2025屆山東省聊城市高唐一中數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

2025屆山東省聊城市高唐一中數(shù)學(xué)高二上期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，則乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.12 B.10C.8 D.62．拋物線(xiàn)y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.3．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5C. D.94．已知雙曲線(xiàn)方程為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意的直線(xiàn)的條數(shù)共有（）A.4條 B.3條C.2條 D.1條5．已知斜三棱柱所有棱長(zhǎng)均為2，，點(diǎn)、滿(mǎn)足，，則（）A. B.C.2 D.6．已知拋物線(xiàn)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.7．已知實(shí)數(shù)，，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.8．為了解義務(wù)教育階段學(xué)校對(duì)雙減政策的落實(shí)程度，某市教育局從全市義務(wù)教育階段學(xué)校中隨機(jī)抽取了6所學(xué)校進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其中有4所小學(xué)和2所初級(jí)中學(xué)，若從這6所學(xué)校中再隨機(jī)抽取兩所學(xué)校作進(jìn)一步調(diào)查，則抽取的這兩所學(xué)校中恰有一所小學(xué)的概率是（）A. B.C. D.9．直線(xiàn)與圓相切，則實(shí)數(shù)等于（）A.或 B.或C.3或5 D.5或310．已知圓，圓C2：x2+y2－x－4y+7=0，則“a=1”是“兩圓內(nèi)切”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件11．已知等比數(shù)列的公比為，則“是遞增數(shù)列”的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.12．某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為（）A.10 B.15C.20 D.30二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn).若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)__________.14．寫(xiě)出一個(gè)漸近線(xiàn)的傾斜角為且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程___________.15．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)為橢圓C的下頂點(diǎn)，直線(xiàn)MA與MB的斜率之積為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P，Q為橢圓C上位于x軸下方的兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.16．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進(jìn)出口總額x，y滿(mǎn)足線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，則______；若計(jì)劃2022年出口總額達(dá)到5千億元，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為_(kāi)_____千億元三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)的極值18．（12分）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的封閉圖形.（1）設(shè)，，求這個(gè)幾何體的表面積；（2）設(shè)G是弧DF的中點(diǎn)，設(shè)P是弧CE上的一點(diǎn)，且.求異面直線(xiàn)AG與BP所成角的大小.19．（12分）已知，，函數(shù)，直線(xiàn)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，的面積為，求的周長(zhǎng)20．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，與直線(xiàn)和橢圓分別交于兩點(diǎn)，（與不重合）.判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如果過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.21．（12分）如圖，已知圓錐SO底面圓的半徑r=1，直徑AB與直徑CD垂直，母線(xiàn)SA與底面所成的角為.（1）求圓錐SO的側(cè)面積；（2）若E為母線(xiàn)SA的中點(diǎn)，求二面角E-CD-B的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）22．（10分）已知拋物線(xiàn)C：焦點(diǎn)F的橫坐標(biāo)等于橢圓的離心率.（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)(1，0)作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，判斷原點(diǎn)與以線(xiàn)段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)眾數(shù)的概念，求得的值，再根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，得，所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為故選：A.2、C【解析】將拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)得選項(xiàng).【詳解】解：將拋物線(xiàn)y＝4x2的化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開(kāi)口向上，焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）.故選：C3、D【解析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴故選：D4、A【解析】利用雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，右頂點(diǎn)為.①直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)平行于漸近線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)；③設(shè)過(guò)的切線(xiàn)方程為與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線(xiàn)的條數(shù)為1.綜上可得，直線(xiàn)的條數(shù)為4.故選：A,.5、D【解析】以向量為基底向量，則，根據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，兩邊平方可得答案.【詳解】以向量為基底向量，所以所以故選：D6、B【解析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意，結(jié)合中點(diǎn)弦的問(wèn)題得，進(jìn)而再求解準(zhǔn)線(xiàn)方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，所以①，②，所以，①②得：，即，因?yàn)橹本€(xiàn)AB的斜率為1，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，所以，即，所以?huà)佄锞€(xiàn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為.故選：B7、C【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)和作差法判斷大小依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式不成立，錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤正確；當(dāng)時(shí)，不等式不成立，錯(cuò)誤；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，作差法判斷大小，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用.8、A【解析】由組合知識(shí)結(jié)合古典概型概率公式求解即可.