江蘇省溧中、省揚中、鎮(zhèn)江一中、江都中學(xué)、句容中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

江蘇省溧中、省揚中、鎮(zhèn)江一中、江都中學(xué)、句容中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則滿足的的最小值為（）A.30 B.31C.32 D.332．已知集合，則（）A. B.C. D.3．已知圓：，是直線的一點，過點作圓的切線，切點為，，則的最小值為（）A. B.C. D.4．函數(shù)，則的值為（）A B.C. D.5．已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，過坐標(biāo)原點作兩條互相垂直的射線，，與分別交于，則直線過定點（）A. B.C. D.6．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，則點P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.7．“”是“方程表示雙曲線”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．三棱柱中，，，，若，則（）A. B.C. D.9．已知三棱錐的各頂點都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為，，，，則此球的表面積等于（）A. B.C. D.10．拋擲兩枚硬幣，若記出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是（）.A. B.C. D.11．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.12．已知是兩個數(shù)1，9的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點，，處測得閣頂端點的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度___________米.14．函數(shù)在處的切線方程為_________15．拋物線的準(zhǔn)線方程為_____16．如圖，橢圓的左、右焦點分別為，過橢圓上的點作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角、、C所對的邊分別為、、，，.（1）若，求的值；（2）若的面積，求，的值.18．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，再從條件①：；②：；③：這三個條件中選擇一個作為已知，解答下列問題：（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：19．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（3）已知數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．（12分）（1）已知等軸雙曲線的上頂點到一條漸近線的距離為，求此雙曲線的方程；（2）已知拋物線的焦點為，設(shè)過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點，求線段的長21．（12分）已知圓M經(jīng)過點F（2，0），且與直線x=-2相切.（1）求圓心M的軌跡C的方程；（2）過點（-1，0）的直線l與曲線C交于A，B兩點，若，求直線l的斜率k的取值范圍.22．（10分）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時.求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由條件可得得出，再由解出的范圍，得出答案.【詳解】由，則由，即，即，所以所以滿足的的最小值為為32故選：C2、D【解析】由集合的關(guān)系及交集運算，逐項判斷即可得解.【詳解】因為集合，，所以，，.故選：D.【點睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷及集合的交集運算，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】根據(jù)題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長定理，將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設(shè)四邊形的面積為，由題設(shè)及圓的切線性質(zhì)得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A4、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B5、A【解析】由橢圓方程可求得坐標(biāo)，由此求得拋物線方程；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，根據(jù)可得，由此構(gòu)造方程求得，根據(jù)直線過定點的求法可求得定點.【詳解】由橢圓方程知其焦點坐標(biāo)為，又拋物線焦點，，解得：，則拋物線的方程為，由題意知：直線斜率不為，可設(shè)，由得：，則，即，設(shè)，，則，，，，，解得：或；又與坐標(biāo)原點不重合，，，當(dāng)時，，直線恒過定點.故選：A.【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.6、D【解析】利用分布計數(shù)原理求出所有的基本事件個數(shù)，在求出點落在直線x+y=4上包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率個數(shù)求出.解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36，其中每個結(jié)果出現(xiàn)的機會都是等可能的，點P（m，n）在直線x+y=4上包含的結(jié)果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個，所以點P（m，n）在直線x+y=4上的概率是3:36=1:12,故選D考點：古典概型點評:本題考查先判斷出各個結(jié)果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】方程表示雙曲線則，解得，是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A8、A【解析】利用空間向量線性運算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解：由，，，若，得.故選：A.9、D【解析】由條件確定三棱錐的外接球的球心位置及球的半徑，再利用球的表面積公式求外接球的表面積.【詳解】由已知，，，可得三棱錐的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱錐外接球的直徑，，，即，則，故三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為故選：D.【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.10、A【解析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來，利用古典概型的計算公式，把，，算出來，判斷四個選項的正誤.【詳解】兩枚硬幣，記為與，則拋擲兩枚硬幣，一共會出現(xiàn)的情況有四種，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，則，，，所以A錯誤，BCD正確故選：A11、C【解析】結(jié)合基本不等式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，時，為負數(shù)，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C12、A【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時，根據(jù)橢圓離心率公式，即可求出結(jié)果；當(dāng)時，根據(jù)雙曲線離心率公式,即可求出結(jié)果.【詳解】因為是兩個數(shù)1，9的等比中項，所以，所以，當(dāng)時，圓錐曲線，其離心率為；當(dāng)時，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，由邊角關(guān)系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，結(jié)合可解得的值，進而可得長.【詳解】設(shè)，因為，，，所以，，，.在中，，即①.，在中，，即②，因為，所以①②兩式相加可得：，解得：，則，故答案為：.14、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，即切線方程為.故答案為：.15、【解析】本題利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出拋物線的準(zhǔn)線方程【詳解】由拋物線方程可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為：故答案為【點睛】本題考查拋物線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查拋物線的準(zhǔn)線的確定，是基礎(chǔ)題16、【解析】根據(jù)題意可得，利用推出，進而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，將代入方程中，得，因為，所以，整理，得，又，所以，由，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），【解析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解的值，再結(jié)合正弦定理求解即可；（2）根據(jù)三角形的面積可求解出邊c的值，再運用余弦定理求解邊b.【詳解】（1），且，.由正弦定理得，.（2），.由余弦定理得，.18、（1）an＝n，bn＝（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，q＞0，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，列出方程組求解即可得答案；（2）求出，利用裂項相消求和法求出前項和為，即可證明【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，q＞0，選①：，又，，可得1+5d＝3q，1+4d＝5d，解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；選②：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，q4＝4（q3﹣q2），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；選③：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，8+28d＝6（3+3d），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；小問2詳解】證明：由（1）知，，，所以19、（1）（2）證明見解析，（3）【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列列出方程組求解首項、公比即可得解；（2）化簡后得，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，即可得出，再求出即可;（3）利用錯位相減法求出數(shù)列的和.【小問1詳解】設(shè)公比為，由條件可知，，所以；【小問2詳解】，又，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差等差數(shù)列，所以，所以.【小問3詳解】，,兩式相減可得，，.20、（1）；（2）8.【解析】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，再由點到直線距離公式求解即可；（2）求得直線方程代入拋物線，結(jié)合焦點弦長求解即可.【詳解】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，且頂點到漸近線的距離為，可得，解得，故雙曲線方程（2）拋物線的焦點為直線的方程為，即與拋物線方程聯(lián)立，得，消，整理得，設(shè)其兩根為，，且由拋物線的定義可知，所以，線段的長是【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式21、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)圓心，軌跡兩點的距離公式列出方程，整理方程即可；(2)設(shè)直線l的方程和點A、B的坐標(biāo)，直線方程聯(lián)立拋物線方程，消去x得出關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合根的判別式和韋達定理表示出弦，進而列出不等式，解之即可.【小問1詳解】設(shè)圓心，由題意知，，整理，得，即圓心M