專題09一次函數(shù)與幾何圖形綜合的七種考法(原卷版+解析)

專題09一次函數(shù)與幾何圖形綜合的七種考法類型一、面積問題例．如圖，直線AB的表達(dá)式為，交x軸，y軸分別與B，A兩點，點D坐標(biāo)為點C在線段上，交y軸于點E．(1)求點A，B的坐標(biāo)．(2)若，求點C的坐標(biāo)．(3)若與的面積相等，在直線上有點P，滿足與的面積相等，求點P坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練1】如圖，直線與軸交于點，直線與軸交于點，且經(jīng)過定點，直線與交于點．(1)填空：________；________；________；(2)在軸上是否存在一點，使的周長最短？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若動點在射線上從點開始以每秒1個單位的速度運動，連接，設(shè)點的運動時間為秒．是否存在的值，使和的面積比為？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點，，，點D是y軸正半軸上的動點，連接交x軸于點E．(1)如圖①，若點D的坐標(biāo)為，求的面積；(2)如圖②，若，求點D的坐標(biāo)．(3)如圖③，若，請直接寫出點D的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線：交y軸于點，交x軸于點B．過點且垂直于x軸的直線交于點D，P是直線上一動點，且在點D的上方，設(shè)．(1)求直線的解析式和點B的坐標(biāo)；(2)求的面積（用含n的代數(shù)式表示）；(3)當(dāng)?shù)拿娣e為2時，以為邊在第一象限作等腰直角三角形，求出點C的坐標(biāo)．類型二、最值問題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點．(1)______，______．(2)已知、，①在直線上找一點P，使．用無刻度直尺和圓規(guī)作出點P（不寫畫法，保留作圖痕跡）；②點P的坐標(biāo)為______；③點Q在y軸上，那么的最小值為______．【變式訓(xùn)練1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線經(jīng)過和兩點，且與軸，軸分別相交于，兩點．(1)求直線的表達(dá)式；(2)若點在直線上，當(dāng)?shù)拿娣e等于2時，求點的坐標(biāo)；(3)①在軸上找一點，使得的值最小，則點的坐標(biāo)為______；②在軸上找一點，使得的值最大，則點的坐標(biāo)為______．【變式訓(xùn)練2】如圖，一次函數(shù)的圖象分別與x軸和y軸交于C，A兩點，且與正比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求正比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點D是一次函數(shù)圖象上的一點，且的面積是4，求點D的坐標(biāo)；(3)點P是y軸上一點，當(dāng)?shù)闹底钚r，若存在，點P的坐標(biāo)是______．【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，，，點在軸上，軸，垂足為，軸，垂足為，線段交軸于點．若，．(1)求點的坐標(biāo)；(2)如果經(jīng)過點的直線與線段相交，求的取值范圍；(3)若點是軸上的一個動點，當(dāng)取得最大值時，求的長．類型三、等腰三角形存在性問題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點A和B．已知點C的標(biāo)為，若點P是x軸上的一個動點．(1)A的坐標(biāo)是______，B的坐標(biāo)是______；(2)過點P作y軸的平行線交于點M，交于點N，當(dāng)點P恰好是的中點時，求出P點坐標(biāo)．(3)若以點B、P、C為頂點的為等腰三角形時、請求出所有符合條件的P點坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練1】直線與x軸、y軸分別交于兩點，且．(1)求的長和k的值：(2)若點A是第一象限內(nèi)直線上的一個動點，當(dāng)它運動到什么位置時，的面積是？(3)在（2）成立的情況下，y軸上是否存在點P，使是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（寫過程）【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸正半軸于點M，交y軸負(fù)半軸于點，，作線段的垂直平分線交x軸于點A，交y軸于點B．(1)如圖1，求直線的解析式和A點坐標(biāo)；(2)如圖2，過點M作y軸的平行線l，P是l上一點，若，求點P坐標(biāo)；(3)如圖3，點Q是y軸的一個動點，連接、，將沿翻折得到，當(dāng)是等腰三角形時，求點Q的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，與正比例函數(shù)的圖象交于點，且點的橫坐標(biāo)為2，點為軸上的一個動點．