專題06全等三角形中的截長補短模型(原卷版+解析)

專題06全等三角形中的截長補短模型【模型展示】特點如圖，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC邊上的中線AD的取值范圍。解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值【證明】延長AD至E，使DE=AD，連接BE,如圖所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠ADCDE=AE∴△BDE≌△CDA(SAS)∴BE=AC=8在△ABE中，由三角形的三邊關系得：AB-BE＜AE＜AB+BE∴12-8＜AE＜12+8∴2＜AD＜10結論截長法和補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用.具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或將某條線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質等有關知識來解決數(shù)學問題.【模型證明】解決方案如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF，求證：BE+CF＞EF.【證明】延長FD至點M,使DM=DF,連接BM,EM,如圖所示，同上例得△BMD≌△CFD(SAS)∴BM=CF∵DE⊥DF,DM=DF∴EM=EF在△BME中，由三角形的三邊關系得：BE+BM＞EM如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關系，并加以證明.【證明】延長AB至點N,使BN=DF,連接CN,如圖所示∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°∴∠NBC=∠D在△NBC和△FDC中BN=DF∠NBC=∠DBC=DC∴△NBC≌△FDC（SAS）∴CN=CF,∠NCB=∠FCD∵∠BCD=140°，∠ECF=70°∴∠BCE+∠FCD=70°∴∠ECN=70°=∠ECF在△NCE和△FCE中CN=CF∠ECN=∠ECFCE=CE∴△NCE≌△FCE(SAS)∴EN=EF∴BE+DF=EF.【題型演練】一、解答題1．閱讀下面文字并填空：數(shù)學習題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在中，AD平分，．求證：．李老師給出了如下簡要分析：“要證就是要證線段的和差問題，所以有兩個方法，方法一：‘截長法’如圖2，在AC上截取，連接DE，只要證__________即可，這就將證明線段和差問題__________為證明線段相等問題，只要證出____________________，得出及_________，再證出_____________________，進而得出，則結論成立．此種證法的基礎是‘已知AD平分，將沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處’成為可能．方法二：“補短法”如圖3，延長AB至點F，使．只要證即可．此時先證__________，再證出__________________，則結論成立．”“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法．2．【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．（1）如圖1，是等邊三角形，點是邊下方一點，，探索線段、、之間的數(shù)量關系．解題思路：延長到點，使，連接，根據(jù)，可證，易證得≌，得出是等邊三角形，所以，從而探尋線段、、之間的數(shù)量關系．根據(jù)上述解題思路，請寫出、、之間的數(shù)量關系是______，并寫出證明過程；【拓展延伸】（2）如圖2，在中，，，若點是邊下方一點，，探索線段、、之間的數(shù)量關系，并說明理由；【知識應用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離的平方為多少？3．如圖，在等邊△ABC中，點P是BC邊上一點，∠BAP＝（30°＜＜60°），作點B關于直線AP的對稱點D，連接DC并延長交直線AP于點E，連接BE．（1）依題意補全圖形，并直接寫出∠AEB的度數(shù)；（2）用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關系，并證明．分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質；等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質……②通過截長補短，利用60°角構造等邊三角形，進而構造出全等三角形，從而達到轉移邊的目的．請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程．4．閱讀材料：“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關系．截長，即在長線段上截取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段；補短，即延長其中一條短線段，使延長部分等于另一條線段，再證明延長后的線段等于長線段．依據(jù)上述材料，解答下列問題：如圖，在等邊中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為邊作等邊，連接CF．(1)如圖，若點D在邊BC上，試說明；（提示：在線段CD上截取，連接EG．）(2)如圖，若點D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間的數(shù)量關系并說明理由．5．在“教、學、練、評一體化”學習活動手冊中，全等三角形專題復習課，學習過七種作輔助線的方法，其中有“截長補短”作輔助線的方法．截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等．這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法．請用這兩種方法分別解決下列問題：已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P為AD上任一點，求證：AB－AC＞PB－PC6．例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC=120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．解題思路：將△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而解決問題．根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關系是___________；（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點D是邊BC下方一點，∠BDC=90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關系，并證明你的結論．7．閱讀材料并完成習題：在數(shù)學中，我們會用“截長補短”的方法來構造全等三角形解決問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．解：延長線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉化為等腰直角三角形EAC面積．（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．（2）請你用上面學到的方法完成下面的習題．

