專(zhuān)題04 高一上期中考前必刷卷01（全解全析）2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第第頁(yè)專(zhuān)題04高一上期中考前必刷卷01注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版2019必修第一冊(cè)第一章~第三章。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算【分析】根據(jù)補(bǔ)集概念及其運(yùn)算可得，再由交集運(yùn)算可得答案.【詳解】由，可得,又，可得.故選：A2．不等式的解集是（

）A． B．C． D．或【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法計(jì)算可得.【詳解】不等式，即，解得或，所以不等式的解集為或.故選：D3．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】先列出關(guān)于x的不等式組，解之即可求得函數(shù)的定義域.【詳解】由，可得，故且則函數(shù)的定義域是故選：D4．某班班主任對(duì)全班女生進(jìn)行了關(guān)于對(duì)唱歌、跳舞、書(shū)法是否有興趣的問(wèn)卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項(xiàng)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有21人喜歡唱歌，17人喜歡跳舞，10人喜歡書(shū)法，同時(shí)喜歡唱歌和跳舞的有12人，同時(shí)喜歡唱歌和書(shū)法的有6人，同時(shí)喜歡跳舞和書(shū)法的有5人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為（

）A．27 B．23 C．25 D．29【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】容斥原理的應(yīng)用【分析】借助韋恩圖處理集合運(yùn)算的容斥問(wèn)題.【詳解】作出韋恩圖，如圖所示，可知5人只喜歡唱歌，2人只喜歡跳舞，1人只喜歡書(shū)法，同時(shí)喜歡唱歌和跳舞但不喜歡書(shū)法的有10人，同時(shí)喜歡唱歌和書(shū)法但不喜歡跳舞的有4人，同時(shí)喜歡跳舞和書(shū)法但不喜歡唱歌的有3人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為.故選：A.5．已知命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問(wèn)題【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式的解集為，根據(jù)一元二次不等式解集的形式求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)槊}為真命題，所以不等式的解集為.所以：若，則不等式可化為，不等式解集不是；若，則根據(jù)一元二次不等式解集的形式可知：.綜上可知：故選：D6．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得在R上單調(diào)遞增，即可得求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞增.函數(shù)在處連續(xù)，又是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，故在R上單調(diào)遞增.因?yàn)閒?x=?fx，由，可得又因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：D7．已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】由題可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值2，而，再結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值2，因?yàn)?，而函?shù)閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，所以.故選：D8．若關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】因式分解得到，對(duì)分類(lèi)討論，求出不等式的解，再根據(jù)條件，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，當(dāng)時(shí)，不等式的解為，又不等式的解集中恰有4個(gè)正整數(shù)解，所以，當(dāng)時(shí)，不等式的解為，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，不等式的解為，最多含1個(gè)正整數(shù)解，不滿足題意，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】采用作差法可知AB正確；通過(guò)反例可說(shuō)明CD錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，，，，，，即，A正確；對(duì)于B，，，，，，即，B正確；對(duì)于C，當(dāng)，，，時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，，，時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AB.10．已知命題：，則命題成立的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】解不等式求得：，利用充分不必要條件的概念計(jì)算即可.【詳解】由，解得.要滿足題意，只需在的子集中確定即可，顯然和都是命題成立的充分不必要條件.故選：AB.11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①；②，當(dāng)時(shí)，都有；③，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則C．若，則D．，使得對(duì)恒成立【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式、比較函數(shù)值的大小關(guān)系【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性對(duì)命題進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由條件①得是偶函數(shù)，所以，條件②得在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，故A錯(cuò)誤；若，則，故B錯(cuò)誤；若，在0,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則或，因?yàn)?，所以或，所以或，故C正確；因?yàn)槎x在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，是偶函數(shù)，且0,+∞在上單調(diào)遞增，所以，所以對(duì)，只需即可，故D正確；故選：CD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、解析法表示函數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，先求得的值，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由函數(shù)，可得，所以.