數(shù)學(xué)例題與探究：向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實(shí)數(shù)m的值,使A、B、C三點(diǎn)共線.思路分析:考查平面向量共線的條件及其應(yīng)用。轉(zhuǎn)化為證明向量∥。解：依題意，知i=（1，0)，j=(0，1),則=（1，0）—2(0，1)=（1，—2），=（1，0)+m(0，1）=(1，m）?！摺⒐簿€，∴1×m—1×(-2)=0.∴m=-2。即當(dāng)m=—2時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線。綠色通道:點(diǎn)共線問題通?；瘹w為向量共線問題，坐標(biāo)法實(shí)現(xiàn)了向量的代數(shù)化，運(yùn)算時(shí)方便、簡潔，因此坐標(biāo)法是解決向量問題的重要方法.變式訓(xùn)練1（2005全國高考卷Ⅲ，理14)已知向量=(k，12)，=(4,5)，=（-k，10）,且A、B、C三點(diǎn)共線,則k=______________.思路解析:由于A、B、C三點(diǎn)共線,則∥,又=(4,5）—（k，12）=(4—k，-7）,=(4,5）-(—k，10）=(4+k,—5),所以有（4—k)(-5)-（4+k)(—7）=0，解得k=-.答案:-變式訓(xùn)練2已知向量a=(3,4），b=(sinα,cosα）,且a∥b,則tanα的值為()A。B.-C.D.—思路解析:根據(jù)兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為同角三角函數(shù)之間的關(guān)系.因?yàn)閍∥b，且a=(3，4),b=(sinα，cosα），所以3cosα=4sinα=0，則有3cosα=4sinα,顯然cosα≠0。于是tanα==.答案:A變式訓(xùn)練3(2006山東臨沂二模,理5）已知向量a=(8,x)，b=(x，1)，其中x＞0，若（a—2b）∥(2a+b），則x的值為(）A.4B。8C.0思路解析：利用向量共線的坐標(biāo)表示得方程?！?a-2b)=（8-2x,x—2)，（2a+b）=(16+x,x+1），∴（8—2x)(x+1)-(x—2)(16+x)=0.∴x=4或x=-5（舍去）。答案:A例2如圖2—2—1所示,ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)M，且=a，=b，用a,b表示，,和.圖2思路分析:考查平面向量基本定理及其應(yīng)用.把,，和放入三角形，利用三角形法則或平行四邊形來解決.解:∵=a+b，=a-b，∴=-=—（a+b）=—a-b，==(a-b）=a-b，==a+b,=-=-a+b。綠色通道：用已知向量（通常是向量基底)表示其他向量時(shí),盡量把未知向量放入相關(guān)的三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則來解決。要培養(yǎng)畫圖意識(shí)，自覺應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法找到解題思路.變式訓(xùn)練4（2006安徽高考卷,理14)在ABCD中，=a，=b，=3，M為BC的中點(diǎn)，則=___________.（用a,b表示)思路解析：把向量放在△AMN中，利用三角形法則轉(zhuǎn)化為其他向量的線性表示.如圖2—2—2所示，由=3，得4=3AC，圖2-2-2即==(a+b）.在△ABM中，=a+b,則==(a+b)-(a+b)=—a+b。答案:—a+b問題探究問題在幾何中，我們經(jīng)常遇到一個(gè)點(diǎn)把一條線段分成兩部分,如果已經(jīng)知道了兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，那么怎樣用兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)來表示這個(gè)分點(diǎn)的坐標(biāo)就成為我們關(guān)心的問題.向量是解決幾何問題的有效工具，能否用向量分析這一問題？導(dǎo)思:線段的兩個(gè)端點(diǎn)和其上的一個(gè)點(diǎn)共線,由此轉(zhuǎn)化為向量共線的問題。探究:在數(shù)學(xué)上,我們把分線段成兩部分的點(diǎn)稱為定比分點(diǎn)，當(dāng)=λ時(shí)，稱點(diǎn)P分有向線段AB的比為λ?！?λ=0?！?)+λ()=0?！?.如圖2—2-3所示，如果在直角坐標(biāo)系中，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（x,y)，A（x1，y1）,B（x圖2-2因?yàn)?λ，所以+λ=0，于是有(）+λ(）=0,即(1+λ）=+λ。所以=.則有（x，y)==（,）,即,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（,)。此公式就叫做線段的定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式.特別是當(dāng)λ=1，即點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)，此坐標(biāo)又稱為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。下面探討其應(yīng)用.典題精講例1設(shè)△ABC的重心(三條中線的交點(diǎn))為G，并且A(x1，y1），B（x2，y2）,C(x3，y3），求G的坐標(biāo)。思路分析:求出BC中點(diǎn)坐標(biāo),再利用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式得G的坐標(biāo)。解:設(shè)點(diǎn)G(x，y）,BC的中點(diǎn)為D，則由題意,得,則即∴G的坐標(biāo)是（).上面的結(jié)論稱為三角形重心坐標(biāo)公式，可以作為結(jié)論直接應(yīng)用。例2已知M(2,7）和A（6，3），若點(diǎn)P在直線MA上，且=,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。思路分析:有三種思路：利用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式，利用線段的長度關(guān)系,待定系數(shù)法.解法一：（利用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式）設(shè)P(x，y）,由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x==3，y==6,即P(3，6）。解法二:(利用兩點(diǎn)間的距離公式）設(shè)P(x,y）,由題意得｜｜=4||，｜|=｜|。則有解方程組，得即P（3，6).解法三：設(shè)P（x,y）,則=(2-x，7-y）,=