專題16二次函數(shù)的應用與綜合篇(原卷版+解析)

專題16二次函數(shù)的應用與綜合知識回顧知識回顧二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像：形式一般式：頂點式的符號開口方向開口向上開口向下開口向上開口向下對稱軸，若同號，則對稱軸在軸左邊；若異號，則對稱軸在軸右邊。簡稱左同右異。，若，對稱軸在軸右邊；若，對稱軸在軸左邊，最值當時取得最小值當時取得最大值當時取得最小值當時取得最大值頂點坐標增減性圖像在對稱軸左邊隨的增大而減?。粓D像在對稱軸右邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸左邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸右邊隨的增大而減?。粓D像在對稱軸左邊隨的增大而減??；圖像在對稱軸右邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸左邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸右邊隨的增大而減??；①若二次函數(shù)是一般形式時，則二次函數(shù)與軸的交點坐標為。若，則二次函數(shù)與軸交于正半軸；若，則二次函數(shù)與軸交于負半軸。②二次函數(shù)開口向上時，離對稱軸越遠的點函數(shù)值越大；二次函數(shù)開口向下時，離對稱軸越遠的函數(shù)值越小。③二次函數(shù)函數(shù)值相等的兩個點一定關于對稱軸對稱。④二次函數(shù)的一般式化為頂點式：利用一元二次方程的配方法。二次函數(shù)的平移：①若函數(shù)進行左右平移，則在函數(shù)的自變量上進行加減。左加右減。②若函數(shù)進行上下平移，則在函數(shù)解析式整體后面進行加減。上加下減。一次函數(shù)的對稱變換：①若二次函數(shù)關于軸對稱，則自變量不變，函數(shù)值變?yōu)橄喾磾?shù)。②若二次函數(shù)關于軸對稱，則函數(shù)值不變，自變量變成相反數(shù)。③若二次函數(shù)關于原點對稱，則自變量與函數(shù)值均變成相反數(shù)。二次函數(shù)與一元二次方程：①若二次函數(shù)與軸有兩個交點?一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根?。②若二次函數(shù)與軸只有一個交點?一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根?。③若二次函數(shù)與軸沒有交點?一元二次方程沒有實數(shù)根?。④若二次函數(shù)與直線相交，則一元二次方程為。交點情況與方程的解的情況同與軸相交時一樣。二次函數(shù)與不等式（組）若二次函數(shù)與一次函數(shù)存在交點，則不等式：的解集取二次函數(shù)圖像在上方的部分所對應的自變量取值范圍；的解集取二次函數(shù)圖像在下方的部分所對應的自變量取值范圍。利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題。解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量的取值范圍。幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論。構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題。二次函數(shù)的綜合應用：①二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用：

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件。

②二次函數(shù)在實際生活中的應用題。

從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義。微專題微專題1．端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、B兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變．第一次購進A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元．（1）求A、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；（2）當B品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進行降價銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當B品牌粽子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？2．某文具店購進一批單價為12元的學習用品，按照相關部門規(guī)定其銷售單價不低于進價，且不高于進價的1.5倍，通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關系，且當x＝15時，y＝50；當x＝17時，y＝30．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）這種學習用品的銷售單價定為多少時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？3．某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個．（1）求第二批每個掛件的進價；（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？4．擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名女生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關系如圖2所示，擲出時起點處高度為m，當水平距離為3m時，實心球行進至最高點3m處．（1）求y關于x的函數(shù)表達式；（2）根據(jù)蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m，此項考試得分為滿分10分．該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．5．