2024-2025版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列階段提升課第二課數(shù)列學(xué)案新人教A版必修5

PAGE階段提升課其次課數(shù)列思維導(dǎo)圖·構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)考點(diǎn)整合·素養(yǎng)提升題組訓(xùn)練一等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算

1.在等差數(shù)列{an}中a2+a3=1+a4,a5=9,則a8= ()A.14 B.15 C.16 D.17【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍2+a3=1+a4,a5=9,所以2a1+3d=1+a1+3d,a1+4d=9.聯(lián)立解得a1=1,d=2,則a8=1+7×2=15.2.在等比數(shù)列{an}中,a2+a4=1,a6+a8=4,則a2= ()A.2 B.4 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍2+a4=1,a6+a8=4,所以q4(a2+a4)=4,即q4=4,解得q2=2.由a2+a4=1,所以a2+a2q2=1,則a2=QUOTE.3.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若-S2,2S5,S7成等差數(shù)列,且a2a7=3a4,則a1A.QUOTE B.QUOTE C.±QUOTE D.±QUOTE【解析】選A.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,若q=1,則-S2=-2a1,2S5=10a1,S7=7a1,可見-S2,2S5,S7并不成等差數(shù)列,所以q≠1.因?yàn)?S2,2S5,S7成等差數(shù)列;所以有4QUOTE=-QUOTE+QUOTE,解得q2=4.因?yàn)閍2a7=3a4,所以有a1q×a1q6=3a1q3解得a1=QUOTE.方程法求值在等差(等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中,含有5個(gè)基本量,即a1,d(q),an,n,Sn.知道其中的三個(gè),可以求出其余的兩個(gè),稱為“知三求二”型.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在等差數(shù)列{an}中,a2+a3+a4=12,a7=8,則a1= ()A.-1 B.-2 C.1 D.2【解析】選D.設(shè)公差為d,因?yàn)閍2+a3+a4=3a3=12,所以a3=4,又a7=8,所以4d=a7-a3=4,所以d=1,所以a1=a7-6d=2.2.設(shè)公比為-2的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S5=QUOTE,則a4等于 ()A.8 B.4 C.-4 D.-8【解析】選C.設(shè)首項(xiàng)為a1,由于q=-2,S5=QUOTE,所以S5=QUOTE=QUOTE,解得a1=QUOTE,所以a4=a1q3=QUOTE×(-2)3=-4.題組訓(xùn)練二利用數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算

1.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a5a6+a4a7=6,則a1a2A.1 B.35【解析】選B.由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a5a6=a4a又a5a6+a4a7=6,所以2a所以a5a6又等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以a1a2…a10=352.已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為30,最終3項(xiàng)和為90,且前n項(xiàng)和為200,則n ()A.9 B.10 C.11 D.12【解析】選B.依題意,a1+a2+a3=30,an-2+an-1+an=90,所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an)=120,所以a1+an=40,所以Sn=200=QUOTE×n=20n,解得n=10.3.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,則A.Sn+1-Sn=2n+1 B.an=2nC.Sn=2n-1 D.Sn=2n-1-1【解析】選C.設(shè)公比為q,因?yàn)閍2a3所以QUOTE=64,解得a3=4.又a2+a4=10,所以QUOTE+4q=10,化為2q2-5q+2=0,解得q=2或QUOTE.q=2時(shí),a1=1;q=QUOTE時(shí),a1=16.又等比數(shù)列{an}單調(diào)遞增,取q=2,a1=1,所以an=2n-1.所以Sn=QUOTE=2n-1.Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n.因此只有C正確.4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a5+a7+a9=15,則S13=.

【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a5+a7+a9=15,所以a5+a7+a9=3a7=15,解得a7=5,所以S13=QUOTE(a1+a13)=13a7=65.答案:65先化簡再運(yùn)算利用數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件,簡化運(yùn)算,常用的性質(zhì)有等差(比)中項(xiàng)、前n項(xiàng)和的性質(zhì)等.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a4a6+a3a7=18,則log3a1+log3a2+log3aA.12 B.10 C.9 D.2+log35【解析】選C.因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a4a6+a3a所以由等比數(shù)列性質(zhì)得a5=3,所以log3a1+log3a2+log3a3+…=log3(a1×a2×…×a9)=log3QUOTE=9log33=9.2.已知數(shù)列{an}滿意an+1-an=2,a1=-3,則|a1|+|a2|+…+|a5|= ()A.13 B.8 C.5 D.20【解析】選A.因?yàn)閿?shù)列{an}滿意an+1-an=2,a1=-3,所以{an}是首項(xiàng)為-3,公差為2的等差數(shù)列,所以an=-3+(n-1)×2=2n-5,所以|a1|+|a2|+…+|a5|=-a1-a2+a3+a4+a5=-(-3)-(-1)+1+3+5=13.題組訓(xùn)練三等差、等比數(shù)列的判定

