2020-2021學(xué)年×××學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）

2020-2021學(xué)年XXX學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

x2+5

1.函數(shù)的最小值為（）

_5

A.2B.2c.iD.不存在

2.數(shù)列｛aj中，ai=-1,an+i=an-3,則ag等于（）

A.-7B.-8C.-22D?27

AB+BC

3.若aABC外接圓的面積為25TI,則sin（A+B）+sin（B+C）=（）

A.5B.10C.15D.20

4.若aABC是邊長為a的正三角形，則標(biāo)?BC=（）

11

A.2a2B.~~2a2C.a2D.-a2

5.若等差數(shù)列｛aj的前15項(xiàng)和為5TI,則cos（34+312）=（）

12/31返

A.-2B.2C.2D.土2

.1

6.已知cos（a-一1）,則sin2a的值為（）

31317_7

A.~32B--32c.D.8

7.已知。為aABC內(nèi)一點(diǎn)，若對(duì)任意kwR有|丞+（k-1）而-k0C|>|0A-0C

則△ABC一定是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.以上均有可能

8.在三視圖如圖的多面體中，最大的一個(gè)面的面積為（）

△K

倒糧,陽

A.2V2B.V5C.3D.2V5

_———32

9.已知向量a=（3,-2）,b=（x,丫-1）旦0〃15,若x,y均為正數(shù)，則學(xué)"+]的最

小值是（）

A.—B.—C.8D.24

33

10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD是邊長為2的為正

方形，側(cè)面PAD,底面ABCD,M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP=MC,貝D點(diǎn)M

在正方形ABCD內(nèi)的軌跡的長度為（）

A.娓B.272C.nD.

11.給定正數(shù)p,q,a,b,c,其中pWq,若p,a,q是等比數(shù)列，p,b,c,q是等差數(shù)列,

則一元二次方程bx?-2ax+c=0（）

A.無實(shí)根B.有兩個(gè)相等實(shí)根

C.有兩個(gè)同號(hào)相異實(shí)根D.有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根

12.正方體ABCD-A|B]CiD|中，M,N,Q分別是棱DiG，A〕D],BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在

對(duì)角線BD|上，給出以下命題：

①當(dāng)P在BDi上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有MN〃面APC；

BPo

②若A,P,M三點(diǎn)共線，則加一二,

BPo

③若前;=管，貝ICQ〃面APC；

④若過點(diǎn)P且與正方體的十二條棱所成的角都相等的直線有m條；過點(diǎn)P且與直線AB.

和AQ1所成的角都為60。的直線有n條，則m+n=7.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

二、填空題：(本大題5個(gè)小題，每小題5分，共20分)

13.cosl400+2sinl300sinl00=.

14.如圖，動(dòng)物園要圍成四間相同面積的長方形虎籠，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼

筋網(wǎng)圍成，設(shè)每間虎籠的長為xm,寬為ym,現(xiàn)有36m長的鋼筋網(wǎng)材料，為使每間虎籠面

積最大，則區(qū)=

15.如圖，正四棱錐P-ABCD的體積為2,底面積為6,E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則直線BE

與平面PAC所成的角為.

16.已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，給出以下結(jié)論：

,2

①若a-2b+3c=0,則上一的最小值是3；

ac

②若a+2b+2ab=8,則a+2b的最小值是4；

③若a(a+b+c)+bc=4,則2a+b+c的最小是2近；

④若a2+b2+c2=4,則逐ab+J^bc的最大值是26.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分)

17.在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知向量(a+c,b)與向量［=

(a-c,b-a)互相垂直.

(1)求角C；

(2)求sinA+sinB的取值范圍.

18.如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是平行四邊形，

(1)求證：BD〃截面PQMN；

(2)若截面PQMN是正方形，求異面直線PM與BD所成的角.

19.已知數(shù)列數(shù)J的前項(xiàng)和為Sn.若ai=Lan=3Sn.1+4(n>2).

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)令bn=log2-^g，Cn=―其中nWN+,記數(shù)列&｝的前項(xiàng)和為Tn.求Tn+"^?的值.

72n+12n

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,ZDAB=Z

ABC=90。，E是CD的中點(diǎn).

(1)證明：CD,平面PAE；

(2)若直線PB與平面PAE所成的角和直線PB與平面ABCD所成的角相等，求二面角P

-CD-A的正切值.

21.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.

