高數(shù)電子2012aa1同濟(jì)版章

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1/19第一節(jié)中值定理

羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)、作業(yè)一、羅爾(Rolle)定理

C:y=f(x)(x[a,b])連續(xù)、除端點(diǎn)外處處有（非垂直的）切線、兩個(gè)端點(diǎn)的高度相同

曲線段C上必有某點(diǎn)切線是水平的？2/19羅爾定理

若

f(x)在[a,b]上連續(xù)、

(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

f(a)=f(b)，則存在

(a,b)，f

(

)=0.使得3/19證4/19羅爾定理

若

f(x)在[a,b]上連續(xù)、

(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

f(a)=f(b)，則存在

(a,b)，f

(

)=0.使得5/19（接著證）RolleTH常用于討論導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的存在性;變號(hào)點(diǎn)以及方程的根．討論函數(shù)的零點(diǎn)、6/19例1證（反證）證

（用反證法）證畢．7/19n次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式至多有n個(gè)(不同的)實(shí)根.例2二、拉格朗日(Lagrange)中值定理微分中值定理8/19拉格朗日（Lagrange）中值定理

若f(x)在[a,b]上連續(xù)、

(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

那末

證拉格朗日中值公式證畢．*另證分析9/19

f的精確表達(dá)式拉格朗日中值定理又稱為有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱為有限增量公式.推論10/19例3證證畢.11/19例4證12/19

拉格朗日中值定理將函數(shù)增量、自變量增量及導(dǎo)數(shù)中值聯(lián)系在一起．在利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)討論函數(shù)（增量）的性質(zhì)時(shí)，常用到拉格朗日中值定理．三、柯西(Cauchy)中值定理

L-中值TH的幾何背景問(wèn)題用參數(shù)方程

來(lái)刻畫會(huì)怎樣？13/19證（利用L-中值TH）14/19柯西中值定理

如果f(x)、F(x)

C[a,b]、(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

且F

(x)在(a,b)內(nèi)恒不為零，

則

(a,b),使

在15/1916/19例5證證畢．柯西中值定理將兩個(gè)函數(shù)的增量比與它們的導(dǎo)數(shù)比聯(lián)系起來(lái)．在利用兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論這兩個(gè)函數(shù)的比值或增量比時(shí)，常用到柯西中值定理.17/19柯西中值定理中分子、分母的導(dǎo)數(shù)是在同一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)！例6證18/19四、小結(jié)RolleLagrangeCauchy羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系:注意定理成立的條件；這些中值定理是連接函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的橋梁；注意柯西中值定理中的導(dǎo)數(shù)比是同一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．19/19作業(yè)