2021年滬教版數(shù)學(xué)初三專(zhuān)題講義20 旋轉(zhuǎn)相似解題方法專(zhuān)練

專(zhuān)題20旋轉(zhuǎn)相似解題方法專(zhuān)練

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)尸是BC邊上一點(diǎn)，連接Ab，以Ab為對(duì)角線(xiàn)作正方

形AEFG,邊FG與正方形ABC。的對(duì)角線(xiàn)AC相交于點(diǎn)“，連接。G.以下四個(gè)結(jié)

論：①ZEAB=NGAD；②A(yíng)AFCSAAGD；③2AE?=AC;④OGLAC.其

中正確的個(gè)數(shù)為（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

第II卷（非選擇題）

二、解答題

2.在△ABC和AADE中，BA=BC,DA=DE，且NABC=NADE=a，點(diǎn)E

在△ABC的內(nèi)部，連接EC,EB,EA和并且NACE+NABE=90°.

（觀(guān)察猜想）

（1）如圖①，當(dāng)a=60°時(shí)，線(xiàn)段與CE的數(shù)量關(guān)系為,線(xiàn)段E4,EB,

EC的數(shù)量關(guān)系為.

（探究證明）

（2）如圖②，當(dāng)a=90°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若

不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（拓展應(yīng)用）

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段CZ）上時(shí)，若8。=2布，請(qǐng)直接寫(xiě)出ABDE的

面積.

3.一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、。在

同一條直線(xiàn)上），發(fā)現(xiàn)BE=DG且BE工DG.

小組討論后，提出了下列三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：

（1）將正方形的G繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖1）,還能得到8E=OG嗎？若

能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）把背景中的正方形分別改成菱形型'G和菱形ABCD,將菱形AEFG繞點(diǎn)A按

順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2）,試問(wèn)當(dāng)ZE4G與㈤。的大小滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí)，

BE=DG；

A.PAD2

（3）把背景中的正方形分別改寫(xiě)成矩形AEFG和矩形4BCD，且一=—=一,

AGAD3

AE=2a,AB=2b（如圖3）,連接DE，BG.試求。^2+532的值（用“，b表

4.數(shù)學(xué)課上，老師拿出兩塊不同大小的含30度角的三角板讓同學(xué)們?cè)诓煌恢脟L試操

作.

（1）如圖1擺放，當(dāng)點(diǎn)。在上，點(diǎn)E在上，得知AD=7,DB=1，求CE的

長(zhǎng).

(2)如圖2,在(1)的條件下，連結(jié)CO,求ZXACD的面積.

(3)如圖3擺放，把這同樣的兩塊三角板的直角頂點(diǎn)互相重合放置，小三角板用CN繞

著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連結(jié)AM、BN,當(dāng)AMCM時(shí)，求cos/ABN的值.

(4)ZMCB不變，當(dāng)/\MCN的三邊長(zhǎng)擴(kuò)大一倍后，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，直線(xiàn)AM與8N

交于點(diǎn)H，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)“所經(jīng)過(guò)的運(yùn)動(dòng)路徑.

5.在△ABC中，AB=AC,/8AC=a，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP,將線(xiàn)段8P繞

點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線(xiàn)段PZ),連接CD,AP.

觀(guān)察猜想：

CD

(1)如圖1,當(dāng)&=60。時(shí)，——的值為，直線(xiàn)CD與AP所成的較小角的度數(shù)為

AP---

類(lèi)比探究:

CD

(2)如圖2,當(dāng)a=90。時(shí)，求出二一的值及直線(xiàn)CD與A尸所成的較小角的度數(shù);

AP

拓展應(yīng)用:

(3)如圖3,當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)E,F分別為AS,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線(xiàn)段FE的延長(zhǎng)線(xiàn)

上，點(diǎn)A,D,P三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，BD交PF于懸G,CD交AB于點(diǎn)、H.若C￡>=2

+0,求2。的長(zhǎng).

6.如圖，△ACB和AOCE均為等腰直角三角形,

ZACB=NDCE=90°,AC^BC,DC=EC.現(xiàn)將&DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

E

A圖3

(1)如圖1,若A,D,E三點(diǎn)共線(xiàn)，AD=非,求點(diǎn)3到直線(xiàn)CE的距離；

(2)如圖2,連接AE,BD,點(diǎn)尸為線(xiàn)段3。的中點(diǎn)，連接CF,求證：AE±CF；

(3)如圖3,若點(diǎn)G在線(xiàn)段AB上，且AC=8,AG=7夜，在A(yíng)ACG內(nèi)部有一點(diǎn)0,

請(qǐng)直接寫(xiě)出在OC+J5Q4+巫0G的最小值.

