河北省永年縣一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

河北省永年縣一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個向量兩兩共面，則共面D.已知A，B，C三點不共線，若，則A，B，C，D四點共面2．若點在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的離心率為2，則（）A.2 B.C. D.14．下列說法中正確的是（）A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.棱臺的所有側(cè)棱延長后交于一點C.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形D.正棱錐的各條棱長都相等5．已知函數(shù).設(shè)命題的定義域為，命題的值域為.若為真，為假，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，7．已知分別是等差數(shù)列的前項和，且，則（）A. B.C. D.8．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；②曲線是一個橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③9．設(shè)，則曲線在點處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.10．設(shè)分別為圓和橢圓上的點,則兩點間的最大距離是A. B.C. D.11．將的展開式按x的降冪排列，第二項不大于第三項，若，且，則實數(shù)x的取值范圍是（）A. B.C. D.12．在空間直角坐標(biāo)系中，為直線的一個方向向量，為平面的一個法向量，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一道數(shù)學(xué)難題，在半小時內(nèi)，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，兩人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它，則問題得到解決的概率是________.14．若p：存在，使是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______15．用組成所有沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿足與相鄰并且與不相鄰的五位數(shù)共有____________個.(結(jié)果用數(shù)值表示)16．已知數(shù)列滿足：，，，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標(biāo)原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當(dāng)直線的傾斜角為時，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由18．（12分）已知點為橢圓C的右焦點，P為橢圓上一點，且（O為坐標(biāo)原點），.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求弦的取值范圍.19．（12分）設(shè)：實數(shù)滿足，：實數(shù)滿足（1）若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）已知直線，以點為圓心的圓C與直線l相切（1）求圓C的標(biāo)方程；（2）過點的直線交圓C于A，B兩點，且，求的方程21．（12分）如圖，在長方體中，，若點P為棱上一點，且，Q，R分別為棱上的點，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.22．（10分）如圖四棱錐P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等邊三角形.（1）設(shè)面PAB面PDC=l，證明:l//平面ABCD；（2）線段PC內(nèi)是否存在一點E，使面ADE與面ABCD所成角的余弦值為，如果存在，求λ=的值，如果不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】對于A，利用空間向量基本定理判斷，對于B，利用向量的定義判斷，對于C，舉例判斷，對于D，共面向量定理判斷【詳解】對于A，若三個向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯誤，對于B，因為向量是自由向量，是可以自由平移，所以當(dāng)所在的直線是異面直線時，有可能共面，所以B錯誤，對于C，當(dāng)三個向量兩兩共面時，如空間直角坐標(biāo)系中的3個基向量兩兩共面，但這3個向量不共面，所以C錯誤，對于D，因為A，B，C三點不共線，，且，所以A，B，C，D四點共面，所以D正確，故選：D2、C【解析】根據(jù)給定條件求出即可計算橢圓的離心率.【詳解】因點在橢圓，則，解得，而橢圓長半軸長，所以橢圓離心率.故選：C3、D【解析】由雙曲線的性質(zhì)，直接表示離心率，求.【詳解】由雙曲線方程可知，因為，所以，解得：，又，所以.故選：D【點睛】本題考查雙曲線基本性質(zhì)，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關(guān)于的方程.4、B【解析】根據(jù)棱柱、棱臺、球、正棱錐結(jié)構(gòu)特征依次判斷選項即可.【詳解】棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，A不正確；棱臺是由對應(yīng)的棱錐截得的，B正確；不是所有幾何體的表面都能展開成平面圖形，例如球不能展開成平面圖形，C不正確；正棱錐的各條棱長并不是都相等，應(yīng)該為正棱錐的側(cè)棱長都相等，所以D不正確.故選：B.5、C【解析】根據(jù)一元二次不等式恒成立和二次函數(shù)值域可求得為真命題時的取值范圍，根據(jù)和的真假性可知一真一假，分類討論可得結(jié)果.【詳解】若命題為真，則在上恒成立，，；若命題為真，則的值域包含，則或，；為真，為假，一真一假，若真假，則；若假真，則；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：C.6、B【解析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B7、D【解析】利用及等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解.