，故此選項錯誤；D.中，△=4＞0，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選項D錯誤.故選：A.3．已知關于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列說法正確的是（）A．方程有兩個相等的實數(shù)根B．方程有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．無法確定【答案】B【解析】解：由題意得△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選B．4．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必須滿足的條件是（）A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0【答案】A【解析】解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必須滿足的條件是b2-4ac≥0．故選A．5．關于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．實數(shù)根的個數(shù)由m的值確定【答案】A【解析】解：由題意可知：a=1，b=m，c=-m-2，∴，∴方程有兩個不相等實數(shù)根．故選A.6．是下列哪個一元二次方程的根（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：對于一元二次方程，方程的根為：．因為，所以，，，所以對應的一元二次方程是：．故選：D．7．解下列方程：（1）x2+4x﹣5＝0（2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）【答案】（1）x＝﹣5或x＝1；（2）x＝3或x＝1．【解析】解：（1）∵x2+4x-5＝0，∴（x+5）（x-1）＝0，則x+5＝0或x-1＝0，解得x＝-5或x＝1；（2）∵（x-3）2+2（x-3）＝0，∴（x-3）（x-1）＝0，則x-3＝0或x-1＝0，解得x＝3或x＝1．8．用公式法解下列方程：(1);

(2)；(3)

(4).【答案】（1）（2）（3）原方程無解．（4）【解析】解：(1)∵，∴，∴，∴；(2)原方程可化為，∴，∴，∴，∴；(3)∵，∴，∴原方程無解；(4)∵，∴，∴，∴.故答案為（1）；（2）；（3）原方程無解；（4）．題組B能力提升練1．已知實數(shù)滿足，則代數(shù)式的值是(

)A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3【答案】A【解析】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；當x2﹣x＝﹣2時，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程無實數(shù)解；當x2﹣x＝6時，x2﹣x+1＝7，故選A．2．若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則關于的方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【解析】解：一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，，，，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選．3．已知關于x的一元二次方程標有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C．且 D．【答案】C【解析】解：由題可得：,解得：且；故選：C．4．已知分別是的邊長，則一元二次方程的根的情況是（

）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判斷【答案】A【解析】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．∵a，b，c分別是三角形的三邊，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，∴△＜0，∴方程沒有實數(shù)根．故選：A．5．已知的三邊長為a，b，c，且滿足方程a2x2—（c2—a2—b2）x+b2=0，則方程根的情況是（

）．A．有兩相等實根 B．有兩相異實根 C．無實根 D．不能確定【答案】C【解析】∵a，b，c為△ABC的三邊長，∴a2≠0．∴△=（c2-a2-b2）2-4a2?b2，=（c2-a2-b2-2ab）（c2-a2-b2+2ab），=[c2-（a+b）2][c2-（a-b）2]，=（c-a-b）（c+a+b）（c+a-b）（c-a+b），又∵三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以△＜0，則原方程沒有實數(shù)根．故選C．6．請你判斷，的實根的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：當x＞0時，，解得：x1＝1；x2＝2；當x＜0時，，解得：x1＝（不合題意舍去），x2＝，∴方程的實數(shù)解的個數(shù)有3個．故選：C．7．若關于的方程有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則的取值范圍是________.【答案】3＜m≤4【解析】解：∵關于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三個根，∴①x-2=0，解得x1=2；②x2-4x+m=0，∴△=16-4m≥0，即m≤4，∴x2=2+x3=2-又∵這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，且最長邊為x2，∴x1+x3＞x2；解得3＜m≤4，∴m的取值范圍是3＜m≤4．故答案為3＜m≤4題組C培優(yōu)拔尖練1．已知關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命題是真命題的有（

）①若a＋2b＋4c＝0，則方程ax2＋bx＋c＝0必有實數(shù)根；②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，則方程ax2＋bx＋c＝0必有兩個不相等的實根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，則一定有ac＋b＋1＝0成立；④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2at＋b）2．A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】C【解析】解：①∵a+2b+4c=0，∴a=-2b-4c，∴方程為（-2b-4c）x2+bx+c=0，∴Δ=b2-4（-2b-4c）?c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0，∴方程ax2+bx+c=0必有實數(shù)根，故①正確．②∵b=3a+2，c=2a+2，∴方程為ax2+（3a+2）x+2a+2=0，∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2，當a=-2時，Δ=0，方程有相等的實數(shù)根，故②錯誤，③當c=0時，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③錯誤．④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，∴t=，∴2at+b=±，∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正確，故選：C．2．有兩個一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四個結(jié)論中，錯誤的是()A．如果方程M有兩個相等的實數(shù)根，那么方程N也有兩個相等的實數(shù)根B．如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同C．如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根D．如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x＝1【答案】D【解析】解：A、∵M有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＞0即而此時N的判別式△＝，故它也有兩個不相等的實數(shù)根，故此選項不符合題意；B、M的兩根符號相同：即，而N的兩根之積＝也大于0，故N的兩個根也是同號的，故此選項不符合題意；C、如果5是M的一個根，則有：①，我們只需要考慮將代入N方程看是否成立，代入得：②，比較①與②，可知②式是由①式兩邊同時除以25得到，故②式成立，故此選項不符合題意；D、比較方程M與N可得：，∴，∵a·c≠0，a≠c，∴，故可知，它們?nèi)绻懈嗤母墒?或-1，故此選項符合題意；3．對于一元二次方程，有下列說法：①若，則方程必有一個根為1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解析】解：①若x=1時，方程ax2+bx+c=0，則a+b+c=0，∵無法確定a-b+c=0．故①錯誤；②∵方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，∴△=0-4ac＞0∴-4ac＞0則方程ax2+bx+c=0的判別式，△=b2-4ac＞0∴方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根，故②正確；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一個根，則ac2+bc+c=0∴c（ac+b+1）=0若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③錯誤；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則由求根公式可得：或，∴或∴b2?4ac＝(2ax0+b)2，故④錯誤．故選：A．4．方程的解是________．【答案】或【解析】分兩種情況：①x＞-時，原方程可變形為：x2-2x-5=0，∴x1=1+，x2=1-（舍去）；②x≤-時，原方程變形為：x2+2x-3=0，即（x+3）（x-1）=0，∴x1=-3，x2=1（舍去），因此本題的解為x=1+或x=-3，故答案為：x=1+或x=-3．5．先閱讀下列材料，然后回答問題：在關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，若各項的系數(shù)之和為零，即a＋b＋c＝0，則有一根為1，另一根為.證明：設方程的兩根為x1，x2，由a＋b＋c＝0，知b＝－(a＋c)，∵x＝＝，∴x1＝1，x2＝.(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各項系數(shù)滿足a－b＋c＝0，請直接寫出此方程的兩根；(2)已知方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有兩個相等的實數(shù)根，運用上述結(jié)論證明：.【答案】(1)x1＝－1，x2＝－；(2)證明見解析.【解析】(1)x1＝－1，x2＝－，證明如下：設方程的兩根為x1，x2，由a-b＋c＝0，知b＝a＋c，∵x＝＝，∴x1＝-1，x2＝；(2)∵(ac－bc)＋(bc－ab)＋(ab－ac)＝0，且方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(