如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．8．【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題．（1）如圖①，△是等邊三角形，點是邊下方一點，連結，且，探索線段之間的數(shù)量關系．解題思路：延長到點，使，連接，根據(jù)，則，因為可證，易證得△≌△，得出△是等邊三角形，所以，從而探尋線段之間的數(shù)量關系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出之間的數(shù)量關系是；【拓展延伸】（2）如圖②，在Rt△中，，．若點是邊下方一點，，探索線段之間的數(shù)量關系，并說明理由；【知識應用】（3）如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知所對直角邊等于斜邊一半，則的長為_____________cm．（結果無需化簡）9．【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．(1)如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關系是______；【拓展延伸】(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系，并說明理由；【知識應用】(3)如圖3，兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離PQ的長為______cm．10．現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種常見輔助線的做法．在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用．截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等．補短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部分等于另一條線段．請用截長法解決問題（1）（1）已知：如圖1等腰直角三角形中，，是角平分線，交邊于點．求證：．請用補短法解決問題（2）（2）如圖2，已知，如圖2，在中，，是的角平分線．求證：．11．數(shù)學課上，小白遇到這樣一個問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎上，老師補充：過點作于點交于點，過作交于點，交于點，試探究線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．小白通過研究發(fā)現(xiàn)，與有某種數(shù)量關系；小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進一步推理，可以得出結論．閱讀上面材料，請回答下面問題：（1）求證；（2）猜想與的數(shù)量關系，并證明；（3）探究線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．12．【初步探索】截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系；【靈活運用】（2）如圖2，△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為BC邊上一點，∠ADE交直線a于點E，且∠ADE＝60°．求證：CD＋CE＝CA；【延伸拓展】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，滿足EF＝BE＋FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關系．13．截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE，易證△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而解決問題．根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關系是；（直接寫出結果）（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關系，并證明你的結論．14．【閱讀】在證明線段和差問題時，經常采用截長補短法，再利用全等圖形求線段的數(shù)量關系．截長法：將較長的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩段相等．補短法：延長較短兩條線段中的一條，使得與較長線段相等，證明延長的那一段與另一條較短線段相等．【應用】把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，，組成一個四邊形，以D為頂點作，交邊于M、N．(1)若，，證明：；經過思考，小紅得到了這樣的解題思路：利用補短法，延長到點E，使，連接，先證明，再證明，即可求得結論．按照小紅的思路，請寫出完整的證明過程；(2)當時，三條線段之間有何數(shù)量關系？（直接寫出你的結論，不用證明）(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在的延長線上，完成圖③，其余條件不變，則之間有何數(shù)量關系？證明你的結論．專題06全等三角形中的截長補短模型【模型展示】特點如圖，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC邊上的中線AD的取值范圍。解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值【證明】延長AD至E，使DE=AD，連接BE,如圖所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠ADCDE=AE∴△BDE≌△CDA(SAS)∴BE=AC=8在△ABE中，由三角形的三邊關系得：AB-BE＜AE＜AB+BE∴12-8＜AE＜12+8∴2＜AD＜10結論截長法和補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用.具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或將某條線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質等有關知識來解決數(shù)學問題.【模型證明】解決方案如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF，求證：BE+CF＞EF.【證明】延長FD至點M,使DM=DF,連接BM,EM,如圖所示，同上例得△BMD≌△CFD(SAS)∴BM=CF∵DE⊥DF,DM=DF∴EM=EF在△BME中，由三角形的三邊關系得：BE+BM＞EM如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關系，并加以證明.【證明】延長AB至點N,使BN=DF,連接CN,如圖所示∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°∴∠NBC=∠D在△NBC和△FDC中BN=DF∠NBC=∠DBC=DC∴△NBC≌△FDC（SAS）∴CN=CF,∠NCB=∠FCD∵∠BCD=140°，∠ECF=70°∴∠BCE+∠FCD=70°∴∠ECN=70°=∠ECF在△NCE和△FCE中CN=CF∠ECN=∠ECFCE=CE∴△NCE≌△FCE(SAS)∴EN=EF∴BE+DF=EF.【題型演練】一、解答題1．閱讀下面文字并填空：數(shù)學習題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在中，AD平分，．求證：．李老師給出了如下簡要分析：“要證就是要證線段的和差問題，所以有兩個方法，方法一：‘截長法’如圖2，在AC上截取，連接DE，只要證__________即可，這就將證明線段和差問題__________為證明線段相等問題，只要證出____________________，得出及_________，再證出_____________________，進而得出，則結論成立．此種證法的基礎是‘已知AD平分，將沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處’成為可能．方法二：“補短法”如圖3，延長AB至點F，使．只要證即可．此時先證__________，再證出__________________，則結論成立．”“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法．【答案】方法一：；轉化；；；；；；方法二：；；【分析】方法一：在AC上截取，由SAS可證可得，BD=DE，根據(jù)等角對等邊得到CE=DE，即可求證；方法二：延長AB至點F，使，由AAS可證，可得AC=AF，即可證明．【詳解】方法一：在AC上截取，連接DE，如圖2∵AD平分，∴，在和中，∴，∴，BD=DE，∵，∴而，∴，∴DE=CE，∴AB+BD=AE+CE=AC，故答案為：；轉化；；；；；；方法二：如圖3，延長AB至點F，使，∴∴∴∴在和中，∴，∴AC=AF，∴AC=AB+BF=AB+BD，故答案為：；；．