故答案為：.13．函數(shù)當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題【分析】通過(guò)換元令,函數(shù)可變?yōu)閷⒑愠闪⒖赊D(zhuǎn)化為在上恒成立.求得最小值即可求解.【詳解】令，則由，得．由題意，得在上恒成立，故有．，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為隨意所以故答案為：14．已知集合{為正整數(shù)}，則的所有真子集的個(gè)數(shù)是【答案】511【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合、判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)為正整數(shù)可計(jì)算出集合中的元素，然后根據(jù)真子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式（是元素個(gè)數(shù)）計(jì)算出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，所以集合中共有9個(gè)元素，因此所有真子集的個(gè)數(shù)為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）設(shè)集合，.(1)若且，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】（1）根據(jù)且，列不等式組求的取值范圍；（2）分和兩種情形進(jìn)行討論，根據(jù)，列不等式組求的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以，解得，，綜上所述，的取值范圍為.（2）由題意，需分為和兩種情形進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，，解得，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解得，或無(wú)解；綜上所述，的取值范圍為.16．（15分）在園林博覽會(huì)上，某公司帶來(lái)了一種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放市場(chǎng)，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入90元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬(wàn)臺(tái)且全部售完，每萬(wàn)臺(tái)的銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）滿足如下關(guān)系式：.(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本）(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．【答案】(1)(2)，【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）由利潤(rùn)等于銷(xiāo)售收入減去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分別求出分段函數(shù)每一段的最大值后比較可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)椋?；?）當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由不等式性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，綜上當(dāng)時(shí)，.17．（15分）已知函數(shù)，且.(1)求和的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.【答案】(1)(2)在上的單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】已知函數(shù)值求自變量或參數(shù)、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）由，代入直接可求；（2）應(yīng)用定義法證明單調(diào)性.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解?（2）由（1）知：，在上的單調(diào)遞減，證明如下：在上任取，且，，∵，∴，，，∴，∴，在上的單調(diào)遞減.18．（17分）已知函數(shù)，滿足.(1)求值；(2)在上，函數(shù)的圖象總在一次函數(shù)的圖象的上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求的解析式.【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】已知函數(shù)值求自變量或參數(shù)、求二次函數(shù)的值域或最值、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)題中條件，列出方程組求解，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意可得：在上恒成立，結(jié)合二次不等式的恒成立問(wèn)題分析求解；（3）分別討論，，三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)滿足，則，解得.（2）由（1）可知：，若在上，函數(shù)的圖象總在一次函數(shù)的圖象的上方，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)殚_(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，可知在上單調(diào)遞減，則，可得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（3）因?yàn)槭菍?duì)稱軸為，開(kāi)口向上的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)，即時(shí)，fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知；綜上所述：.19．（17分）對(duì)于一個(gè)四元整數(shù)集，如果它能劃分成兩個(gè)不相交的二元子集和，滿足，則稱這個(gè)四元整數(shù)集為“有趣的”．(1)寫(xiě)出集合的一個(gè)“有趣的”四元子集：(2)證明：集合不能劃分成兩個(gè)不相交的“有趣的”四元子集：(3)證明：對(duì)任意正整數(shù)，集合不能劃分成個(gè)兩兩不相交的“有趣的”四元子集．【答案】(1)（符合要求即可）(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】集合新定義【分析】（1）根據(jù)四元整數(shù)集定義寫(xiě)出即可；（2）假設(shè)可以劃分成兩個(gè)不相交的“有趣的”四元子集，再根據(jù)每個(gè)子集中均有兩個(gè)偶數(shù)證明不成立即可；（3）假設(shè)可以劃分為個(gè)兩兩不相交的“有趣的”四元子集，再根據(jù)每個(gè)子集中均有兩個(gè)偶數(shù)證明不成立即可.【詳解】（1）（符合要求即可）：（2）假設(shè)可以劃分，和一定是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，中至多兩個(gè)偶數(shù).則