河北省宣化市第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

河北省宣化市第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍（）A. B.C. D.2．已知直線過點，且其方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.4．已知集合，，則A. B.C. D.5．若，則下列正確的是（）A. B.C. D.6．已知，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足，那么點P到x軸的距離為（）A. B.C. D.7．隨機(jī)地向兩個標(biāo)號分別為1與2的格子涂色，涂上紅色或綠色，在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的概率為（）A. B.C. D.8．某人忘了電腦屏保密碼的后兩位，但記得最后一位是1，3，5，7，9中的一個數(shù)字，倒數(shù)第二位是G，O，D中的一個字母，若他嘗試輸入密碼，則一次輸入就解開屏保的概率是（）A. B.C. D.9．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，有恒成立.則不等式的解集為（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列滿足，則（）A.2 B.C.1 D.11．等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件12．函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，若，則動點P的軌跡為雙曲線；②拋物線焦點坐標(biāo)是；③過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標(biāo)原點，若，則動點P的軌跡為橢圓；④曲線與曲線（且）有相同的焦點其中真命題的序號為______（寫出所有真命題的序號．）14．已知橢圓的右焦點為，短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是______________15．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_____________16．已知函數(shù)在處有極值2，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)分別為橢圓的左右焦點，過的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線的傾斜角為60度，到直線l的距離為（1）求橢圓C的焦距；（2）如果，求橢圓C的方程18．（12分）某學(xué)校高一、高二、高三的三個年級學(xué)生人數(shù)如下表，按年級分層抽樣的方法評選優(yōu)秀學(xué)生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一學(xué)生中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從高二女生中抽取8人，經(jīng)檢測她們的得分如圖所示，把這8人的得分看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5分的概率.19．（12分）如圖，在長方體中，，，是棱的中點（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由20．（12分）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線的方程為，雙曲線C的右焦點為，雙曲線C的左、右頂點分別為A，B（1）求雙曲線C的方程；（2）過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點（點P在x軸的上方），直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，證明：為定值21．（12分）某校高二年級全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測試，學(xué)校利用簡單隨機(jī)抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.22．（10分）“雙十一”已經(jīng)成為網(wǎng)民們的網(wǎng)購狂歡節(jié)，某電子商務(wù)平臺對某市的網(wǎng)民在今年“雙十一”的網(wǎng)購情況進(jìn)行摸底調(diào)查，用隨機(jī)抽樣的方法抽取了100人，其消費金額（百元）的頻率分布直方圖如圖1所示：（1）利用圖1，求網(wǎng)民消費金額的平均值和中位數(shù)；（2）把下表中空格里的數(shù)填上，能否有的把握認(rèn)為網(wǎng)購消費與性別有關(guān).男女合計30合計45附表：P(χ2≥k0)0.100.050.012.7063.8416.635參考公式：χ2＝.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析可知對任意的恒成立，利用參變量分離法結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，故.故選：A.2、D【解析】根據(jù)題意和直線的點方向式方程即可得出結(jié)果.【詳解】因為直線過點，且方向向量為，由直線的點方向式方程，可得直線的方程為：，整理，得.故選：D3、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B4、B【解析】由交集定義直接求解即可.【詳解】集合，，則.故選B.【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)并結(jié)合反例，即可判斷命題真假.【詳解】對于選項A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時，這與結(jié)論矛盾，故A錯誤；對于選項B：當(dāng)時，若，則，故B錯誤；對于選項C：由，不妨令，，則此時，故C錯誤；對于選項D：由不等式性質(zhì)，可知D正確.故選：D.6、D【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個焦點，設(shè)焦距為，，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設(shè)的高為，則為點P到x軸的距離，則，故選：D【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.7、D【解析】根據(jù)古典概型的概率公式即可得出答案.【詳解】在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色有紅色與綠色兩種情況，其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的情況有1種，所以在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的概率為.故選：D.8、C【解析】應(yīng)用分步計數(shù)法求后兩位的可能組合數(shù)，即可求一次輸入就解開屏保的概率.【詳解】由題設(shè)，后兩位可能情況有，∴一次輸入就解開屏保的概率是.