第01講相交線與平行線高頻考點(diǎn)及2021中考真題鏈接(原卷版+解析)-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊?？键c(diǎn)(數(shù)學(xué)思想+解題技巧+專項(xiàng)突破+精準(zhǔn)提升)

第01講相交線與平行線高頻考點(diǎn)及2021中考真題鏈接（原卷版）第一部分知識(shí)網(wǎng)絡(luò)第二部分高頻考點(diǎn)+針對訓(xùn)練高頻考點(diǎn)1相交線典例1如圖5-1，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，若∠1︰∠2＝1︰4，則∠1＝______，∠3＝______．圖5-1典例2如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，∠EOC＝28°，則∠AOD＝_______度．CC28°EBDAO典例3如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE=4∶1，求∠EOF的度數(shù)．針對訓(xùn)練11.如圖(1)，直線AB、CD相交于O，∠AOC＝80°，∠1＝30°，則∠2＝____.2.如圖(2)，直線AB、CD相交于O，∠AOC＝70°，EF平分∠COB，則∠COE＝_____.3.如圖，AB⊥CD于點(diǎn)O，直線EF過O點(diǎn)，∠AOE＝65°，求∠DOF的度數(shù).高頻考點(diǎn)2點(diǎn)到直線的距離典例4如圖，AD為三角形ABC的高，能表示點(diǎn)到直線(線段)的距離的線段有()

A．2條B.3條C.4條D.5條針對訓(xùn)練24.如圖，AC⊥BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝4.8cm，AC＝6cm，BC＝8cm，則點(diǎn)C到AB的距離是_____cm；點(diǎn)A到BC的距離是_____cm；點(diǎn)B到AC的距離是_____cm.高頻考點(diǎn)3平行線的判定典例5如圖，∠ABC＝∠ADC、DE是∠ABC、∠ADC的角平分線，∠1＝∠2，求證DC∥AB．331FEDCBA2典例6如圖，CE平分∠BCD，∠1＝∠2＝70°，∠3＝40°，AB和CD是否平行？為什么？針對訓(xùn)練35.如圖，已知∠DAC＝∠ACB，∠D＋∠DFE＝180°.求證：EF∥BC.高頻考點(diǎn)4平行線的性質(zhì)典例7如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A與∠C，∠B與∠D的大小關(guān)系如何？請說明你的理由．典例8如圖，AB∥CD，BN，DN分別平分∠ABM，∠MDC，試問∠M與∠N之間的數(shù)量關(guān)系如何？請說明理由．針對訓(xùn)練46．（2021秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，將一塊含有30°的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠1＝46°，那么∠2的度數(shù)是（）A．46° B．76° C．94° D．104°7．（2021秋?中原區(qū)校級期末）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠2＝37°，則∠1＝（）A．52° B．53° C．54° D．63°8．（2021秋?太倉市期末）已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如圖所示方式放置，并且頂點(diǎn)A，C分別落在直線a，b上，若∠1＝22°，則∠2的度數(shù)是（）A．38° B．45° C．58° D．60°高頻考點(diǎn)5平行線的性質(zhì)和判定綜合運(yùn)用典例9如圖所示，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度數(shù).針對訓(xùn)練59.如圖，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B＋∠DAB＝180°.求證：∠E＝∠3.高頻考點(diǎn)6平移典例10如圖，平移△ABC，使點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A′，畫出平移后的三角形A′B′C′.AABCA′針對訓(xùn)練610.如圖所示，△DEF經(jīng)過平移得到△ABC，那么∠C的對應(yīng)角和ED的對應(yīng)邊分別是()

A.∠F，ACB.∠BOD，BA

C.∠F，BAD.∠BOD，AC11.如圖所示，把∠AOB沿著MN的方向平移一定距離后得到∠CPD，已知∠AOM＝30°，∠DPN＝45°，則∠AOB＝____.12.如圖所示，下列四組圖形中，有一組中的兩個(gè)圖形經(jīng)過平移其中一個(gè)能得到另一個(gè)，這組圖形是()高頻考點(diǎn)7命題典例11命題“絕對值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)”.

(1)將這命題改寫成“如果…那么…的形式；

(2)寫出這命題的題設(shè)和結(jié)論；

(3)判斷該命題的真假.針對訓(xùn)練713.A、B、C、D、E五名學(xué)生猜測自己的數(shù)學(xué)成績.A說：“如果我得優(yōu)，那么B也得優(yōu).”B說：“如果我得優(yōu)，那么C也得優(yōu).”C說：“如果我得優(yōu)，那么D也得優(yōu).”D說：“如果我得優(yōu)，那么E也得優(yōu).”大家都沒有說錯(cuò)，但只有三個(gè)人得優(yōu)，請問：得優(yōu)的三個(gè)人是_________.第三部分能力提升訓(xùn)練1.如圖所示，已知射線CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°.點(diǎn)E、F在射線CB上，且滿足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.

