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文檔簡介
2025屆甘肅省武威市涼州區(qū)高二數(shù)學第一學期期末考試模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)在處取得極值,則()A. B.C. D.2.已知直線與直線垂直,則()A. B.C. D.33.中國古代有一道數(shù)學題:“今有七人差等均錢,甲、乙均七十七文,戊、己、庚均七十五文,問戊、己各若干?”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個人分錢,所分得的錢數(shù)構成等差數(shù)列,甲、乙兩人共分得77文,戊、己、庚三人共分得75文,則戊、己兩人各分得多少文錢?則下列說法正確的是()A.戊分得34文,己分得31文 B.戊分得31文,己分得34文C.戊分得28文,己分得25文 D.戊分得25文,己分得28文4.某中學的校友會為感謝學校的教育之恩,準備在學校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐,已知此正四棱錐的側面與底面所成的二面角為30°,側棱長為米,則以下說法不正確()A.底面邊長為6米 B.體積為立方米C.側面積為平方米 D.側棱與底面所成角的正弦值為5.已知,是空間中的任意兩個非零向量,則下列各式中一定成立的是()A. B.C. D.6.已知雙曲線的左右焦點分別是和,點關于漸近線的對稱點恰好落在圓上,則雙曲線的離心率為()A. B.2C. D.37.若雙曲線經過點,且它的兩條漸近線方程是,則雙曲線的方程是()A. B.C. D.8.已知A,B,C,D是同一球面上的四個點,其中是正三角形,平面,,則該球的表面積為()A. B.C. D.9.函數(shù)在上的極大值點為()A. B.C. D.10.已知等比數(shù)列滿足,,則()A.21 B.42C.63 D.8411.已知直線與x軸,y軸分別交于A,B兩點,且直線l與圓相切,則的面積的最小值為()A.1 B.2C.3 D.412.直線的傾斜角大小為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,若,則實數(shù)=________.14.已知圓:,圓:,則圓與圓的位置關系是______15.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,直線l過點F與拋物線C交于A,B兩點,以F為圓心的圓交線段AB于C,D兩點(從上到下依次為A,C,D,B),若,則該圓的半徑r的取值范圍是____________.16.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中,后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上面一層有1個球,第二層有3個球,第三層有6個球…….設各層球數(shù)構成一個數(shù)列,其中,,,則______三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:經過點,設右焦點F,橢圓上存在點Q,使QF垂直于x軸且.(1)求橢圓的方程;(2)過點的直線與橢圓交于D,G兩點.是否存在直線使得以DG為直徑的圓過點E(-1,0)?若存在,求出直線的方程,若不存在,說明理由.18.(12分)已知直線,圓.(1)證明:直線l與圓C相交;(2)設l與C的兩個交點分別為A、B,弦AB的中點為M,求點M的軌跡方程;(3)在(2)的條件下,設圓C在點A處的切線為,在點B處的切線為,與的交點為Q.試探究:當m變化時,點Q是否恒在一條定直線上?若是,請求出這條直線的方程;若不是,說明理由.19.(12分)數(shù)字人民幣是由央行發(fā)行的法定數(shù)字貨幣,它由指定運營機構參與運營并向公眾兌換,與紙鈔和硬幣等價.截至2021年6月30日,數(shù)字人民幣試點場景已超132萬個,覆蓋生活繳費、餐飲服務、交通出行、購物消費、政務服務等領域.為了進一步了解普通大眾對數(shù)字人民幣的感知以及接受情況,某機構進行了一次問卷調查,結果如下:學歷小學及以下初中高中大學??拼髮W本科碩士研究生及以上不了解數(shù)字人民幣35358055646了解數(shù)字人民幣406015011014025(1)如果將高中及高中以下的學歷稱為“低學歷”,大學??萍耙陨蠈W歷稱為“高學歷”,根據所給數(shù)據,完成列聯(lián)表.低學歷高學歷合計不了解數(shù)字人民幣了解數(shù)字人民幣合計(2)若從低學歷的被調查者中隨機抽取2人進行進一步調查,求被選中的2人中至少有1人對數(shù)字人民幣不了解的概率:(3)根據列聯(lián)表,判斷是否有的把握認為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學歷高低”有關?0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附:.20.