(1)求點的坐標(biāo)和、的值；(2)連接，當(dāng)與的面積相等時，求點的坐標(biāo)；(3)連接，是否存在點使得為等腰三角形?若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．類型四、直角三角形存在性問題例．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線:與直線：交于點，與x軸分別交于點和點C．點D為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點F．(1)直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)點D在線段上，點E落在y軸上時，求點E的坐標(biāo)．(3)若為直角三角形，求點D的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練1】綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點A，B，與直線交于點C．直線與x軸交于點D，若點P是線段上的一個動點，點P從點D出發(fā)沿方向，以每秒2個單位長度勻速運動到點A（到A停止運動）．設(shè)點P的運動時間為．(1)求點A和點B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為12時，求t的值；(3)試探究，在點P運動過程中，是否存在t的值，使為直角三角形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點與軸交于點，點是直線上的一點，它的坐標(biāo)為，經(jīng)過點作直線軸交軸于點．(1)求點的坐標(biāo)；(2)已知點是直線上的動點，若的面積為4，求點的坐標(biāo)；若為直角三角形，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸以及的圖象分別交于點，，且點的坐標(biāo)為．(1)則______，______，______；(2)關(guān)于，的二元一次方程組y=x+1,y=kx+b的解為______；(3)求四邊形的面積；(4)在軸上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形，請求出點的坐標(biāo)．類型五、等腰直角三角形存在性問題例．模型建立：如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點，過作于，過作于．(1)求證：．(2)模型應(yīng)用：已知直線與軸交與點，將直線繞著點順時針旋轉(zhuǎn)至，如圖2，求的函數(shù)解析式．(3)如圖3，矩形，為坐標(biāo)原點，的坐標(biāo)為，、分別在坐標(biāo)軸上，是線段上動點，設(shè)，已知點在第一象限，且是直線上的一點，若是不以為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練1】綜合與探究：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別與x軸、y軸交于點A，B，點C是線段OA的中點，點與點關(guān)于軸對稱，作直線．(1)求A，B兩點的坐標(biāo)；(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)若點是直線上的一個動點．請從A，B兩題中任選一題作答．我選擇______題．A．如圖2，連接，．直接寫出為直角三角形時點的坐標(biāo)．B．如圖3，連接，過點作軸于點．直接寫出為等腰直角三角形時點的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練2】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線交y軸于點，交x軸于點B．直線交AB于點D，交x軸于點E，P是直線上一動點，且在點D的上方，設(shè)．(1)求直線的解析式；(2)當(dāng)時，在第一象限內(nèi)找一點C，使為等腰直角三角形，求點C的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點，與y軸交于點，且a，p滿足．(1)求直線的解析式；(2)如圖1，直線與x軸交于點N，點M在x軸上方且在直線上，若的面積等于6，請求出點M的坐標(biāo)；(3)如圖2，已知點，若點B為射線上一動點，連接，在坐標(biāo)軸上是否存在點Q，使是以為底邊，點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．類型六、平行四邊形存在性問題例．在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與、軸相交于、兩點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．