某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關系．（1）求y與x的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？（3）設該玩具日銷售利潤為w元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？6．2022北京冬奧會自由式滑雪空中技巧比賽中，某運動員比賽過程的空中剪影近似看作一條拋物線，跳臺高度OA為4米，以起跳點正下方跳臺底端O為原點，水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸，建立如圖所示平面直角坐標系．已知拋物線最高點B的坐標為（4，12），著陸坡頂端C與落地點D的距離為2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即）．求：（1）點A的坐標；（2）該拋物線的函數(shù)表達式；（3）起跳點A與著陸坡頂端C之間的水平距離OC的長．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）7．第24屆冬奧會（也稱2022年北京冬奧會）于2022年2月4日至2月20日在中國北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過夏奧會又舉辦過冬奧會的城市．冬奧會上跳臺滑雪是一項極為壯觀的運動．運動員經(jīng)過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個動作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運動員穿著滑雪板，經(jīng)過助滑后，從傾斜角θ＝37°的跳臺A點以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時，由于受重力作用，運動員沿豎直方向會加速下落，因此，運動員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運動員在B點著陸，AB＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空氣阻力，請回答下列問題：（1）求該運動員從跳出到著陸垂直下降了多少m？（2）以A為坐標原點建立直角坐標系，求該拋物線表達式；（3）若該運動員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？8．某校為配合疫情防控需要，每星期組織學生進行核酸抽樣檢測；防疫部門為了解學生錯峰進入操場進行核酸檢測情況，調(diào)查了某天上午學生進入操場的累計人數(shù)y（單位：人）與時間x（單位：分鐘）的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關系式：y＝，數(shù)據(jù)如表．時間x（分鐘）0123…8x＞8累計人數(shù)y（人）0150280390…640640（1）求a，b，c的值；（2）如果學生一進入操場就開始排隊進行核酸檢測，檢測點有4個，每個檢測點每分鐘檢測5人，求排隊人數(shù)的最大值（排隊人數(shù)＝累計人數(shù)﹣已檢測人數(shù)）；（3）在（2）的條件下，全部學生都完成核酸檢測需要多少時間？如果要在不超過20分鐘讓全部學生完成核酸檢測，從一開始就應該至少增加幾個檢測點？9．某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)）．當每件消毒用品售價為9元時，每天的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式．（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？（3）設該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？10．如圖，題目中的黑色部分是被墨水污染了無法辨認的文字，導致題目缺少一個條件而無法解答，經(jīng)查詢結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣4x+1．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，1），B（1，﹣2），．求該二次函數(shù)的解析式．（1）請根據(jù)已有信息添加一個適當?shù)臈l件：；（2）當函數(shù)值y＜6時，自變量x的取值范圍：；（3）如圖1，將函數(shù)y＝x2﹣4x+1（x＜0）的圖象向右平移4個單位長度，與y＝x2﹣4x+1（x≥4）的圖象組成一個新的函數(shù)圖象，記為L．若點P（3，m）在L上，求m的值；（4）如圖2，在（3）的條件下，點A的坐標為（2，0），在L上是否存在點Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．11．如圖（1），二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），直線l經(jīng)過B、C兩點．（1）求該二次函數(shù)的表達式及其圖象的頂點坐標；（2）點P為直線l上的一點，過點P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點M，再過點M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點N，當PM＝MN時，求點P的橫坐標；（3）如圖（2），點C關于x軸的對稱點為點D，點P為線段BC上的一個動點，連接AP，點Q為線段AP上一點，且AQ＝3PQ，連接DQ，當3AP+4DQ的值最小時，直接寫出DQ的長．12．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于O（O為坐標原點），A兩點，且二次函數(shù)的最小值為﹣1，點M（1，m）是其對稱軸上一點，y軸上一點B（0，1）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點P，連結(jié)PA，PB，設點P的橫坐標為t，△PAB的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式；（3）在二次函數(shù)圖象上是否存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點N的坐標，若不存在，請說明理由．13．