北京市西城區(qū)月壇中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末經(jīng)典試題含解析

北京市西城區(qū)月壇中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知f（x）＝是R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）A.(0，1) B.C. D.2．某人用如圖所示的紙片，沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個(gè)三角形面上寫上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、②、③處應(yīng)依次寫上A.快、新、樂 B.樂、新、快C.新、樂、快 D.樂、快、新3．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A.y＝x3 B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1 D.5．已知全集，集合，則（）A. B.C. D.6．已知向量，，，若，，則（）A. B.C. D.7．若角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A. B.C. D.8．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，則AB中元素的個(gè)數(shù)為A.1 B.2C.3 D.49．下列關(guān)于向量的敘述中正確的是（）A.單位向量都相等B.若，，則C.已知非零向量，，若，則D.若，且，則10．設(shè)函數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.函數(shù)的值域?yàn)?B.函數(shù)是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.在定義域上是單調(diào)函數(shù)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若命題“是假命題”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.12．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)根.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.13．設(shè)函數(shù)和函數(shù)，若對任意都有使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______14．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，0，1）到原點(diǎn)O的距離為_____15．已知函數(shù).（1）當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)在的圖象.x0y16．函數(shù)的定義域?yàn)開________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．體育課上，小明進(jìn)行一項(xiàng)趣味測試，在操場上從甲位置出發(fā)沿著同一跑道走到乙位置，有兩種不同的行走方式（以下）.方式一：小明一半的時(shí)間以的速度行走，剎余一半時(shí)間換為以的速度行走，平均速度為；方式二：小明一半的路程以的速度行走，剩余一半路程換為以的速度行走，平均速度為；（1）試求兩種行走方式的平均速度；（2）比較的大小.18．某種放射性元素的原子數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律是，其中是正的常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）判斷函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)；（2）把表示成原子數(shù)的函數(shù).19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過點(diǎn)，以角的終邊為始邊，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角Ⅰ求值；Ⅱ求的值20．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)四點(diǎn)，，，.（1）判斷的形狀；（2）A，B，C，D四點(diǎn)是否共圓，并說明理由.21．已知（1）化簡；（2）若=2，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】要使函數(shù)在上為減函數(shù)，則要求①當(dāng)，在區(qū)間為減函數(shù)，②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間為減函數(shù)，③當(dāng)時(shí)，，綜上①②③解不等式組即可.【詳解】令，.要使函數(shù)在上為減函數(shù)，則有在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)且,∴,解得.故選：B【點(diǎn)睛】考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的問題，根據(jù)單調(diào)性的定義，注意在分段點(diǎn)處的函數(shù)值的關(guān)系，屬于中檔題.2、A【解析】根據(jù)四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序?yàn)棰谀辎佗郏纯傻贸鼋Y(jié)論【詳解】根據(jù)四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序?yàn)棰谀辎佗郏蔬xA【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生對圖形的認(rèn)識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于k的不等式組，解出即可【詳解】解：f（x）＝＝1+，若f（x）在（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增，則，故k≤﹣2，故選：C4、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性奇偶性，逐一分析答案四個(gè)函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，逐一比照后可得答案【詳解】選項(xiàng)A，函數(shù)y＝x3不是偶函數(shù)；故A不滿足.選項(xiàng)B，對于函數(shù)y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；故B滿足.選項(xiàng)C，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；故C不滿足選項(xiàng)D，不是偶函數(shù)．故D不滿足故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】首先確定全集，而后由補(bǔ)集定義可得結(jié)果【詳解】解：，又，.故選B【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集，熟練掌握補(bǔ)集的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.6、C【解析】計(jì)算出向量的坐標(biāo)，然后利用共線向量的坐標(biāo)表示得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解出即可.【詳解】向量，，，又且，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查共線向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】直接利用三角函數(shù)的定義可得.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以由三角函數(shù)定義可得：.故選：C8、B【解析】由題意可得，故中元素的個(gè)數(shù)為2，所以選B.