連接交軸于點．(1)求點的坐標(biāo)；(2)為軸上的動點，連接，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求此時點的坐標(biāo)．(3)點在直線上，點在軸上，若以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標(biāo)；【變式訓(xùn)練1】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，且滿足：．(1)求：的值；(2)為延長線上一動點，以為直角邊作等腰直角，連接，求直線與軸交點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，直線l1：y=2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C；直線l2：y=kx+b與x軸交于點B（3，0），與直線l1交于點D，且點D的縱坐標(biāo)為4．(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是；(2)求直線l2的解析式及△CDE的面積；(3)點P在坐標(biāo)平面內(nèi)，若以A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求符合條件的所有點P的坐標(biāo)．類型七、菱形存在性問題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸，y軸點B，C且與直線交于點A，(1)直接寫出點B，C的坐標(biāo)；B________；C________；(2)若D是線段上的點，且的面積為6，求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，設(shè)P是射線上的點，在平面內(nèi)是否存在點Q，使以O(shè)，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線與直線交于點P．(1)A點坐標(biāo)為________，P點坐標(biāo)為________；(2)在線段上有一個動點M，過M點作直線軸，與直線相交于點N，若的面積為，求M點的坐標(biāo)．(3)若點C為線段上一動點，在平面內(nèi)是否存在一點D，使得以點O，A，C，D為頂點的四邊形是菱形，若存在請直接寫出D點的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．專題09一次函數(shù)與幾何圖形綜合的七種考法類型一、面積問題例．如圖，直線AB的表達(dá)式為，交x軸，y軸分別與B，A兩點，點D坐標(biāo)為點C在線段上，交y軸于點E．(1)求點A，B的坐標(biāo)．(2)若，求點C的坐標(biāo)．(3)若與的面積相等，在直線上有點P，滿足與的面積相等，求點P坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）解：令，則，令，則，解得：，∴點；（2）解：如圖，過點C作于點F，∵，∴，∵點D坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴，∴點F的坐標(biāo)為，即點C的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)時，，∴點C的坐標(biāo)為；（3）解：設(shè)點C的坐標(biāo)為，∵與的面積相等，∴，即，∴，即，解得：，∴點C的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把點，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，如圖，連接，∵與的面積相等，∴點O和點P到距離相等，此時，∴直線的解析式為，聯(lián)立得：，解得：，∴點P的坐標(biāo)為．【變式訓(xùn)練1】如圖，直線與軸交于點，直線與軸交于點，且經(jīng)過定點，直線與交于點．(1)填空：________；________；________；(2)在軸上是否存在一點，使的周長最短？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若動點在射線上從點開始以每秒1個單位的速度運動，連接，設(shè)點的運動時間為秒．是否存在的值，使和的面積比為？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，4，2(2)存在，(3)存在，或【詳解】（1）∵直線與軸交于點，且經(jīng)過定點，∴，∴，∴直線，∵直線經(jīng)過點，∴，∴，把代入，得到．∴，，．故答案為：，4，2；（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，連接，則的周長最小．設(shè)直線的解析式為，∵，，∴，∴，∴直線的解析式為，令，得到，∴，∴存在一點，使的周長最短，；（3）∵點在射線上從點開始以每秒1個單位的速度運動，直線，∴，∵，∴，∵點的運動時間為秒．