專題04勾股定理(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)

專題04勾股定理【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一勾股定理的證明方法】 1【考點(diǎn)二勾股樹(數(shù))問題】 4【考點(diǎn)三勾股定理與無理數(shù)】 5【考點(diǎn)四用勾股定理解三角形】 6【考點(diǎn)五以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】 9【考點(diǎn)六利用勾股定理求兩條線段平方和(差)】 10【考點(diǎn)七利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】 12【過關(guān)檢測】 15【典型例題】【考點(diǎn)一勾股定理的證明方法】例題：（2022秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將兩個全等的直角三角形按照如下的位置擺放，使點(diǎn)A，，在同一條直線上，，，，．(1)填空：______，根據(jù)三角形面積公式，可得的面積______；根據(jù)割補(bǔ)法，由梯形的面積減去陰影部分的面積，可得的面積______．(2)求證：．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足，，，，求證（1）中的定理結(jié)論；(3)如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）【考點(diǎn)二勾股樹(數(shù))問題】例題：（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，，【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·八年級單元測試）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【考點(diǎn)三勾股定理與無理數(shù)】例題：（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級?？计谀┤鐖D，數(shù)軸上點(diǎn)C所表示的數(shù)是___________【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江金華·七年級統(tǒng)考期中）長方形的邊長為，長為，點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是，以點(diǎn)為圓心，對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，則這個點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是__________．2．（2022秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）小剛學(xué)了在數(shù)軸上表示無理數(shù)的方法后，進(jìn)行了練習(xí)：首先畫數(shù)軸，原點(diǎn)為，在數(shù)軸上找到表示數(shù)的點(diǎn)，然后過點(diǎn)作，使；再以為圓心，的長為半徑作弧，交數(shù)軸負(fù)半軸于點(diǎn)，那么數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)是________．【考點(diǎn)四用勾股定理解三角形】例題：（2022秋·山東濟(jì)南·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，平分，垂直平分，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）直角三角形的兩直角邊分別為和，則斜邊上的高為___________cm．2．（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）長方形中，長，寬，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時，_______．【考點(diǎn)五以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】例題：（2022秋·遼寧·八年級?？计谀┤鐖D，以的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形．若，則圖中陰影部分的面積為___________．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河南鄭州·八年級?？计谀┤鐖D，已知直角三角形的周長為24，且陰影部分的面積為24，則斜邊的長為______．2．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，中，，以它的各邊為邊向外作三個正方形，面積分別為，，，已知，，則______．【考點(diǎn)六利用勾股定理求兩條線段平方和(差)】例題：（2022秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，對角線分別為，，且于點(diǎn)，若，，則______．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·寧夏中衛(wèi)·八年級校考期中）在中，斜邊長，的值為___________2．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于_____．【考點(diǎn)七利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】例題：（2022秋·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知和中，，，，連接交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)連接，，求證．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，過點(diǎn)作交的外角平分線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·八年級單元測試）在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5C．2，8，10 D．1，，2．（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，以它的三邊為邊分別向外作正方形，面積分別為，，，已知，，則的值為（

）A．13 B．17 C．7 D．1693．（2022秋·河北保定·八年級保定市第十七中學(xué)校考期末）如圖所示，，若數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值為（）A． B． C． D．4．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．455．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則的長度為（

）A．3 B．4 C． D．二、填空題6．（2022春·廣東江門·八年級校考期中）如圖，在中，，，分別為和的中點(diǎn)，，，則______．7．（2022春·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，以AC、BC為直徑作半圓S1和S2，且，則AB的長為___________．8．（2023春·八年級單元測試）如圖，矩形中，，，在數(shù)軸上，且點(diǎn)表示的數(shù)為，若以點(diǎn)為圓心，對角線的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)為_________．9．（2022秋·江蘇蘇州·八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，則的面積為_____．10．（2022春·福建龍巖·八年級龍巖初級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，，均在格點(diǎn)上，為上任意一點(diǎn)，則的值為________．三、解答題11．（2022秋·浙江麗水·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求的長．12．