(1)若f(x)>0的解集為｛x-3VxV4｝,解關(guān)于x的不等式bx?+2ax-(c+3b)<0.

(2)若對(duì)任意x￡R,不等式f(x)22ax+b恒成立，求■■的最大值.

a'+d

22.函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意a,peR,都有f數(shù)0)=af(P)+pf(a),且f(2)=2,數(shù)

列｛aj滿足a產(chǎn)f(2n)(n￡N+).

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

aabnI

(2)令1),cn=----,記Tn=—(ci+c2+...+cn)(n￡N+).問：是否存在正

nnLin

整數(shù)M,使得當(dāng)n>M時(shí)，不等式儲(chǔ),-■恒成立？若存在，寫出一個(gè)滿足條件的M；

42

若不存在，請(qǐng)說明理由.

2020-2021學(xué)年XXX學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理

科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

2+5

1.函數(shù)f（x）=X-/不--的最小值為（）

G+4

A.2B.C.1D.不存在

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義.

x2+5

【分析】要求函數(shù)f（求=-自型的最小值,本題形式可以變?yōu)橛没静坏仁角蠛瘮?shù)最值,

3+4

用此法時(shí)要注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件是不是具備.

2+5

【解答】解：由于￡6）=看X上=■=X2+4+I\

VA4心+4

令t=yx2+4,則t?2,f(t)=tJ在(2,+8)上單調(diào)遞增,

f（x）=j的最小值為:堤

VX2+42

故選B.

2.數(shù)列｛aj中，ai=-1,an+i=an-3,則ag等于（）

A.-7B.-8C.-22D.27

【考點(diǎn)】等差數(shù)列：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【分析】數(shù)列｛a/中,aj=-1,an+f=an-3,可得an+i-廝=-3,利用遞推式求出a8,從而

求解；

【解答】解：；數(shù)列｛aj中，ai=-1,an+1=an-3,

?,an+lan=-3,

?*?32-31=-3,

a3-a2=-3,

ag-a7=-3,

進(jìn)行疊加：a8-ai=-3X7,

a§=-21+1=-22,

故選C；

3.若AABC外接圓的面積為25n,則.小黑：行小=()

sin(A+B)+sin(B+C)

A.5B.10C.15D.20

【考點(diǎn)】正弦定理：運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值.

【分析】由已知及圓的面積公式可求三角形的外接圓的半徑為R,由正弦定理可得

AB=10sinC,BC=10sinA,從而利用三角形內(nèi)角和定理化簡所求即可得解.

【解答】解：「△ABC外接圓的面積為25n,

設(shè)三角形的外接圓的半徑為R,則nR2=25n,解得：R=5,

由正弦定理可得：嗎=K=2R=10,

sinCsinA

.\AB=10sinC,BC=10sinA,

?______AB+BC________lOsinC+lOsinA_lO(sinC+sinA)_]0

sin(A+B)+sin(B+C)sinC+sinAsinC+sinA

故選：B.

4.若AABC是邊長為a的正三角形，則標(biāo)?丈二()

A.—a2B.--a2C.a2D.-a2

22

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】根據(jù)屈、前的夾角為120。，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得要求式子的值.

2

【解答】解：???△ABC是邊長為a的正三角形，則標(biāo)?前=a?a?cos=一5一，

故選：B.

5.若等差數(shù)列｛aj的前15項(xiàng)和為5n,則cos(34+312)=()

A.-1B.C.—D.土返

2222

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

__71

【分析】lilS15=^(a1+a15)=^(a4+a^^-5,求出冗，由此能求出

COS(34+ai2)的值.

【解答】解：,??等差數(shù)列凡｝的前15項(xiàng)和為571,

S]5喏⑸+文)吟區(qū)+&12)=5冗，

?X上1T

??aq+a]2一3八,

27TJT冗1

cos(04+212)=cos———二cos(兀一一—)=-cos----=--.

3332

故選：A.

JT1

6.已知cos(a------)=—,則sin2a的值為()

44

7

C.--D.

88

【考點(diǎn)】二倍角的余弦；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值.

TT

【分析】先利用余弦的二倍角公式求得cos[2(a-0)]的值，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式求得答

4

案.