如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B（3，0），D（﹣2，﹣）兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C．（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；（2）若點M在直線BC上方的拋物線上運動（與點B，C不重合），求使△MBC面積最大時M點的坐標，并求最大面積；（請在圖1中探索）（3）設點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標．（請在圖2中探索）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），頂點D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動點P（m，n）在x軸上方的拋物線上．（1）求這條拋物線對應的函數(shù)表達式；（2）過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥l于點N，當1＜m＜3時，求PM+PN的最大值；（3）設直線AP，BP與拋物線的對稱軸分別相交于點E，F(xiàn)，請?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點E關于x軸的對稱點）為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，說明理由．15．如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c，交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，F(xiàn)為拋物線頂點，直線EF垂直于x軸于點E，當y≥0時，﹣1≤x≤3．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是線段BE上的動點（除B、E外），過點P作x軸的垂線交拋物線于點D．①當點P的橫坐標為2時，求四邊形ACFD的面積；②如圖2，直線AD，BD分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點．試問，EM+EN是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．16．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象交x軸于點A（﹣1，0），B（5，0），交y軸于點C．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，點M從點B出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段BC向點C運動，點N從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段OB向點B運動，點M，N同時出發(fā)．設運動時間為t秒（0＜t＜5）．當t為何值時，△BMN的面積最大？最大面積是多少？（3）已知P是拋物線上一點，在直線BC上是否存在點Q，使以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由．專題16二次函數(shù)的應用與綜合知識回顧知識回顧二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像：形式一般式：頂點式的符號開口方向開口向上開口向下開口向上開口向下對稱軸，若同號，則對稱軸在軸左邊；若異號，則對稱軸在軸右邊。簡稱左同右異。，若，對稱軸在軸右邊；若，對稱軸在軸左邊，最值當時取得最小值當時取得最大值當時取得最小值當時取得最大值頂點坐標增減性圖像在對稱軸左邊隨的增大而減??；圖像在對稱軸右邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸左邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸右邊隨的增大而減??；圖像在對稱軸左邊隨的增大而減?。粓D像在對稱軸右邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸左邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸右邊隨的增大而減??；①若二次函數(shù)是一般形式時，則二次函數(shù)與軸的交點坐標為。若，則二次函數(shù)與軸交于正半軸；若，則二次函數(shù)與軸交于負半軸。②二次函數(shù)開口向上時，離對稱軸越遠的點函數(shù)值越大；二次函數(shù)開口向下時，離對稱軸越遠的函數(shù)值越小。③二次函數(shù)函數(shù)值相等的兩個點一定關于對稱軸對稱。④二次函數(shù)的一般式化為頂點式：利用一元二次方程的配方法。二次函數(shù)的平移：①若函數(shù)進行左右平移，則在函數(shù)的自變量上進行加減。左加右減。②若函數(shù)進行上下平移，則在函數(shù)解析式整體后面進行加減。上加下減。一次函數(shù)的對稱變換：①若二次函數(shù)關于軸對稱，則自變量不變，函數(shù)值變?yōu)橄喾磾?shù)。②若二次函數(shù)關于軸對稱，則函數(shù)值不變，自變量變成相反數(shù)。③若二次函數(shù)關于原點對稱，則自變量與函數(shù)值均變成相反數(shù)。二次函數(shù)與一元二次方程：①若二次函數(shù)與軸有兩個交點?一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根?。②若二次函數(shù)與軸只有一個交點?一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根?。③若二次函數(shù)與軸沒有交點?一元二次方程沒有實數(shù)根?。④若二次函數(shù)與直線相交，則一元二次方程為。交點情況與方程的解的情況同與軸相交時一樣。二次函數(shù)與不等式（組）若二次函數(shù)與一次函數(shù)存在交點，則不等式：的解集取二次函數(shù)圖像在上方的部分所對應的自變量取值范圍；的解集取二次函數(shù)圖像在下方的部分所對應的自變量取值范圍。利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題。解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量的取值范圍。幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論。構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題。二次函數(shù)的綜合應用：①二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用：

