專(zhuān)題03二次根式的加減(原卷版+解析)

專(zhuān)題03二次根式的加減目錄TOC\o"1-1"\h\u12556必備知識(shí)點(diǎn) 130951考點(diǎn)一二次根式的加減法 223008考點(diǎn)二二次根式的混合運(yùn)算 24295考點(diǎn)三二次根式的化簡(jiǎn)求值 34295考點(diǎn)四二次根式的應(yīng)用 4知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航必備知識(shí)點(diǎn)1．同類(lèi)二次根式的定義

一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．

合并同類(lèi)二次根式的方法：

只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．2．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．

（2）步驟：

①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．

②把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．

③合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式．

（3）合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開(kāi)方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．3．二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．

②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類(lèi)的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．

（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．

（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．4．二次根式的化簡(jiǎn)求值二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．

二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．考點(diǎn)一二次根式的加減法1．下列計(jì)算正確的是（）A．3﹣1＝﹣3 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C． D．2．下列計(jì)算正確的是（）A．3+＝3 B． C． D．3．計(jì)算：﹣﹣（1﹣）＝．4．計(jì)算：＝．考點(diǎn)二二次根式的混合運(yùn)算5．下列計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．6．下列計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．＝﹣57．下列計(jì)算正確的是（）A．×＝ B．＝1 C．×＝42 D．＝8．下列運(yùn)算正確的是（）A．+＝ B．3+＝3 C．＝6 D．＝﹣29．計(jì)算（﹣3）（+3）的結(jié)果為．10．如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序，當(dāng)輸入x的值為時(shí)，則輸出的值為．11．計(jì)算：＝．考點(diǎn)三二次根式的化簡(jiǎn)求值12．若x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+2的值為（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣213．若，則的值是（）A．3 B．±3 C． D．±14．設(shè)M＝，其中a＝3，b＝2，則M的值為（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣115．已知x＝，那么2x2+6x﹣3的值是．16．已知x＝+，y＝﹣，則式子xy2+x2y的值為．17．已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，則a+的值是．考點(diǎn)四二次根式的化簡(jiǎn)求值18．已知a、b、c是△ABC三邊的長(zhǎng)，則+|a+b﹣c|的值為（）A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）19．某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形ABCD的綠地，長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)BC為8米，寬AB為米，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為+1米，寬為﹣1米．（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）（2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/m2的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)多少元？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）20．若矩形的長(zhǎng)a＝，寬b＝．（1）求矩形的面積和周長(zhǎng)；（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．21．已知a、b均為正數(shù)，且、、是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的面積．專(zhuān)題03二次根式的加減目錄TOC\o"1-1"\h\u12556必備知識(shí)點(diǎn) 130951考點(diǎn)一二次根式的加減法 223008考點(diǎn)二二次根式的混合運(yùn)算 44295考點(diǎn)三二次根式的化簡(jiǎn)求值 74295考點(diǎn)四二次根式的應(yīng)用 9知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航必備知識(shí)點(diǎn)1．同類(lèi)二次根式的定義

一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．

合并同類(lèi)二次根式的方法：

只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．2．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．

（2）步驟：

①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．

②把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．

③合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式．

（3）合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開(kāi)方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．3．二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．

②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類(lèi)的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．

（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．

（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．4．二次根式的化簡(jiǎn)求值二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．

