第06講整式的加減（4大題型）

第06講整式的加減（4大題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整式的加減計(jì)算與一般步驟；1.掌握整式的加減計(jì)算；2.掌握整式加減的一般步驟和最后結(jié)果的要求；知識(shí)點(diǎn)01：整式的加減一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。要點(diǎn)詮釋：（1）整式加減的一般步驟是：①先去括號(hào)；②再合并同類項(xiàng)。（2）兩個(gè)整式相減時(shí)，減數(shù)一定先要用括號(hào)括起來(lái)。(3)整式加減的最后結(jié)果的要求：①不能含有同類項(xiàng)，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母的降冪或升冪排列；③不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)?！炯磳W(xué)即練1】1．（2022秋·浙江·七年級(jí)期中）已知某三角形第一條邊為，第二條邊比第一條邊長(zhǎng)，第三條邊比第一條邊的2倍少，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】用代數(shù)式表示出第二、第三條邊的長(zhǎng)度，再把三條邊的長(zhǎng)度相加即可．【詳解】解：由題意，第二條邊的長(zhǎng)度為：，第三條邊的長(zhǎng)度為：，因此這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查整式加減的應(yīng)用，掌握整式的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022秋·浙江寧波·七年級(jí)校考期中）若關(guān)于x的多項(xiàng)式不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，則等于（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，則其相應(yīng)的系數(shù)為0，據(jù)此可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的多項(xiàng)式不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，∴，，解得：，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的加減，解答的關(guān)鍵是明確不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，則相應(yīng)的系數(shù)為0．題型01整式的加減運(yùn)算1．（2022秋·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則逐一計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：A、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、和不是同類項(xiàng)，不能合并，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，原計(jì)算正確，符合題意，選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·天津?yàn)I海新·七年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)多項(xiàng)式加上得到，那么這個(gè)多項(xiàng)式為．【答案】【分析】要求一個(gè)多項(xiàng)式知道和于其中一個(gè)多項(xiàng)式，就用和減去另一個(gè)多項(xiàng)式就可以了．【詳解】根據(jù)題意可得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減，解答本題的關(guān)鍵是明確去括號(hào)和合并同類項(xiàng)的方法．3．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)?？计谥校┗?jiǎn)：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接合并同類項(xiàng)解題即可；（2）先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)解題；（3）先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)解題即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的加減運(yùn)算，掌握合并同類項(xiàng)、去括號(hào)、添括號(hào)是解答本題的關(guān)鍵．題型02整式加減的應(yīng)用1．（2021秋·陜西榆林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字是，十位上的數(shù)字比大3，則這個(gè)兩位數(shù)用含的代數(shù)式表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出十位上的數(shù)字是，再列出式子，計(jì)算整式的加法即可得．【詳解】解：由題意得：這個(gè)兩位數(shù)用含的代數(shù)式表示為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了整式加法的應(yīng)用、列代數(shù)式，正確求出十位上的數(shù)字，熟練掌握整式的加法法則是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江溫州·八年級(jí)溫州市第十二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）把四張形狀大小完全相同的小長(zhǎng)方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個(gè)底面長(zhǎng)為8，寬為7的長(zhǎng)方形盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖中小長(zhǎng)方形的寬為m．則圖②中兩塊陰影部分周長(zhǎng)的和為．

【答案】【分析】設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為m，則可用m表示出陰影部分的長(zhǎng)和寬，即可求解．【詳解】解：依題意，則左側(cè)陰影部分的長(zhǎng)為，寬為；右側(cè)陰影部分的長(zhǎng)為，寬為，∴圖②中兩塊陰影部分周長(zhǎng)和是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式加減的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·山西忻州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，將邊長(zhǎng)為的小正方形和邊長(zhǎng)為的大正方形放在同一水平線上．