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件。

②二次函數(shù)在實際生活中的應用題。

從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義。微專題微專題1．端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、B兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變．第一次購進A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元．（1）求A、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；（2）當B品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進行降價銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當B品牌粽子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）A種品牌粽子每袋的進價是x元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，根據(jù)兩次進貨情況，可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)：利潤＝（每臺實際售價﹣每臺進價）×銷售量，列函數(shù)關系式，配方成二次函數(shù)的頂點式可得函數(shù)的最大值；【解答】解：（1）A種品牌粽子每袋的進價是x元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，根據(jù)題意得，，解得，答：A種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元；（2）設B品牌粽子每袋的銷售價降低a元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，利潤為w元，根據(jù)題意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，∵﹣5＜0，∴當B品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元．2．某文具店購進一批單價為12元的學習用品，按照相關部門規(guī)定其銷售單價不低于進價，且不高于進價的1.5倍，通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關系，且當x＝15時，y＝50；當x＝17時，y＝30．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）這種學習用品的銷售單價定為多少時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝kx+b，然后代值求解即可；（2）設每天獲得的利潤為w元，由（1）可得w＝﹣10（x﹣16）2+160進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝kx+b，由題意得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝﹣10x+200；（2）設每天獲得的利潤為w元，由（1）可得：w＝（x﹣12）（﹣10x+200）＝﹣10x2+320x﹣2400＝﹣10（x﹣16）2+160，∵12≤x≤18，且﹣10＜0，∴當x＝16時，w有最大值，最大值為160．答：這種學習用品的銷售單價定為16元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是160元．3．某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個．（1）求第二批每個掛件的進價；（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【分析】（1）設第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為1.1x元，根據(jù)題意列出方程，求解即可；（2）設每個售價定為y元，每周所獲利潤為w元，則可列出w關于y的函數(shù)關系式，再根據(jù)“每周最多能賣90個”得出y的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為1.1x元，根據(jù)題意可得，+50＝，解得x＝40．經(jīng)檢驗，x＝40是原分式方程的解，且符合實際意義，∴1.1x＝44．∴第二批每個掛件的進價為40元．（2）設每個售價定為y元，每周所獲利潤為w元，根據(jù)題意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，∵﹣10＜0，∴當x≥52時，y隨x的增大而減小，∵40+10（60﹣y）≤90，∴y≥55，∴當y＝55時，w取最大，此時w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．∴當每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．4．擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名女生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關系如圖2所示，擲出時起點處高度為m，當水平距離為3m時，實心球行進至最高點3m處．（1）求y關于x的函數(shù)表達式；（2）根據(jù)蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m，此項考試得分為滿分10分．該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．