2025屆安徽省阜陽(yáng)市太和中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆安徽省阜陽(yáng)市太和中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿(mǎn)足，（且），若恒成立，則M的最小值是（）A.2 B.C. D.34．如右圖，一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn).那么，當(dāng)小圓這樣滾過(guò)大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是A. B.C. D.5．已知向量，，若，則（）A.1 B.C. D.26．直線(xiàn)分別與曲線(xiàn)，交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.1C. D.27．下列直線(xiàn)中，傾斜角為銳角的是（）A. B.C. D.8．命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，9．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.10．如圖，D是正方體的一個(gè)“直角尖”O(jiān)-ABC（OA，OB，OC兩兩垂直且相等）棱OB的中點(diǎn)，P是BC中點(diǎn)，Q是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連PQ，則當(dāng)AC與PQ所成角為最小時(shí)，（）A. B.C. D.211．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離是（）A.4 B.3C.2 D.112．設(shè)等比數(shù)列，有下列四個(gè)命題：①{a②是等比數(shù)列；③是等比數(shù)列；④lgan其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在正方體中，點(diǎn)是底面內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且平面，則異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍為_(kāi)___________14．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的通項(xiàng)公式______15．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，此類(lèi)橢圓稱(chēng)為“黃金橢圓”，則“黃金橢圓”的離心率___________.16．若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則其通項(xiàng)公式________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，都有．若存在，求出r的值，并求此時(shí)△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）已知點(diǎn)F為拋物線(xiàn)：（）的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上且在x軸上方，.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B與點(diǎn)P不重合），直線(xiàn)PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，直線(xiàn)PB與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN的面積最小時(shí)，求直線(xiàn)l的方程.20．（12分）求適合下列條件的曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1），焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是2的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程21．（12分）已知拋物線(xiàn)C：，經(jīng)過(guò)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)（1）求的值（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）設(shè)F為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，直線(xiàn)為拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)，直線(xiàn)是拋物線(xiàn)C的通徑所在的直線(xiàn)，過(guò)C上一點(diǎn)P（）（）作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，若直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)M，與直線(xiàn)相交于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求出此定值22．（10分）已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則.故選：C.2、A【解析】結(jié)合等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)分別求出和，代值運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】由是等比數(shù)列可得，是等差數(shù)列可得，所以，故選：A3、C【解析】根據(jù)，（且），利用累加法求得，再根據(jù)恒成立求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足，，（且）所以，，，，因?yàn)楹愠闪?，所以，則M的最小值是，故選：C4、A【解析】如圖：如圖，取小圓上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交大圓于點(diǎn)，連接，，則在小圓中，，在大圓中，，根據(jù)大圓的半徑是小圓半徑的倍，可知的中點(diǎn)是小圓轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度后的圓心，且這個(gè)角度恰好是，綜上可知小圓在大圓內(nèi)壁上滾動(dòng)，圓心轉(zhuǎn)過(guò)角后的位置為點(diǎn)，小圓上的點(diǎn)，恰好滾動(dòng)到大圓上的也就是此時(shí)的小圓與大圓的切點(diǎn)．而在小圓中，圓心角（是小圓與的交點(diǎn)）恰好等于，則，而點(diǎn)與點(diǎn)其實(shí)是同一個(gè)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置，則可知點(diǎn)與點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置．由于的任意性，可知點(diǎn)的軌跡是大圓水平的這條直徑．類(lèi)似的可知點(diǎn)的軌跡是大圓豎直的這條直徑.故選A.5、B【解析】由向量平行，先求出的值，再由模長(zhǎng)公式求解模長(zhǎng).【詳解】由，則，即則，所以則故選：B6、B【解析】設(shè)，，，，得到，用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：設(shè)，，，，則，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)的最小值為1，故選：B7、A【解析】先由直線(xiàn)方程找到直線(xiàn)的斜率，再推導(dǎo)出直線(xiàn)的傾斜角即可.【詳解】選項(xiàng)A：直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)傾斜角為，是銳角，判斷正確；選項(xiàng)B：直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)傾斜角為鈍角，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)傾斜角為0，不是銳角，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：直線(xiàn)沒(méi)有斜率，傾斜角為直角，不是銳角，判斷錯(cuò)誤.故選：A8、D【解析】根據(jù)含一個(gè)量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結(jié)論，直接得到結(jié)果.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選：D9、C【解析】根據(jù)題意，由為原點(diǎn)到直線(xiàn)上點(diǎn)的距離的平方，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)垂線(xiàn)段最短，即可求得范圍.