（2022秋·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)校考期末）如圖，在中，，是中點(diǎn)，，是中點(diǎn)，于點(diǎn)．求的長．13．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，連接AE．(1)求證：△CEA≌△CDB；(2)求證：．14．（2022秋·陜西榆林·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以每秒1個單位的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為t．(1)填空：的長為；(2)若為直角三角形，求t的值；(3)若為等腰三角形，求t的值．15．（2022秋·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期中）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．(1)如圖1，是一個重要的乘法公式的幾何解釋，請你寫出這個公式______．(2)如圖2，在中，，以的三邊長向外作正方形的面積分別為，試猜想之間存在的等量關(guān)系為______．(3)如圖3，如果以的三邊長，，為直徑向外作半圓，那么第（2）問的結(jié)論是否成立？請說明理由．16．（2022秋·安徽宿州·七年級統(tǒng)考期中）（1）如圖，三個正方形圍成了一個直角三角形，三個正方形的面積分別為，若，則___________

（2）如圖，在中，，分別以為邊在外側(cè)作等邊三角形，則之間的關(guān)系為___________（3）①如圖，在中，，分別以為邊在外側(cè)作等腰直角三角形，則（2）中的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由．②如圖，在五邊形中，，連接．求五邊形的面積．專題04勾股定理【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一勾股定理的證明方法】 1【考點(diǎn)二勾股樹(數(shù))問題】 4【考點(diǎn)三勾股定理與無理數(shù)】 5【考點(diǎn)四用勾股定理解三角形】 6【考點(diǎn)五以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】 9【考點(diǎn)六利用勾股定理求兩條線段平方和(差)】 10【考點(diǎn)七利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】 12【過關(guān)檢測】 15【典型例題】【考點(diǎn)一勾股定理的證明方法】例題：（2022秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將兩個全等的直角三角形按照如下的位置擺放，使點(diǎn)A，，在同一條直線上，，，，．(1)填空：______，根據(jù)三角形面積公式，可得的面積______；根據(jù)割補(bǔ)法，由梯形的面積減去陰影部分的面積，可得的面積______．(2)求證：．【答案】(1)，，(2)見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）用兩種不同的方法表示梯形的面積，計算化簡后，即可得出．【詳解】（1）解：，，，，，，，，的面積，由梯形的面積減去陰影部分的面積，可得的面積，故答案為：，，；（2）證明：，，，，，，，是等腰直角三角形，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形，勾股定理的證明，用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足，，，，求證（1）中的定理結(jié)論；(3)如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；（2）由四邊形的面積兩種計算方式列出等式，即可求解；（3）分別求出a，b，由勾股定理可求解．【詳解】（1）解：∵大正方形的面積，大正方形的面積，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如圖：連接，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）解：由題意可得：，，∴，，∴，，∴，∴正方形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二勾股樹(數(shù))問題】例題：（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，，【答案】C【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】解：A、，不能構(gòu)成直角三角形，不合題意；B、，不能構(gòu)成直角三角形，不合題意；C、，能構(gòu)成直角三角形，符合題意；D、三邊長，，都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知的三邊滿足，則是直角三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“勾股數(shù)”的定義，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：A、，不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：若滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．2．（2023春·八年級單元測試）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【詳解】解：A、，，都不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；B、不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；C、，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意；D、，能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)的定義：滿足且a、b、c為整數(shù)，則a、b、c為勾股數(shù)．【考點(diǎn)三勾股定理與無理數(shù)】例題：（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級校考期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)C所表示的數(shù)是___________【答案】【分析】根據(jù)勾股定定理，求得，即可求解．【詳解】解：由題意可得：，，，，由勾股定理可得：．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是求得．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江金華·七年級統(tǒng)考期中）長方形的邊長為，長為，點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是，以點(diǎn)為圓心，對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，則這個點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是__________．【答案】或，【分析】直接利用勾股定理得出的長，進(jìn)而得出點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)．【詳解】四邊形是長方形，，，，在中，由勾股定理可得：點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)，涉及到勾股定理，解題的關(guān)鍵是勾股定理得出的長．2．（2022秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）小剛學(xué)了在數(shù)軸上表示無理數(shù)的方法后，進(jìn)行了練習(xí)：首先畫數(shù)軸，原點(diǎn)為，在數(shù)軸上找到表示數(shù)的點(diǎn)，然后過點(diǎn)作，使；再以為圓心，的長為半徑作弧，交數(shù)軸負(fù)半軸于點(diǎn)，那么數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)是________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理可計算出的長度，即點(diǎn)在數(shù)軸負(fù)半軸表示的數(shù)．