圖1來源：《2022年蘭州市高中階段學校招生體育考試規(guī)則與測試要求》【分析】（1）根據(jù)題意設出y關于x的函數(shù)表達式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)該同學此次投擲實心球的成績就是實心球落地時的水平距離，令y＝0，解方程即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意設y關于x的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣3）2+3，把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣3）2+3，解得：a＝﹣，∴y關于x的函數(shù)表達式為y＝﹣（x﹣3）2+3；（2）該女生在此項考試中是得滿分，理由：令y＝0，則﹣（x﹣3）2+3＝0，解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），∵7.5＞6.70，∴該女生在此項考試中是得滿分．5．某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關系．（1）求y與x的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？（3）設該玩具日銷售利潤為w元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）直接用待定系數(shù)法，求出一次函數(shù)的關系式；（2）根據(jù)題意，設當天玩具的銷售單價是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根據(jù)題意，列出w與x的關系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案．【解答】解：（1）設一次函數(shù)的關系式為y＝kx+b，由題圖可知，函數(shù)圖象過點（25，50）和點（35，30）．把這兩點的坐標代入一次函數(shù)y＝kx+b，得，解得，∴一次函數(shù)的關系式為y＝﹣2x+100；（2）根據(jù)題意，設當天玩具的銷售單價是x元，由題意得，（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，解得：x1＝40，x2＝20，∴當天玩具的銷售單價是40元或20元；（3）根據(jù)題意，則w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；∵﹣2＜0，∴當x＝30時，w有最大值，最大值為800；∴當玩具的銷售單價定為30元時，日銷售利潤最大；最大利潤是800元．6．2022北京冬奧會自由式滑雪空中技巧比賽中，某運動員比賽過程的空中剪影近似看作一條拋物線，跳臺高度OA為4米，以起跳點正下方跳臺底端O為原點，水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸，建立如圖所示平面直角坐標系．已知拋物線最高點B的坐標為（4，12），著陸坡頂端C與落地點D的距離為2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即）．求：（1）點A的坐標；（2）該拋物線的函數(shù)表達式；（3）起跳點A與著陸坡頂端C之間的水平距離OC的長．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【分析】（1）由拋物線的圖象可直接得出結(jié)論；（2）由拋物線的頂點可設出拋物線的頂點式，將點A的坐標代入即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)勾股定理可得出CE和DE的長，進而得出點D的坐標，由OC的長為點D的橫坐標減去DE的長可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵OA＝4，且點A在y軸正半軸，∴A（0，4）．（2）∵拋物線最高點B的坐標為（4，12），∴設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣4）2+12，∵A（0，4），∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a＝﹣．∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣4）2+12．（3）在Rt△CDE中，＝，CD＝2.5，∴CE＝1.5，DE＝2．∴點D的縱坐標為﹣1.5，令﹣（x﹣4）2+12＝﹣1.5，解得，x＝4+3≈9.19或x＝4﹣3≈﹣1.19（不合題意，舍去），∴D（9.19，﹣1.5）．∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．∴OC的長約為7.2米．7．第24屆冬奧會（也稱2022年北京冬奧會）于2022年2月4日至2月20日在中國北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過夏奧會又舉辦過冬奧會的城市．冬奧會上跳臺滑雪是一項極為壯觀的運動．運動員經(jīng)過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個動作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運動員穿著滑雪板，經(jīng)過助滑后，從傾斜角θ＝37°的跳臺A點以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時，由于受重力作用，運動員沿豎直方向會加速下落，因此，運動員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運動員在B點著陸，AB＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空氣阻力，請回答下列問題：（1）求該運動員從跳出到著陸垂直下降了多少m？（2）以A為坐標原點建立直角坐標系，求該拋物線表達式；（3）若該運動員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？【分析】（1）如圖，以A為原點，建立平面直角坐標系，過點B作BD⊥y軸于點D．解直角三角形求出OD即可；（2）設拋物線的解析式為y＝ax2，求出點B的坐標，代入求出a即可；（3）求出x＝﹣60，y的值即可判斷．