1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若bn=2an+3an+1,試問:數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列?【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an+1-an=d(d為常數(shù)),因?yàn)閚≥2時(shí),bn-bn-1=(2an+3an+1)-(2an-1+3an)=2(an-an-1)+3(an+1-an)=2d+3d=5d(常數(shù)),所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.2.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*).(1)設(shè)bn=an+1-2an,求證:{bn}是等比數(shù)列;(2)設(shè)cn=QUOTE,求證:{cn}是等差數(shù)列.【證明】(1)an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2.因?yàn)镾2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an,所以QUOTE-QUOTE=3.所以cn+1-cn=3,且c1=QUOTE=2,所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列,公差為3,首項(xiàng)為2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的推斷方法(1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列;QUOTE=q(q為常數(shù),q≠0)?{an}是等比數(shù)列.(2)中項(xiàng)公式法:2an+1=an+an+2?{an}是等差數(shù)列;QUOTE=an·an+2(an≠0)?{an}是等比數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法:an=kn+b(k,b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列;an=c·qn(c,q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列;Sn=Aqn-A(A,q為常數(shù),且A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)?{an}是等比數(shù)列.特殊提示:①前兩種方法是判定等差、等比數(shù)列的常用方法,而后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定.②若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差(比)數(shù)列,則只需判定其隨意的連續(xù)三項(xiàng)不成等差(比)即可.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}滿意a1=33,QUOTE=2,則an=.

【解析】由QUOTE=2變形得:an+1-an=2n,所以n≥2時(shí),an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)+a1=2+4+6+…+2(n-1)+33=QUOTE+33=n2-n+33.當(dāng)n=1時(shí),適合上式,所以an=n2-n+33.答案:n2-n+33題組訓(xùn)練四數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+1,求證{an}是等比數(shù)列,并求出通項(xiàng)公式.【解析】因?yàn)镾n=2an+1,所以Sn+1=2an+1+1.所以Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,所以an+1=2an(n≥1).所以QUOTE=2(n≥1).又a1=2a1+1,故a1=-1.所以{an}為等比數(shù)列,以-1為首項(xiàng),2為公比,則an=(-1)·2n-1.2.已知數(shù)列{an}滿意an+1=QUOTEan,且a1=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以n≥2時(shí),QUOTE·QUOTE·QUOTE·…·QUOTE=QUOTE·QUOTE·QUOTE·…·QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE.又因?yàn)閍1=1,所以an=QUOTE.因?yàn)閍1=1適合an=QUOTE,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=QUOTE.3.已知數(shù)列{an}滿意an+1=2an+3·2n,a1=2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】an+1=2an+3·2n兩邊同除以2n+1,得QUOTE=QUOTE+QUOTE,則QUOTE-QUOTE=QUOTE.故數(shù)列QUOTE是以QUOTE=QUOTE=1為首項(xiàng),以QUOTE為公差的等差數(shù)列.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得QUOTE=1+QUOTE(n-1)=QUOTEn-QUOTE,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=QUOTE2n.求數(shù)列的通項(xiàng)公式的類型及方法(1)視察法,視察數(shù)列各項(xiàng)特征,找出各項(xiàng)共同的構(gòu)成規(guī)律,歸納出通項(xiàng)公式.(2)遞推公式法,就是依據(jù)數(shù)列的遞推公式,采納迭代、疊加、累乘、轉(zhuǎn)化等方法產(chǎn)生an與a1(或Sn)的關(guān)系,得出通項(xiàng)公式.(3)前n項(xiàng)和公式法,就是利用an=QUOTE求通項(xiàng)公式的方法.這里應(yīng)當(dāng)留意檢驗(yàn)n=1是否符合n≥2時(shí)的形式.(4)公式法:等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種常見且重要的數(shù)列,利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來表示.(5)構(gòu)造法:已知首項(xiàng)a1,遞推關(guān)系an+1=pan+q(p,q為常數(shù))形式均可用構(gòu)造等比數(shù)列法,即an+1+x=p(an+x),{an+x}為等比數(shù)列,或an+2-an+1=p(an+1-an),{an+1-an}為等比數(shù)列.題組訓(xùn)練五數(shù)列求和

1.已知在等比數(shù)列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}滿意bn=2n-1+an(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍2是a1和a3-1的等差中項(xiàng),所以2a2=a1+a3-1,所以2q=1+q2-1,解得q=2或q=0(舍).所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.(2)由(1)知,bn=2n-1+2n-1,所以Sn=QUOTE+QUOTE=n2+2n-1.2.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n∈N*).【解析】(1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q(q>0).則QUOTE即QUOTE解得q=2,d=3,a1=1.所以{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-2,{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n.(2)由(1)得a2nb2n-1=(6n-2)·22n-1=(3n-1)·4n.設(shè)數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn=2×41+5×42+8×43+…+(3n-4)×4n-1+(3n-1)×4n,①4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1.②①-②得-3Tn=2×4+3×(42+43+…+4n)-(3n-1)×4n+1=8+3×QUOTE-(3n-1)×4n+1=-8+(2-3n)×4n+1.所以Tn=QUOTE+QUOTE×4n+1.所以數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和為QUOTE+QUOTE×4n+1.3.已知等差數(shù)列{an}滿意:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=QUOTE(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,由于a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.由于an=a1+(n-1)d,Sn=QUOTE,所以an=2n+1,Sn=n(n+2).(2)因?yàn)閍n=2n+1,所以QUOTE-1=4n(n+1),因此bn=QUOTE=QUOTE.故Tn=b1+b2+…+bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=QUOTE.求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的方法(1)公式法:干脆由等差、等比數(shù)列的求和公式求和,留意對(duì)等比數(shù)列q≠1的探討.(2)錯(cuò)位相減法:主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和.(3)分組轉(zhuǎn)化法:把