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，屬于截長補短類輔助線，核心思想為數(shù)學中的轉化思想，此類題的關鍵是要找到最長邊和最短邊，然后確定截取輔助線的方式．2．【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．（1）如圖1，是等邊三角形，點是邊下方一點，，探索線段、、之間的數(shù)量關系．解題思路：延長到點，使，連接，根據(jù)，可證，易證得≌，得出是等邊三角形，所以，從而探尋線段、、之間的數(shù)量關系．根據(jù)上述解題思路，請寫出、、之間的數(shù)量關系是______，并寫出證明過程；【拓展延伸】（2）如圖2，在中，，，若點是邊下方一點，，探索線段、、之間的數(shù)量關系，并說明理由；【知識應用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離的平方為多少？【答案】（1）DA=DC+BD，見解析；（2）；見解析；（3）【分析】（1）由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．（2）延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，先證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，據(jù)此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，繼而可得2AD2=（DC+BD）2；（3）由直角三角形的性質知QN=MN=1，MQ=，利用（2）中的結論知，據(jù)此可得答案．【詳解】解：（1）DA=DC+BD，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案為：DA=DC+BD；（2），如圖2，延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，CE=BD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC=90°，∴DA2+AE2=DE2，∴；（3）如圖3，連接PQ，∵MN=2，∠QMN=30°，∠MQN=90°，∴QN=MN=1，∴，由（2）知．∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理、等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．3．如圖，在等邊△ABC中，點P是BC邊上一點，∠BAP＝（30°＜＜60°），作點B關于直線AP的對稱點D，連接DC并延長交直線AP于點E，連接BE．（1）依題意補全圖形，并直接寫出∠AEB的度數(shù)；（2）用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關系，并證明．分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質；等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質……②通過截長補短，利用60°角構造等邊三角形，進而構造出全等三角形，從而達到轉移邊的目的．請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程．【答案】（1）圖見解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，證明見解析【分析】（1）依題意補全圖形，如圖所示：然后連接AD，先求出，然后根據(jù)軸對稱的性質得到，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出，即可求出，再由進行求解即可；（2）如圖，在AE上截取EG＝BE，連接BG．先證明△BGE是等邊三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°．再證明∠ABG＝∠CBE，即可證明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，則AE＝EG＋AG＝BE＋CE．【詳解】解：（1）依題意補全圖形，如圖所示：連接AD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵，∴，∵B、D關于AP對稱，∴，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，∴，∴，∴，∴∴∠AEB＝60°．（2）AE＝BE＋CE．證明：如圖，在AE上截取EG＝BE，連接BG．∵∠AEB＝60°，∴△BGE是等邊三角形，∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，∴∠ABG＝∠CBE．在△ABG和△CBE中，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE，∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，等邊三角形的性質與判定，軸對稱的性質，等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質等等，熟知相關知識是解題的關鍵4．閱讀材料：“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關系．截長，即在長線段上截取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段；補短，即延長其中一條短線段，使延長部分等于另一條線段，再證明延長后的線段等于長線段．依據(jù)上述材料，解答下列問題：如圖，在等邊中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為邊作等邊，連接CF．(1)如圖，若點D在邊BC上，試說明；（提示：在線段CD上截取，連接EG．）(2)如圖，若點D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間的數(shù)量關系并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)FC＝CD+CE【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易證△CEG是等邊三角形，得出EG＝EC＝CG，證明△DEG≌△FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出結論；（2）過D作DGAB，交AC的延長線于點G，由平行線的性質易證∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD為等邊三角形，則DG＝CD＝CG，證明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．（1）證明：在CD上截取CG＝CE，如圖1所示：

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ECG＝60°，∴△CEG是等邊三角形，∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°，∴∠DEG＝∠FEC，在△DEG和△FEC中，，∴△DEG≌△FEC（SAS），∴DG＝CF，∴CD＝CG+DG＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；（2）解：線段CE，CF與CD之間的等量關系是FC＝CD+CE；理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，過D作DGAB，交AC的延長線于點G，如圖2所示：∵GDAB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD為等邊三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF為等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．【點睛】此題考查了平行線的性質，三角形全等及其性質，三角形全等的判定，等邊三角形的性質等知識，作輔助線構建等邊三角形是解題的關鍵．5．在“教、學、練、評一體化”學習活動手冊中，全等三角形專題復習課，學習過七種作輔助線的方法，其中有“截長補短”作輔助線的方法．截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等．