3TTT17JT

【解答】解：cos[2(a----)]=2cos2(a-——)-1=2X(―)2-1=--=cos(2a-----)

44482

=sin2a.

n7

/.sin2a=cos(2a------)--------

28

故選C

7.已知。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，若對(duì)任意kwR有|布+(k-1)而-k枳示-枳，則

△ABC一定是()

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.以上均有可能

【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，在邊BC上任取一點(diǎn)E,連接AE,根據(jù)已知不等式左邊絕對(duì)

值里的幾何意義可得1<前=前，再利用向量的減法運(yùn)算法則化簡，根據(jù)垂線段最短可得AC

與EC垂直，進(jìn)而確定出三角形為直角三角形.

【解答】解：從幾何圖形考慮：

忘-k箴1序I的幾何意義表示：在BC上任取一點(diǎn)E,可得14箴=瓦，

?"-1BA-kBCl=lBA-BEI=IEAI>ICA1'

又點(diǎn)E不論在任何位置都有不等式成立，

???由垂線段最短可得ACLEC,即NC=90。，

則4ABC一定是直角三角形.

故選A

8.在三視圖如圖的多面體中，最大的一個(gè)面的面積為()

△K

/年圖角觀圖

可

A.2yB.娓C.3D.2泥

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【分析】由三視圖知該幾何體是三棱錐，由三視圖和勾股定理求出棱長，由棱長的大小判斷

出面積最大的面，由余弦定理、三角形的面積公式求出最大面的面積.

【解答】解：由三視圖可知幾何體是三棱錐，如圖所示，

且PD，平面ABC,D是AC的中點(diǎn)，PD=2,

底面是等腰直角三角形，AC=BC=2、AC1BC,

PA=PC=BD=^22+1AB=20

2222=3

貝IjPB-^PD+BD=^2+（V5）,

棱長PB最大，其次AB,

則aPAB的面積是各個(gè)面中面積最大的一個(gè)面,

在4PAB中，由余弦定理得COSNABP=AB2+PB2-AP2

2-AB-PB

8+9-5

=2X2V2X3=T'

兀

VO<ZABP<n,；./ABP=—，

4

則4PAB的面積S=^?AB?PB?sinNABF=￡x2j^X3X§=3,

乙乙乙

故選：C.

9.己知向量:=（3,-2）,芯=（X,y-1）且彳〃E，若x,y均為正數(shù)，則之+2的最小值

xy

是（）

A.2B.—C.8D.24

33

【考點(diǎn)】基本不等式；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示.

【分析】利用向量共線定理可得2x+3y=3,再利用〃乘1法”和基本不等式即可得出.

【解答】解：I］石，A-2x-3（y-1）=0,化為2x+3y=3,_______

.,.-+-=-5-（2x+3y）（-4^-）=v（12+—+^）淮（12+2戶但）=8,當(dāng)且僅當(dāng)

xy3xy3xy3Vxy

2x=3y=1?時(shí)取等號(hào).

?.?之+2的最小值是8.

xy

故選：c.

10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD是邊長為2的為正

方形，側(cè)面PAD，底面ABCD,M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP=MC,則點(diǎn)M

在正方形ABCD內(nèi)的軌跡的長度為()

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【分析】先找符合條件的特殊位置，然后根據(jù)符號(hào)條件的軌跡為線段PC的垂直平分面與平

面AC的交線得到M的軌跡，再由勾股定理求得答案.

【解答】解：根據(jù)題意可知PD=DC,則點(diǎn)D符合"M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

MP=MC"

設(shè)AB的中點(diǎn)為E,根據(jù)題目條件可知4PAE絲Z\CBE,

，PE=CE,點(diǎn)E也符合"M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP=MC"

故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡肯定過點(diǎn)D和點(diǎn)E,

而到點(diǎn)P與到點(diǎn)C的距離相等的點(diǎn)為線段PC的垂直平分面，

線段PC的垂直平分面與平面AC的交線是一直線，，M的軌跡為線段DE.

VAD=2,AE=1,/.DE=^22+12=V5-

11.給定正數(shù)p,q,a,b,c,其中p￥q,若p,a,q是等比數(shù)列，p,b,c,q是等差數(shù)列,

則一元二次方程bx2-2ax+c=0()

A.無實(shí)根B.有兩個(gè)相等實(shí)根

C.有兩個(gè)同號(hào)相異實(shí)根D.有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì).

【分析】先由p,a,q是等比數(shù)列，p,b,c,q是等差數(shù)列，確定a、b、c與p、q的關(guān)系,

再判斷一元二次方程bx2-2ax+c=0判別式4=422-4bc的符號(hào)，決定根的情況即可得答案.