【解答】解：（1）如圖，以A為原點，建立平面直角坐標系．過點B作BD⊥y軸于點D．在Rt△OBD中，OD＝AB?sin37°＝150×0.6＝90（m），答：該運動員從跳出到著陸垂直下降了90m；（2）在Rt△OBD中，BD＝＝＝120（m），∴B（﹣120，﹣90），由題意拋物線頂點為（0，0），經(jīng)過（﹣120，﹣90）．設拋物線的解析式為y＝ax2，則有﹣90＝a×（﹣120）2，∴a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2．（3）當x＝﹣60時，y＝﹣22.5，∴他飛行2s后，垂直下降了22.5m．8．某校為配合疫情防控需要，每星期組織學生進行核酸抽樣檢測；防疫部門為了解學生錯峰進入操場進行核酸檢測情況，調(diào)查了某天上午學生進入操場的累計人數(shù)y（單位：人）與時間x（單位：分鐘）的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關系式：y＝，數(shù)據(jù)如表．時間x（分鐘）0123…8x＞8累計人數(shù)y（人）0150280390…640640（1）求a，b，c的值；（2）如果學生一進入操場就開始排隊進行核酸檢測，檢測點有4個，每個檢測點每分鐘檢測5人，求排隊人數(shù)的最大值（排隊人數(shù)＝累計人數(shù)﹣已檢測人數(shù)）；（3）在（2）的條件下，全部學生都完成核酸檢測需要多少時間？如果要在不超過20分鐘讓全部學生完成核酸檢測，從一開始就應該至少增加幾個檢測點？【分析】（1）根據(jù)題意列方程，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)排隊人數(shù)＝累計人數(shù)﹣已檢測人數(shù)，首先找到排隊人數(shù)和時間的關系，再根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，找到排隊人數(shù)最多時有多少人；8分鐘后入校園人數(shù)不再增加，檢測完所有排隊同學即完成所有同學體溫檢測；（3）設從一開始就應該增加m個檢測點，根據(jù)不等關系“要在20分鐘內(nèi)讓全部學生完成核酸檢測”，建立關于m的一元一次不等式，結(jié)合m為整數(shù)可得到結(jié)果．【解答】解：（1）由題意，，解得，；（2）設第x分鐘時的排隊人數(shù)為W，根據(jù)題意得：W＝y(tǒng)﹣20x，∴W＝，當0≤x≤8時，W＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，∴當x＝7時，W最大＝490，當x＞8時，W＝640﹣20x，∵k＝﹣20＜0，∴W隨x的增大而減小，∴W＜480，故排隊人數(shù)最多時有490人；（3）要全部學生都完成核酸檢測，根據(jù)題意得：640﹣20x＝0，解得：x＝32，所以全部學生都完成核酸檢測要32分鐘；開始就應該至少增加m個檢測點，根據(jù)題意得：5×20（m+4）≥640，解得：m≥2.4，∵m為整數(shù)，∴m＝3，答：從一開始就應該至少增加3個檢測點．9．某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)）．當每件消毒用品售價為9元時，每天的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式．（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？（3）設該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)每件的銷售利潤×每天的銷售量＝425，解一元二次方程即可；（3）利用銷售該消毒用品每天的銷售利潤＝每件的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出w關于x的函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．【解答】解：（1）設每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）函數(shù)關系式為：y＝kx+b，由題意可知：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關系式為：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），∴若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為13元；（3）w＝y(tǒng)（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x為整數(shù)，當x＜19時，w隨x的增大而增大，∴當x＝15時，w有最大值，最大值為525．答：每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元．10．如圖，題目中的黑色部分是被墨水污染了無法辨認的文字，導致題目缺少一個條件而無法解答，經(jīng)查詢結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣4x+1．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，1），B（1，﹣2），．求該二次函數(shù)的解析式．（1）請根據(jù)已有信息添加一個適當?shù)臈l件：；（2）當函數(shù)值y＜6時，自變量x的取值范圍：；（3）如圖1，將函數(shù)y＝x2﹣4x+1（x＜0）的圖象向右平移4個單位長度，與y＝x2﹣4x+1（x≥4）的圖象組成一個新的函數(shù)圖象，記為L．若點P（3，m）在L上，求m的值；（4）如圖2，在（3）的條件下，點A的坐標為（2，0），在L上是否存在點Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）只需填一個在拋物線圖象上的點的坐標即可；（2）求出y＝6時，對應的x值，再結(jié)合圖象寫出x的取值范圍即可；（3）求出拋物線向右平移4個單位后的解析式為y＝（x﹣6）2﹣3，根據(jù)題意可知x＝3時，P點在拋物線y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，再求m的值即可；（4）分兩種情況討論：當Q點在拋物線y＝（x﹣6）2﹣3的部分上時，設Q（t，t2﹣12t+33），由S△OAQ＝2×（t2﹣12t+33）＝9，求出Q點坐標即可；當Q點在拋物線y＝x2﹣4x+1的部分上時，設Q（m，m2﹣4m+1），由S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，求出Q點坐標即可．