【詳解】由，，視為原點(diǎn)到直線(xiàn)上點(diǎn)的距離的平方，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)垂線(xiàn)段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.10、C【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求得AC與PQ夾角的余弦值關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，求得角度最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可代值計(jì)算求解結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：設(shè)，則，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，則，又，設(shè)直線(xiàn)所成角為，則，則，令，令，則，令，則，此時(shí).故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最小，點(diǎn)，則，故，則故選：C.11、C【解析】由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,故拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離是2.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題型.12、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)對(duì)四個(gè)命題逐一分析，由此確定正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】是等比數(shù)列可得（為定值）①為常數(shù)，故①正確②，故②正確③為常數(shù)，故③正確④不一定為常數(shù)，故④錯(cuò)誤故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過(guò)作平面平面，得到在與平面的交線(xiàn)上，連接，證得平面平面，得到點(diǎn)在上，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，且，得到，，設(shè)與所成角為，利用向量的夾角公式，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】過(guò)作平面平面，因?yàn)辄c(diǎn)是底面內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且平面，則平面，即在與平面的交線(xiàn)上，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，同理可證平面，所以平面平面，則平面即為，點(diǎn)在線(xiàn)段上，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，且，則，，可得，設(shè)與所成角為，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，最大值為故答案為14、3（答案不唯一）【解析】由已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，從而可寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，當(dāng)公差為0時(shí)，；公差為1時(shí)，；…故答案為：3（答案為唯一）15、或【解析】寫(xiě)出，，求出，根據(jù)以及即可求解，【詳解】由題意，，，所以，，因?yàn)?，則，即，即，所以，即，解得或（舍）.故答案為：16、【解析】由和計(jì)算【詳解】由題意，時(shí)，，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.【解析】（1）由已知條件，可得為常數(shù)，從而得證數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，又，所以，所以，利用錯(cuò)位相減法即可求解數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】證明：由題意，因?yàn)椋?，，所以，，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得，又，所以，所以，所以，所以，，所以，所以.18、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用離心率和橢圓所過(guò)點(diǎn)列出方程組，求出，求出橢圓方程；（2）假設(shè)存在，分切線(xiàn)斜率存在和不存在分類(lèi)討論，根據(jù)向量數(shù)量積為0求出r的值，表達(dá)出△AOB的面積，利用基本不等式求出的取值范圍，進(jìn)而求出△AOB面積的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓C：的離心率，且過(guò)點(diǎn)所以解得所以橢圓C的方程為【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在⊙O：滿(mǎn)足題意，①切線(xiàn)方程l的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程l：y＝kx＋m與橢圓方程聯(lián)立，消去y得，(*)設(shè)，，由題意知，(*)有兩解所以，即由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以因?yàn)?，所以，即化?jiǎn)得，且，O到直線(xiàn)l的距離所以，又，此時(shí)，所以滿(mǎn)足題意所以存在圓的方程為⊙O：△AOB的面積，又因?yàn)楫?dāng)k≠0時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)又因?yàn)?，所以，所以?dāng)k＝0時(shí)，②斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)或兩點(diǎn)易知存在圓的方程為⊙O：且綜上，所以【點(diǎn)睛】求解圓錐曲線(xiàn)相關(guān)的三角形或四邊形面積取值范圍問(wèn)題，需要先設(shè)出變量，表達(dá)出面積，利用基本不等式或者配方，導(dǎo)函數(shù)等求出最值，求出取值范圍，特別注意直線(xiàn)斜率存在和不存在的情況，需要分類(lèi)討論.19、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線(xiàn)定義求出p即可作答.(2)聯(lián)立直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的方程，用點(diǎn)A，B坐標(biāo)表示出點(diǎn)C，D，M，N的坐標(biāo)，列出四邊形CDMN面積的函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)：，由拋物線(xiàn)定義得，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，則，即，依題意，，設(shè)，，由消去并整理得，則有，，直線(xiàn)PA的斜率是，方程為，令，則，令，則，即點(diǎn)C，點(diǎn)D，同理點(diǎn)M，點(diǎn)N，則，，四邊形的面積有：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)四邊形CDMN的面積最小值為4，直線(xiàn)l的方程為或.20、（1）；（2）或【解析】（1）設(shè)方程為（，），即得解；（2）由題得，即得解.【詳解】（1）解：由題意，設(shè)方程為（，），，，，，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是2，，∴當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為或21、（1）（2）證明見(jiàn)解析，定值為【解析】（1）設(shè)出直線(xiàn)的方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得.（2）求得過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程，由此求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)化簡(jiǎn)來(lái)證得為定值，并求得定值.【小問(wèn)1詳解】依題意可知直線(xiàn)的斜率不為零，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，消去并化簡(jiǎn)得，所以，所以.小問(wèn)2詳解】拋物線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)，通徑所在直線(xiàn)，在拋物線(xiàn)上，且，所以過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率存在且不為零，設(shè)