數(shù)學(xué)例題與探究：離散型隨機(jī)變量及其分布列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講【例1】①某路口一天經(jīng)過的機(jī)動車的車輛數(shù)為X；②一天內(nèi)的溫度為X;③某單位的某部電話在單位時間內(nèi)被呼叫的次數(shù)X；④某投籃手在一次訓(xùn)練中，投中球的個數(shù)X.上述問題中的X是離散型隨機(jī)變量的是（）A.①②③④B.②③④C。①③④D。①②④思路解析:隨機(jī)試驗的結(jié)果可以一一列出的,就是離散型隨機(jī)變量.一天內(nèi)的溫度變化的取值不能一一列出，是非離散型隨機(jī)變量.答案:C綠色通道：判斷一個量是否是離散型隨機(jī)變量,關(guān)鍵是看它的取值能否一一列出，分析時要緊緊把握定義.變式訓(xùn)練拋擲兩顆骰子,所得點數(shù)之和為X,那么X=4表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果是()A.一顆是3點,一顆是1點B.兩顆都是2點C。兩顆都是4點D。一顆是3點，一顆是1點或兩顆都是2點思路解析:X=4應(yīng)代表所有試驗結(jié)果中和為4的試驗.故選D.答案：D【例2】有10把鑰匙串成一串,其中只有一把能把某房門打開,若依次嘗試開鎖,打不開則扔掉,直到打開為止,則試驗次數(shù)X的取值為_____________.思路解析：根據(jù)題意可以看出,由于打不開的即刻扔掉,所以最多開10次即可打開.答案:1,2,3,4,5,6，7,8,9,10綠色通道：寫離散型隨機(jī)變量的取值要結(jié)合具體的試驗和試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果來寫。變式訓(xùn)練例2中條件“打不開，則扔掉”改為“若打不開,放回再隨機(jī)地取一把”,如此重復(fù)下去，直到打開為止，則試驗次數(shù)X的取值為____________。答案：1，2,3,…【例3】將一顆骰子投擲兩次，設(shè)兩次擲出點數(shù)的最大值為X，求X的分布列。思路分析:由題意知X的取值為1、2、3、4、5、6.再根據(jù)古典概型求出取每個值時的概率。解：由題意知X可取的值為1、2、3、4、5、6，則P（X=1）=；P(X=2）=;P（X=3)=；P(X=4)=;P（X=5)=；P(X=6)=。所以拋擲兩次最大點數(shù)的分布列為：X123456P綠色通道：求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵有兩點:（1）隨機(jī)變量的取值;(2)每一個取值所對應(yīng)的概率值。所求是否正確，可通過概率和是否為1來檢驗.變式訓(xùn)練將一顆骰子投擲兩次,設(shè)兩次擲出點數(shù)的差的絕對值為X，求X的分布列.解:由題意可知,X的取值為0、1、2、3、4、5。則P(X=0)=;P(X=1)=；P(X=2)=；P(X=3)=;P(X=4)=;P(X=5）=。所以X的分布列為:X012345P【例4】若離散型隨機(jī)變量的分布列為X01P9c2—c3-8c試求出常數(shù)c.思路分析:根據(jù)性質(zhì)列出不等式組求解。解:由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì),得解得c=。綠色通道：離散型隨機(jī)變量分布列的兩個性質(zhì):①pi≥0,i=1，2，3,…，n;②p1+p2+…+pn=1,這是處理分布列問題的關(guān)鍵。變式訓(xùn)練隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X=k）=,k=1、2、3、4。其中c為常數(shù)，則P(＜X＜)的值為(）A。B。C。D。答案：D【例5】設(shè)某項試驗的成功概率是失敗概率的4倍，試寫出一次試驗成功次數(shù)的分布列.思路分析:首先求出隨機(jī)變量的取值,即試驗成功次數(shù),然后求出對應(yīng)的概率.解：一次試驗成功的次數(shù)是一個隨機(jī)變量X,它的取值為0、1。設(shè)P（X=0)=p1,P(X=1)=p2，由題意知p2=4p1。又∵p1+p2=1，∴p1=0.2,p2=0.8?！嘁淮卧囼灣晒Υ螖?shù)的分布列為X01P0。20。8綠色通道:兩點分布在生產(chǎn)、生活中有很多應(yīng)用,如新生兒的性別,某天是否下雨，一件產(chǎn)品是否合格等，都要用兩點分布來研究.變式訓(xùn)練在“30選7福利彩票”中,小李一次買了一注，試寫出他中一等獎的分布列.