【解答】解：（1）C（2，﹣3），故答案為：C（2，﹣3）（答案不唯一）；（2）∵y＝x2﹣4x+1，∴當x2﹣4x+1＝6時，解得x＝5或x＝﹣1，∴當y＜6時，﹣1＜x＜5，故答案為：﹣1＜x＜5；（3）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴拋物線向右平移4個單位后的解析式為y＝（x﹣6）2﹣3，當x＝3時，點P在拋物線y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，∴m＝6；（4）存在點Q，使得S△OAQ＝9，理由如下：當Q點在拋物線y＝（x﹣6）2﹣3的部分上時，設Q（t，t2﹣12t+33），∴S△OAQ＝2×（t2﹣12t+33）＝9，解得t＝6+2或t＝6﹣2，∴t＜4，∴t＝6﹣2，∴Q（6﹣2，9）；當Q點在拋物線y＝x2﹣4x+1的部分上時，設Q（m，m2﹣4m+1），∴S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，解得m＝2+2或m＝﹣2，∵m≥4，∴m＝2+2，∴Q（2+2，9）；綜上所述：Q點坐標為（6﹣2，9）或（2+2，9）．11．如圖（1），二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），直線l經(jīng)過B、C兩點．（1）求該二次函數(shù)的表達式及其圖象的頂點坐標；（2）點P為直線l上的一點，過點P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點M，再過點M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點N，當PM＝MN時，求點P的橫坐標；（3）如圖（2），點C關于x軸的對稱點為點D，點P為線段BC上的一個動點，連接AP，點Q為線段AP上一點，且AQ＝3PQ，連接DQ，當3AP+4DQ的值最小時，直接寫出DQ的長．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設P（t，﹣t+3），則M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），則PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，由題意可得方程|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，求解方程即可；（3）由題意可知Q點在平行于BC的線段上，設此線段與x軸的交點為G，由QG∥BC，求出點G（2，0），作A點關于GQ的對稱點A'，連接A'D與AP交于點Q，則3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，利用對稱性和∠OBC＝45°，求出A'（2，3），求出直線DA'的解析式和直線QG的解析式，聯(lián)立方程組，可求點Q（，），再求DQ＝．【解答】解：（1）將點B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點坐標（1，4）；（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，設P（t，﹣t+3），則M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，∵PM＝MN，∴|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，解得t＝1+或t＝1﹣或t＝2+或t＝2﹣，∴P點橫坐標為1+或1﹣或2+或2﹣；（3）∵C（0，3），D點與C點關于x軸對稱，∴D（0，﹣3），令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），∴AB＝4，∵AQ＝3PQ，∴Q點在平行于BC的線段上，設此線段與x軸的交點為G，∴QG∥BC，∴＝，∴＝，∴AG＝3，∴G（2，0），∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，作A點關于GQ的對稱點A'，連接A'D與AP交于點Q，∵AQ＝A'Q，∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，∴3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，∴∠A'AG＝45°，∵AG＝A'G，∴∠AA'G＝45°，∴∠AGA'＝90°，∴A'（2，3），設直線DA'的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝3x﹣3，同理可求直線QG的解析式為y＝﹣x+2，聯(lián)立方程組，解得，∴Q（，），∴DQ＝．12．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于O（O為坐標原點），A兩點，且二次函數(shù)的最小值為﹣1，點M（1，m）是其對稱軸上一點，y軸上一點B（0，1）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點P，連結(jié)PA，PB，設點P的橫坐標為t，△PAB的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式；（3）在二次函數(shù)圖象上是否存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點N的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意知，二次函數(shù)頂點為（1，﹣1），設二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）2﹣1，將點B（0，0）代入得，a﹣1＝0，即可得出答案；（2）連接OP，根據(jù)題意得點A的坐標，則S＝S△AOB+S△OAP﹣S△OBP，代入化簡即可；（3）設N（n，n2﹣2n），分AB或AN或AM分別為對角線，利用平行四邊形的性質(zhì)和中點坐標公式，分別求出n＝的值，進而得出答案．