22

7.某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在等邊ABC中，點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，連接小，以赫

為邊作等邊AAPQ,連接C。，BP與C。的數(shù)量關(guān)系是；

(2)變式探究：如圖2,在等腰AMC中，AB=3C,點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，

以轉(zhuǎn)為腰作等腰AAPQ,使4P=PQ,ZAPQ=ZABC,連接CQ,判斷NABC和

NACQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)解決問(wèn)題：如圖3,在正方形AD3C中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，以AP為邊作正

方形APEF，。是正方形的中心，連接CQ.若正方形AP所的邊長(zhǎng)為5,

CQ=*，求正方形ADBC的邊長(zhǎng).

8.如圖，正方形ABCD,對(duì)角線(xiàn)AC,8。相交于0,Q為線(xiàn)段03上的一點(diǎn)，ZMQN=90°,

點(diǎn)M、N分別在直線(xiàn)8C、0c上.

(2)如圖2,當(dāng)。為線(xiàn)段08的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，則線(xiàn)段CW、BM、

BC的數(shù)量關(guān)系為；

(3)在(2)的條件下，連接MN,交AO、B￡)于點(diǎn)E、F,若MB:MC=3:l,NQ=9后，

求EF的長(zhǎng).

9.如圖1,AO,B。分別是AABC的內(nèi)角NB4C,NABC的平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作

AE1AD，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.

圖1圖2

(1)求證：Z.E=—ZC；

2

(2)如圖2,如果AE=",且BD:OE=2:3,求cos/ABC的值;

(3)如果NA8C是銳角，且AA6c與AAOE相似，求NABC的度數(shù)，并直接寫(xiě)出

沁的值.

3AA8c

10.如圖1,在中，NC=90°,ZA=3O°,BC=1,點(diǎn)D,E分別為AC,

BC的中點(diǎn)./XCDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<360°.記直線(xiàn)A￡>

與直線(xiàn)BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)《=0°時(shí)，AD與5E的數(shù)量關(guān)系為,AZ)與3E的位置關(guān)

系為;

(2)當(dāng)0°<aW360°時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)△€!)￡：繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和

P點(diǎn)到直線(xiàn)8C距離的最大值.

11.如圖，以△ABC的兩邊AB、AC分別向外作等邊△450和等邊△ACE,BE與

CD交于點(diǎn)、P,已知PA=3,PB=4,PC=5.

(1)求證：AAPC三AABE；

(2)求/DE5的度數(shù)及BE的長(zhǎng)；

(3)若點(diǎn)。、R分別是等邊△A8D和等邊△ACE的重心(三邊中線(xiàn)的交點(diǎn))，連接

AQ、AR、QR，作出圖象，求QR的長(zhǎng).

12.如圖1,在中，ZACfi=90°,AC=8C，在斜邊A8上取一點(diǎn)。，過(guò)

點(diǎn)、D作DE”BC,交AC于點(diǎn)￡現(xiàn)將AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位

置(點(diǎn)。在A(yíng)ABC的內(nèi)部)，使得乙WD+NACD=90".

②若CD=1,BD=y/6,求A￡>的長(zhǎng);

Ap

(2)如圖3,將原題中的條件“AC=BC”去掉，其它條件不變，—=F=Z設(shè),

ABAD

若CD=LBD=3,AD=4,求A的值;

ArAf2

⑶如圖4,將原題中的條件“N4C5=90°”去掉，其它條件不變，若——=——=-

ABAD3

設(shè)CD=m,BD=〃,AD=p,試探究加，n,〃三者之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系.(直接寫(xiě)

出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程)

13.如圖1所示，矩形A8C。中，點(diǎn)E,產(chǎn)分別為邊AB,AD的中點(diǎn)，將AAE尸繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0?！慈?60。)，直線(xiàn)8E、。尸相交于點(diǎn)P.

圖1圖2圖3

(1)若AB=AD,將4AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則線(xiàn)段BE與DF

的數(shù)量關(guān)系是.

(2)若AO=〃AB(n/1),將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則(1)中的結(jié)論是否仍然成

立？若成立，請(qǐng)就圖3所示的情況加以證明，若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確結(jié)論，并說(shuō)明理由.

(3)若AB=8,8c=12,將旋轉(zhuǎn)至AEJ_BE,請(qǐng)算出DP的長(zhǎng).

14.(1)觀(guān)察猜想：

如圖1,在中，NACB=90°，點(diǎn)。，E分別在邊AB，AC上，

ABAC=ZDAE=45°,DE=AE，將AADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位

置，連接8D，交AC于點(diǎn)G,連接CE交3。于點(diǎn)尸，則g2值為,ZBFC的

度數(shù)為.