(1)求∠EOB的度數(shù)；

(2)若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否隨之發(fā)生變化，找出變化規(guī)律，若不變，求出這個(gè)比值；

(3)在平行移動(dòng)AB的過程中，是否存在某種情況，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度數(shù)，若不存在，請說明理由.2.如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.(1)求證：∠B＝∠D；

(2)如圖2，點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)G在線段AD的延長線上，連接BG，∠AEB＝2∠G，求證：BG是∠EBC的平分線；

(3)如圖3，在(2)的條件下，點(diǎn)E在線段AD的延長線上，∠EDC的平分線DH交BG于點(diǎn)H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度數(shù).第四部分2021中考真題鏈接1．(3分)(2021年杭州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·杭州)如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為點(diǎn)Q，點(diǎn)T是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PT，則（）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ2．(3分)(2021年樂山中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?樂山）如圖，已知直線l1、l2、l3兩兩相交，且l1⊥l3，若α＝50°，則β的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°3．(3分)(2021年杭州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·杭州)如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為點(diǎn)Q，點(diǎn)T是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PT，則（）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ5．(3分)(2020年湖南省岳陽市市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2020·湖南省岳陽市）將一副直角三角板按如圖方式擺放，若直線a∥b，則∠1的大小為（）A．45° B．60° C．75° D．105°4．(3分)(2021年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021荊州）閱讀下列材料，其①～④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯(cuò)誤的是（）如圖：已知直線b∥c，a⊥b，求證：a⊥c．證明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定義）②又∵b∥c（已知）∴∠1＝∠2（同位角相等，兩直線平行）③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換）④∴a⊥c（垂直的定義）A．① B．② C．③ D．④6．(3分)(2021年聊城中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·聊城)如圖，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，則∠CEF的度數(shù)為（）A．95° B．105° C．110° D．115°7．(4分)(2021年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?泰安）如圖，直線m∥n，三角尺的直角頂點(diǎn)在直線m上，且三角尺的直角被直線m平分，若∠1＝60°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）8．(4分)(2021年浙江臺(tái)州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·臺(tái)州)一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝47°，則∠2＝（）A.40° B.43° C.45° D.47°9．(3分)(2021年臨沂市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·臨沂)如圖，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，則∠ABC的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°10．(3分)(2021年濟(jì)寧中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·濟(jì)寧)如圖，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度數(shù)是（）A．72°28′ B．101°28′ C．107°32′ D．127°32′11．(3分)(2021年河南省中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·河南)如圖，a∥b，∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（）A．90°B．100°C．110°D．120° 12．(3分)(2021年湖北省十堰市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·十堰）如圖，直線AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，則∠3＝（）A．87° B．23° C．67° D．90°13．(3分)(2021年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?長沙）如圖，AB∥CD，EF分別與AB，CD交于點(diǎn)G，H，∠AGE＝100°，則∠DHF的度數(shù)為 （）A．100° B．80° C．50° D．40°14．(3分)(2021年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·宿遷)如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，則∠BDE的度數(shù)是（）A．30°B．40°C．50°D．60°第第5題圖15．(3分)(2021年四川省達(dá)州市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·達(dá)州）如圖，一束光線AB先后經(jīng)平面鏡OM，ON反射后，反射光線CD與AB平行，當(dāng)∠ABM＝40°時(shí)，∠DCN的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．80°16．(3分)(2021年內(nèi)蒙古烏蘭察布市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·烏蘭察布市)如圖，直線l1∥l2，直線l3交l1于點(diǎn)A，交l2于點(diǎn)B，過點(diǎn)B的直線l4交l1于點(diǎn)C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，則∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°17．(5分)(2021年新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?新疆）如圖，直線DE過點(diǎn)A，且DE∥BC．若∠B＝60°，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為 （）A．50° B．60° C．70° D．80°18．(3分)(2021年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021宜昌）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，則∠AFD的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°19．(3分)(2021年東營中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·東營)如圖，，于點(diǎn)F，若，則（）A. B. C. D.20．(3分)(2021年荊門市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·荊門)如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設(shè)∠1＝30°，那么∠2＝()A．55°B．65°C．75°D．85°DDACB1221．(3分)(2021年浙江省金華市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?