這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法．請用這兩種方法分別解決下列問題：已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P為AD上任一點，求證：AB－AC＞PB－PC【答案】見解析【分析】截長法：在AB上截取AN=AC，連結PN，可證得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三邊關系，即可求證；補短法：延長AC至M，使AM=AB，連結PM，證明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三邊關系，即可求證．【詳解】解：截長法：在AB上截取AN=AC，連結PN，在△APN和△APC中∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，∴△APN≌△APC，∴PC=PN，∵△BPN中有PB－PN＜BN，即PB－PC＜AB－AC；補短法：延長AC至M，使AM=AB，連結PM，在△ABP和△AMP中，∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，∴△ABP≌△AMP，∴PB=PM，又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，即AB－AC＞PB－PC．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系，理解截長補短法是解題的關鍵．6．例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC=120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．解題思路：將△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而解決問題．根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關系是___________；（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點D是邊BC下方一點，∠BDC=90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關系，并證明你的結論．【答案】(1)DA=DB+DC;(2)DA=DB+DC,證明見解析.【分析】(1)由旋轉60°可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而解決問題．(2)延長DC到點E,使CE=BD，連接AE,由已知可得,根據(jù),可得=,可證,進而可得AD=AE,,可得,由勾股定理可得：,進行等量代換可得結論.【詳解】(1)結論：DA=DB+DC.理由：∵△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到△ACE，∴AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACD=180°，∴D,C,E三點共線，∵AE=AD，∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE，∴AD=DC+CE=DB+DC;(2)結論：DA=DB+DC,證明如下：如圖所示，延長DC到點E,使CE=BD，連接AE,∵,,∴,∵,∴=,∵AB=AC,CE=BD,∴(SAS),∴AD=AE,,∴,∴,∴,∴DA=DB+DC.【點睛】本題主要考查了截長補短的方法，通過全等三角形得到線段間的等量關系，正確作出輔助線找到全等三角形是解題的關鍵.7．閱讀材料并完成習題：在數(shù)學中，我們會用“截長補短”的方法來構造全等三角形解決問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．解：延長線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉化為等腰直角三角形EAC面積．（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．（2）請你用上面學到的方法完成下面的習題．

如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）根據(jù)題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可；（2）延長MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，由（1）易證，則有FK=FH，因為HM=GH+MN易證，故可求解．【詳解】（1）由題意知，故答案為2；（2）延長MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，如圖所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，∠FNK=∠FGH=90°，，F(xiàn)H=FK，又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，，MK=FN=2cm，．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，關鍵是根據(jù)截長補短法及割補法求面積的運用．8．【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題．（1）如圖①，△是等邊三角形，點是邊下方一點，連結，且，探索線段之間的數(shù)量關系．解題思路：延長到點，使，連接，根據(jù)，則，因為可證，易證得△≌△，得出△是等邊三角形，所以，從而探尋線段之間的數(shù)量關系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出之間的數(shù)量關系是；【拓展延伸】（2）如圖②，在Rt△中，，．若點是邊下方一點，，探索線段之間的數(shù)量關系，并說明理由；【知識應用】（3）如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知所對直角邊等于斜邊一半，則的長為_____________cm．（結果無需化簡）【答案】（1）；（2）猜想：

證明見解析；（3）．【分析】（1）由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．（2）延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，先證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，據(jù)此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，繼而可得2DA2=（DB+DC）2；（3）由直角三角形的性質知QN=MN=1，MQ=，利用（2）中的結論知PQ=QN+QM=1+，據(jù)此可得答案．【詳解】解：（1）DA=DC+DB，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案為：DA=DC+DB；（2）DA=DB+DC如圖2，延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，∵∠BAC=90°，∠BDC=90°∴∠ABD+∠ACD=180°，∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，CE=BD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC=90°，∴DA2+AE2=DE2，∴2DA2=（DB+DC）2，∴DA=DB+DC；（3）如圖3，連接PQ，∵MN=2，∠QMN=30°，∴QN=MN=1，∴MQ=，由（2）知PQ=QN+QM=1+，∴PQ=，故答案為：．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質、等邊三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．9．【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．