解：X01P【例6】四名同學(xué)同時報名參加了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科知識競賽，每個同學(xué)取得第一名的機(jī)會均等.記一個人取得第一名的最多次數(shù)為X，求X的分布列.(不考慮并列名次）思路分析：隨機(jī)變量的取值為1、2、3.分別計算所對應(yīng)的概率.解：由題意可知，一個人所得第一名的次數(shù)取值可能為1，2，3.當(dāng)X=1時，對應(yīng)于四人中恰有三人各獲得一個第一名；當(dāng)X=2時,對應(yīng)于四人中有一人獲得兩個第一；當(dāng)X=3時,三個第一被同一人獲得.當(dāng)X=1時,P(X=1)=;當(dāng)X=2時，P(X=2)=;當(dāng)X=3時，P（X=3）=.∴X的分布列為X123P綠色通道：對分布列的求解，歸根結(jié)底還是概率的求法,而求概率還要運用排列組合的知識,掌握好排列組合是解決這類概率問題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練將3個小球任意放入4個盒子里，盒子里球的個數(shù)的最大值記為X,求X的分布列。解：由題意可知，盒子里球的個數(shù)的最大值可能取1,2，3.當(dāng)X=1時，4個盒子里恰有3個盒子各放一球；當(dāng)X=2時,對應(yīng)著4個盒子里恰有一個放兩個球；當(dāng)X=3時,對應(yīng)著4個盒子中恰有1個放了3個球?！郮的分布列為X123P【例7】某10人興趣小組,其中有5名團(tuán)員,從中任選4人參加某項活動,用X表示4人中的團(tuán)員人數(shù),求X的分布列。思路分析：要把問題的背景轉(zhuǎn)化為超幾何分布,問題迎刃而解。解：X的可能取值為0、1、2、3、4.P（X=0）=；P(X=1)=；P(X=2）=;P(X=3）=；P（X=4）=.∴X的分布列為X01234P綠色通道：超幾何分布的分布列中，要搞清附加條件:P（X=k）=，k=0,1,2，…，m,其中m=min{M,n},且n≤N，M≤N.變式訓(xùn)練為迎接2008奧運會，北京某中學(xué)準(zhǔn)備成立一個義務(wù)宣傳隊，現(xiàn)高一有3名、高二有5名、高三有4名備選人員，從中選出4名同學(xué)組成宣傳隊,求所選隊員中高三所占人數(shù)的分布列。解:由題意可知,所選隊員中高三所占人數(shù)X服從超幾何分布，其中N=12,M=4,m=4,所以分布列為X01234P【例8】已知隨機(jī)變量X的分布列為X—10123P分別求出隨機(jī)變量Y1=2X,Y2=X2的分布列。思路分析:在求新的隨機(jī)變量的分布列時要根據(jù)它與原來隨機(jī)變量的關(guān)系,從而求出所對應(yīng)的概率值.解：由Y1=2X，對X不同的取值—1、0、1、2、3，Y1的取值分別為—2、0、2、4、6?！郰1的分布列為Y1—20246P由Y2=X2，對于X的不同取值-1、1，Y2的取值為1，當(dāng)Y2取1時對應(yīng)的概率應(yīng)是X取—1與1的概率和,即?！郰2的分布列為Y20149P綠色通道：X是離散型隨機(jī)變量,Y=f（X）也是離散型隨機(jī)變量,計算Y的分布列時,要注意當(dāng)多個X對應(yīng)1個Y值時，概率對應(yīng)的要求和。變式訓(xùn)練已知X的分布列為X-101P求Y=2X+3,Z=｜X｜的分布列.解：Y=2X+3,對X取-1、0、1的值,Y取1、3、5,∴Y的分布列為Y135PZ=｜X｜，當(dāng)X取-1、0、1的值，Z取0、1。當(dāng)Z=1時,X=—1或1，所以P（Z=1）=+=?！郱的分布列為Z01P【例9】有三粒骰子同時擲出,求三個骰子中的最大點數(shù)的分布列。思路分析：要搞清對應(yīng)每一個隨機(jī)變量取值的情況。如最大點數(shù)是3，可能是1、1、3,1、2、3，2、2、3，3、3、3.解：設(shè)擲出的最大點數(shù)為X，則X的取值為1、2、3、4、5、6。當(dāng)X=1時，即三粒骰子都擲出1點,P（X=1)=；當(dāng)X=2時，即三粒骰子擲出1、1、2，1、2、2,2、2、2三種情況,P（X=2)=;當(dāng)X=3時，可能擲出1、1、3，1、2、3，2、2、3,3、3、3,P(X=3）=.依次類推,可求出P(X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=.