金華）某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（）如圖，已知直線l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，則∠3＝∠4．請完成下面的說理過程．解：已知∠1＝∠2，根據(jù)（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），得l1∥l2．再根據(jù)（※），得∠3＝∠4．A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)22．(3分)(2021年棗莊中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·棗莊)將把直尺和一塊含和角的三角板按如圖所示的位置放置，如果，那么的大小為（）A. B. C. D.23．(3分)(2021年包頭中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·包頭)如圖，直線l1∥l2，直線l3交l1于點(diǎn)A，交l2于點(diǎn)B，過點(diǎn)B的直線l4交l1于點(diǎn)C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，則∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°24．(4分)(2021年宜賓中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·宜賓)一塊含有45°的直角三角板和直尺如圖放置，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°25．(3分)(2021年湖北省襄陽市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·湖北襄陽）如圖，a∥b，AC⊥b，垂足為C，∠A＝40°，則∠1等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°第第3題圖26．(3分)(2021年湖北中考數(shù)學(xué)試卷；)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，則∠B的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°27．(3分)(2021年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?菏澤）一副三角板按如圖方式放置，含45°角的三角板的斜邊與含30°角的三角板的長直角邊平行，則∠α的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°28．(3分)(2021年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?瀘州）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（﹣3，﹣2）向右平移5個(gè)單位長度得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）二、填空題29．(2分)(2021年常州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·常州)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，則∠AED＝°30．(2分)(2021年常州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·常州)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，則∠AED＝°31．(3分)(2021年湖南省張家界市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·湖南張家界）如圖，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分線，若∠2＝64°，則∠3＝．32．(3分)(2021年長春中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·長春)將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)D在邊AC上，BC∥EF，則∠ADE的大小為度．33．(3分)(2021年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·恩施)如圖，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，則∠C＝．34．(3分)(2021年廣西柳州市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·廣西柳州）如圖，直線a∥b，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)是__________°．三、解答題35．(8分)(2021年武漢中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·武漢)如圖，AB∥CD，∠B＝∠D，BC的延長線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：∠DEF＝∠F．第01講相交線與平行線高頻考點(diǎn)及2021中考真題鏈接（解析版）第一部分知識(shí)網(wǎng)絡(luò)第二部分高頻考點(diǎn)+針對訓(xùn)練高頻考點(diǎn)1相交線考點(diǎn)解讀：兩條直線相交形成了四個(gè)角，這四個(gè)角兩兩配對可以配成六對．從位置上來看：這六對角，其中有兩對角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩對角稱為對頂角．還有四對角，每對角都有一條公共邊，另一條邊互為反向延長線，這四對角成為鄰補(bǔ)角；從大小上來看：對頂角互補(bǔ)，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．垂直是相交的一種特殊性質(zhì)，當(dāng)兩直線相交，夾角等于90°時(shí)，這兩條直線就互相垂直了，垂直的定義建立起角度大小與兩直線平行之間的關(guān)系：∠AOC＝90°AB⊥CD．典例1如圖5-1，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，若∠1︰∠2＝1︰4，則∠1＝______，∠3＝______．圖5-1思路引領(lǐng)：∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，所以∠1＋∠2＝180°.又因?yàn)椤?︰∠2＝1︰4，所以∠1＝36°，∠2＝144°.又因?yàn)椤?與∠2是對頂角，所以∠3＝∠2＝144°.答案：36°，144°．點(diǎn)睛：兩直線相交得到了4個(gè)角，這四個(gè)角每兩個(gè)之間的位置關(guān)系無非是對頂角和鄰補(bǔ)角兩種類型，大小關(guān)系無非是相等和互補(bǔ)兩種類型．典例2如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，∠EOC＝28°，則∠AOD＝_______度．CC28°EBDAO思路引領(lǐng)：由于OE⊥AB，所以∠EOB＝90°，又由于∠EOC＝28°，故∠AOD＝∠BOC＝62°．答案：62°．點(diǎn)睛：解這一類題，關(guān)鍵是把握基本圖形的特征，熟悉有關(guān)的角的概念，從概念出發(fā)去尋求解題的途徑.對有關(guān)角度的計(jì)算，主要依據(jù)角平分線的定義、垂直的定義、對頂角的性質(zhì)，互余互補(bǔ)的性質(zhì)等，要認(rèn)真分析已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算．典例3如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE=4∶1，求∠EOF的度數(shù)．思路引領(lǐng)：由于∠AOD∶∠BOE＝4∶1，可設(shè)∠AOD＝4x°，∠BOE＝x°，由于OE平分∠BOD，所以∠BOD＝2∠BOE＝2x°，所以∠AOB＝∠AOD＋∠DOB＝6x°，由∠AOB＝180°，可得方程求出x的值，本題要求的是∠EOF的度數(shù)，可先求∠COE的度數(shù)．解：設(shè)∠AOD＝4x°，∠BOE＝x°．∵OE平分∠BOD∴∠BOD＝2∠BOE＝2x°，∵∠BOD＋∠AOD＝180°，∴4x＋2x＝180，解得x＝30°，∴∠BOE＝∠DOE＝30°，∵∠DOE＋∠COE＝180°，∴∠COE＝150°∵OF平分∠COE∴∠EOF＝∠COE＝75°點(diǎn)睛：兩個(gè)角的度數(shù)之比，我們常常考慮利用參與設(shè)出這兩個(gè)角度，然后列方程求出參數(shù)的值．針對訓(xùn)練11.如圖(1)，直線AB、CD相交于O，∠AOC＝80°，∠1＝30°，則∠2＝____.答案：50°2.如圖(2)，直線AB、CD相交于O，∠AOC＝70°，EF平分∠COB，則∠COE＝_____.答案：125°3.如圖，AB⊥CD于點(diǎn)O，直線EF過O點(diǎn)，∠AOE＝65°，求∠DOF的度數(shù).解：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°

∵∠AOE=65°，∴∠COE=25°

∵∠COE=∠DOF(對頂角相等)