（2）類(lèi)比探究：

如圖3,當(dāng)NACB=NA￡O=90°,NB4C=ND4E=30°時(shí)，請(qǐng)求出處的值及

CE

ZBFC的度數(shù).

（3）拓展應(yīng)用：

如圖4,在四邊形A8OC中，AC=BC,ZACB=90°，Z5DC=45°.若8=8,

BD=6,請(qǐng)直接寫(xiě)出A,。兩點(diǎn)之間的距離.

圖1

15.在矩形A3CD中，AB:5C=1:2,點(diǎn)M為AO的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線(xiàn)6。的中

點(diǎn)，點(diǎn)、E、F分別在邊A3、AD上，且PELPF.

（1）求治的值.

(2)求證：BE=—AB+2MF.

2

（3）作射線(xiàn)EF與射線(xiàn)3。交于點(diǎn)Q，若BE:AE=3:4,EF=回,求。Q的長(zhǎng).

16.如圖，在用AABC中，ZAC8=90°,/BAC=a，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C

重合）連接BD,點(diǎn)K為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作。EJL至于點(diǎn)E,連結(jié)CK,EK,

CE,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90度）

（1）如圖1.若a=45。，則A3CK的形狀為；

（2）在（1）的條件下，若將圖1中的三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D,E,B三點(diǎn)共線(xiàn)，

點(diǎn)K為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，如圖2所示，求證：BE-AE=2CK：

（3）若三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，使得D,E,B三點(diǎn)共線(xiàn)，點(diǎn)K仍為線(xiàn)段

BD的中點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出BE,AE,CK三者之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示）

17.（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1,在RtAABC中，AB=AC,。為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8、

C重合）將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連結(jié)EC,則線(xiàn)段BD與CE的數(shù)量

關(guān)系是，位置關(guān)系是

（探究證明）（2）如圖2,在RSA2C和RtaAOE中，AB=AC,AD=AE,ADE

繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C,D,E在同一直線(xiàn)時(shí)，BO與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說(shuō)明理

由：

（拓展延伸）（3）如圖3,在RtZiBCQ中，NBCD=90。，8c=28=4,將△AC。繞

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,設(shè)旋轉(zhuǎn)角/C4E為a（0。＜0（＜360。），當(dāng)點(diǎn)C,D,E在

同一直線(xiàn)時(shí)，畫(huà)出圖形，并求出線(xiàn)段BE的長(zhǎng)度.

18.（1）嘗試探究：如圖①，在A(yíng)ABC中，ZACB=90°,NA=30。，點(diǎn)E、F分

別是邊8C、AC上的點(diǎn)，且EF〃AB.

①--的值為_(kāi)________;

BE

②直線(xiàn)AF與直線(xiàn)BE的位置關(guān)系為；

（2）類(lèi)比延伸：如圖②，若將圖①中的ACEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AE,BE,

則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷筆的值及直線(xiàn)Ab與直線(xiàn)3E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（3）拓展運(yùn)用：若BC=3,CE=2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)反E,尸三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí),

請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線(xiàn)段AE的長(zhǎng).

19.△ABE內(nèi)接于。O,C在劣弧AB上，連CO交AB于D,連BO,ZCOB=ZE.

(2)如圖2,BO平分NABE,求證：AB=BE；

(3)如圖3,在(2)條件下，點(diǎn)P在OC延長(zhǎng)線(xiàn)上，連PB,ET1AB于T,ZP=2ZAET,

ET=18,OP=25,求。O半徑的長(zhǎng).

20.矩形ABCD中，AB=6,5C=8,點(diǎn)M,N分別在邊8c,4)上，且

BM=3,DN=2,連接MN并延長(zhǎng)，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，點(diǎn)。為射線(xiàn)MN上一

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作AQ的垂線(xiàn)，交CD于點(diǎn)P.

①DE=；②QA與QP的等量關(guān)系為

(2)拓展探究

如圖，若點(diǎn)。在MN的延長(zhǎng)線(xiàn)上，QA與QP能否相等？若能，求出OP的長(zhǎng)；若不能，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)思維延伸

如圖，點(diǎn)G是線(xiàn)段CO上異于點(diǎn)。一點(diǎn)，連接4G,過(guò)點(diǎn)G作直線(xiàn)G/_L4G,交直

線(xiàn)MN于點(diǎn)/,是否存在點(diǎn)G,使AG,G/相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出OG的長(zhǎng)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知，AABC中，AB=AC,ZBAC=2a°,點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，連接AD,點(diǎn)E

為線(xiàn)段AD上一動(dòng)點(diǎn)，把線(xiàn)段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a。得到線(xiàn)段EF,連接FG,FD.

