專題07平行四邊形的判定及三角形中位線(考點剖析)-2018-2019學年浙江省八年級數(shù)學下學期期末必考點復習(浙教版)(原卷版+解析)

專題07平行四邊形的判定及三角形的中位線【考點剖析】1、平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.2、三角形的中位線三角形的中位線;連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.注意：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應的位置關系與數(shù)量關系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.3、反證法的步驟：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．平行四邊形的判定【典例】例1．在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，下列各組條件，其中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OC，AB∥CD C．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD例2．如圖所示，以△ABC的三邊AB、BC、CA在BC的同側作等邊△ABD、△BCE、△CAF．請說明：四邊形ADEF為平行四邊形．例3．如圖4×4的正方形網(wǎng)格每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點，點A，B（均在格點上）的位置如圖，若以A，B為頂點畫面積為2的格點平行四邊形，則符合條件的平行四邊形的個數(shù)有（）A．6 B．7 C．9 D．11【鞏固練習】1．下列能判定一個四邊形是平行四邊形的是（）A．對角線相等，且一組對角相等的四邊形是平行四邊形 B．一對鄰角的和為180°的四邊形是平行四邊形 C．兩條對角線相互垂直的四邊形是平行四邊形 D．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形2．在四邊形ABCD中，若有下列四個條件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD．現(xiàn)以其中的兩個條件為一組，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件有（）A．3組 B．4組 C．5組 D．6組3．已知四邊形ABCD，對角線AC與BD交于點O，從下列條件中：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠ABC＝∠ADC；④OA＝OC，任取其中兩個，以下組合能夠判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．①④4．已知如圖，O為平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，EF經(jīng)過點O，且與AB交于E，與CD交于F．求證：四邊形AECF是平行四邊形．平行四邊形的性質與判定【典例】例1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，AE＝CF，連接AF，BF，DE，CE，分別交于H、G．求證：（1）四邊形AECF是平行四邊形．（2）EF與GH互相平分．【鞏固練習】1．已知：如圖，平行四邊形ABCD，E、F是直線AC上兩點，且AE＝CF．求證：四邊形EBFD為平行四邊形．2．如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，點E、F分別在CD、BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足為點F，DF＝2．（1）求證：D是EC中點；（2）求EF的長．3．如圖，平行四邊形ABCD是對角線AC、BD交于E點，DF∥AC，∠DFC＝∠AEB，連接EF．（1）求證：DF＝AE；（2）求證：四邊形BCFE是平行四邊形．三角形中位線定理【典例】例1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD，點M、N分別為線段BC、AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E、F分別為DM、MN的中點，則EF長度的最大值為（）A． B．3.5 C．5 D．2.5例2．如圖，AD是△ABC的中線，點E是AD的中點，點F是BE延長線與AC的交點，求的值．例3．如圖，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，E為BC中點．求DE的長．【鞏固練習】1．若三角形的各邊長分別是8cm、10cm和16cm，則以各邊中點為頂點的三角形的周長為（）A．34cm B．30cm C．29cm D．17cm2．如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AD＝BC，∠PEF＝25°，則∠EPF的度數(shù)是（）A．100° B．120° C．130° D．150°3．如圖，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中線，BD與CE相交于點O，點F、G分別是OB、OC的中點，連接AO．若AO＝3cm，BC＝4cm，則四邊形DEFG的周長是（）A．7cm B．9cm C．12cm D．14cm4．如圖，在△ABC中，AB＝6，D、E分別是AB、AC的中點，點F在DE上，且DF＝3FE，當AF⊥BF時，BC的長是____________．5．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，EF的中點，求證：GH⊥EF．6．如圖在△ABC中，M是BC中點，AP是∠A平分線，BP⊥AP于P，AB＝12，AC＝22，則MP長為（）A．3 B．4 C．5 D．6專題07平行四邊形的判定及三角形的中位線【考點剖析】1、平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.2、三角形的中位線三角形的中位線;連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.