二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．考點(diǎn)一二次根式的加減法1．下列計(jì)算正確的是（）A．3﹣1＝﹣3 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C． D．【分析】根據(jù)二次根式減法，同底數(shù)冪乘法，分式的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)法則依次判斷即可．【解答】解：∵3﹣1＝，∴A不合題意．∵a2?a3＝a2+3＝a5，∴B不合題意．∵＝，∴C不合題意．∵3﹣＝（3﹣1）＝2，∴D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式減法，同底數(shù)冪乘法，分式的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，正確應(yīng)用相關(guān)法則進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算是求解本題的關(guān)鍵．2．下列計(jì)算正確的是（）A．3+＝3B．C．D．【分析】直接利用二次根式的加減運(yùn)算法則分別計(jì)算判斷得出答案．【解答】解：A.3+，無(wú)法計(jì)算，故此選項(xiàng)不合題意；B.+，無(wú)法計(jì)算，故此選項(xiàng)不合題意；C.＝2，故此選項(xiàng)不合題意；D.+＝+2＝3，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．計(jì)算：﹣﹣（1﹣）＝﹣1．【分析】直接去括號(hào)，再合并同類(lèi)二次根式得出答案．【解答】解：原式＝﹣﹣1+＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．計(jì)算：＝3﹣﹣5．【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝3﹣﹣5．故答案為：3﹣﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的加減運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．考點(diǎn)二二次根式的混合運(yùn)算5．下列計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)二次根式加減法運(yùn)算法則判斷A和B，根據(jù)二次根式乘法的運(yùn)算法則判斷C，根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷D．【解答】解：A、原式＝2﹣＝，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；B、與不是同類(lèi)二次根式，不能合并計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；C、原式＝3＝3×5＝15，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D、原式＝8，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，理解二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式加減法，二次根式乘法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．6．下列計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．＝﹣5【分析】利用二次根式的乘法法則對(duì)A進(jìn)行判斷；利用二次根式的性質(zhì)對(duì)B、D進(jìn)行判斷；利用二次根式的加減法對(duì)C進(jìn)行判斷．【解答】解：A．原式＝＝，所以A選項(xiàng)符合題意；B．為最簡(jiǎn)二次根式，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．原式＝2+＝3，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．原式＝5，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．下列計(jì)算正確的是（）A．×＝ B．＝1 C．×＝42 D．＝【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)A、C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的加減法對(duì)B、D進(jìn)行判斷．【解答】解：A．原式＝＝，所以A選項(xiàng)符合題意；B．與不能合并，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．原式＝＝，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．與不能合并，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．下列運(yùn)算正確的是（）A．+＝ B．3+＝3 C．＝6 D．＝﹣2【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷．【解答】解：A．與不能合并，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．3與不能合并，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．原式＝＝×＝2×3＝6，所以C選項(xiàng)符合題意；D．原式＝2，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．計(jì)算（﹣3）（+3）的結(jié)果為8．【分析】利用平方差公式計(jì)算．【解答】解：原式＝17﹣9＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和平方差公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序，當(dāng)輸入x的值為時(shí)，則輸出的值為5．【分析】利用數(shù)值運(yùn)算程序得到x＝時(shí)，輸出的值為×+，再利用二次根式的乘法法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)后合并即可．【解答】解：當(dāng)x＝時(shí)，x+＝×+2＝+2＝3+2＝5．故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11．計(jì)算：＝2﹣2．【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算．【解答】解：原式＝﹣2＝2﹣2．故答案為2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．考點(diǎn)三二次根式的化簡(jiǎn)求值12．若x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+2的值為（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣2【分析】利用條件得到x﹣1＝，兩邊平方得x2﹣2x＝1，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵x＝+1，∴x﹣1＝，∴（x﹣1）2＝2，即x2﹣2x+1＝2，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+2＝1+2＝3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：完全平方公式的靈活運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．13．若，則的值是（）A．3 B．±3 C． D．±【分析】先（）2＝x+2+＝7+2＝9，再開(kāi)平方，可得結(jié)論．【解答】解：∵，∴（）2＝x+2+＝7+2＝9，∵＞0，∴＝3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，本題熟練掌握完全平方公式是關(guān)鍵，并注意二次根式的雙重非負(fù)性．14．設(shè)M＝，其中a＝3，b＝2，則M的值為（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而將已知代入求出答案．【解答】解：原式＝×﹣×＝1﹣，＝1﹣|a|，∵a＝3，b＝2，∴原式＝1﹣3＝﹣2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．15．已知x＝，那么2x2+6x﹣3的值是﹣5．【分析】整理關(guān)于x的等式后兩邊平方，先求出2x2+6x的值，再整體代入．【解答】解：∵x＝，∴2x+3＝．兩邊平方，得4x2+12x+9＝5，整理，得2x2+6x＝﹣2，∴2x2+6x﹣3＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案為：﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式及完全平方公式，求出2x2+6x的值是解決本題的關(guān)鍵．16．已知x＝+，y＝﹣，則式子xy2+x2y的值為2．【分析】直接將原式提取公因式，再利用二次根式混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：∵x＝+，y＝﹣，∴xy2+x2y＝xy（y+x）＝（+）×（﹣）×（++﹣）＝（3﹣2）×2＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．17．已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，則a+的值是5．【分析】根據(jù)題意求出a與b的值，然后將a與b代入原式即可求出答案．【解答】解：由題意可知：a﹣3＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴原式＝3+2＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確求出a與b的值，本題屬于基礎(chǔ)題型．考點(diǎn)四二次根式的化簡(jiǎn)求值18．已知a、b、c是△ABC三邊的長(zhǎng)，則+|a+b﹣c|的值為（）A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可知根號(hào)和絕對(duì)值里數(shù)的取值．【解答】解：∵三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0∴+|a+b﹣c|＝b+c﹣a+a+b﹣c＝2b．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主考要查了三角形三邊之間的關(guān)系．19．某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形ABCD的綠地，長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)BC為8米，寬AB為米，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為+1米，寬為﹣1米．（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）（2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/m2的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)多少元？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)列出算式，再利用二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）先計(jì)算出空白部分面積，再計(jì)算即可，【解答】解：（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是16+14（米），（2）通道的面積＝＝56﹣（13