3.1函數(shù)的概念及其表示方法-(必修第一冊) (教師版)

函數(shù)的概念及其表示方法一函數(shù)的概念1概念設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f2定義域①概念函數(shù)自變量x的取值范圍.②求函數(shù)的定義域主要應考慮以下幾點(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1；(5)指數(shù)為零底不可以等于零；(6)抽象函數(shù)的定義域較為復雜.3值域 ①概念函數(shù)值y的取值范圍②求值域的方法(1)配方法(2)數(shù)形結合(3)換元法(4)函數(shù)單調性法(5)分離常數(shù)法(6)基本不等式法4區(qū)間實數(shù)集R表示為(?∞,+∞).二函數(shù)的表示方法1表格法如上表，我們很容易看到y(tǒng)與r之間的函數(shù)關系.在初中剛學畫一次函數(shù)圖像時，第一步就是列表，其實就是用表格法表示一次函數(shù).2圖像法如上圖，很清晰的看到某天空氣質量指數(shù)I與時間t兩個變量之間的關系，特別是其趨勢.數(shù)學中的“數(shù)形結合”也就是這回事，它是數(shù)學一大思想，在高中解題中識圖和畫圖尤為重要.3解析式求函數(shù)解析式的方法(1)配湊法(2)待定系數(shù)法(3)換元法(4)構造方程組法(5)代入法

【題型一】函數(shù)概念的理解【典題1】設集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出如下四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關系的是()【解析】(本題相當把M={x|0≤x≤2}看成定義域，N={y|0≤y≤2}看成值域)圖象A不滿足條件，因為當1<x≤2時，N中沒有y值與之對應.圖象B不滿足條件，因為當x=2時，N中沒有y值與之對應.圖象C不滿足條件，因為對于集合M={x|0<x≤2}中的每一個x值，在集合N中有2個y值與之對應，不滿足函數(shù)的定義.只有D中的圖象滿足對于集合M={x|0≤x≤2}中的每一個x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一確定的一個y值與之對應，故選D.【典題2】給定的下列四個式子中，能確定y是x的函數(shù)的是()①x2+③x?1+y?1=1A．① B．② C．③ D．④【解析】①由x2+y比如x=0，y=±1，所以②由|x－1|+y2?1所以x=1,y=±1，所以②不是函數(shù)．③由x?1+y?1=1得y=④要使函數(shù)y=x?2+1?x有意義，則x?2≥01?x≥0，解得故選：C．【點撥】函數(shù)中自變量x與函數(shù)值y的關系是“一對一或多對一”的關系，不能是“一對多”.【題型二】求函數(shù)的定義域【典題1】函數(shù)y=?x2+2x+3【解析】要使函數(shù)有意義，則?x2+2x+3≥0x≠0即?1≤x<0或0<x≤3，即函數(shù)的定義域為[?1,0)?0,3【典題2】下列各組函數(shù)中表示的函數(shù)不同的是()A．f(x)=x,g(x)=3x3 C．fx=x2?3x,g【解析】A,B,C的定義域和對應法則相同，表示同一函數(shù)，D中g(x)=x+2的定義域是R，fx=x兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù).故選：D．