∴，分兩種情況：①點在線段上，∵和的面積比為，∴，∴∴，∴；②點在線段的延長線上，∵和的面積比為，∴，∴，∴綜上：存在的值，使和的面積比為，的值為或．【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點，，，點D是y軸正半軸上的動點，連接交x軸于點E．(1)如圖①，若點D的坐標(biāo)為，求的面積；(2)如圖②，若，求點D的坐標(biāo)．(3)如圖③，若，請直接寫出點D的坐標(biāo)．【答案】(1)5；(2)；(3)．【詳解】（1）解：如圖，連接，，，，，；（2）解：，，；（3）解：設(shè)，直線的解析式為：，則有：，解得：，，令，解得，，，，，，整理得，解得或（不符合題意，舍去），．【變式訓(xùn)練3】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線：交y軸于點，交x軸于點B．過點且垂直于x軸的直線交于點D，P是直線上一動點，且在點D的上方，設(shè)．(1)求直線的解析式和點B的坐標(biāo)；(2)求的面積（用含n的代數(shù)式表示）；(3)當(dāng)?shù)拿娣e為2時，以為邊在第一象限作等腰直角三角形，求出點C的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)(3)或或【詳解】（1）解：∵直線：交y軸于點，∴，∴直線為，當(dāng)時，，解得，∴；（2）解：∵，∴D的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)時，，∴，∴，∴；（3）解：根據(jù)題意，得，解得，∴，①以為腰時，當(dāng)B為直角頂點時，如圖，過點C作軸于點H，則，，∴，，∴，∴，∴，，∴點；當(dāng)P為直角頂點時，如圖，過點C作于點G，，則，，∴，，∴，∴，∴，，∴點；②以為底時，如圖，過點C作于點G，作軸于點H，則，，∴，∴，∴∴，∴，，∴，即，∴，∴點；綜上，符合題意的點C坐標(biāo)為或或．類型二、最值問題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點．(1)______，______．(2)已知、，①在直線上找一點P，使．用無刻度直尺和圓規(guī)作出點P（不寫畫法，保留作圖痕跡）；②點P的坐標(biāo)為______；③點Q在y軸上，那么的最小值為______．【答案】(1)，4；(2)①見解析；②；③5【詳解】（1）解：將、代入中，得：，解得；，故答案為：，4；（2）①如圖，點P即為所求；②由作圖可知：點P在的垂直平分線上，∵、，∴點P的橫坐標(biāo)為1，代入中，得：，∴；③∵，∴點N關(guān)于y軸對稱點為，則，∴，∴的最小值為．【變式訓(xùn)練1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線經(jīng)過和兩點，且與軸，軸分別相交于，兩點．(1)求直線的表達(dá)式；(2)若點在直線上，當(dāng)?shù)拿娣e等于2時，求點的坐標(biāo)；(3)①在軸上找一點，使得的值最小，則點的坐標(biāo)為______；②在軸上找一點，使得的值最大，則點的坐標(biāo)為______．【答案】(1)；(2)或；(3)①②【詳解】（1）解：設(shè)直線的表達(dá)式是，∵直線經(jīng)過和兩點，解得：，∴直線的表達(dá)式是；（2）在中，令，則，∴，∴，設(shè)，∵的面積等于2，∴，即：，∴，∴或；（3）①如圖，∵，∴當(dāng)時，最小，故點在線段的垂直平分線上，作線段的垂直平分線交軸于點，則點即為所求．∴，設(shè)，∴解得：，故點的坐標(biāo)為，故答案為：；②如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接并延長交軸于，則，即，當(dāng)三點共線時，的值最大，∵，∴．設(shè)直線的解析式為，把的坐標(biāo)代入得解得，∴直線的解析式為：當(dāng)時，，∴．故答案為：．【變式訓(xùn)練2】如圖，一次函數(shù)的圖象分別與x軸和y軸交于C，A兩點，且與正比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求正比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點D是一次函數(shù)圖象上的一點，且的面積是4，求點D的坐標(biāo)；(3)點P是y軸上一點，當(dāng)?shù)闹底钚r，若存在，點P的坐標(biāo)是______．【答案】(1)(2)或(3)【詳解】（1）當(dāng)時，，∴點，∴，即，∴正比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）設(shè)點，當(dāng)時，，∴點，∴，∵的面積是4，∴，解得：或2，∴點D的坐標(biāo)為或；（3）存在，理由如下：如圖，取點C關(guān)于y軸的對稱點，則,即點P位于與x軸的交點時，最小，∵點，∴點，設(shè)直線的解析式為，把點，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時，，【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，，，點在軸上，軸，垂足為，軸，垂足為，線段交軸于點．