(1)如圖1,當(dāng)NBAC=60。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出一的值；

AE

(2)如圖2,當(dāng)/BAC=90。時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明;

若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論，并說(shuō)明理由；

DF

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在A(yíng)D上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)——的值最

DC

小.最小值是多少？(用含a的三角函數(shù)表示)

22.如圖，函數(shù)y=-N+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(w,0),B(01n)兩點(diǎn)，相，〃分別是

方程N(yùn)-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且根＜”.

(1)求膽，〃的值以及函數(shù)的解析式；

(II)設(shè)拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D,連接AB,

BC,BD,CD.求證：XBCDsAOBA；

(III)對(duì)于(I)中所求的函數(shù)尸-x2+bx+c,

(1)當(dāng)0SE3時(shí)，求函數(shù))，的最大值和最小值；

(2)設(shè)函數(shù)y在0&+1內(nèi)的最大值為p,最小值為4，若p-q=3,求f的值.

23.如圖1,在正方形ABC。中，G為線(xiàn)段BO上一點(diǎn)，連接AG,過(guò)G作AG_LGE

交BC于E，連接AE.

(1)求證：BG=DG+近BE;

(2)如圖2,A8=4,E為BC中點(diǎn),P,。分別為線(xiàn)段A6，AE上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足

QE=WP,則在P,。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)以P2為對(duì)角線(xiàn)的正方形PRQS的一邊恰好

落在A(yíng)4BE的某一邊上時(shí)，直接寫(xiě)出正方形PROS的面積.

24.如圖，四邊形ABC。和四邊形AEFG都是正方形，C,F,G三點(diǎn)在一直線(xiàn)上，連

接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M.

(1)求證：△MFCs△MCA；

(2)求C—的值，

BE

(3)若。M=l,CM=2,求正方形AEFG的邊長(zhǎng).

25.如圖，在△ABC中，4B=AC,點(diǎn)。是8c邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，延長(zhǎng)OP到點(diǎn)E,使NCAE=NCDE,作NOCG=N4CE,其中G點(diǎn)在OE上.

(1)如圖1,若NB=45。，則——=；

DG

(2)如圖2,若N￡>CG=30。，42=*,求：今監(jiān)=.

DG4SMBC一

(3)如圖3,若NA8C=60。，延長(zhǎng)CG至點(diǎn)M,使得MG=GC,連接AM,BM.在點(diǎn)

CP

P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，探究：當(dāng)一的值為多少時(shí)，線(xiàn)段AM與DM的長(zhǎng)度之和取得最小值?

AC

26.如圖1所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別為邊AB,AD的中點(diǎn)，將△AEF繞點(diǎn)

A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<?<360°),直線(xiàn)BE,DF相交于點(diǎn)P.

(1)若AB=AD,將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋至如圖2所示的位置上，則線(xiàn)段BE與

DF的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是.

(2)若AD=i1AB(n^l)將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則(1)中的結(jié)論是否仍然成

立？若成立，請(qǐng)就圖3所示的情況加以證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確結(jié)論，并說(shuō)明理由.

(3)若AB=6,BC=8,將△AEF旋轉(zhuǎn)至AE_LBE時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DP的長(zhǎng).

27.如圖(1),在矩形ABC。中，AB=8,AD=6,點(diǎn)民尸分別是邊。的中點(diǎn),

四邊形OEGE為矩形，連接BG.

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

CE

在圖(1)中,

~BG

(2)拓展探究

CE

將圖（1）中的矩形DFGE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，——的大小有無(wú)變化?

BG

請(qǐng)僅就圖（2）的情形給出證明;

（3）問(wèn)題解決

當(dāng)矩形OF6E旋轉(zhuǎn)至&G,E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CE的長(zhǎng).

28.如圖1,若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且有NPBC=NPCA=NPAB,則稱(chēng)點(diǎn)P是△ABC

的“等角點(diǎn)”

(1)如圖1,ZABC=70°,則/APB=

(2)如圖2,在A(yíng)ABC中，NACB=90。，點(diǎn)P是△ABC的“等角點(diǎn)”，若/BAC=45。

CP

①求---的值:

AP

②求tanZPBC的值;

29.（感知）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，ZC=ZD=90°,點(diǎn)E在邊CD上，ZAEB=90°,

求證：絲=絲

EBCB

（探究）（2）如圖②，在四邊形ABCD中，NC=/ADC=90。，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F

EFAE

在邊AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，ZFEG=ZAEB=90°,且一=——，連接BG交CD于點(diǎn)H.求

EGEB

證：BH=GH.