故選：C.9、B【解析】根據(jù)當(dāng)時，可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合可確定在上的解集；根據(jù)奇偶性可確定在上的解集；由此可確定結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，，在上的解集為，即在上的解集為；又為上的奇函數(shù)，，為上的偶函數(shù)，在上的解集為，即在上的解集為；當(dāng)時，，不合題意；綜上所述：的解集為.故選：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，進(jìn)而根據(jù)零點確定不等式的解集.10、D【解析】首先得到數(shù)列的周期，再計算的值.【詳解】由條件，可知，兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以周期為的周期數(shù)列，.故選：D11、B【解析】當(dāng)時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件故選：B【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程12、B【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④##④②【解析】利用雙曲線定義判斷命題①；寫出拋物線焦點判斷命題②；分析點P滿足的關(guān)系判斷命題③；按取值討論計算半焦距判斷命題④作答.【詳解】對于①，因雙曲線定義中要求，則命題①不正確；對于②，拋物線化為：，其焦點坐標(biāo)是，命題②正確；對于③，令定圓C的圓心為C，因，則點P是弦AB的中點，當(dāng)P與C不重合時，有，點P在以線段AC為直徑的圓上，當(dāng)P與C重合時，點P也在以線段AC為直徑的圓上，因此，動點P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除A點外)，則命題③不正確；對于④，曲線的焦點為，當(dāng)時，橢圓中半焦距c滿足：，其焦點為，當(dāng)時，雙曲線中半焦距滿足：，其焦點為，因此曲線與曲線（且）有相同的焦點，命題④正確，所以真命題的序號為②④.故答案為：②④【點睛】易錯點睛：橢圓長短半軸長分別為a，b，半焦距為c滿足關(guān)系式：；雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為、、滿足關(guān)系式：，在同一問題中出現(xiàn)認(rèn)真區(qū)分，不要混淆.14、【解析】設(shè)左焦點為，連接，．則四邊形是平行四邊形，可得．設(shè)，由點M到直線l的距離不小于，即有，解得．再利用離心率計算公式即可得出范圍【詳解】設(shè)左焦點為，連接，．則四邊形是平行四邊形，故，所以，所以，設(shè)，則，故，從而，，，所以，即橢圓的離心率的取值范圍是【點睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題15、3【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式能求出結(jié)果詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點睛：本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力.16、6【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值2，可得，解方程組即可得解.【詳解】解：，因為函數(shù)在處有極值2，所以，即，解得，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在處有極大值，所以，所以.故答案為：6.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求得直線的方程，利用點到直線的距離列方程，由此求得，進(jìn)而求得焦距.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合來求得，從而求得橢圓的方程.【小問1詳解】依題意，直線的方程為，到的距離為，所以焦距.【小問2詳解】由，消去并化簡得，設(shè)，則，，，，，所以，，，，，，，，，所以，所以橢圓的方程為.18、（1）400（2）（3）【解析】（1）根據(jù)分層抽樣的方法，列出關(guān)系式計算即可；（2）根據(jù)分層抽樣的方法，求出抽取的女生人數(shù)，進(jìn)而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況，可根據(jù)古典概型的概率公式計算即可；（3）求出樣本平均數(shù)，進(jìn)而求出與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5的數(shù)，從而利于古典概型的概率公式計算即可.【小問1詳解】設(shè)該?？?cè)藬?shù)為n人，由題意得，所以，.【小問2詳解】設(shè)所抽樣本中有m個女生，因為用分層抽樣的方法在高一學(xué)生中抽取一個容量為5的樣本，所以，解得.所以抽取了2名女生，3名男生，分別記作，；，，，則從中任取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，，，共10個，其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7個，所以從中任取2人，至少有1名女生的概率為.【小問3詳解】樣本的平均數(shù)為，那么與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5的數(shù)為94，86，92，87，90，93這6個數(shù)，總的個數(shù)為8，所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5的概率為.19、(1)證明見解析（2）（3）存點，【解析】(1)先證明平面，由平面，可證明結(jié)論.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)設(shè)，,則，則由向量法結(jié)合條件可得答案.【詳解】（1）在長方體中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系因為，，是棱的中點則則為平面的一個法向量.設(shè)為平面的一個法向量.,所以，即取，可得所以如圖平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.(3)設(shè)，，則由（2）平面的一個法向量設(shè)與平面所成角為則解得，取所以存在點，滿足條件.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，，即求；（2）由題可設(shè)直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理法即證【小問1詳解】由題意可知在雙曲線C中，，，，解得所以雙曲線C的方程為；【小問2詳解】證法一：由題可知，設(shè)直線，，，由，得，則，，∴，，；當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時.綜上，為定值證法二：設(shè)直線PQ方程為，，，聯(lián)立得整理得，由過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，則解得，，，，由雙曲線方程可得，，，，∵，∴，，證法三：設(shè)直線PQ方程為，，，聯(lián)立得整理得，由過右焦點F的直線l與雙