山西省運(yùn)城市萬(wàn)榮縣2023屆九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2022-2023學(xué)年山西省運(yùn)城市萬(wàn)榮縣九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣y＝6 B．x2﹣2x﹣6＝0 C．xy﹣2＝8 D．2．如圖，已知AB∥CD∥EF，若，則的值為（）A． B． C．2 D．3．某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下射擊，結(jié)果如表所示：射擊總次數(shù)n1020501002005001000擊中靶心的次數(shù)m8174079158390780擊中靶心的頻率0.80.850.80.790.790.780.78根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次擊中靶心的概率約是（）A．0.78 B．0.79 C．0.8 D．0.854．如圖，如果∠B＝∠D，那么添加下列一個(gè)條件后（）A．∠C＝∠AED B．∠BAC＝∠DAE C． D．∠BAD＝∠CAE5．某產(chǎn)品經(jīng)過兩次連續(xù)漲價(jià)，銷售單價(jià)由原來(lái)的28元上升到40元，若該產(chǎn)品平均每次漲價(jià)的百分率為x，下列方程正確的是（）A．28（1+x）＝40 B．28（1+x）2＝40 C．28（1+x2）＝40 D．28[（1+x）+（1+x）2]＝406．一元二次方程x2﹣x+5＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定7．如圖的兩個(gè)四邊形相似，則∠a的度數(shù)是（）A．120° B．87° C．75° D．60°8．下列說(shuō)法正確的是（）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 C．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形9．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC，OA＝1，則菱形ABCD的面積為（）A． B． C． D．410．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF，給出下列五個(gè)結(jié)論：①∠PFE＝∠BAP；②AP＝EF；④EF的最小值為；⑤．其中正確的結(jié)論是（）A．①②④⑤ B．②③④ C．①②④ D．①③④⑤二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11．若四條線段a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3cm，b＝2cm，則d＝cm．12．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，線段AB與CD相交于點(diǎn)E，則的值為．13．符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產(chǎn)生視覺上的美感．在如圖所示的五角星中，，且C，則CD的長(zhǎng)為．14．如圖，這是一個(gè)質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤中四個(gè)扇形的面積都相等，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，若指針指在分割線上，直到指針指向某一扇形為止，則指針指向的數(shù)字為偶數(shù)的概率為．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AF＝4，BF的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接EF交CD于點(diǎn)H，若H是CD的中點(diǎn)．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟）16．（1）解方程：x2﹣4x﹣21＝0；（2）解方程：x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）．17．如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線．（1）作AC的垂直平分線MN，MN交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；（2）在（1）所作的圖形中，連接AF，求證：四邊形AECF是菱形．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，D、E分別為BC、AC邊上的點(diǎn)，∠ADE＝∠B，求EC的長(zhǎng)．19．某校將舉辦“國(guó)學(xué)經(jīng)典”的演講比賽，九年級(jí)通過預(yù)賽確定出三名男生和兩名女生，共5名同學(xué)作為推薦人選．（1）若從中隨機(jī)選一名同學(xué)參加學(xué)校比賽，則選中女生的概率為．（2）若從中隨機(jī)選兩名同學(xué)組成一組選手參加比賽，請(qǐng)用樹狀圖（或列表法）求出恰好選中一名男生和一名女生的概率．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AB，使BE＝AB，連接EC．（1）求證：四邊形BECD是矩形．（2）連接AC，若AD＝3，CD＝221．某水果店經(jīng)銷一種進(jìn)口水果，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元的價(jià)格出售，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)每千克降低1元時(shí)（1）當(dāng)售價(jià)為50元時(shí)，每天銷售這種水果千克，每天獲得利潤(rùn)元．