APDE

（拓展）（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，NAEB+NDEC=I8O。，且——=——

EBEC

過(guò)E作EF交AD于點(diǎn)F,若NEFA=NAEB,延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G.求證：BG=CG.

(1)如圖①，AABC與都是等邊三角形，直線(xiàn)8。,CE交于點(diǎn)尸.直線(xiàn)BO,

AC交于點(diǎn)H.求ZBPC的度數(shù)

(2)已知：AABC與AAOE的位置如圖②所示，直線(xiàn)BD,CE交于點(diǎn)尸.直線(xiàn)

AC交于點(diǎn)H.若NABC=NAT>E=a,^ACB=AAED=/3,求ZBEC的度數(shù)

應(yīng)用結(jié)論:

(3)如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0),N

為了軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN.將線(xiàn)段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線(xiàn)段"K，連接

NK,OK,求線(xiàn)段OK長(zhǎng)度的最小值

31.在A(yíng)4BC中，NACB=90°,BC=AC=2,將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)1角

(0°<?<180°)至。的位置.

(1)如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，連接C'C與AB交于點(diǎn)M，則C'C=

圖1

(2)如圖2,在(1)條件下，連接89,延長(zhǎng)CC'交B夕于點(diǎn)。，求CD的長(zhǎng).

S2

(3)如圖3,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，連線(xiàn)CC'、所在直線(xiàn)交88'于點(diǎn)。，那么C。

的長(zhǎng)有沒(méi)有最大值?如果有，求出C。的最大值：如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

32.問(wèn)題背景：如圖(1),已知△/WCS/WDE,求證：△ABOSAACE;

嘗試應(yīng)用：如圖(2),在A(yíng)ABC和AADE中，ABAC=ZDAE=90\

ADlDF

448C=NA0E=3O°，AC與相交于點(diǎn)尸.點(diǎn)。在8。邊上，一=J3,求——

BDCF

的值；

拓展創(chuàng)新：如圖(3),。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，/BAD=NCBD=30°，ZBDC=90°，

A3=4，AC=20，直接寫(xiě)出AO的長(zhǎng).

，3

33.如圖，二次函數(shù)y=af+—x+c的圖象交x軸于A(yíng),B(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于

點(diǎn)C(0,2).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)P為第一象限拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PMJ_x軸于點(diǎn)M.交直線(xiàn)BC于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)

C作CN_LPM于點(diǎn)N.連接PC；

①若△PCQ為以CQ為腰的等腰三角形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

②點(diǎn)G為點(diǎn)N關(guān)于PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G落在坐標(biāo)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

34.將正方形A3CD的邊A3繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,記旋轉(zhuǎn)角為a.連接,

過(guò)點(diǎn)。作OE垂直于直線(xiàn)33'，垂足為點(diǎn)E，連接。B',CE,

DDr

(1)如圖1,當(dāng)a=60°時(shí)，\DEB'的形狀為，連接30,可求出——的值

CE

為

R

mi

(2)當(dāng)0。<a<360。且a*90°時(shí)，

①(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

BE

②當(dāng)以點(diǎn)8',E,CD為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出——的值.

B'E

35.如圖，在RtZ\ABC中，AC=BC=4,ZACB=90°,正方形BDEF的邊長(zhǎng)為2,將

正方形8CEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，連接AE、BE、CD.

(1)請(qǐng)找出圖中與△ABE相似的三角形，并說(shuō)明理由；

(2)求當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AF上時(shí)CD的長(zhǎng)；

(3)設(shè)4E的中點(diǎn)為連接尸M,試求尸M長(zhǎng)的取值范圍.

36.如圖，在等腰RtZkABC中，ZACB=90°,AB=8&.點(diǎn)D,E分別在邊AB,

AC上，將線(xiàn)段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到EF,連結(jié)BF,BF的中點(diǎn)為G.

圖3

圖】圖2

(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí).

①如圖1,若AD=BD,求BF的長(zhǎng).

②當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

(2)當(dāng)AE=3,點(diǎn)G在△DEF一邊所在直線(xiàn)上時(shí)，求AD的長(zhǎng).

37.在△ABC中，ZAC3=90°,CO是中線(xiàn)，AC=BC,一個(gè)以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的45。

角繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F,DF

與AE交于點(diǎn)M,DE與BC交于點(diǎn)、N.