∴∠DOF=25°點(diǎn)睛：要求一個(gè)角的度數(shù)，常考慮將這個(gè)角的度數(shù)轉(zhuǎn)化成其它幾個(gè)容易求度數(shù)的角的和、差、倍、分的形式．高頻考點(diǎn)2點(diǎn)到直線的距離考點(diǎn)解讀：點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)與直線上垂足間線段的長。點(diǎn)到直線的距離容易和兩點(diǎn)之間的距離相混淆.當(dāng)圖形復(fù)雜不容易分析出是哪條線段時(shí)，準(zhǔn)確掌握概念，抓住垂直這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，認(rèn)真分析圖形是關(guān)鍵.典例4如圖，AD為三角形ABC的高，能表示點(diǎn)到直線(線段)的距離的線段有()

A．2條B.3條C.4條D.5條思路引領(lǐng)：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)與直線上垂足間線段的長，可得答案．解：AD是A到BC的距離，BD是B到AD的距離，DC是C到AD的距離，

故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度．針對訓(xùn)練24.如圖，AC⊥BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝4.8cm，AC＝6cm，BC＝8cm，則點(diǎn)C到AB的距離是_____cm；點(diǎn)A到BC的距離是_____cm；點(diǎn)B到AC的距離是_____cm.答案：4.8；6；8高頻考點(diǎn)3平行線的判定考點(diǎn)解讀：判斷兩直線平行目前有6種方法，方法1是利用平行的定義，但利用平行的定義只能定性的判斷，不能定量的判斷；方法2是利用“平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這是討論三條直線互相平行時(shí)用到的；方法3是利用同位角相等來證明兩直線平行；方法4是利用“在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行”來證明的，使用時(shí)必然出現(xiàn)兩個(gè)垂直；方法5是利用內(nèi)錯(cuò)角相等來證明兩直線平行的；方法6是利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)來證明兩直線平行的．方法1、2、4的使用都有其局限性，因此證明兩直線平行常用的方法是尋找角度之間的關(guān)系”.典例5如圖，∠ABC＝∠ADC、DE是∠ABC、∠ADC的角平分線，∠1＝∠2，求證DC∥AB．331FEDCBA2思路引領(lǐng)：DEDE是∠ABC、∠ADC的角平分線∠ABC＝∠ADC∠2＝∠3∠1＝∠2∠1＝∠3證明：∵BF、DE分別是∠ABC、∠ADC的角平分線（已知）∴∠2＝∠ABC，∠3＝∠ADC（角平分線的定義）∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠2＝∠3（等量代換）∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＝∠3（等量代換）∴DC∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）點(diǎn)睛：判斷兩直線平行，首先考慮尋找一對相等的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或一對互補(bǔ)的同旁內(nèi)角．典例6如圖，CE平分∠BCD，∠1＝∠2＝70°，∠3＝40°，AB和CD是否平行？為什么？思路引領(lǐng)：顯然AB和CD是平行的，本題中∠3＝40°，如果能說明∠D＝40°，那么就能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)了，根據(jù)“CE平分∠BCD”可知∠BCD＝140°，∠4＝∠2＝70°，進(jìn)一步可得到AD∥BC，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得到∠D＝40°答：AB∥CD理由：∵CE平分∠BCD，∴∠1＝∠4∵∠1＝∠2＝70°，∴∠4＝∠2＝70°，∴AD∥BC，∴∠D＋∠BCD＝180°∵∠BCD＝140°，∴∠D＝40°∵∠3＝40°，∴∠3＝∠D，∴AB∥CD點(diǎn)睛：要說明這兩直線為什么平行，可通過尋找同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角來實(shí)現(xiàn)．針對訓(xùn)練35.如圖，已知∠DAC＝∠ACB，∠D＋∠DFE＝180°.求證：EF∥BC.證明：∵∠DAC=∠ACB(已知)

∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)

∵∠D+∠DFE=180°(已知)

∴AD∥EF(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)