（2）若要使每天的利潤(rùn)為9750元，同時(shí)又要盡快減少庫(kù)存，則每千克這種水果應(yīng)降價(jià)多少元？22．如圖1，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，BC＝6，D，E分別是BC，且BE＝BD，連接DE，點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AC邊上時(shí)，求BE的長(zhǎng)．（2）如圖3，點(diǎn)D，E在運(yùn)動(dòng)過程中，求AF的長(zhǎng)．23．綜合與實(shí)踐問題情境在綜合實(shí)踐課上，老師組織興趣小組開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究正方形的旋轉(zhuǎn)問題．在正方形ABCD和正方形AEFG中，A，B在一條直線上，連接DG（如圖1）操作發(fā)現(xiàn)（1）圖1中線段DG和BE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形AEFG繞著點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，（1）類比探究（3）如圖3，若將圖2中的正方形ABCD和正方形AEFG中都變?yōu)榫匦?，且AD＝，AG＝AE拓展探索（4）在（3）的條件下，若AD＝6，矩形AEFG在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D，E，請(qǐng)直接寫出BE的值

2022-2023學(xué)年山西省運(yùn)城市萬(wàn)榮縣九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣y＝6 B．x2﹣2x﹣6＝0 C．xy﹣2＝8 D．解：A．x﹣y＝6是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B．x2﹣6x﹣6＝0是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；C．xy﹣7＝8，不是一元二次方程；D．＝4是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．2．如圖，已知AB∥CD∥EF，若，則的值為（）A． B． C．2 D．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵＝，∴＝．故選：A．3．某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下射擊，結(jié)果如表所示：射擊總次數(shù)n1020501002005001000擊中靶心的次數(shù)m8174079158390780擊中靶心的頻率0.80.850.80.790.790.780.78根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次擊中靶心的概率約是（）A．0.78 B．0.79 C．0.8 D．0.85解：根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)擊中靶心的概率約是0.78，故選：A．4．如圖，如果∠B＝∠D，那么添加下列一個(gè)條件后（）A．∠C＝∠AED B．∠BAC＝∠DAE C． D．∠BAD＝∠CAE解：添加A選項(xiàng)后，兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，故A不符合題意；添加B選項(xiàng)后，兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，故B不符合題意；添加C選項(xiàng)后，兩邊對(duì)應(yīng)成比例，不能證明△ABC∽△ADE；添加D選項(xiàng)后，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，∴兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，可證明△ABC∽△ADE．故選：C．5．某產(chǎn)品經(jīng)過兩次連續(xù)漲價(jià)，銷售單價(jià)由原來(lái)的28元上升到40元，若該產(chǎn)品平均每次漲價(jià)的百分率為x，下列方程正確的是（）A．28（1+x）＝40 B．28（1+x）2＝40 C．28（1+x2）＝40 D．28[（1+x）+（1+x）2]＝40解：設(shè)平均每次漲價(jià)的百分率為x元，第一次漲價(jià)后的價(jià)格為28（1+x）元，連續(xù)兩次漲價(jià)后售價(jià)在第一次漲價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)上提高x，為28（1+x）×（6+x）元，則列出的方程是28（1+x）2＝40．故選：B．6．一元二次方程x2﹣x+5＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定解：∵一元二次方程x2﹣x+5＝3中，a＝1，c＝5，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3×5＝1﹣20＝﹣19＜6，∴方程沒有實(shí)數(shù)根．故選：C．7．如圖的兩個(gè)四邊形相似，則∠a的度數(shù)是（）A．120° B．87° C．75° D．60°解：∵兩個(gè)四邊形相似，∴∠1＝138°，∵四邊形的內(nèi)角和等于360°，∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，故選：B．8．下列說(shuō)法正確的是（）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 C．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形解：A、對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形時(shí)菱形．