注意：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應的位置關系與數(shù)量關系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.3、反證法的步驟：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．平行四邊形的判定【典例】例1．在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，下列各組條件，其中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OC，AB∥CD C．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD【答案】C【解析】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．故能判定這個四邊形是平行四邊形；B、∵OA＝OC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．故能判定這個四邊形是平行四邊形；C、AB＝CD，OA＝OC，∴四邊形ABCD不是平行四邊形．故不能判定這個四邊形是平行四邊形；D、∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故能判定這個四邊形是平行四邊形．故選：C．【點睛】根據(jù)平行四邊形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應用．此題考查了平行四邊形的判定．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關鍵．例2．如圖所示，以△ABC的三邊AB、BC、CA在BC的同側作等邊△ABD、△BCE、△CAF．請說明：四邊形ADEF為平行四邊形．【答案】見解析【解析】證明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等邊三角形，∴AB＝AD，AC＝CF，BC＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACF﹣∠ACE，即∠BCA＝∠FCE，在△BCA和△ECF中，，∴△BCA≌△ECF（SAS），∴AB＝EF，∵AB＝AD，∴AD＝EF，同理：△BDE≌△BAC，∴DE＝AF，∴四邊形ADEF是平行四邊形．【點睛】根據(jù)等邊三角形的性質推出∠BCE＝∠FCA＝60°，求出∠BCA＝∠FCE，證△BCA≌△ECF，推出AD＝EF＝AB，同理得出DE＝AF，即可得出結論．此題主要考查了等邊三角形的性質和平行四邊形的判定以及全等三角形的判定與性質，得出△BCA≌△ECF是解題關鍵．例3．如圖4×4的正方形網(wǎng)格每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點，點A，B（均在格點上）的位置如圖，若以A，B為頂點畫面積為2的格點平行四邊形，則符合條件的平行四邊形的個數(shù)有（）A．6 B．7 C．9 D．11【答案】D【解析】解：∵AB＝2，平行四邊形的面積＝2，∴高＝1，∴符合條件的平行四邊形如圖所示，共11個，其中以AB為邊的平行四邊形有6個，AB為對角線的平行四邊形有5個，共11個．故選：D．【點睛】根據(jù)已知條件即可得到結論．本題考查了平行四邊形的判定，正確的作出圖形是解題的關鍵．【鞏固練習】1．下列能判定一個四邊形是平行四邊形的是（）A．對角線相等，且一組對角相等的四邊形是平行四邊形 B．一對鄰角的和為180°的四邊形是平行四邊形 C．兩條對角線相互垂直的四邊形是平行四邊形 D．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【答案】D【解析】解：A、對角線相等，且一組對角相等的四邊形無法確定是平行四邊形，故此選項不合題意；B、一對鄰角的和為180°的四邊形是平行四邊形，錯誤，有可能是梯形，故此選項不合題意；C、兩條對角線相互垂直的四邊形無法確定是平行四邊形，故此選項不合題意；D、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，正確，符合題意．故選：D．2．在四邊形ABCD中，若有下列四個條件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD．現(xiàn)以其中的兩個條件為一組，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件有（）A．3組 B．4組 C．5組 D．6組【答案】A【解析】解：①③組合能根據(jù)平行線的性質得到∠B＝∠D，從而利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形；①④組合能利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形；②④組合能利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定，故選：A．3．已知四邊形ABCD，對角線AC與BD交于點O，從下列條件中：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠ABC＝∠ADC；④OA＝OC，任取其中兩個，以下組合能夠判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【解析】解：以①④作為條件，能夠判定四邊形ABCD是平行四邊形．理由：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．故選：D．4．已知如圖，O為平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，EF經(jīng)過點O，且與AB交于E，與CD交于F．求證：四邊形AECF是平行四邊形．【答案】見解析【解析】證明：∵平行四邊形ABCD中AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCF，又∵OA＝OC，∠COF＝∠AOE，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形．平行四邊形的性質與判定【典例】例1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，AE＝CF，連接AF，BF，DE，CE，分別交于H、G．求證：（1）四邊形AECF是平行四邊形．（2）EF與GH互相平分．