∴EF∥BC(平行于同一條直線的兩條直線互相平行)高頻考點(diǎn)4平行線的性質(zhì)考點(diǎn)解讀：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。因此平行線性質(zhì)最直接的運(yùn)用是已知兩直線平行可以推斷出兩對角相等或互補(bǔ)，平行線性質(zhì)是證明不同頂點(diǎn)兩個(gè)角相等的常用工具．典例7如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A與∠C，∠B與∠D的大小關(guān)系如何？請說明你的理由．思路引領(lǐng)：由于∠A與∠C不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角，要得出這兩個(gè)角的關(guān)系，必須尋找到一個(gè)中間角，建立起兩個(gè)角之間的聯(lián)系．由于∠A和∠C都是∠B的同旁內(nèi)角，由AB∥CD，BC∥AD可知，∠A和∠C都是∠B的補(bǔ)角，根據(jù)同角的補(bǔ)角可得∠A＝∠C．解：∠A＝∠C，∠B＝∠D．理由：∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠B＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠A＝∠C（同角的補(bǔ)角相等）同理∠B＝∠D．點(diǎn)睛：兩直線平行是證明兩角相等的重要工具，平行線就類似一個(gè)“橋梁”，由已知兩角關(guān)系（相等或互補(bǔ)），通過平行線，得到另外一對角度之間的關(guān)系．典例8如圖5-7，AB∥CD，BN，DN分別平分∠ABM，∠MDC，試問∠M與∠N之間的數(shù)量關(guān)系如何？請說明理由．思路引領(lǐng)：過點(diǎn)M作ME∥AB，由于AB∥CD，可證ME∥CD，容易證明∠BME＝∠ABM，∠DME＝∠MDC，即∠BMD＝∠ABM＋∠CDM，同樣道理：∠N＝∠ABN＋∠CDN，要尋找∠BMD與∠N的關(guān)系，我們只需尋找∠ABM＋∠CDM與∠ABN＋∠CDN的關(guān)系即可．答：∠M＝2∠N理由：先證明∠M＝∠ABM＋∠CDM，∠N＝∠ABN＋∠CDN∵BN，DN分別平分∠ABM，∠MDC，∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN∴∠ABM＋∠CDM＝2∠CDN＋2∠ABN∴∠M＝2∠N點(diǎn)睛：同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角是研究兩條平行線的重要工具，如果圖中沒有這三種角，可通過做輔助線，構(gòu)造出這些角．針對訓(xùn)練46．（2021秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，將一塊含有30°的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠1＝46°，那么∠2的度數(shù)是（）A．46° B．76° C．94° D．104°解：如圖，∵∠1＝46°，∠CAD＝30°，∴∠BAD＝∠1+∠CAD＝76°，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠BAD＝76°，∴∠2＝180°﹣∠CDE＝104°．故選：D．7．（2021秋?中原區(qū)校級期末）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠2＝37°，則∠1＝（）A．52° B．53° C．54° D．63°解：如圖，由題意得：∠E＝∠F＝45°，AB∥DC，∴∠ABF＝∠DCF，∵∠2＝37°，∴∠ABF＝180°﹣∠F﹣∠2＝98°，∴∠DCF＝98°，∴∠1＝∠DCF﹣∠E＝53°，故選：B．8．（2021秋?太倉市期末）已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如圖所示方式放置，并且頂點(diǎn)A，C分別落在直線a，b上，若∠1＝22°，則∠2的度數(shù)是（）A．38° B．45° C．58° D．60°解：如圖，過點(diǎn)B作BD∥a，∴∠ABD＝∠1＝22°，∵a∥b，∴BD∥b，∴∠2＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣22°＝38°．故選：A．高頻考點(diǎn)5平行線的性質(zhì)和判定綜合運(yùn)用考點(diǎn)解讀：平行線的性質(zhì)和判定經(jīng)常結(jié)合使用，由角之間的關(guān)系得出直線平行，進(jìn)而再得出其他角之間的關(guān)系，或是由直線平行得到角之間的關(guān)系，進(jìn)而再由角的關(guān)系得出其他直線平行.典例9如圖所示，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度數(shù).思路引領(lǐng)：先根據(jù)∠1=∠2，易證a∥b，那么有∠3+∠4=180°，而∠3=60°，易求∠4．解：∵∠1=∠2=72°

∴a∥b(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)∴∠3+∠4=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))

∵∠3=60°∴∠4=120°點(diǎn)睛：本題考查了平行線的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用．針對訓(xùn)練59.如圖，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B＋∠DAB＝180°.求證：∠E＝∠3.證明：∵CE平分∠DCB(已知)∴∠1=∠2(角平分線的定義)∵AB∥CD(已知)∴∠2=∠3(兩直線平行，同位角相等)∴∠1=∠3(等量代換)∵∠B+∠DAB=180°(已知)

∴DE∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)

∴∠E=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

∴∠E=∠3(等量代換)高頻考點(diǎn)6平移考點(diǎn)解讀：決定平移的因素是平移的方向和平移的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，平移前后的對應(yīng)點(diǎn)的連線段以及對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等，是解決平移問題的核心概念．典例9如圖，平移△ABC，使點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A′，畫出平移后的三角形A′B′C′.AABCA′思路點(diǎn)睛：分別作出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C平移后的三個(gè)對應(yīng)點(diǎn)，順次連接這三個(gè)對應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的三角形．答案：AABCA′B′C′點(diǎn)睛：把圖形從一個(gè)位置平移到另一個(gè)位置時(shí)，畫法一般是：①先確定平移的方向和距離；②按照平移的方向和距離把圖形中的特殊點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的位置確定出來；③連結(jié)對應(yīng)點(diǎn)．針對訓(xùn)練610.如圖所示，△DEF經(jīng)過平移得到△ABC，那么∠C的對應(yīng)角和ED的對應(yīng)邊分別是()

A.∠F，ACB.∠BOD，BA

C.∠F，BAD.∠BOD，AC答案：C11.如圖所示，把∠AOB沿著MN的方向平移一定距離后得到∠CPD，已知∠AOM＝30°，∠DPN＝45°，則∠AOB＝____.答案：105°12.如圖所示，下列四組圖形中，有一組中的兩個(gè)圖形經(jīng)過平移其中一個(gè)能得到另一個(gè)，這組圖形是()答案：D高頻考點(diǎn)7命題考點(diǎn)解讀：命題的組成：一般地，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.題設(shè)：是已知事項(xiàng)；結(jié)論：是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).數(shù)學(xué)中的命題?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題；假命題：命題中題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.典例10命題“絕對值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)”.