對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，錯(cuò)誤．C、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故C不符合題意．D、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故D符合題意．故選：D．9．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC，OA＝1，則菱形ABCD的面積為（）A． B． C． D．4解：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC，OA＝1，∴AC＝5OA＝2，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝，∴BD＝5OB＝2，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝＝2，故選：B．10．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF，給出下列五個(gè)結(jié)論：①∠PFE＝∠BAP；②AP＝EF；④EF的最小值為；⑤．其中正確的結(jié)論是（）A．①②④⑤ B．②③④ C．①②④ D．①③④⑤解：連接PC，延長(zhǎng)AP交EF于點(diǎn)H在正方形ABCD中，AD＝CD，PD＝PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝CP，∠PAD＝∠PCD，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC＝∠PEC＝90°，∵∠BCD＝90°，∴四邊形PECF是矩形，∴EF＝PC，∴AP＝EF，故②正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝45°，而∠BAP≠45°，∴∠ABP≠∠BAP，∴AP≠BP，故③選項(xiàng)錯(cuò)誤；在矩形PECF中，∠PFE＝∠PCE，∵△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∴∠BAP＝∠PCB，∴∠BAP＝∠PFE，故①選項(xiàng)正確；∵AB＝AD＝1，根據(jù)勾股定理得BD＝，當(dāng)AP⊥BD時(shí)，AP最小，此時(shí)AP最小值為BD＝，∵AP＝EF，∴EF的最小值為，故④選項(xiàng)正確；根據(jù)勾股定理，得PB5＝2PE2，PD6＝2PF2，∴PB3+PD2＝2（PE5+PF2）＝2EF3＝2PA2，∴．故⑤選項(xiàng)符合題意；綜上，正確的選項(xiàng)有①②④⑤，故選：A．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11．若四條線段a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3cm，b＝2cm，則d＝6cm．解：已知a，b，c，d是成比例線段，根據(jù)比例線段的定義得a：b＝c：d，即ad＝cb，代入a＝3cm、b＝2cm，得8d＝2×9，解得：d＝6（cm）．故答案為：6．12．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，線段AB與CD相交于點(diǎn)E，則的值為．解：如圖，A、G、C、F四點(diǎn)均為格點(diǎn)，則點(diǎn)G，連接DG，∵AG＝1，DG＝CF＝2，∴＝＝，∵∠AGD＝∠CFB＝90°，∴△ADG∽△CBF，∴∠GAD＝∠FCB，＝＝，∴AD∥BC，∴△ADE∽△BCE，∴＝＝，故答案為：．13．符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產(chǎn)生視覺上的美感．在如圖所示的五角星中，，且C，則CD的長(zhǎng)為1．解：∵C，D兩點(diǎn)都是的黃金分割點(diǎn)，∴，∵AB＝AD+CD+BC，，∴，將，代入，得：，∴，整理得：，∴CD＝1，故答案為：1．14．如圖，這是一個(gè)質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤中四個(gè)扇形的面積都相等，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，若指針指在分割線上，直到指針指向某一扇形為止，則指針指向的數(shù)字為偶數(shù)的概率為．解：∵轉(zhuǎn)盤中四個(gè)扇形的面積都相等，其中偶數(shù)有2個(gè)扇形面，∴指針指向的數(shù)字為偶數(shù)的概率為＝．故答案為：．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AF＝4，BF的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接EF交CD于點(diǎn)H，若H是CD的中點(diǎn)7．解：∵矩形ABCD中，G是CD的中點(diǎn)，∴CG＝DG＝×8＝4，在△DFH和△CEH中，，∴△DFH≌△CEH（ASA），∴DF＝CE，F(xiàn)G＝EG，設(shè)DF＝x，則BE＝BC+CE＝AD+CE＝4+x+x＝8+2x，在Rt△DEG中，F(xiàn)G＝＝，∴EF＝2，∵EH垂直平分BF，∴BE＝EF，∴4+2x＝4，解得x＝3，∴AD＝AF+DF＝8+3＝7，∴BC＝AD＝2．故答案為：7．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟）16．（1）解方程：x2﹣4x﹣21＝0；（2）解方程：x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）．解：（1）∵x2﹣4x﹣21＝6，∴（x﹣7）（x+3）＝5，∴x﹣7＝0或x+7＝0，∴x1＝5，x2＝﹣3；（2）x7﹣3x﹣1＝7，Δ＝（﹣3）2﹣5×1×（﹣1）＝13＞4，∴x＝，∴x4＝，x6＝．