【點撥】①判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)，看函數(shù)的定義域和解析式是否均相同；②函數(shù)反應的是兩個變量的關系，至于用什么字母表示都一樣，故選項C的fx【典題3】已知fx2?1定義域為[0,3]【解析】∵0≤x≤3∴?1≤∴?1≤2x?1≤8∴0≤x≤故函數(shù)f(2x?1)的定義域是0,9【點撥】抽象函數(shù)的定義域理解起來不容易，由于函數(shù)的解析式與字母的選擇無關，若把題目換成“已知fx2?1定義域為[0,3]，求①謹記定義域指的是自變量的取值范圍，所以由“fx2?1定義域為[0,3]”得到的是“0≤x≤3”，“求f(2t?1)②把“x2?1”和“2t?1”都看成整體，它們的范圍這樣就有“?1≤【題型三】求函數(shù)的值域方法1配方法【典題1】求函數(shù)y=5x2【解析】y=∵x∈14,1即y=5x2【點撥】配方法針對二次函數(shù)型的函數(shù)值域.方法2數(shù)形結合【典題2】求函數(shù)fx【解析】(這是分段函數(shù)，兩段函數(shù)均為二次函數(shù)，其圖像易得，故可用數(shù)形結合求值域)fx=2x?而f(0)=0,f(3)=?3,fx=x2可得到函數(shù)圖像如右圖，易得函數(shù)值域為[?8,1].【點撥】數(shù)形結合最大的好處是直觀.方法3換元法【典題3】求函數(shù)fx【解析】令t=1?x(t≥0)，(要注意新變量t得x=?t∴原函數(shù)化為y=?2t2+t+2=?2∴函數(shù)fx=2x+1?x【點撥】本題利用換元法把不熟悉函數(shù)值域問題轉化為熟悉的二次函數(shù)值域問題，即求函數(shù)fx=2x+1?x的值域?y=?2【典題4】函數(shù)f(x)=?9?x+(13)【解析】f(x)=?(本題主要是注意到了9?x和(13)x?1均可令t=(13)x，因為原函數(shù)的值域等價于函數(shù)g(t)=?由二次函數(shù)的性質可知，f(x)=[34,3]【點撥】①換元法的本質就是“整體思想”，它能把“不太友善的”表示形式轉化為“友善的”，前2題均用換元法把復雜形式函數(shù)轉化為二次函數(shù)，故解題過程中特別要注意式子的結構特征.②換元法要注意換元后變量的取值范圍，比如典題3的“t≥0”，典題4中的“方法4函數(shù)單調性法【典題5】函數(shù)f(x)=2x2【解析】由復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)f(x)在[0,1]上單減，在[1,3]又f0∴函數(shù)值域為[4,64]．【點撥】①利用函數(shù)單調性是求函數(shù)值域最常見的方法，高二還會學到導數(shù)，它是一把利器.②復合函數(shù)的單調性是"同增異減".方法5分離常數(shù)法【典題6】求函數(shù)fx=【解析】函數(shù)fx(在分子2x2?1中“湊出”分母x2∵x故函數(shù)fx=【點撥】形如f(x)=a?g(x)+bc?g(x)+d均可用分離常數(shù)法求函數(shù)值域，比如求函數(shù)方法6基本不等式法(對勾函數(shù)法)【典題7】求函數(shù)f(x)=x2【解析】∵f(x)=x∴①當x=0時，fx=1；(x=0②當x>0時，0<4xx2+1=此時1<fx≤3，(利用對勾函數(shù)∴函數(shù)f(x)=x2+4x+1【點撥】利用基本不等式法(對勾函數(shù)法)能處理二次分式函數(shù)y=dx鞏固練習1(★)函數(shù)y=f(x?1)與函數(shù)y=f(x+1)()A．是同一個函數(shù)B．定義域相同C．圖象重合 D．值域相同【答案】D【解析】由于函數(shù)y=f(x－1)中x－1的范圍與函數(shù)y=f(x+1)中故函數(shù)y=f(x－1)與函數(shù)故選：D．2(★)函數(shù)f(x)=?x2+4x+12+1【答案】[?2,4)∪【解析】解?x2+4x+12≥0x?4≠0得，∴f(x)的定義域為：[3(★★)已知函數(shù)f(x+1)定義域為[1,4]，則函數(shù)f(x－1)的定義域為【答案】[3,6]【解析】∵f(x+1)的定義域為[1,4]；∴∴f(x)的定義域為[2∴f(x－1)滿足：2∴f(x－1)4(★★)函數(shù)y=2??x2+4x【答案】0,2【解析】∵0≤－x∴0≤2?