【詳解】從這6所學(xué)校中隨機(jī)抽取兩所學(xué)校的情況共有種，這兩所學(xué)校中恰有一所小學(xué)的情況共有種，則其概率為.故選：A9、C【解析】先求出圓的圓心和半徑，再利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑列方程可求得結(jié)果【詳解】由，得，則圓心為，半徑為2，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，得，解得或，故選：C10、B【解析】先得出圓的圓心和半徑，求出兩圓心間的距離，半徑之差，根據(jù)兩圓內(nèi)切得出方程，從而得出答案.【詳解】圓的圓心半徑的圓心半徑兩圓心之間的距離為兩圓的半徑之差為當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，解得或所以當(dāng)，可得兩圓內(nèi)切，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，不能得出（可能）故“”是“兩圓內(nèi)切”的充分不必要條件故選：B11、D【解析】由等比數(shù)列滿(mǎn)足遞增數(shù)列，可進(jìn)行和兩項(xiàng)關(guān)系的比較，從而確定和的大小關(guān)系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，得；若，則，得；所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，或，；故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個(gè)充分條件為，.故選：D.12、C【解析】根據(jù)抽取比例乘以即可求解.【詳解】由題意可得應(yīng)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過(guò)F作，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離可求出，再根據(jù)勾股定理可得，，由可得，即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖，過(guò)F作，則E是AB中點(diǎn)，設(shè)漸近線(xiàn)為，則，則在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，則，即，即，則，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的求解，解題的關(guān)鍵是分別表示出，，由建立關(guān)系.14、(答案不唯一)【解析】根據(jù)已知條件寫(xiě)出一個(gè)符合條件的方程即可.【詳解】如，焦點(diǎn)在y軸上，令，得漸近線(xiàn)方程為，其中的傾斜角為.故答案為：(答案不唯一).15、（1）（2）【解析】（1）由斜率之積求得，再由已知條件得，從而得橢圓方程；（2）延長(zhǎng)QF2交橢圓于N點(diǎn)，連接，，設(shè)直線(xiàn)，，.直線(xiàn)方程代入橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，結(jié)合不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性可得的范圍，再計(jì)算出四邊形面積得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】由題知：，，，又，∴橢圓.【小問(wèn)2詳解】延長(zhǎng)QF2交橢圓于N點(diǎn)，連接，，如下圖所示：，∴設(shè)直線(xiàn)，，.由，得，，，.，由勾形函數(shù)的單調(diào)性得，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得：，且，，∴四邊形面積的最大值為.16、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，由，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.65三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）極大值為12，極小值-15【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.（2）利用導(dǎo)數(shù)求解極值即可.【小問(wèn)1詳解】，，切點(diǎn)為，故切線(xiàn)方程為，即；【小問(wèn)2詳解】令，得或列表：-12+0-0+單調(diào)遞增12單調(diào)遞減-15單調(diào)遞增函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為.18、（1）（2）【解析】（1）將幾何體的表面積分成上下兩個(gè)扇形、兩個(gè)矩形和一個(gè)圓柱形側(cè)面的一部分組成，分別求出后相加即可；（2）先根據(jù)條件得到面，通過(guò)平移將異面直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)夾角即可【小問(wèn)1詳解】上下兩個(gè)扇形的面積之和為：兩個(gè)矩形面積之和為：4側(cè)面圓弧段的面積為：故這個(gè)幾何體的表面積為：【小問(wèn)2詳解】如下圖，將直線(xiàn)平移到下底面上為由，且，，可得：面則而G是弧DF的中點(diǎn)，則由于上下兩個(gè)平面平行且全等，則直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角等于直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角，即為所求，則則直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角為19、（1），單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）【解析】（1）先利用向量數(shù)量積運(yùn)算、二倍角公式、輔助角公式求出，再求單增區(qū)間；（2）利用面積公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周長(zhǎng).小問(wèn)1詳解】已知，，函數(shù)，所以.因?yàn)橹本€(xiàn)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以,所以，又，所以當(dāng)k=0時(shí)，符合題意，此時(shí)要求的單調(diào)遞增區(qū)間，只需,解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由于，所以，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，解得：.又，由余弦定理可得：，即，所以，所以，所以的周長(zhǎng).20、（1）（2）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為【解析】（1）根據(jù)離心率及頂點(diǎn)坐標(biāo)求出即可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為（），求出的坐標(biāo)，設(shè)是以為直徑的圓上的點(diǎn)，利用向量垂直可得恒成立，可得定點(diǎn)，斜率不存在時(shí)驗(yàn)證即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，，又因?yàn)?，所?所以橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).理由如下：當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為（）.令，得，所以.由得，則或，所以.設(shè)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，.由題意，，則以為直徑的圓的方程為.即恒成立即解得故以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓也過(guò)點(diǎn).綜上，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).21、（1）（2）【解析】（1）先根據(jù)母線(xiàn)與底面的夾角求出圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可（2）利用三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)，先求出二面角，然后利用二面角與二面角的互補(bǔ)關(guān)系即可求得【小問(wèn)1詳解】根據(jù)母線(xiàn)SA與底面所成的角為，且底面圓的半徑可得：則圓錐的側(cè)面積為：【小問(wèn)2詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作底面的垂線(xiàn)交于