(1)如圖1,若CE=CF,求證：DE=DF；

(2)如圖2,在不繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試證明CD?=CE.C/Z恒成立；

(3)若8=2,CF=母,求ON的長(zhǎng).

38.(1)問(wèn)題探究：如圖1所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG.AE

<AB,連接BE與DG,請(qǐng)判斷線(xiàn)段BE與線(xiàn)段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.并

請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)理解應(yīng)用：如圖2所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG,AE

<AB,AB=10,將正方形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NABE=15。，且點(diǎn)D、

E、G三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)；

(3)拓展應(yīng)用：如圖3所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)矩形ABCD和矩形AEFG,AD=

4713-AB=4屈，AG=4,AE=4百，將矩形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，

連接BD,DE,點(diǎn)M,N分別是BD,DE的中點(diǎn)，連接MN,當(dāng)點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同

一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出MN的長(zhǎng)

圖2

圖1圖3

39.幾何探究：

（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）

（1）如圖1所示,△48。和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等邊三角形,BZXCE的關(guān)系是

（選填“相等”或“不相等”）；（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）

圖3

（類(lèi)比探究）

（2）如圖2所示，aABC和AAOE是有公共頂點(diǎn)的含有30。角的直角三角形，（1）中

的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由；

（拓展延伸）

（3）如圖3所示，AADE和AA8C是有公共頂點(diǎn)且相似比為1:2的兩個(gè)等腰直角三角

形，將△AOE繞點(diǎn)A自由旋轉(zhuǎn)，若BC=2C，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，直接寫(xiě)出8。

的長(zhǎng).

40.如圖1,點(diǎn)E為△ABC邊AB上的一點(diǎn)，。。為△8CE的外接圓，點(diǎn)。為8OC上

任意一點(diǎn).若4E=AC=2",BC-n2—\,BE-n2-2n+\.（n>2,且n為正整數(shù)）.

（1）求證：ZCAE+ZCDE=90°；

（2）①如圖2,當(dāng)CQ過(guò)圓心。時(shí)，①將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AEF,連接DF,

請(qǐng)補(bǔ)全圖形，猜想C。、DE.之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；②若〃=3,求AO

的長(zhǎng).

41.如圖，在RtAABC中，AC=BC=4,NACB=90°,正方形5Z5EF的邊長(zhǎng)為2,

將正方形3DE/繞點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)一周，連接4E、BE、CD.

（2）探究：直線(xiàn)。E與AE垂直時(shí)，求線(xiàn)段8的長(zhǎng)：

（3）拓展：取AE的中點(diǎn)M，連接RW,直接寫(xiě)出線(xiàn)段尸M長(zhǎng)的取值范圍.

42.如圖1,正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)0,將△C0D繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到△EOF（旋轉(zhuǎn)角為銳角），連AE,BF,DF,則AE=BF.

（1）如圖2,若（1）中的正方形為矩形，其他條件不變.

①探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若BD=7,AE=40，求DF的長(zhǎng);

（2）如圖3,若（1）中的正方形為平行四邊形，其他條件不變，且BD=10,AC=6,

AE=5,請(qǐng)直接寫(xiě)出DF的長(zhǎng).

F

F

F

圖3

43.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1,在△Q4B和AOCZ)中,OA=OB,OC=OD,

AC

ZAOB=ZCOD=40°,連接AC,8。交于點(diǎn)填空：①空?的值為.;②

BD

ZAMB的度數(shù)為.

(2)類(lèi)比探究如圖2,在A(yíng)OLB和△OC￡＞中，ZAOB=ZCOD=90°,

AC

ZOAB=NOCD=30°，連接AC交3。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M.請(qǐng)判斷—的值及ZAMB

BD

的度數(shù)，并說(shuō)明理由;

(3)拓展延伸在(2)的條件下，將AOCD繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,8。所在直線(xiàn)

交于點(diǎn)M，若OD=1,0B=6請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)4與點(diǎn)0、。在同一條直線(xiàn)上時(shí)

A。的長(zhǎng).

備■用圖

44.如圖，。。是AABC的外接圓，AB為。0的直徑，過(guò)點(diǎn)A作AO平分/BAC交。0

于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線(xiàn)分別交AC、AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E、F,DGLAB于點(diǎn)G,

連接BD.

(1)求證：△4E￡>s4￡)GB；

(2)求證：EF是。。的切線(xiàn)；

(3)若f=理，。4=4,求劣弧80的長(zhǎng)度(結(jié)果保留兀).

45.如圖1,拋物線(xiàn)y=a(x+2)(x-6)(a>0)與x軸交于C,D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D

的左邊)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A.

(1)若△ACD的面積為16.