∴最大點數(shù)的分布列為X123456P綠色通道：對隨機(jī)變量的取值有時要分類進(jìn)行討論，在分類時,要考慮各種情況，有時要采取列舉的方式來解決。變式訓(xùn)練數(shù)字1、2、3、4任意排成一列,如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置，則稱有一個巧合,求巧合數(shù)X的分布列.解：X的取值有0、1、2、4.當(dāng)X=0時，沒有巧合,這時有3×3=9種，P(X=0)=;當(dāng)X=1時，只有一個巧合，P（X=1)==;當(dāng)X=2時，只有兩個巧合，P（X=2）==;當(dāng)X=4時，四個數(shù)位置都巧合,P(X=4）=?！嗲珊蠑?shù)X的分布列為X0124P【例10】核糖核酸（RNA）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分.RNA長鏈的每個位置都有一種稱為堿基的化學(xué)成分占據(jù),總共有四種不同的堿基，分別用A、C、G、U來表示。在一個RNA分子中,各種堿基能夠以任意的次序出現(xiàn)，所以在任意位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)。假設(shè)有一類RNA分子由100個堿基組成,求含堿基A的個數(shù)的分布列。解:由題意可知,出現(xiàn)堿基A的個數(shù)是一個隨機(jī)變量,設(shè)為X,則X的取值為0,1，2，3，…,100。當(dāng)X=0時，即100個位置中都不出現(xiàn)A，P（X=0)=；當(dāng)X=1時,即100個位置中出現(xiàn)一個A,P（X=1)=；當(dāng)X=2時，即100個位置中出現(xiàn)兩個A,P(X=2）；…;當(dāng)X=100時，即100個位置中出現(xiàn)100個A，P(X=100)=?！嗪蠥的個數(shù)的分布列為X012…100P…綠色通道：在求一類隨機(jī)變量分布列的概率值時,有時有一定的規(guī)律可尋,這樣求概率變得簡單,在做題時要找出這種規(guī)律,使問題得以簡化。如例10中的概率分母都相同,分子變化有規(guī)律。變式訓(xùn)練已知一密碼鎖有四個撥號盤,每個撥號盤上有0到9這10個數(shù)字，求所有密碼中含數(shù)字9的個數(shù)X的分布列。解:由題意可知,X可取的值為0、1、2、3、4。當(dāng)X=0時，P(X=0）=;當(dāng)X=1時，P(X=1）=;當(dāng)X=2時，P(X=2)=;當(dāng)X=3時，P（X=3)=;當(dāng)X=4時,P(X=4）=。∴密碼中含數(shù)字9的個數(shù)X的分布列為X01234P問題探究問題1:在隨機(jī)試驗中，隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量。試探究在拋擲一枚硬幣數(shù)次的試驗中,出現(xiàn)正面或反面的次數(shù)是一隨機(jī)變量，這種說法對嗎?導(dǎo)思：隨機(jī)變量的取值實質(zhì)是試驗結(jié)果的對應(yīng)值,有的雖然不是數(shù)，但我們可以用數(shù)來表示,如拋硬幣，出現(xiàn)正面朝上用數(shù)字1表示,反面朝上用數(shù)字0表示。當(dāng)然也可以用其他數(shù)字表示.探究:判斷一個量是否是隨機(jī)變量，關(guān)鍵看隨機(jī)試驗的量與所描述的量間的關(guān)系.隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗所有可能的結(jié)果，但要有標(biāo)準(zhǔn)，有了標(biāo)準(zhǔn)之后，量是變化的.問題中的出現(xiàn)正面或反面的次數(shù)給出的標(biāo)準(zhǔn)模糊不清，所以不是隨機(jī)變量,若改為出現(xiàn)正面的次數(shù),它就是隨機(jī)變量.問題2:隨機(jī)變量與函數(shù)都是一種映射，對于離散型隨機(jī)變量的分布列你能給出幾種表示方式?對比不同表示方式，試說出它們的優(yōu)缺點.導(dǎo)思：類比是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,很多數(shù)學(xué)的定理及結(jié)論都是通過類比得到的,隨機(jī)變量與函數(shù)既然都是映射，他們在表達(dá)方式上應(yīng)有類似的地方，通過類比可以得到隨機(jī)變量分布列的不同表達(dá)方式.探究：隨機(jī)變量分布列的表達(dá)方式有：(1)表格法隨機(jī)變量X的分布列用表格的形式可表示為Xx1x2…xi…xn