(12分)新高考取消文理分科,采用選科模式,這賦予了學生充分的自由選擇權.新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來高考選考物理的情況,隨機選取了100名高一學生,將他們某次物理測試成績(滿分100分)按照,,,,分成5組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值并估計這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù).(2)根據調查,本次物理測試成績不低于60分的學生,高考將選考物理科目;成績低于60分的學生,高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測試成績在,的學生中選取5人,再從這5人中任意選取2人,求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.21.(12分)已知數(shù)列的首項,且滿足.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前n項和.22.(10分)已知拋物線C:上一點到焦點F的距離為2(1)求實數(shù)p的值;(2)若直線l過C的焦點,與拋物線交于A,B兩點,且,求直線l的方程
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據極值點處導函數(shù)為零可求解.【詳解】因為,則,由題意可知.經檢驗滿足題意故選:B2、D【解析】先分別求出兩條直線的斜率,再利用兩直線垂直斜率之積為,即可求出.【詳解】由已知得直線與直線的斜率分別為、,∵直線與直線垂直,∴,解得,故選:.3、C【解析】設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為,,,,,,,再根據題意列方程組可解得結果.【詳解】依題意,設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為,,,,,,,則,解得,所以戊分得(文),己分得(文),故選:C.4、D【解析】連接底面正方形的對角線交于點,連接,則為該正四棱錐的高,即平面,取的中點,連接,則的大小為側面與底面所成,設正方形的邊長為,求出該正四棱錐的底面邊長,斜高和高,然后對選項進行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對角線交于點,連接則為該正四棱錐的高,即平面取的中點,連接,由正四棱錐的性質,可得由分別為的中點,所以,則所以為二面角的平面角,由條件可得設正方形的邊長為,則,又則,解得故選項A正確.所以,則該正四棱錐的體積為,故選項B正確.該正四棱錐的側面積為,故選項C正確.由題意為側棱與底面所成角,則,故選項D不正確.故選:D5、C【解析】利用向量數(shù)量積的定義及運算性質逐一分析各選項即可得答案.【詳解】解:對A:因為,所以,故選項A錯誤;對B:因為,故選項B錯誤;對C:因為,故選項C正確;對D:因為,故選項D錯誤故選:C.6、B【解析】首先求出F1到漸近線的距離,利用F1關于漸近線的對稱點恰落在圓上,可得直角三角形,利用勾股定理得到關于ac的齊次式,即可求出雙曲線的離心率【詳解】由題意可設,則到漸近線的距離為.設關于漸近線的對稱點為M,F1M與漸近線交于A,∴MF1=2b,A為F1M的中點.又O是F1P的中點,∴OA∥F2M,∴為直角,所以△為直角三角形,由勾股定理得:,所以,所以,所以離心率故選:B.7、A【解析】根據雙曲線漸近線方程設出方程,再由其過的點即可求解.【詳解】漸近線方程是,設雙曲線方程為,又因為雙曲線經過點,所以有,所以雙曲線方程為,化為標準方程為.故選:A8、C【解析】由題意畫出幾何體的圖形,把、、、擴展為三棱柱,上下底面中心連線的中點與的距離為球的半徑,由此能求出球的表面積【詳解】把、、、擴展為三棱柱,上下底面中心連線的中點與的距離為球的半徑,,,是正三角形,,,球的表面積為故選:C9、C【解析】求出函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性,即可求出函數(shù)的極大值點【詳解】,∴當時,,單調遞減,當時,,單調遞增,當時,,單調遞減,∴函數(shù)在的極大值點為故選:C10、D【解析】設等比數(shù)列公比為q,根據給定條件求出即可計算作答.【詳解】等比數(shù)列公比為q,由得:,即,而,解得,所以.故選:D11、A【解析】由直線與圓相切可得,再利用基本不等式即求.【詳解】由已知可得,,因為直線與圓相切,所以,即,因為,當且僅當時取等號,所以,,所以面積的最小值為1.故選:A12、B【解析】將直線方程變?yōu)樾苯厥剑鶕甭逝c傾斜角關系可直接求解.【詳解】由直線可得,所以,設傾斜角為,則因為所以故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由可求得【詳解】因為,所以,故答案為:【點睛】本題考查向量垂直的坐標表示,屬于基礎題14、相交【解析】把兩個圓的方程化為標準方程,分別找出兩圓的圓心坐標和半徑,利用兩點間的距離公式求出兩圓心的距離,與半徑和與差的關系比較即可知兩圓位置關系.