【名師點(diǎn)睛】集合基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)：(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的前提(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了，易于解決(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖9、C【解析】A選項(xiàng)：單位向量方向不一定相同，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，與不一定共線，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：兩邊平方可得，故C正確；D選項(xiàng)：舉特殊向量可知D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)閱挝幌蛄考扔写笮∮钟蟹较?，但是單位向量方向不一定相同，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，但與不一定共線，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：對兩邊平方得，，所以，故C正確；D選項(xiàng)：比如：，，，所以，，所以，但，故D錯(cuò)誤.故選：C.10、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式研究函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，值域，可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，所以的值域?yàn)?，所以選項(xiàng)是正確的；又，，所以在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在定義域內(nèi)恒成立，所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)是正確的；因?yàn)楹愠闪?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)是正確的.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性性，奇偶性和值域，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、####【解析】等價(jià)于，解即得解.【詳解】解：因?yàn)槊}“是假命題”，所以，所以.故答案為：12、或或【解析】作出函數(shù)的圖象，設(shè)，分關(guān)于有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、，和兩相等實(shí)數(shù)根進(jìn)行討論，當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，再檢驗(yàn)，當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、時(shí)，或，再由二次方程實(shí)數(shù)根的分布進(jìn)行討論求解即可.【詳解】作出函數(shù)的簡圖如圖，令，要使關(guān)于的方程有且僅有個(gè)不同的實(shí)根，（1）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，由，即，此時(shí)當(dāng)，此時(shí)，此時(shí)由圖可知方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)不滿足.當(dāng)，此時(shí)，此時(shí)由圖可知方程有6個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)滿足條件(2)當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、時(shí)，則或當(dāng)時(shí)，由可得則的根為由圖可知當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)滿足條件.當(dāng)時(shí)，設(shè)由，則，即綜上所述：滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是或或故答案為：或或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用復(fù)合型二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵由條件結(jié)合函數(shù)的圖象，分析方程的根情況及其范圍，再由二次方程實(shí)數(shù)根的分布解決問題，屬于難題.13、【解析】先根據(jù)的單調(diào)性求出的值域A，分類討論求得的值域B，再將條件轉(zhuǎn)化為A，進(jìn)行判斷求解即可【詳解】是上的遞減函數(shù)，∴的值域?yàn)?，令A(yù)=，令的值域?yàn)锽，因?yàn)閷θ我舛加惺沟?，則有A，而，當(dāng)a=0時(shí)，不滿足A；當(dāng)a>0時(shí)，，∴解得；當(dāng)a<0時(shí)，，∴不滿足條件A,綜上得.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域及單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的關(guān)系，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題14、【解析】由空間兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可得所求值.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.15、（1）（2）答案見解析【解析】(1)由三角恒等變換求出解析式，再求得最大值時(shí)的x的集合,(2)由五點(diǎn)法作圖,列出表格,并畫圖即可.【小問1詳解】令，函數(shù)取得最大值，解得，所以此時(shí)x的集合為.【小問2詳解】表格如下：x0y11作圖如下，16、【解析】根據(jù)被開放式大于等于零和對數(shù)有意義，解對數(shù)不等式得到結(jié)果即可.【詳解】∵函數(shù)∴x>0且，∴∴函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椤军c(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的解析式求定義域的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）直接利用平均速度的定義求出；（2）利用作差法比較大小.【小問1詳解】設(shè)方式一中小明行走的總路程為s，所用時(shí)間為，由題意得，可知設(shè)方式二中所用時(shí)間為，總路程為s，則【小問2詳解】.因?yàn)榍遥?，?18、(1)減函數(shù)；(2)（其中）.【解析】（1）即得是關(guān)于的減函數(shù)；（2）利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化，可以把t表示為原子數(shù)N的函數(shù)試題解析：（1）由已知可得因?yàn)槭钦?shù)，，所以，即，又是正常數(shù)，所以是關(guān)于的減函數(shù)（2）因?yàn)?，所以，所以，即（其中?點(diǎn)睛：本題利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可容易得出函數(shù)的單調(diào)性，利用指數(shù)與對數(shù)的互化可得出函數(shù)的表達(dá)式.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】Ⅰ由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值Ⅱ先根據(jù)題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用兩角和的余弦公式求得的值【詳解】解：Ⅰ角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過點(diǎn)，Ⅱ以角的終邊為始邊，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角，由Ⅰ利用任意角的三角函數(shù)的定義可得，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角公式，兩角和的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題20、（1）是等腰直角三角形（2）A，B，C，D四點(diǎn)共圓；理由見解析【解析】（1）利用兩點(diǎn)間距離公式可求得,再利用斜率公式可得到,即可判斷三角形形狀；（2）由（1）先求得的外接圓,再判斷點(diǎn)是否在圓上即可【詳解】解：（1）,,,又,,即,∴是等腰直角三角形（2）A，B，C，D四點(diǎn)共圓；由（1）,設(shè)的外接圓的圓心為,