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的最小值為﹣1，點M（1，m）是其對稱軸上一點，∴二次函數(shù)頂點為（1，﹣1），設二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）2﹣1，將點O（0，0）代入得，a﹣1＝0，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x；（2）連接OP，當y＝0時，x2﹣2x＝0，∴x＝0或2，∴A（2，0），∵點P在拋物線y＝x2﹣2x上，∴點P的縱坐標為t2﹣2t，∴S＝S△AOB+S△OAP﹣S△OBP＝+（﹣t2+2t）﹣t＝﹣t2++1；（3）設N（n，n2﹣2n），當AB為對角線時，由中點坐標公式得，2+0＝1+n，∴n＝1，∴N（1，﹣1），當AM為對角線時，由中點坐標公式得，2+1＝n+0，∴n＝3，∴N（3，3），當AN為對角線時，由中點坐標公式得，2+n＝0+1，∴n＝﹣1，∴N（﹣1，3），綜上：N（1，﹣1）或（3，3）或（﹣1，3）．13．如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B（3，0），D（﹣2，﹣）兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C．（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；（2）若點M在直線BC上方的拋物線上運動（與點B，C不重合），求使△MBC面積最大時M點的坐標，并求最大面積；（請在圖1中探索）（3）設點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標．（請在圖2中探索）【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）作直線BC，過M點作MN∥y軸交BC于點N，求出直線BC的解析式，設M（m，﹣m2+m+），則N（m，﹣m+），可得S△MBC＝?MN?OB＝﹣（m﹣）2+，再求解即可；（3）設Q（0，t），P（m，﹣m2+m+），分三種情況討論：①當AB為平行四邊形的對角線時；②當AQ為平行四邊形的對角線時；③當AP為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，利用中點坐標公式求解即可．【解答】解：（1）將B（3，0），D（﹣2，﹣）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+，令x＝0，則y＝，∴C（0，）；（2）作直線BC，過M點作MN∥y軸交BC于點N，設直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+設M（m，﹣m2+m+），則N（m，﹣m+），∴MN＝﹣m2+m，∴S△MBC＝?MN?OB＝﹣（m﹣）2+，當m＝時，△MBC的面積有最大值，此時M（，）；（3）令y＝0，則﹣x2+x+＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），設Q（0，t），P（m，﹣m2+m+），①當AB為平行四邊形的對角線時，m＝3﹣1＝2，∴P（2，）；②當AQ為平行四邊形的對角線時，3+m＝﹣1，解得m＝﹣4，∴P（﹣4，﹣）；③當AP為平行四邊形的對角線時，m﹣1＝3，解得m＝4，∴P（4，﹣）；綜上所述：P點坐標為（2，）或（﹣4，﹣）或（4，﹣）．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），頂點D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動點P（m，n）在x軸上方的拋物線上．（1）求這條拋物線對應的函數(shù)表達式；（2）過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥l于點N，當1＜m＜3時，求PM+PN的最大值；（3）設直線AP，BP與拋物線的對稱軸分別相交于點E，F(xiàn)，請?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點E關于x軸的對稱點）為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，說明理由．【分析】（1）利用頂點式求解，可得結(jié)論；（2）如圖，設直線l交x軸于點T，連接PT，BD，BD交PM于點J．設P（m，﹣m2+2m+3）．四邊形DTBP的面積＝△PDT的面積+△PBT的面積＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），推出四邊形DTBP的面積最大時，PM+PN的值最大，求出四邊形DTBP的面積的最大值，可得結(jié)論；（3）四邊形AFBG的面積不變．如圖，設P（m，﹣m2+2m+3），求出直線AP，BP的解析式，可得點E，F(xiàn)的坐標，求出FG的長，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵拋物線的頂點D（1，4），∴可以假設拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，設直線l交x軸于點T，連接PT，BD，BD交PM于點J．設P（m，﹣m2+2m+3）．點D（1，4）在直線l：y＝x+t上，∴4＝+t，∴t＝，∴直線DT的解析式為y＝x+，令y＝0，得到x＝﹣2，∴T（﹣2，0），∴OT＝2，∵B（3，0），∴OB＝3，∴BT＝5，∵DT＝＝5，∴TD＝TB，∵PM⊥BT，PN⊥DT，∴四邊形DTBP的面積＝△PDT的面積+△PBT的面積＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），∴四邊形DTBP的面積最大時，PM+PN的值最大，∵D（1，4），B（3，0），∴直線BD的解析式為y＝﹣2x+6，∴J（m，﹣2m+6），∴PJ＝﹣m2+4m﹣3，∵四邊形DTBP的面積＝△DTB的面積+△BDP的面積＝×5×4+×（﹣m2+4m﹣3）×2＝﹣m2+4m+7＝﹣（m﹣2）2+11∵﹣1＜0，∴m＝2時，四邊形DTBP的面積最大，最大值為11，∴PM+PN的最大值＝×11＝；（3）四邊形AFBG的面積不變．理由：如圖，設P（m，﹣m2+2m+3），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴直線AP的解析式為y＝﹣（m﹣3）x﹣m+3，∴E（1，﹣2m+6），∵E，G關于x軸對稱，∴G（1，2m﹣6），∴直線PB的解析式y(tǒng)＝﹣（m+1）x+3（m