①求拋物線(xiàn)解析式；

②S為線(xiàn)段0D上一點(diǎn)，過(guò)S作x軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P,將線(xiàn)段SC,SP繞點(diǎn)S

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意相同的角到SC1,SP|的位置，使點(diǎn)C,P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Cl,Pl都在x軸上

SN

方，GC與P6交于點(diǎn)M,PiP與x軸交于點(diǎn)N.求——的最大值；

SM

(2)如圖2,直線(xiàn)y=x-12a與x軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，且滿(mǎn)足NMAB=75。

的點(diǎn)M有且只有兩個(gè)，求a的取值范圍.

三、填空題

46.如圖，在一個(gè)12x13的網(wǎng)格中，點(diǎn)O,AB都在格點(diǎn)上，OA=AB=8,點(diǎn)尸是

線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接0P,將線(xiàn)段0A沿直線(xiàn)0P進(jìn)行翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，

連接BC,以BC為斜邊在直線(xiàn)BC的左側(cè)(或下方)構(gòu)造等腰直角三角形8OC,則點(diǎn)

P從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，線(xiàn)段BC的長(zhǎng)的最小值為,線(xiàn)段8。所掃過(guò)的

區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(不包含所掃過(guò)的區(qū)域邊界上的點(diǎn)).

47.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,線(xiàn)段CE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，且CE=3,

連接BE，以BE為邊作正方形BEFG,M為AB邊的中點(diǎn)，當(dāng)線(xiàn)段FM的長(zhǎng)最小時(shí),

tanZ.ECB—.

48.如圖，在△ABC中，AB=5,。為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CQEF,

當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

49.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,E、尸分別在邊AB、BC上，將沿EE

折疊，使得點(diǎn)3落在正方形內(nèi)部（不含邊界）的點(diǎn)？處，。夕的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于點(diǎn)G.若

點(diǎn)3'在正方形的對(duì)稱(chēng)軸上，且滿(mǎn)足5必0c=；S正方形Ape。，則折痕EF的長(zhǎng)為

50.如圖，已知四邊形A8C。與四邊形CFGE都是矩形，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)”為4G

的中點(diǎn)，AB=3,BC=2,CE=L5,CF=1,則?！钡拈L(zhǎng)為.

參考答案

I.D

【分析】

①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，/EAB、NGAD與NBAG的和均為90。，即

ACAF

可證明NEAB與NGAD相等；②由題意易得AD=DC,AG=FG,進(jìn)而可得——=——，

ADAG

ZDAG=ZCAF,然后問(wèn)題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證

△HAF-AFAC,則有——=——，然后根據(jù)等量關(guān)系可求解；④由②及題意知

AHAF

NADG=NACF=45。，則問(wèn)題可求證.

【詳解】

解：①：四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形

二NEAG=/BAD=90°

又ZEAB=90°-ZBAG,ZGAD=90。-ZBAG

.IZEAB=ZGAD

，①正確

②四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形

/.AD=DC,AG=FG

.?.AC=QAD,AF=y/2AG

謊s著也

即生

ADAG

又：ZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC

NDAG=NCAF

.??②正確

③：四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對(duì)角線(xiàn)

；./AFH=NACF=45°

又?:ZFAH=ZCAF

.'.△HAF^AFAC

.AF-AC

"~AH~~AF

即AF2=ACAH

又：AF=^AE

2AE2=AHAC

③正確

④由②知AAFC^AAGD

又四邊形ABCD為正方形，AC為對(duì)角線(xiàn)

.,.ZADG=ZACF=45°

；.DG在正方形另外一條對(duì)角線(xiàn)上

.\DG1AC

，④正確

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運(yùn)用，同時(shí)利用到正方形相關(guān)性質(zhì)，解題關(guān)鍵在

于找到需要的相似三角形進(jìn)而證明.

2.(1)BD=CE,EB2+EC2=E42；(2)不成立，理由見(jiàn)解析；(3)2

【分析】

(1)EtlADAB^/XEAC(SAS),可得8￡>=EC,ZABD=ZACE,由NACE+/ABE=90。，推

出/A8￡)+/A8E=90。，可得/O8E=90。，由此即可解決問(wèn)題；

(2)結(jié)論：EA2=EG+2B氏由題意△ABC,△49E都是等腰直角三角形，想辦法證明

DBABF)

△DAB^^EAC,推出——=■~~'=—,NACE=NABD,可得/DBE=90。,推出

ECAC2

DE^BA+BE2,即可解決問(wèn)題；

(3)首先證明AO=OE=EC,設(shè)AD=OE=EC=x,在R/AAOC中，利用勾股定理即可解決問(wèn)

題；

【詳解】

(1)如圖①中,

B

D

"：BA=BC,DA=DE.且NA8C=N4DE=60。,

...△ABC,△ADE都是等邊三角形，

：.AD=AE,AB=AC,NDAE=NBAC=60°,

：.ZDAB=ZEAC,

.?.△D4跆△EAC(SAS),

：.BD=EC,NABD=NACE,

'：ZACE+ZABE=90°,

：./48O+/A8E=90。，

NDBE=9Q：

J.D^BD^BE1,

'：EA=DE,BD=EC,

.,.EA^BE^+EC2.