(1)將這命題改寫成“如果…那么…的形式；

(2)寫出這命題的題設(shè)和結(jié)論；

(3)判斷該命題的真假.解：(1)如果兩個(gè)數(shù)的絕對值相等，那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；

(2)題設(shè)：兩個(gè)數(shù)的絕對值相等，結(jié)論：這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；

(3)絕對值相等的兩個(gè)數(shù)可能互為相反數(shù)，也可能相等，所以該命題為假命題.針對訓(xùn)練713.A、B、C、D、E五名學(xué)生猜測自己的數(shù)學(xué)成績.A說：“如果我得優(yōu)，那么B也得優(yōu).”B說：“如果我得優(yōu)，那么C也得優(yōu).”C說：“如果我得優(yōu)，那么D也得優(yōu).”D說：“如果我得優(yōu)，那么E也得優(yōu).”大家都沒有說錯(cuò)，但只有三個(gè)人得優(yōu)，請問：得優(yōu)的三個(gè)人是_________.答案：C、D、E第三部分能力提升訓(xùn)練1.如圖所示，已知射線CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°.點(diǎn)E、F在射線CB上，且滿足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.

(1)求∠EOB的度數(shù)；

(2)若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否隨之發(fā)生變化，找出變化規(guī)律，若不變，求出這個(gè)比值；

(3)在平行移動(dòng)AB的過程中，是否存在某種情況，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度數(shù)，若不存在，請說明理由.解：(1)∵CB∥OA，∴∠C+∠COA=180°

∴∠COA=180°-∠C=180°-100°=80°

∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF

∴∠FOB+∠EOF=(∠AOF+∠COF)=∠COA=40°∴∠EOB=40°(2)∠OBC:∠OFC的值不會(huì)發(fā)生變化

∵CB∥OA

∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠FOA

∵∠FOB=∠AOB

∴∠FOA=2∠AOB

∴∠OFC=2∠OBC

∴∠OBC:∠OFC=1:2(3)當(dāng)平行移動(dòng)AB至∠OBA=60°時(shí)，∠OEC=∠OBA.

∵CB∥OA，AB∥OC，∴∠OEC=∠AOE，∠OBA=∠COB

∵∠OEC=∠OBA，∴∠AOE=∠COB

∴∠AOE-∠BOE=∠COB-∠BOE

∴∠COE=∠AOB

∵∠COE=∠FOE，∠AOB=∠FOB

且∠AOC=80°

∴∠COE=∠FOE=∠AOB=∠FOB=20°

∴∠AOE=∠COB=60°

∴∠OEC=∠OBA=60°2.如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.(1)求證：∠B＝∠D；

(2)如圖2，點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)G在線段AD的延長線上，連接BG，∠AEB＝2∠G，求證：BG是∠EBC的平分線；

(3)如圖3，在(2)的條件下，點(diǎn)E在線段AD的延長線上，∠EDC的平分線DH交BG于點(diǎn)H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度數(shù).(1)證明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°

∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°

∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°

∴∠B=∠D(2)證明：∵AD∥BC

∴∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE

∵∠AEB=2∠G，∴∠CBE=2∠G

∴∠EBG+∠CBG=2∠G

∴∠EBG=∠CBG=∠G

∴BG是∠EBC的平分線(3)解：∵DH是∠GDC的平分線

∴∠GDH=∠HDC，設(shè)∠GDH=∠HDC=α

∵AD∥BC，∴∠BCD=∠GDC=2α

設(shè)∠EBG=∠CBG=β

∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°

∴∠ABE+∠EBC+∠BCD=180°

∴66°+2β+2α=180°，∴α+β=57°

過點(diǎn)H作HP∥AB交AG于P，∴∠PHB+∠ABH=180°

∵AB∥CD，∴CD∥HP，∴∠DHP=∠HDC=α

∴∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°

即α+∠BHD+66°+β=180°，∴∠BHD=57°第四部分2021中考真題鏈接1．(3分)(2021年杭州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·杭州)如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為點(diǎn)Q，點(diǎn)T是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PT，則（）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ答案：C解析：本題考查了垂線段最短，由PQ⊥l，得到PT≥PQ，因此本題選C．2．(3分)(2021年樂山中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?樂山）如圖，已知直線l1、l2、l3兩兩相交，且l1⊥l3，若α＝50°，則β的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°答案：C解析：本題考查了對頂角和三角形外角的性質(zhì)，如圖，根據(jù)對頂角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，因此本題選C．3．(3分)(2021年杭州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·杭州)如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為點(diǎn)Q，點(diǎn)T是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PT，則（）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ答案：C解析：本題考查了垂線段最短，由PQ⊥l，得到PT≥PQ，因此本題選C4．(3分)(2020年湖南省岳陽市市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2020·湖南省岳陽市）將一副直角三角板按如圖方式擺放，若直線a∥b，則∠1的大小為（）A．45° B．60° C．75° D．105°答案：C解析：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1+ABC=180°，進(jìn)而可求出∠1．由題意知，∠ABC=45°+60°=105°，∵，∴∠1+∠ABC=180°,∴∠1=180°—∠ABC=180°—105°=75°,因此本題選C.6．(3分)(2021年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021荊州）閱讀下列材料，其①～④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯(cuò)誤的是（）如圖：已知直線b∥c，a⊥b，求證：a⊥c．證明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定義）②又∵b∥c（已知）∴∠1＝∠2（同位角相等，兩直線平行）③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換）④∴a⊥c（垂直的定義）A．① B．② C．③ D．④答案：B解析：此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義得到∠1＝90°，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠2＝90°，即可判定a⊥c．證明：①∵a⊥b（已知），∴∠1＝90°（垂直的定義），②又∵b∥c（已知），∴∠1＝∠2（兩直線平行，同位角相等），③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換），∴a⊥c（垂直的定義），①～④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯(cuò)誤的是②，故選：B．6．(3分)(2021年聊城中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·聊城)如圖，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，則∠CEF的度數(shù)為（）A．95° B．105° C．110° D．115°答案：B解析：本題考查了平行線的性質(zhì)和角度求解，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB＝130°，∴∠ECD＝∠DCB－∠BCE＝130°－55°＝75°，∵EF∥CD∴∠ECD＋∠CEF＝180°∴∠CEF＝180°－75°＝105°，因此本題選B．7．(4分)(2021年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?泰安）如圖，直線m∥n，三角尺的直角頂點(diǎn)在直線m上，且三角尺的直角被直線m平分，若∠1＝60°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠2＝75° B．∠3＝45° C．∠4＝105° D．∠5＝130°答案：D解析：本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．利用平行線的性質(zhì)、直角的定義、三角形外角的性質(zhì)即可解決問題．解：如圖，∵三角尺的直角被直線m平分，∴∠6＝∠7＝45°，∴∠4＝∠1+∠6＝45°+60°＝105°，∵m∥n，∴∠3＝∠7＝45°，∠2＝180°﹣∠4＝75°，∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°，故選項(xiàng)A、B、C正確，因此本題選D．8．(4分)(2021年浙江臺(tái)州中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·臺(tái)州)一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝47°，則∠2＝（）A.40° B.43° C.45° D.47°答案：B解析：本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，過三角板的直角頂點(diǎn)作直尺兩邊的平行線，∵直尺的兩邊互相平行，∴，∴，∴.因此本題選B．9．(3分)(2021年臨沂市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·臨沂)如圖，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，則∠ABC的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°答案：B解析：由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ECD＝40°,由角平分線的定義得到∠BCD＝20°,最后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可得解．解：∵AB∥CD，∠AEC＝40°，∴∠ECD＝∠AEC＝40°,∵CB平分∠DCE，∴∠BCD＝∠DCE＝20°,∵AB∥CD,∴∠ABC＝∠BCD＝20°,故選：B．10．(3分)(2021年濟(jì)寧中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·濟(jì)寧)如圖，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度數(shù)是（）A．72°28′ B．101°28′ C．107°32′ D．127°32′答案：C解析：本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．∵AB∥CD，∠B＝72°28′，∴∠C＝∠B＝72°28′，∵BC∥DE，∴∠D+∠C＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C＝107°32′，因此本題選C．11．(3分)(2021年河南省中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·河南)如圖，a∥b，∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（）A．90°B．100°C．110°D．120° 答案：D解析：本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角定義，兩直線平行，同位角相等；互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角和為180°，因此本題選D.12．(3分)(2021年湖北省十堰市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·十堰）如圖，直線AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，則∠3＝（）A．87° B．23° C．67° D．90°答案：A解析：本題考查了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，由平行線的性質(zhì)可知∠C＝∠1＝55°，結(jié)合外角的性質(zhì)即可求得∠3的度數(shù)．因此本題選A．13．(3分)(2021年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?