【詳解】解：在中，，∴，∴數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用及數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的表示，根據(jù)題意先計算的長度是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四用勾股定理解三角形】例題：（2022秋·山東濟(jì)南·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，平分，垂直平分，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】先利用直角三角形的兩個銳角互余可得，再利用角平分線的定義可得，然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，從而利用角平分線的性質(zhì)可得，即可解答．【詳解】解：，，平分，，垂直平分，，，，，，∴，在中，，∴，∴，，平分，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）直角三角形的兩直角邊分別為和，則斜邊上的高為___________cm．【答案】4.8##【分析】根據(jù)勾股定理可求出斜邊．然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答．【詳解】解∶直角三角形的兩條直角邊分別為，斜邊為，設(shè)斜邊上的高為，則直角三角形的面積為，解得∶，這個直角三角形斜邊上的高為．故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及直角三角形的面積的求法，正確利用三角形面積得出其高的長是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）長方形中，長，寬，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時，_______．【答案】13或或【分析】分三種情況畫圖，①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：分三種情況畫圖，如圖，在長方形中，，，，，①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，，；③當(dāng)時，，．綜上所述：當(dāng)為等腰三角形時，或或．故答案為：13或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想．【考點(diǎn)五以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】例題：（2022秋·遼寧·八年級?？计谀┤鐖D，以的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形．若，則圖中陰影部分的面積為___________．【答案】7【分析】先用直角三角形的邊長表示出陰影部分的面積，再根據(jù)勾股定理可得：，進(jìn)而可將陰影部分的面積求出．【詳解】解：，，，，故答案是：7．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識，要求能夠運(yùn)用勾股定理證明三個等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河南鄭州·八年級?？计谀┤鐖D，已知直角三角形的周長為24，且陰影部分的面積為24，則斜邊的長為______．【答案】10【分析】根據(jù)陰影部分面積等于以為直徑的半圓面積之和加上的面積減去以為直徑的半圓面積進(jìn)行求解即可．【詳解】解；∵直角三角形的周長為24，∴，,∴，∵陰影部分的面積為24，∴，∴∴∴，∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·吉林長春·八年級校考期末）如圖，中，，以它的各邊為邊向外作三個正方形，面積分別為，，，已知，，則______．【答案】8【分析】由勾股定理得出，得出，得出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形面積的計算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面積關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六利用勾股定理求兩條線段平方和(差)】例題：（2022秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，對角線分別為，，且于點(diǎn)，若，，則______．【答案】【分析】在與中，由勾股定理可推出，，在與中，由勾股定理得，，，繼而可得出結(jié)果．【詳解】解：在與中，由勾股定理得，，，，在與中，由勾股定理得，，

，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·寧夏中衛(wèi)·八年級?？计谥校┰谥校边呴L，的值為___________【答案】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】∵中，斜邊長，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的應(yīng)用，從而完成求解．2．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于_____．【答案】69【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2），＝132?102，＝69．故答案為：69．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，分別兩次運(yùn)用勾股定理求出MC2和MB2．【考點(diǎn)七利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】例題：（2022秋·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知和中，，，，連接交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)連接，，求證．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)證明即可．（2）設(shè)交于點(diǎn)，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（3）連接，利用勾股定理解決問題即可．【詳解】（1）證明：，，即：，，，．（2）解：設(shè)交于點(diǎn)．，，，，，，．（3）證明：連接．，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，過點(diǎn)作交的外角平分線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）先證明，再證明，問題即可得證；（2）根據(jù)，，，可得；再證明是等邊三角形，即有，，進(jìn)而有，在中，有：，結(jié)合，，問題得證．【詳解】（1）證明：為等邊三角形，∴，．∴．又∵平分，∴．∴，∴．在和中，∴．∴；（2）∵在（1）中已證明．∴；，∵，，，∴．∵，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴在中，有：，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·八年級單元測試）在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5C．2，8，10 D．1，，【答案】B【分析】利用勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A．0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；B．，、4、5是勾股數(shù)，符合題意；C．，，8，10不是勾股數(shù)，不符合題意；D．，，均不是整數(shù)，，，不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．2．（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，以它的三邊為邊分別向外作正方形，面積分別為，，，已知，，則的值為（