【詳解】化為,化為,則兩圓圓心分別為:,,半徑分別為:,圓心距為,,所以兩圓相交.故答案為:相交.15、【解析】設出直線的方程為,代入拋物線方程,消去,可得關于的二次方程,運用韋達定理及拋物線的定義,化簡計算可求解.【詳解】拋物線C:y2=8x的焦點為,設以為圓心的圓的半徑為,可知,,設,直線的方程為,則,代入拋物線方程,可得,即有,,,,即,所以.故答案為:16、15【解析】由分析可知每次小球數(shù)量剛好是等差數(shù)列的求和,最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,,所以,故答案為:15三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)存在,或.【解析】(1)根據題意,列出的方程組,求得,則橢圓方程得解;(2)對直線的斜率進行討論,當斜率存在時,設出直線方程,聯(lián)立橢圓方程,利用韋達定理,轉化題意為,求解即可.小問1詳解】由題意,得,設,將代入橢圓方程,得,所以,解得,所以橢圓的方程為.【小問2詳解】當斜率不存在時,即時,,為橢圓短軸兩端點,則以為直徑的圓為,恒過點,滿足題意;當斜率存在時,設,,,由得:,,解得:,,若以為直徑的圓過點,則,即,又,,,解得:,滿足,即,此時直線的方程為綜上,存在直線使得以為直徑的圓過點,的方程為或18、(1)證明見解析;(2);(3)點Q恒在直線上,理由見解析.【解析】(1)求出直線過定點,得到在圓內部,故證明直線l與圓C相交;(2)設出點,利用垂直得到等量關系,整理后即為軌跡方程;(3)利用Q、A、B、C四點共圓,得到此圓方程,聯(lián)立,求出相交弦的方程,即直線的方程,根據直線過的定點,得到,從而得到點Q恒在直線上.【小問1詳解】證明:直線過定點,代入得:,故在圓內,故直線l與圓C相交;【小問2詳解】圓的圓心為,設點,由垂徑定理得:,即,化簡得:,點M的軌跡方程為:【小問3詳解】設點,由題意得:Q、A、B、C四點共圓,且圓的方程為:,即,與圓C的方程聯(lián)立,消去二次項得:,即為直線的方程,因為直線過定點,所以,解得:,所以當m變化時,點Q恒在直線上.【點睛】本題的第三問是稍有難度的,處理方法是根據四點共圓,直徑的端點坐標,求出此圓的方程,與曲線聯(lián)立后得到相交弦的方程,是處理此類問題的關鍵.19、(1)列聯(lián)表答案見解析;(2);(3)沒有的把握認為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學歷高低”有關.【解析】(1)根據給定表中數(shù)據列出列聯(lián)表作答.(2)利用給定條件結合古典概率公式計算作答.(3)利用(1)中信息求出的觀測值,再與臨界值表比對作答.【小問1詳解】列聯(lián)表如下:低學歷高學歷合計不了解數(shù)字人民幣150125275了解數(shù)字人民幣250275525合計400400800【小問2詳解】由(1)知,被調查者中低學歷的有400,其中不了解數(shù)字人民幣的有150,從400人中任取2人有個基本事件,它們等可能,被選中的2人中至少有1人對數(shù)字人民幣不了解的事件A有個基本事件,所以被選中的2人中至少有1人對數(shù)字人民幣不了解的概率.【小問3詳解】由(1)知,的觀測值為,所以沒有的把握認為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學歷高低”有關.20、(1),中位數(shù)為;(2).【解析】(1)由頻率和為1求參數(shù)a,根據直方圖及中位數(shù)性質求中位數(shù)即可.(2)首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數(shù)分布情況,再應用列舉法求古典概型的概率即可.【小問1詳解】由圖知:,解得.學生成績在的頻率為;學生成績在的頻率為.設這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù)為,則,解得,故估計這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù)為.【小問2詳解】由(1)知,學生成績在的頻數(shù)為,學生成績在的頻數(shù)為.按分層抽樣的方法從中選取5人,則成績在的學生被抽取人,分別記為,,成績在的學生被抽取人,分別記為,,.從中任意選取2人,有,,,,,,,,,這10種選法,其中至少有1人高考選考物理科目的選法有,,,,,,,,這9種,∴這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.21、(1)證明見解析;(2)當為偶數(shù)時,;當為奇數(shù)時,.【解析】(1)根據等比數(shù)列的定義進行證明即可;(2)利用分組求和法,結合錯位相減法進行求解即
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