長沙）如圖，AB∥CD，EF分別與AB，CD交于點(diǎn)G，H，∠AGE＝100°，則∠DHF的度數(shù)為 （）A．100° B．80° C．50° D．40°答案：A解析：本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)關(guān)鍵是注意：兩直線平行，同位角相等．本題解答時(shí)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠CHG的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等，即可得出∠DHF的度數(shù)．∵AB∥CD，∴∠CHG＝∠AGE＝100°，∴∠DHF＝∠CHG＝100°．故選：A．14．(3分)(2021年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·宿遷)如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，則∠BDE的度數(shù)是（）A．30°B．40°C．50°D．60°第第5題圖答案：B解析：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線定義及平行線的性質(zhì)．∵∠A＝70°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝80°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝40°．∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝40°．因此本題選B．15．(3分)(2021年四川省達(dá)州市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·達(dá)州）如圖，一束光線AB先后經(jīng)平面鏡OM，ON反射后，反射光線CD與AB平行，當(dāng)∠ABM＝40°時(shí)，∠DCN的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．80°答案：B解析：本題考查了兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由∠ABM＝40°，∠ABM＝∠OBC，可知∠OBC＝40°，從而求得∠ABC的度數(shù)；由CD∥AB，可知∠ABC+∠BCD＝180°，求得∠BCD的度數(shù)，進(jìn)一步求得∠DCN的度數(shù)．因此本題選B．16．(3分)(2021年內(nèi)蒙古烏蘭察布市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·烏蘭察布市)如圖，直線l1∥l2，直線l3交l1于點(diǎn)A，交l2于點(diǎn)B，過點(diǎn)B的直線l4交l1于點(diǎn)C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，則∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°答案：B解析：本題考查了平行線的性質(zhì)，如圖，由題意得，∠2＝60°，由平角的定義可得∠5＝70°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解，因此本題選B．17．(5分)(2021年新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?新疆）如圖，直線DE過點(diǎn)A，且DE∥BC．若∠B＝60°，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為 （）A．50° B．60° C．70° D．80°答案：C解析：本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題時(shí)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠DAB的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，即可得出∠2的度數(shù)．∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠2＝180°﹣∠DAB﹣∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°．故選：C．分值：518．(3分)(2021年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021宜昌）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，則∠AFD的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°答案：A解析：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)定理和外角的性質(zhì)，求出∠A，∠D的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠A＝30°，∠D＝45°，由平行線的性質(zhì)定理可得∠1＝∠D＝45°，利用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)果．解：如圖，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵AB∥DE，∴∠1＝∠D＝45°，∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，故選：A．19．(3分)(2021年東營中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·東營)如圖，，于點(diǎn)F，若，則（）A. B. C. D.答案：D解析：本題考查了平行線的性質(zhì).過點(diǎn)E作GE∥AB．利用平行線的性質(zhì)得到∠GEF+∠EFD＝180°，由垂直的定義∠EFD＝90°，進(jìn)而得出∠GEF＝90°，根據(jù)角的和差得到∠BEG＝60°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．如圖，過點(diǎn)E作GE∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠GEF+∠EFD＝180°，∵EF⊥CD，∴∠EFD＝90°，∴∠GEF＝180°﹣∠EFD＝90°，∵∠BEF＝∠BEG+∠GEF＝150°，∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝60°，∵GE∥AB，∴∠ABE＝∠BEG＝60°，因此本題選D．20．(3分)(2021年荊門市中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·荊門)如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設(shè)∠1＝30°，那么∠2＝()A．55°B．65°C．75°D．85°DDACB12答案：C解析：如圖，過點(diǎn)E作EF∥AB，則∠BEF＝∠1＝30°．∵△HEG是等腰直角三角形，∴∠HEG＝45°．∴∠GEF＝180°－(∠HEG＋∠BEF)＝105°．∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD．∴∠2＝180°－∠GEF＝75°．故選C．DDACB12EGFH21．(3分)(2021年浙江省金華市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021?金華）某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（）如圖，已知直線l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，則∠3＝∠4．請完成下面的說理過程．解：已知∠1＝∠2，根據(jù)（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），得l1∥l2．再根據(jù)（※），得∠3＝∠4．A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)答案：C解析：本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．已知∠1＝∠2，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得l1∥l2，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得∠3＝∠4．故選：C．22．(3分)(2021年棗莊中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·棗莊)將把直尺和一塊含和角的三角板按如圖所示的位置放置，如果，那么的大小為（）A. B. C. D.答案：A解析：本題考查了兩直線平行同位角相等及三角形的外角．因?yàn)?/,得到．因?yàn)?所以因此本題選A．23．(3分)(2021年包頭中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·包頭)如圖，直線l1∥l2，直線l3交l1于點(diǎn)A，交l2于點(diǎn)B，過點(diǎn)B的直線l4交l1于點(diǎn)C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，則∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°答案：B解析：本題考查了平行線的性質(zhì)．如圖標(biāo)注．∵l1∥l2，∴∠1+∠3＝180°．∵∠3＝50°，∴∠1＝130°．∵∠1+∠2+∠3＝240°，∴∠2＝60°．∴∠5＝180°-∠2-∠3＝180°-60°-50°＝70°．∵l1∥l2，∴∠4＝∠5＝70°，因此本題選B．24．(4分)(2021年宜賓中考數(shù)學(xué)試卷；)(2021·宜賓)一塊含有45°的直角三角板和直尺如圖放置，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°答案：B解析：本題考查了平行線的性質(zhì)，過直角頂點(diǎn)作直尺邊緣的平行線，得到∠3與∠4，則∠3=∠1=55°，∴∠4=90°-55°=35°，∴∠2=∠4=35°,故選B。25．(3分)(2021年湖北省襄陽市中考數(shù)學(xué)試卷；)（2021·湖北襄陽）如圖，a∥b，AC⊥b，垂足為C，∠A＝40°，則∠1等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°第第3題圖答案：C解析：本題考查了直角三角形及平行線的性質(zhì)，∵AC⊥b