若，．(1)求點的坐標(biāo)；(2)如果經(jīng)過點的直線與線段相交，求的取值范圍；(3)若點是軸上的一個動點，當(dāng)取得最大值時，求的長．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）解：∵軸，軸，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∴點的坐標(biāo)為：．（2）解：設(shè)經(jīng)過點，的直線的解析式為，且，，∴，解方程組得，，∴經(jīng)過點，的直線的解析式為，∴，∵點在直線上，∴，∴，則直線的解析式表示為，若直線經(jīng)過點，則，解方程得，；若直線經(jīng)過點，則，∴的取值范圍是．（3）解：根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可知，，∴的最大值為，則點為直線與軸的交點，由（1）可知，，如圖所示，過點作軸于，根據(jù)勾股定理得，，設(shè)，則，解方程得，，∴，∴當(dāng)取得最大值時，的長為．類型三、等腰三角形存在性問題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點A和B．已知點C的標(biāo)為，若點P是x軸上的一個動點．(1)A的坐標(biāo)是______，B的坐標(biāo)是______；(2)過點P作y軸的平行線交于點M，交于點N，當(dāng)點P恰好是的中點時，求出P點坐標(biāo)．(3)若以點B、P、C為頂點的為等腰三角形時、請求出所有符合條件的P點坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)；(3)或或或．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點A和B，令，即，解得，令，即，，，故答案為：，；（2）設(shè)直線的解析式，將，代入，，解得，∴直線的函數(shù)解析式，設(shè)點，則點，點，依題意可得，∴，解得：，；（3）設(shè),而，，，，當(dāng)時，有，解得：，，當(dāng),有，解得：，不合題意舍去，，當(dāng)時，有，解得：或，或，綜上所述：或或或，【變式訓(xùn)練1】直線與x軸、y軸分別交于兩點，且．(1)求的長和k的值：(2)若點A是第一象限內(nèi)直線上的一個動點，當(dāng)它運動到什么位置時，的面積是？(3)在（2）成立的情況下，y軸上是否存在點P，使是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（寫過程）【答案】(1)，；(2)當(dāng)點A運動到時，的面積是；(3)，，，．【詳解】（1）解：，當(dāng)時，，∴點C的坐標(biāo)為，∴，又，∴，即點B的坐標(biāo)為，將代入，得：，解得，；綜上所述：，．（2）作于D，由題意得，，，解得，，即點A的縱坐標(biāo)為4，，解得，，∴當(dāng)點A運動到時，的面積是；（3）在（2）成立的情況下，y軸上存在一點P，使是等腰三角形，分四種情況考慮：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，作，，為線段垂直平分線與軸的交點，，，，設(shè)，則，在中，，即在中，，即，，，，當(dāng)時，；綜上，P的坐標(biāo)為，，，．【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸正半軸于點M，交y軸負(fù)半軸于點，，作線段的垂直平分線交x軸于點A，交y軸于點B．(1)如圖1，求直線的解析式和A點坐標(biāo)；(2)如圖2，過點M作y軸的平行線l，P是l上一點，若，求點P坐標(biāo)；(3)如圖3，點Q是y軸的一個動點，連接、，將沿翻折得到，當(dāng)是等腰三角形時，求點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)；；(2)，．(3)，，．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，解得：，設(shè)為，∴，解得：，∴，∵垂直平分，∴的中點的坐標(biāo)為：，，過作于，則，∴，∴，∴．（2）在y軸上取一點，使得．∵，∴，解得，，∴，．∵，，同理可得：的解析式為：，作交于P，∴，∴，即同理，∴．綜上：，．（3）①如圖，當(dāng)時，由軸對稱的性質(zhì)可得：，∵，∴，∴由垂直平分線的判定定理可得：，互相垂直平分，∴在軸上，且，設(shè)，∴，解得：，∴，∴．②當(dāng)時，如圖，由，∴為等邊三角形，此時，重合，∴；③當(dāng)時，在直線上，如圖，∵，∴，，，作，在軸上，∴，，∴，∴；同理：如圖，當(dāng)在的位置，在的位置，此時．綜上：或或．【變式訓(xùn)練3】如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，與正比例函數(shù)的圖象交于點，且點的橫坐標(biāo)為2，點為軸上的一個動點．(1)求點的坐標(biāo)和、的值；(2)連接，當(dāng)與的面積相等時，求點的坐標(biāo)；(3)連接，是否存在點使得為等腰三角形?若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；；(2)或(3)存在點使得為等腰三角形，點的坐標(biāo)為或或或【詳解】（1）解：將代入，得，∴點的坐標(biāo)為．

∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點，∴，

即．將點代入，得，解得．（2）解：∵，，∴，中邊上的高為2，∴，∴．

在中，令，得，∴，即中，邊上的高為，∴，解得．又∵，∴或．（3）解：如圖1，過點作軸于點，則，所以，，所以．

①當(dāng)時，．因為，所以此時點的坐標(biāo)為或；

②當(dāng)時，由等腰三角形的性質(zhì)易得．因為，所以．因為，所以此時點的坐標(biāo)為；

③當(dāng)時，如圖2，設(shè)，則，，所以，所以，解得，所以此時點的坐標(biāo)為．綜上可知，存在點使得為等腰三角形，點的坐標(biāo)為或或或．類型四、直角三角形存在性問題例．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線:與直線：交于點，與x軸分別交于點和點C．點D為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點F．(1)直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)點D在線段上，點E落在y軸上時，求點E的坐標(biāo)．(3)若為直角三角形，求點D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【詳解】（1）解：將代入直線中，解得，∴直線的解析式為，將點A的坐標(biāo)代入，得，∴，將點A的坐標(biāo)代入直線中，解得，∴直線的解析式為：（2）（3）過點A作軸于M，軸于N，則，由折疊得，∴，∴，解得（負(fù)值已舍去），又E在y軸負(fù)半軸，∴；（3）分兩種情況：①當(dāng)時，如圖，由折疊得，，過A作AG⊥x軸于G，，，，∴；②當(dāng)時，如圖，由折疊得，，∴，由A、B兩點坐標(biāo)可得：，設(shè)，則，∴，∴，解得，∴，∴，綜上，或．【變式訓(xùn)練1】綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點A，B，與直線交于點C．直線與x軸交于點D，若點P是線段上的一個動點，點P從點D出發(fā)沿方向，以每秒2個單位長度勻速運動到點A（到A停止運動）．設(shè)點P的運動時間為．(1)求點A和點B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為12時，求t的值；(3)試探究，在點P運動過程中，是否存在t的值，使為直角三角形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，t的值為4或6【詳解】（1）解：在中，令得，解得，∴，在中，令得，∴；（2）解：過C作軸于H，連接，如圖：在中，令得：，解得，∴，∴，由，得：，∴，∴，∵點P從點D出發(fā)沿方向，以每秒2個單位長度勻速運動到點A，∴，∴，∵的面積為12，∴，即，解得；（3）解：存在，理由如下：①當(dāng)時，過C作軸于H，如圖：∵，，∴，，由（2）知，，∴，∴，∵，∴，∴，解得；②當(dāng)時，如圖：此時是等腰直角三角形，，∴，∴，綜上所述，t的值為4或6．【變式訓(xùn)練2】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點與軸交于點，點是直線上的一點，它的坐標(biāo)為，經(jīng)過點作直線軸交軸于點．(1)求點的坐標(biāo)；(2)已知點是直線上的動點，若的面積為4，求點的坐標(biāo)；若為直角三角形，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，；或【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，直線與軸交于點與軸交于點，，解得，

直線的解析式為，把代入，得，，．（2）解：，，