(1)用、表示；①三角形的面積；②圖中陰影部分的面積；(2)當(dāng)，時(shí)，求三角形的面積．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①利用三角形面積公式求解即可；②分別求出兩個(gè)三角形面積，即可得出答案；（2）把a(bǔ)、b的值代入，即可求得答案．【詳解】（1）解：①三角形的面積為：．②圖中陰影部分的面積為：．（2）解：當(dāng)，時(shí)，三角形的面積為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值和列代數(shù)式，能正確表示出陰影部分的面積是解此題的關(guān)鍵．題型03整式的加減中的化簡(jiǎn)求值1．（2023秋·河南周口·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果a，b互為相反數(shù)，那么的值為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【分析】原式去括號(hào)合并同類項(xiàng)后，根據(jù)a，b互為相反數(shù)得到，代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：∵a，b互為相反數(shù)，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）若代數(shù)式的值是4，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)已知得到，再將變形后代入計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式加減法，代數(shù)式求值，利用整體代入的思想解決問題是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·河南信陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：；（2）先化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【分析】利用整式的加減運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：（1）原式．（2）原式．把代入上式，得原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減運(yùn)算．熟記相關(guān)運(yùn)算法則即可．題型04整式加減中的無(wú)關(guān)型問題1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）要使多項(xiàng)式化簡(jiǎn)后不含的二次項(xiàng)，則等于（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】合并同類項(xiàng)，再根據(jù)化簡(jiǎn)后不含的二次項(xiàng)，令的二次項(xiàng)系數(shù)為0，即可解得m的值．【詳解】解：，∵多項(xiàng)式化簡(jiǎn)后不含的二次項(xiàng)，∴，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握去括號(hào)，合并同類項(xiàng)的法則．2．（2021秋·陜西渭南·七年級(jí)?？计谥校┮阎且粋€(gè)有理數(shù)，若與的和不含的平方項(xiàng)，則的值為．【答案】【分析】直接利用整式的加減運(yùn)算合并同類項(xiàng)，進(jìn)而利用多項(xiàng)式和中不含a的平方項(xiàng)，得出m的值，即可得出答案．【詳解】解：，∵與的和不含的平方項(xiàng)，∴，解得：，故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的加減運(yùn)算的結(jié)果中不含某項(xiàng)的含義，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·河南周口·七年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）若多項(xiàng)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，求的值．（2）若關(guān)于x，y的多項(xiàng)式不含二次項(xiàng)，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先將變形為，根據(jù)原式的值與x的取值無(wú)關(guān)，得出，，求出，，代入求出的值即可；（2）將變形為，根據(jù)多項(xiàng)式不含二次項(xiàng)，得出，，求出，，代入求值即可．【詳解】解：（1）原式，因?yàn)樵降闹蹬cx的取值無(wú)關(guān)，所以，，所以，，所以．（2）原式，因?yàn)槎囗?xiàng)式不含二次項(xiàng)，所以，，所以，，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式中的無(wú)關(guān)型問題，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是理解題意根據(jù)題意求出相應(yīng)字母的值．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列運(yùn)算中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用整式的加減運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B錯(cuò)誤；C：，故C錯(cuò)誤；D：，故D正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減運(yùn)算．掌握相關(guān)運(yùn)算法則即可．2．（2023春·北京朝陽(yáng)·七年級(jí)期末）如圖，把一個(gè)周長(zhǎng)為定值的長(zhǎng)方形（長(zhǎng)小于寬的3倍）分割為五個(gè)四邊形，其中A是正方形，周長(zhǎng)記為，B和D是完全一樣的長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)記為，C和E是完全一樣的正方形，周長(zhǎng)記為，下列為定值的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)B和D的寬為a，長(zhǎng)為c，C和E的邊長(zhǎng)為b，然后根據(jù)大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為定值，列式得到是定值，然后根據(jù)A是正方形，得到，解得，進(jìn)而求解即可．【詳解】如圖所示，設(shè)B和D的寬為a，長(zhǎng)為c，C和E的邊長(zhǎng)為b，

∵大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為定值，∴是定值，∴是定值，∵A是正方形，∴，解得，∴是定值，∴B和D的周長(zhǎng)是定值；∴是定值，∴C和E的周長(zhǎng)是定值．根據(jù)題意無(wú)法判斷的值，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)、線段的相關(guān)運(yùn)算等知識(shí)，整式的加減運(yùn)算，理解題意，結(jié)合圖形分析是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，，則．【答案】4【分析】根據(jù)已知，，利用即可求解．【詳解】解：∵，．∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減，通過(guò)觀察式子的特點(diǎn)，進(jìn)行計(jì)算．屬于?？碱}．4．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）若代數(shù)式不含項(xiàng)，則．【答案】【分析】原式去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，根據(jù)結(jié)果中不含項(xiàng)，求出a的值即可．【詳解】解：，由結(jié)果中不含項(xiàng)，得到，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)課堂例題）化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)去括號(hào)、合并同類項(xiàng)的法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握整式的加減運(yùn)算法則．6．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，【分析】原式去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把a(bǔ)與b的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：==；當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減——化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．B能力提升1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）要使多項(xiàng)式化簡(jiǎn)后不含的二次項(xiàng)，則等于（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】合并同類項(xiàng)，再根據(jù)化簡(jiǎn)后不含的二次項(xiàng)，令的二次項(xiàng)系數(shù)為0，即可解得m的值．【詳解】解：，∵多項(xiàng)式化簡(jiǎn)后不含的二次項(xiàng)，∴，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握去括號(hào)，合并同類項(xiàng)的法則．2．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)課堂例題）三個(gè)連續(xù)奇數(shù)，最小的奇數(shù)是（為自然數(shù)），則這三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可確定另兩個(gè)奇數(shù)分別為和，再根據(jù)整式的加法法則求其和即可．【詳解】解：∵三個(gè)連續(xù)奇數(shù)，最小的奇數(shù)是，∴另兩個(gè)奇數(shù)分別為和，∴這三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查整式的加法運(yùn)算．掌握整式的加法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·新疆伊犁·七年級(jí)?？计谀┤舳囗?xiàng)式是常數(shù)）中不含項(xiàng)，則的值為．【答案】【分析】先合并同類項(xiàng)得到結(jié)果為，再根據(jù)項(xiàng)的系數(shù)為0可得答案．【詳解】解：，∵多項(xiàng)式是常數(shù)）中不含項(xiàng)，∴，解得：；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是合并同類項(xiàng)以及多項(xiàng)式不含某項(xiàng)的含義，理解題意熟練的合并同類項(xiàng)是解本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列數(shù)陣用中的整數(shù)按連續(xù)排列的方式組成“自然數(shù)陣”，現(xiàn)用“”型框任意框出5個(gè)數(shù)．