【答案】見解析【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．（2）由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE，∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，∴BE∥DF，BE＝DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BF∥DE，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∴EF與GH互相平分．【點睛】（1）由平行四邊形的性質得出AB∥CD，AB＝CD，由AE＝CF，即可得出結論；（2）由平行四邊形的性質得出AF∥CE，再證明四邊形BFDE是平行四邊形，得出BF∥DE，證出四邊形EGFH是平行四邊形，即可得出結論．本題考查了平行四邊形的判定與性質；熟記一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關鍵．【鞏固練習】1．已知：如圖，平行四邊形ABCD，E、F是直線AC上兩點，且AE＝CF．求證：四邊形EBFD為平行四邊形．【答案】見解析【解析】證明：連結BD交AC于O點，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，又∵OB＝OD，∴四邊形EBFD為平行四邊形．2．如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，點E、F分別在CD、BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足為點F，DF＝2．（1）求證：D是EC中點；（2）求EF的長．【答案】見解析【解析】解：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，又∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB＝DE，∴CD＝DE，即D是EC的中點；（2）∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形又∵D是EC的中點，∴DF＝CD＝DE＝2，∵AB∥CD∠ABC＝60°，∴∠DCF＝60°，∴△DCF是等邊三角形，∴CF＝2，∴在Rt△ECF中EF2．3．如圖，平行四邊形ABCD是對角線AC、BD交于E點，DF∥AC，∠DFC＝∠AEB，連接EF．（1）求證：DF＝AE；（2）求證：四邊形BCFE是平行四邊形．【答案】見解析【解析】證明：（1）∵DF∥AC，∴∠DFC+∠FCE＝180°，∵∠DFC＝∠DEC，∴∠DEC+∠FCE＝180°，∴CF∥DE，∴四邊形DECF是平行四邊形，∴DF＝EC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE＝CE，∴DF＝AE．（2）∵DF＝AE，DF∥AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴AD＝EF，AD∥EF，∵AD＝BC，AD∥BC，∴EF∥BC，EF＝BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．三角形中位線定理【典例】例1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD，點M、N分別為線段BC、AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E、F分別為DM、MN的中點，則EF長度的最大值為（）A． B．3.5 C．5 D．2.5【答案】D【解析】解：連接BD、DN，在Rt△ABD中，DB5，∵點E、F分別為DM、MN的中點，∴EFDN，由題意得，當點N與點B重合時，DN最大，∴DN的最大值是5，∴EF長度的最大值是2.5，故選：D．【點睛】連接BD、DN，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)三角形中位線定理解答．本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．例2．如圖，AD是△ABC的中線，點E是AD的中點，點F是BE延長線與AC的交點，求的值．【答案】見解析【解析】解：作DH∥AC交BF于點H，∵DH∥AC，點E是AD的中點，∴DH＝AF，∵DH∥AC，AD是△ABC的中線，∴DHFC，∴．【點睛】作DH∥AC交BF于點H，根據(jù)相似三角形的性質證明DH＝AF，根據(jù)三角形中位線定理證明DHFC，得到答案．本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是解題的關鍵．例3．如圖，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，E為BC中點．求DE的長．【答案】見解析【解析】解：如圖，延長BD與AC相交于點F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E為BC中點，∴DE是△BCF的中位線，∴DECF4＝2．【點睛】延長BD與AC相交于點F，根據(jù)等腰三角形的性質可得BD＝DF，再利用三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DECF，然后求解即可．本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等腰三角形的判定與性質，作輔助線構造出以DE為中位線的三角形是解題的關鍵．【鞏固練習】1．若三角形的各邊長分別是8cm、10cm和16cm，則以各邊中點為頂點的三角形的周長為（）A．34cm B．30cm C．29cm D．17cm【答案】D【解析】解：∵D、E分別為AB、BC的中點，∴DEAC＝5，同理，DFBC＝8，F(xiàn)EAB＝4，∴△DEF的周長＝4+5+8＝17（cm），故選：D．2．如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AD＝BC，∠PEF＝25°，則∠EPF的度數(shù)是（）A．100° B．120° C．130° D．150°【答案】C【解析】解：∵P是對角線BD的中點，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，∴PEAD，PFBC，∵AD＝BC，∴P