(1)如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關系是______；【拓展延伸】(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系，并說明理由；【知識應用】(3)如圖3，兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離PQ的長為______cm．【答案】(1)DA=DB+DC(2)DA=DB+DC；理由見解析(3)【分析】（1）延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結合∠BDC=120°，知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ABD=∠ACE，證得△ABD?△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證明△ADE是等邊三角形，等量代換可得結論；（2）同理可證△ABD?△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，由勾股定理得，等量代換即得結論；（3）由直角三角形的性質可得QN的長，由勾股定理可得MQ的長，由（2）知，由此可求得PQ長．（1）（1）延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD?△ACE(SAS)，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠BAC=60°，∴∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，（2）DA=DB+DC，理由如下：延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∴∠ABD+∠ACD=180°又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，CE=BD，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC=90°，∴，∴，∴，（3）如圖所示：連接PQ，∵，∠QMN=30°，∴，根據(jù)勾股定理得，由（2）知，∴，【點睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、直角三角形和等邊三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．

10．現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種常見輔助線的做法．在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用．截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等．補短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部分等于另一條線段．請用截長法解決問題（1）（1）已知：如圖1等腰直角三角形中，，是角平分線，交邊于點．求證：．請用補短法解決問題（2）（2）如圖2，已知，如圖2，在中，，是的角平分線．求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)截長法，在上截取，連接，通過題目條件可證，進而證得是等腰直角三角形，等量代換即可得；（2）根據(jù)補短法，延長到，使，連接，根據(jù)已知條件可證，進而可證，等量代換即可得證．【詳解】（1）證明：如圖1，在上截取，連接，∵是角平分線，∴在和中∴∴，又∵是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．（2）如圖2，延長到，使，連接，∵是的角平分線，∴在和中∴，∴∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了截長法和補短法兩種方法證明線段和的問題，三角形全等的判定和性質的應用，角平分線的性質應用，等量代換的應用，掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．11．數(shù)學課上，小白遇到這樣一個問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎上，老師補充：過點作于點交于點，過作交于點，交于點，試探究線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．小白通過研究發(fā)現(xiàn)，與有某種數(shù)量關系；小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進一步推理，可以得出結論．閱讀上面材料，請回答下面問題：（1）求證；（2）猜想與的數(shù)量關系，并證明；（3）探究線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】（1）見解析；（2），證明見解析；（3），證明見解析【分析】（1）利用SAS證明可得結論；（2）設，推出，，即可證明；（3）過點作交延長線于點，延長交于點，證明△ABE≌△CAM，得出和，從而證明△NFC≌△MFC，得到和，可得PN=PE，從而得出BP=AF+PF.【詳解】解：（1）∵在△ABE和△ACD中，，（SAS），；（2）設，，，，，，，，；（3）過點作交延長線于點，延長交于點，，，，在△ABE和△CAM中，，（ASA），，，，，，（ASA），，，，，∴.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質以及等角對等邊等知識點，解題的關鍵是根據(jù)截長補短法添加適當?shù)妮o助線，構造全等三角形證明結論，有一定難度.12．【初步探索】截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系；【靈活運用】（2）如圖2，△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為BC邊上一點，∠ADE交直線a于點E，且∠ADE＝60°．求證：CD＋CE＝CA；【延伸拓展】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，滿足EF＝BE＋FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關系．【答案】（1）DA=DC+DB，證明見詳解；（2）見詳解；（3）∠EAF=，證明見詳解.【分析】（1）由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；（2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC為等邊三角形，易得△CDM是等邊三角形，繼而可證得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，則可證得CD+CE=CA；（3）在DC延長線上取一點G，使得DG=BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，進而推導得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出結論．【詳解】（1）如圖1，延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；（2）證明：在AC上截取CM=CD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴△CDM是等邊三角形，∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，∴∠AMD=120°，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠MDC，∴∠ADM=∠EDC，∵直線a∥AB，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD，在△ADM和△EDC中，∴△ADM≌△EDC(ASA)，∴AM=EC，∴CA=CM+AM=CD+CE；即CD+CE=CA.（3）∠EAF=；證明：如圖3，在DC延長線上取一點G，使得DG=BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=.【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，以及等邊三角形的性質的綜合應用，解決問題的關