【詳解】分別是等差數(shù)列的前項和，故，且，故，故選：D8、D【解析】對于①在方程中換為，換為可判斷；對于②分析曲線的圖形是兩個拋物線的部分組成的可判斷；對于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱所以①正確,當(dāng)時，曲線的方程化為，此時當(dāng)時，曲線的方程化為，此時所以曲線圖形是兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當(dāng)，時，設(shè)，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個頂點在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D9、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，則曲線在點處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C10、D【解析】轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加（半徑）.【詳解】設(shè)，圓心為，則，當(dāng)時，取到最大值，∴最大值為故選：D.【點睛】本題考查圓上點與橢圓上點的距離的最值問題，解題關(guān)鍵是圓上的點轉(zhuǎn)化為圓心，利用圓心到動點距離的最值加（或減）半徑得出結(jié)論11、A【解析】按照二項展開式展開表示出第二項第三項，解不等式即可.【詳解】由二項展開式，第二項為：，第三項為：，依題意，兩邊約去得到，即，由知，則，同時約去得到.故選：A.12、B【解析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，解得.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分甲解決乙不能解決，甲不能解決乙能解決，甲能解決乙也能解決三類，利用獨立事件的概率求解.【詳解】因為甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，所以問題得到解決的概率是，故答案為：14、【解析】將問題分離參數(shù)得到存在，使成立，可得結(jié)論.【詳解】存在，使，即存在，使，所以故答案為：15、【解析】由題意，先利用捆綁法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【詳解】因為滿足與相鄰并且與不相鄰，則將捆綁，內(nèi)部排序得，再對和全排列得，利用插空法將和插空得，所以滿足題意得五位數(shù)有.故答案為：16、.【解析】運用累和法，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式進行求解即可.【詳解】因為，，所以當(dāng)時，有，因此有：，即，當(dāng)時，適合上式，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因為，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點，則點，當(dāng)直線的傾斜角為時，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：易知點，若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的兩個端點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點，同理可得點，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設(shè)條件的直線，且直線的方程為或，點總在以線段為直徑的圓上.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.18、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓定義求得橢圓的即可解決；（2）經(jīng)過點的直線l分為斜率不存在和存在兩種情況，分別去求弦，再去求其取值范圍即可.【小問1詳解】由題意得.記左焦點為，，則，，解得.由橢圓定義得：，則，所以橢圓C的方程為：.【小問2詳解】①當(dāng)直線l的斜率不存在時，.②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則l的方程為.聯(lián)立橢圓與直線的方程（由于點在橢圓內(nèi)，∴成立），且，，令，則，，，由得，綜上所述，弦的取值范圍為.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)二次不等式與分式不等式的求解方法求得命題p，q為真時實數(shù)x的取值范圍，再求交集即可；（2）先求得，再根據(jù)是的必要不充分條件可得，再根據(jù)集合包含關(guān)系，根據(jù)區(qū)間端點列不等式求解即可【小問1詳解】當(dāng)時，，解得，即p為真時，實數(shù)x的取值范圍為．由，解得，即q為真時，實數(shù)x的取值范圍為若為真，則，解得實數(shù)x的取值范圍為【小問2詳解】若p是q的必要不充分條件，則且設(shè)，，則，又由，得，因為，則，有，解得因此a的取值范圍為20、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式求出半徑，即可得到圓C的標(biāo)方程；（2）根據(jù)弦長公式可求出圓心C到直線的距離，再根據(jù)點到直線的距離公式結(jié)合分類討論思想即可求出【小問1詳解】設(shè)圓C的半徑為r，∵C與l相切，∴，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】由可得圓心C到直線的距離∴當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，其方程為，此時圓心到的距離為3，符合條件；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，圓心C到直線的距離，解得，此時的方程為，即綜上，的方程為或21、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問1詳解】以D為坐標(biāo)原點，射線方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)時，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問2詳解】在長方體中，因為平面，所以平面平面，因為平面與平面交于，因為四邊形為正方形，所以，所以平面，即為平面的一個法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.22、（1）證明見解析（2）存在【解析】（1）由已知可得∥，再由線面平行的判定可得∥平面，再由線面平行的性質(zhì)可得∥，再由線面平行的判定可得結(jié)論，（2）由已知條件可