故答案為：BD=EC,E^EB-+EC1.

(2)結(jié)論：￡A2=￡C2+2BE2.

理由：如圖②中，

圖②

,：BA=BC,D4=QE.且NA8C=/AZ)E=90。,

/.△ABC,△AOE都是等腰直角三角形，

/.ZDAE=ZBAC=45°,

：.NDAB=NEAC,

..AD_V2AB垃

'7E-V花-V

ADAB

~AE~~AC'

△DABMEAC,

DB

~EC

ZACE+ZABE=90°9

ZABD+ZABE=90°,

ZDBE=90°,

DE2;BD2+BE2,

歷

EA=6DE,BD=—ECf

2

—￡A2=—EC2+BE2,

22

.,.￡A2=￡C2+2B￡2.

(3)如圖③中,

VZA￡D=45°,D,E,C共線(xiàn),

：.ZAEC=\35°,

,：△△￡)8s△AEC,

，NAO8=/4EC=135。,

ZADE=ZDBE=90°,

：.NBDE=/BED=45。,

：.BD=BE,

：.DE=y/2BD,

?:EC=^BD,

：.AD=DE=EC,AD=DE=EC=x,

在RAABC中，?：AB=BC=2后,

."。=2而，

在RmADC中,

'JAiy+D^AC2,

：.x2+4x2=40,

：.x=2框（負(fù)根已經(jīng)舍棄），

：.AD=DE=2y/2,

：.BD=BE=2,

SABDE=--x2x2=2.

2

【點(diǎn)睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，

全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確

尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

3.（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)NE4G=時(shí)，BE=DG,理由見(jiàn)解析；（3）136+13^.

【分析】

（1）由正方形的性質(zhì)得出AE=AG,ZEAG=90°,AB=AD，N84D=90°，得出

ZEAB^ZGAD,則可證明△?1￡1的△AG￡＞（￡45）,從而可得出結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)得出AE=AG,AB=AT＞，則可證明△4EB四△AGO（SA5）,由全

等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；

（3）設(shè)8E與。G交于Q,砥與AG交于點(diǎn)尸，證明AE48s△G4O,得出

/EBA=/GDA，得出G0LE8,連接EG,BD，由勾股定理可求出答案.

【詳解】

（1）?四邊形AEFG為正方形，

/.AE=AG,ZEAG=90°，

又：四邊形ABCD為正方形，

AAB=AD<ZR4D=90°，

ZEAG-ZBAG=ABAD-/BAG

ZEAB=ZGAD,

在△AEB和△AGO中，

AE^AG

<NEAB=ZGAD,

AB=AD

：.^AEB^^AGD(SAS),

:.BE=DG；

(2)當(dāng)Z￡4G=Z5Ap時(shí)，BE=DG，

理由如下：

ZEAG^ZBAD,

；?ZEAG+ZBAG=ZBAD+/BAG

：.ZEAB=ZGAD,

又?.?四邊形AEFG和四邊形ABCD均為菱形，

AAE=AG,AB=AD^

在△AEB和△AGO中，

AE=AG

<NEAB=ZGAD,

AB=AD

AAEB^AAGD(SAS),

BE=DG；

(3)設(shè)BE與DG交于Q,BEqAG交于點(diǎn)P,

由題意知，AE=2a，

APAB2

***==—，Z.EAB=/GDA=90°+/GAB，

AGAD3

/\EAB^/\GAD，

NEBA=NGDA,

■：ZADB+ZABD=ZGDA+ZQDB+ZABD=90°,

：.ZQDB+ZQBD=ZEBA+ZQDB+ZABD=90°,

:.GDLEB,

連接EG，BD，

ED2+GB2

=EQ2+QD2+GQ2+QB2

=EG2+Bb2，

,,AEAB_2

AE=2a,AB=2b,

'~AG~AD~3

AG-3a,AD=3b,

在心AEAG中，由勾股定理得：EG2=AE2+AG2.同理如2=AB2+AC>2，

:.E