故函數(shù)y=2??x2+4x的值域是5(★★)函數(shù)y=x?1+x+1,(x≥1)【答案】2,+∞【解析】函數(shù)y=x?1+x+1顯然在6(★★)函數(shù)f(x)=x?1x+3(x≥1)的值域為【答案】[0,1)【解析】f(x)=x+3?4則當x≥1時，f(x)為增函數(shù)，則f(1)≤f(x)＜1，即0≤f(x)＜1，即函數(shù)的值域為[0,1)．7(★★)函數(shù)y=4x+2【答案】(3,+∞)【解析】令t=2∴函數(shù)y=4x∴f(t)>3，即函數(shù)y=4x+8(★★★)求函數(shù)y=2【答案】[【解析】y=∵x>12，∴x?當且僅當x?12=12所以原函數(shù)的值域為[12+【題型四】分段函數(shù)【典題1】設函數(shù)f(x)=x2+2(x≤2)2x(x>2)，若f(【解析】由題意，得①當x0≤2時，有x0而6>2不符合，所以x②當x0>2時，有2x綜上所述，得x0=4或【典題２】已知函數(shù)f(x)=x2?6x+6,x≥0f(x1)=f(x2)=f(x【解析】(乍眼一看，不太理解題意，設fx1=t，本題就函數(shù)y=t與y函數(shù)f(x)=x不妨設x1則x2,x3關于直線且x1滿足?則x1+x即x1【點撥】分段函數(shù)本質上是“分類討論”，特別要注意“每段函數(shù)”的定義域.處理分段函數(shù)的性質問題(值域、交點等)常常用數(shù)形結合的方法.【題型五】求函數(shù)解析式方法1配湊法【典題1】已知f(x+1x)=【解析】∵x>0∴x+∵fx+1x=x+1【點撥】本題主要是觀察到x+1x與方法2待定系數(shù)法【典題２】已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，求【解析】依題意可設fx若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，∴c=0且即c=0且∴c=02a+b=b+1a+b+c=c+1∴f(x)=【點撥】當函數(shù)的類型已知，利用待定系數(shù)法可求函數(shù)解析式.方法3 換元法【典題３】已知f(x+1)=x+2x【解析】令t=x+1，則∵f(∴f(t)=t?12∴fx+1【點撥】用換元法時注意新變量的取值范圍.②用配湊法fx+1方法4構造方程組法【典題４】設f(x)滿足f(x)?2f(1x)=x,【解析】∵f(x)?2f(1x)=x顯然x≠0，將x換成1x，得：f(1解①②聯(lián)立的方程組，得：f(x)=?x方法5代入法【典題５】與函數(shù)y=x2?3x+2的圖象關于點(0,1)對稱的函數(shù)是【解析】設P(x,y)為所求函數(shù)圖象上的任意一點，它關于點(0,1)對稱的點是Q(?x,2?y)．由題意知點Q(?x,2?y)在函數(shù)則2?y=x2+3x+2【點撥】①由下圖可對本題有個更清晰的理解.②求與一已知函數(shù)關于點對稱或軸對稱的函數(shù)解析式均可以用“代入法”.若把本題的函數(shù)y=x2?3x+2換成y=2x鞏固練習1(★)已知函數(shù)y=x2+1(x≤0)2x(x>0)，若f(a)=10，則a的值是【答案】－3或5【解析】由題意，當x≤0時，fx=x又x≤0，所以x=?當x>0時，fx=?2(★★)已知函數(shù)f(x)=(2a?1)x+7a?2(x<1)ax(x≥1)在(?∞,+∞)上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍為【答案】[3【解析】若函數(shù)f(x)=(2a?1)x+7a?2(x<1)ax則2a?1<00<a<1(2a?1)+7a?2≥a故答案為：[3(★★)已知一次函數(shù)f(x)滿足條件f(x+1)+f(x)=2x，則函數(shù)f(x)的解析式為．【答案】f(x)=x?【解析】設f(x)=kx+b，k≠0，∵f(x+1)+f(x)=2x，∴k(x+1)+b+kx+b=2x，即2kx+k+2b=2x，∴2k