直線軸交軸于點，，，，，；一定不是直角，當(dāng)時，點恰好在點，，當(dāng)時，，由題可得，，，，，，，綜上所述，所有滿足條件的點的坐標(biāo)為或．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸以及的圖象分別交于點，，且點的坐標(biāo)為．(1)則______，______，______；(2)關(guān)于，的二元一次方程組y=x+1,y=kx+b的解為______；(3)求四邊形的面積；(4)在軸上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形，請求出點的坐標(biāo)．【答案】(1)3，，2；(2)；(3)；(4)存在，的坐標(biāo)為或【詳解】（1）對于直線，令，得到，即，把代入中，得：，把代入得：，即，把坐標(biāo)代入中得：，即，故答案為：3，，2；（2）∵一次函數(shù)與交于，∴由圖象得：的解為：；故答案為：；（3）∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點，∴，∴；（4）如圖所示，設(shè)，∴，，，分兩種情況考慮：（1）當(dāng)時，，①當(dāng)時，，∴，∴，∴；②當(dāng)時，由橫坐標(biāo)為1，得到橫坐標(biāo)為1，∵在軸上，∴的坐標(biāo)為，綜上，的坐標(biāo)為或．類型五、等腰直角三角形存在性問題例．模型建立：如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點，過作于，過作于．(1)求證：．(2)模型應(yīng)用：已知直線與軸交與點，將直線繞著點順時針旋轉(zhuǎn)至，如圖2，求的函數(shù)解析式．(3)如圖3，矩形，為坐標(biāo)原點，的坐標(biāo)為，、分別在坐標(biāo)軸上，是線段上動點，設(shè)，已知點在第一象限，且是直線上的一點，若是不以為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)的解析式：(3)點，，．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，在與中，∴；（2）解：過點作于點，交于點，過作軸于，如圖，∵，∴為等腰直角三角形，由（1）得：，∴，，∵直線，∴，，∴，，∴，∴，設(shè)的解析式為，把點，代入得：∴，解得：，∴的解析式：；（3）解：當(dāng)點位于直線上時，分兩種情況：設(shè)，①點為直角頂點，分兩種情況：當(dāng)點在矩形的內(nèi)部時，過作軸的平行線，交直線于，交直線于，則，∴，；由（1）得：，∴，即，解得：；∴；當(dāng)點在矩形的外部時，則，∴，；由（1）得：，∴，即，解得：；∴；②點為直角頂點，此時點位于矩形的外部，則，∴；同（1）得，，∴，；∴；∴，解得：；∴；綜合上面情況可得：點的坐標(biāo)為或或．【變式訓(xùn)練1】綜合與探究：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別與x軸、y軸交于點A，B，點C是線段OA的中點，點與點關(guān)于軸對稱，作直線．(1)求A，B兩點的坐標(biāo)；(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)若點是直線上的一個動點．請從A，B兩題中任選一題作答．我選擇______題．A．如圖2，連接，．直接寫出為直角三角形時點的坐標(biāo)．B．如圖3，連接，過點作軸于點．直接寫出為等腰直角三角形時點的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)直線的解析式為(3)A．點的坐標(biāo)為或；B．點的坐標(biāo)為或【詳解】（1）解：當(dāng)時，，∴點，當(dāng)時，則，解得，∴點；（2）∵點C是線段OA的中點，∴，∵點與點關(guān)于軸對稱，∴點，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為；（3）A．當(dāng)時，則點的橫坐標(biāo)為，則，∴點的坐標(biāo)為；當(dāng)，則點的橫坐標(biāo)為，則，∴點的坐標(biāo)為；綜上所述，點的坐標(biāo)為或；B．∵為等腰直角三角形，∴，設(shè)點，則，當(dāng)點在之間時，則，解得：，∴點；當(dāng)點在點左側(cè)時，則，解得：，∴點；若點在點右側(cè)時，則，解得：（不合題意，舍去）；綜上所述：點的坐標(biāo)為或．【變式訓(xùn)練2】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線交y軸于點，交x軸于點B．直線交AB于點D，交x軸于點E，P是直線上一動點，且在點D的上方，設(shè)．(1)求直線的解析式；(2)當(dāng)時，在第一象限內(nèi)找一點C，使為等腰直角三角形，求點C的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或或【詳解】（1）解：∵經(jīng)過，∴，∴直線的解析式是；（2）解：當(dāng)時，，解得，∴點．∴，過點A作，垂足為M，則有，∵時，，P在點D的上方，∴，∴；∵，∴，解得，∴點．根據(jù)題意得：，，∴，∴．若，過點C作于點N，如圖，∵，∴．又∵，∴，∴，∴，∴；若，如圖，過點C作軸于點F．∵，∴．又∵，∴．∴，∴，∴；若，如圖，∴，∵，∴，∴，∴；∴點C的坐標(biāo)是或或．【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點，與y軸交于點，且a，p滿足．