如果用表示類似“X”形框中的5個(gè)數(shù)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示．【答案】【分析】分別用含m的代數(shù)式表示的值，再進(jìn)行加法計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題目中的排列順序可知，，，，，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式和整式的加減，觀察題目中的“自然數(shù)陣”找到四個(gè)數(shù)與m的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，【分析】將原式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入求值．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于的多項(xiàng)式的值與x的值無(wú)關(guān)，求的最小值．【答案】2【分析】先將同類項(xiàng)合并，根據(jù)結(jié)果與無(wú)關(guān)，可得系數(shù)為，繼而可得的值，代入運(yùn)算，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】此多項(xiàng)式的值與的值無(wú)關(guān)，

解得：當(dāng)且時(shí)，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，使有最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減與化簡(jiǎn)求值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求得的值是解題的關(guān)鍵．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）某同學(xué)在完成化簡(jiǎn)：的過(guò)程中，具體步驟如下：解：原式①②③以上解題過(guò)程中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是（

）A．① B．② C．③ D．①，②，③【答案】C【分析】根據(jù)整式的加減計(jì)算中，去括號(hào)的法則即可求解．【詳解】錯(cuò)誤的步驟是③正確的解答過(guò)程如下：原式①②③故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，在去括號(hào)的時(shí)候要注意符號(hào)的變化，合并同類項(xiàng)時(shí)，系數(shù)相加減．2．（2023春·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，小明計(jì)劃將正方形菜園分割成三個(gè)長(zhǎng)方形①②③和一個(gè)正方形④．若長(zhǎng)方形②與③的周長(zhǎng)和為，則正方形與正方形④的周長(zhǎng)和為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)長(zhǎng)方形②的寬為，長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方形③的長(zhǎng)為，設(shè)長(zhǎng)方形③的寬為c，根據(jù)圖形可得，進(jìn)而得出正方形④的周長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)整式的加減即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)長(zhǎng)方形②的寬為，長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方形③的長(zhǎng)為，設(shè)長(zhǎng)方形③的寬為c，

則，∴，即，∵④是正方形∴正方形④的周長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為∴與正方形④的周長(zhǎng)和為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減的應(yīng)用，根據(jù)題意列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，．當(dāng)?shù)闹蹬cx無(wú)關(guān)時(shí)，．【答案】【分析】根據(jù)的值與x無(wú)關(guān)，可知化簡(jiǎn)后，x的系數(shù)為0，得到，，求得a、b的值，代入計(jì)算，即得．【詳解】，∵的值與x無(wú)關(guān)，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的值與某字母的取值無(wú)關(guān)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，使、x的系數(shù)為0求得a、b的值，代數(shù)式求值．4．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫的三個(gè)數(shù)之外的每一個(gè)方格中，填入一個(gè)數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，很快就完成了這個(gè)游戲，則．1674【答案】39【分析】設(shè)第一列中間的數(shù)為，則三個(gè)數(shù)之和為，再一次把表格的每一個(gè)數(shù)據(jù)填好，從而可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)第一列中間的數(shù)為，則三個(gè)數(shù)之和為，可得：1674∴，故答案為：39【點(diǎn)睛】本題考查的是列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，設(shè)出合適的未知數(shù)是解本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·四川成都·七年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）有理數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中

(1)用“”、“”或“”填空：_____，_____(2)化簡(jiǎn)【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置，根據(jù)有理數(shù)的乘法以及有理數(shù)