17．如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線．（1）作AC的垂直平分線MN，MN交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；（2）在（1）所作的圖形中，連接AF，求證：四邊形AECF是菱形．答案：（1）解：如圖，直線MN即為所求；（2）證明：設(shè)AC與EF相交于點(diǎn)O，∵EF是AC的垂直平分，∴EF⊥AC，且AO＝CO，∴∠AOE＝∠COF＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四邊形AECF為平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，D、E分別為BC、AC邊上的點(diǎn)，∠ADE＝∠B，求EC的長(zhǎng)．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠ADE+∠EDC+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，∴，∵AB＝4，BC＝5，∴，∴．19．某校將舉辦“國(guó)學(xué)經(jīng)典”的演講比賽，九年級(jí)通過預(yù)賽確定出三名男生和兩名女生，共5名同學(xué)作為推薦人選．（1）若從中隨機(jī)選一名同學(xué)參加學(xué)校比賽，則選中女生的概率為．（2）若從中隨機(jī)選兩名同學(xué)組成一組選手參加比賽，請(qǐng)用樹狀圖（或列表法）求出恰好選中一名男生和一名女生的概率．解：（1）一共有5名學(xué)生，其中女由2名，則選中女生的概率為，故答案為：；（2）用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共有20種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中恰好選中一名男生和一名女生的有12種，所以恰好選中一名男生和一名女生的概率為＝．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AB，使BE＝AB，連接EC．（1）求證：四邊形BECD是矩形．（2）連接AC，若AD＝3，CD＝2答案：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵AB＝BE，∴BE＝DC，BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝∠DBE＝90°，∴平行四邊形BECD是矩形；（2）解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝3，AB＝CD＝2，由（1）可知，四邊形BECD是矩形，∴∠E＝90°，BE＝CD＝2，∴AE＝AB+BE＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，∴AC＝＝＝，即AC的長(zhǎng)為．21．某水果店經(jīng)銷一種進(jìn)口水果，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元的價(jià)格出售，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)每千克降低1元時(shí)（1）當(dāng)售價(jià)為50元時(shí)，每天銷售這種水果900千克，每天獲得利潤(rùn)9000元．（2）若要使每天的利潤(rùn)為9750元，同時(shí)又要盡快減少庫(kù)存，則每千克這種水果應(yīng)降價(jià)多少元？解：（1）售價(jià)為50元時(shí)，每天銷售這種水果為：400+50×（60﹣50）＝900（千克），故答案為：900，9000；（2）設(shè)每千克這種水果應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意得：（60﹣40﹣x）（400+50x）＝9750，整理得：x2﹣12x+35＝0，解得：x＝8或x＝7，∵要盡快減少庫(kù)存，∴x＝7，答：每千克這種水果應(yīng)降價(jià)8元．22．如圖1，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，BC＝6，D，E分別是BC，且BE＝BD，連接DE，點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AC邊上時(shí)，求BE的長(zhǎng)．（2）如圖3，點(diǎn)D，E在運(yùn)動(dòng)過程中，求AF的長(zhǎng)．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴AB＝＝10，由翻折可知：BE＝FE，BD＝FD，∵BE＝BD，∴BE＝FE＝BD＝FD，∴四邊形BEFD是菱形，∴AB∥DF，∴＝，∴＝，解得BE＝；∴BE的長(zhǎng)為；（2）如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BD于點(diǎn)G，∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∵四邊形BEFD是菱形，∴EF∥BD，∵AF∥DE，∴四邊形AEDF是平行四邊，∴AF＝DE，DF＝AE，∴BE＝AE＝6，∴cosB＝＝＝，∴BG＝5，∴EG＝＝4，∵DG＝BD﹣BG＝BE﹣BG＝5﹣3＝3，∴DE＝＝＝2，∴AF＝7．23．綜合與實(shí)踐問題情境在綜合實(shí)踐課上，老師組織興趣小組開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究正方形的旋轉(zhuǎn)問題．在正方形ABCD和正方形AEFG中，A，B在一條直線上，連接DG（如圖1）操作發(fā)現(xiàn)（1）圖1中線段DG和BE的數(shù)量關(guān)系是BE＝DG，位置關(guān)系是B