(1)求直線的解析式；(2)如圖1，直線與x軸交于點N，點M在x軸上方且在直線上，若的面積等于6，請求出點M的坐標(biāo)；(3)如圖2，已知點，若點B為射線上一動點，連接，在坐標(biāo)軸上是否存在點Q，使是以為底邊，點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)直線AP的解析式為(2)(3)Q的坐標(biāo)為或或，理由見解析【詳解】（1）解：∵，解得，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線AP的解析式為；（2）過作交x軸于D，連接，∵，的面積等于6，∴的面積等于6，∴，即，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為，令，得，∴；（3）Q的坐標(biāo)為或或．理由如下：設(shè)，①當(dāng)點Q在x軸負(fù)半軸時，過B作軸于E，如圖，∴，∵是以為底邊的等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴；②當(dāng)Q在y軸正半軸上時，過C作軸于F，過B作軸于G，如圖，∴，，∵是以為底邊的等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴即，∴，∴，∴；③當(dāng)Q在y軸正半軸上時，過點C作軸于F，過B作軸于T，如圖，∴，，同②可證，∴，，∴，即，∴，∴，∴；綜上，Q的坐標(biāo)為或或．類型六、平行四邊形存在性問題例．在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與、軸相交于、兩點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．連接交軸于點．(1)求點的坐標(biāo)；(2)為軸上的動點，連接，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求此時點的坐標(biāo)．(3)點在直線上，點在軸上，若以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標(biāo)；【答案】(1)點的坐標(biāo)為(2)(3)點的坐標(biāo)為或或【詳解】（1）解：令則令則過點作軸于由旋轉(zhuǎn)得點的坐標(biāo)為（2）作點關(guān)于軸的對稱點連接延長交軸于點則點就是所求的最大值點設(shè)直線的解析式為，解得，（3）設(shè)直線的解析式為，則解得直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為解得：∴直線的解析式為設(shè)以為平行四邊形的對角線時，，解得，當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，解得，當(dāng)為平行四邊形的對角線時，解得，綜上所述點的坐標(biāo)為或或【變式訓(xùn)練1】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，且滿足：．(1)求：的值；(2)為延長線上一動點，以為直角邊作等腰直角，連接，求直線與軸交點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)．【詳解】（1）由題意可得：解得，∴，∴（2）如圖所示，過點E作軸于G．∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴中，，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∴點的坐標(biāo)為，∵，∴設(shè)，代入點和點的坐標(biāo)得：，解得，∴的解析式為，∴當(dāng)時，，∴與軸的交點坐標(biāo)為．（3）存在，點Р的坐標(biāo)為：∵，點的坐標(biāo)為，∴又，，為頂點的四邊形是平行四邊形設(shè)，當(dāng)為平行四邊形的對角線時，解得：，則，當(dāng)為對角線時，，解得：，則，當(dāng)為對角線時，，解得：，則，綜上所述，點Р的坐標(biāo)為：．【變式訓(xùn)練2】如圖，直線l1：y=2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C；直線l2：y=kx+b與x軸交于點B（3，0），與直線l1交于點D，且點D的縱坐標(biāo)為4．(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是；(2)求直線l2的解析式及△CDE的面積；(3)點P在坐標(biāo)平面內(nèi)，若以A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求符合條件的所有點P的坐標(biāo)．【答案】(1)x＜1(2)2(3)P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）【詳解】（1）對于直線l1：y=2x+2，交于點D，且點D的縱坐標(biāo)為4