）A．13 B．17 C．7 D．169【答案】B【分析】由，，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，熟練的利用勾股定理模型解決問題是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河北保定·八年級保定市第十七中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，，若數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖示，可得：點(diǎn)A是以B為圓心，以為半徑的圓與數(shù)軸的交點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的求法，求出a的值為多少即可．【詳解】解：由勾股定理得：，∴，∴點(diǎn)A是以B為圓心，以為半徑的圓與數(shù)軸的交點(diǎn)，且在左側(cè)，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和實(shí)數(shù)及勾股定理，能求出的長是解此題的關(guān)鍵．4．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45【答案】D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2）＝AC2?AB2＝45．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認(rèn)真觀察，分別兩次運(yùn)用勾股定理求出MC2和MB2是本題的難點(diǎn)，重點(diǎn)還是在于勾股定理的熟練掌握．5．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則的長度為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再由勾股定理求出，然后設(shè)，則，在中，由勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵垂直平分，∴，∵，，，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022春·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，分別為和的中點(diǎn)，，，則______．【答案】6【分析】先利用中點(diǎn)定義求出，，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，分別為和的中點(diǎn)，，，∴，，∴，，∵在中，，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)的定義與勾股定理，解題關(guān)鍵是牢記勾股定理．7．（2022春·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，以AC、BC為直徑作半圓S1和S2，且，則AB的長為___________．【答案】4【分析】由勾股定理得，解得，結(jié)合計算解答即可．【詳解】解：由勾股定理得，∴故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、半圓面積的求法等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．8．（2023春·八年級單元測試）如圖，矩形中，，，在數(shù)軸上，且點(diǎn)表示的數(shù)為，若以點(diǎn)為圓心，對角線的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)為_________．【答案】##【分析】先利用勾股定理求出，根據(jù)，求出，由此即可解決問題．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，點(diǎn)表示點(diǎn)數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理求出的長，屬于中考?？碱}型．9．（2022秋·江蘇蘇州·八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，則的面積為_____．【答案】84【分析】過C作于D，根據(jù)勾股定理和三角形的面積即可得到結(jié)論．【詳解】解：過C作于D，∴，∴，∴，∴，∴，∴的面積，故答案為：84．【點(diǎn)睛】本題考查了用勾股定理的應(yīng)用，能夠根據(jù)得到是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·福建龍巖·八年級龍巖初級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，，均在格點(diǎn)上，為上任意一點(diǎn)，則的值為________．【答案】12【分析】根據(jù)勾股定理表示出，，代入即可解得．【詳解】∵，，∴，故答案為：12．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是用勾股定理表示出邊長．三、解答題11．（2022秋·浙江麗水·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求的長．【答案】【分析】連接AE，由垂直平分線的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中利用勾股定理可得的長，即得的長．【詳解】解：是的垂直平分線，，設(shè)，，，，，即，解得故【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理，利用方程思想是解答此題的關(guān)鍵．12．（2022秋·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，是中點(diǎn)，，是中點(diǎn)，于點(diǎn)．求的長．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，，根據(jù)勾股定理求出，得出，求出，根據(jù)是中點(diǎn)，得出，根據(jù)三角形面積公式，即可求出．【詳解】解：∵在中，，是中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∴，∵是中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中線的性質(zhì)，求出．13．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，連接AE．(1)求證：△CEA≌△CDB；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC＝BC，CD＝EC，根據(jù)等角的余角相等可得∠ACE＝∠BCD，即可證明△CDB≌△CEA（SAS）；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論以及全等三角形的性質(zhì)證明∠EAD＝90°，，根據(jù)勾股定理可得，等量代換即可得證．【詳解】（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，在△CDB與△CEA中，，∴△CDB≌△CEA（SAS）；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°，由（1）得△CDB≌△CEA，∴∠EAC＝∠B＝45°，∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝45°+45°＝90°，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·陜西榆林·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以每秒1個單位的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為t．(1)填空：的長為；(2)若為直角三角形，求t的值；(3)若為等腰三角形，求t的值．【答案】(1)3；(2)或；(3)或或．【分析】（1）利用勾股定理即可得到答案；（2）當(dāng)為直角三角形時，分兩種情況：①當(dāng)為直角時，②當(dāng)為直角時，分別求出此時的值即可得到答案；（3）當(dāng)為等腰三角形時，分三種情況：①當(dāng)時；②當(dāng)時；③當(dāng)時，分別求出的長度，即可求得值．【詳解】（1）解：在中，，，，故答案為：3；（2）解：若為直角三角形，由題意知，①當(dāng)為