【解答】解：：p,a,q是等比數(shù)列，p,b,c,q是等差數(shù)列

.*.a2=pq,b+c=p+q.解得b=―——~,C---;

33

/.△=(-2a)2-4bc=4a2-4bc=4pq-—(2p+q)(p+2q)

__82_82,16__8z2_,2—8、2

--7-p-7-q+kPq-7-(p29prqx+q—((P-q)

yyyyy

又；p關(guān)q,，--|-(p-q)2<0,即△<(),原方程無實(shí)根.

故選A.

12.正方體ABCD-A|BiC]D|中，M,N,Q分別是棱DQi，AQi，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在

對(duì)角線BD]上，給出以下命題：

①當(dāng)P在BDi上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有MN〃面APC；

BPo

②若A,P,M三點(diǎn)共線，則而一=爭

BP9

③若西'爭則C]Q〃面APC；

④若過點(diǎn)P且與正方體的十二條棱所成的角都相等的直線有m條；過點(diǎn)P且與直線AB）

和A?所成的角都為60。的直線有n條,則m+n=7.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【分析】①利用三角形中位線定理、正方體的性質(zhì)可得MN〃AC,再利用線面平行的判定

定理即可判斷出正誤；

npnH1

②若A,P,M三點(diǎn)共線，由D]M〃AB,由平行線的性質(zhì)可得，」_=_即可判

BPAB2

斷出正誤；

BPO

③若麗「多由②可得：A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)對(duì)角線BDnAC=O,可得四邊形OQJM

是平行四邊形，于是C|Q〃OM,即可判斷出正誤.

④若過點(diǎn)P且與正方體的十二條棱所成的角都相等的直線有AiC,DiB,AC1，DB|,4條.過

點(diǎn)P且與直線ABi和A,C,所成的角都為60。的直線有且只有2條，即可判斷出正誤.

【解答】解：①；M,N,分別是棱D|C"A|Di的中點(diǎn)，

；.MN〃A|Ci〃AC,MNC平面APC,ACu平面APC,

...當(dāng)P在BDi上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有MN〃面APC,正確；

②若A,P,M三點(diǎn)共線，②若A,P,M三點(diǎn)共線，由D]M〃AB,

BP9

③若茄7二爭由②可得：A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)對(duì)角線BDnAC=O,連接OM,OQ,

則四邊形OQJM是平行四邊形，

，C]Q〃OM,

而M點(diǎn)在平面APC內(nèi),

...C|Q〃平面APC相交，因此正確；

④若過點(diǎn)P且與正方體的十二條棱所成的角都相等的直線有ACD|B,ACi，DB),4條.

連接BQ,A]C]〃AC,由正方體的性質(zhì)可得AABiC是等邊三角形，則點(diǎn)P取點(diǎn)D|,則直

線AD|,CD]滿足條件，

過點(diǎn)P且與直線AB,和A,C]所成的角都為60。的直線有且只有2條，過P且與直線AB1

和AQ1所成的角都為60。的直線有n條，則m+n=6條，因此不正確.

其中正確命題為①②③，其個(gè)數(shù)為3.

二、填空題：(本大題5個(gè)小題，每小題5分，共20分)

13.cos140°+2sin130°sin10°=-.

一2~

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值.

【分析】利用誘導(dǎo)公式，積化和差公式，特殊角的三角函數(shù)值化簡即可得解.

【解答】解：cosl40°+2sinl30°sinl0°

=cos(90°+50°)+2sin(90°+40°)sin(90°-80°)

=-sin50°+2cos40°cos80°

=-cos40°+2Xy[cosl200+cos(-40°)]

=-cos40°+(-—)+cos400

2

二-—1—

2,

故答案為：

2

14.如圖，動(dòng)物園要圍成四間相同面積的長方形虎籠，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼

筋網(wǎng)圍成，設(shè)每間虎籠的長為xm,寬為ym,現(xiàn)有36m長的鋼筋網(wǎng)材料，為使每間虎籠面

積最大，則三=_■

y2'

【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用.

【分析】設(shè)出每間虎籠的長和寬，利用周長為定值，根據(jù)基本不等式，求出面積最大時(shí)的長

與寬的值.

【解答】解：設(shè)每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為xm,ym時(shí)，可使每間虎籠的面積最大,

則4x+6y=36,S=xy.

V4x+6y=36,A2x+3y=18,

由基本不等式，得1822y2x，3y，

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y=9,即x=4.5m,y=3m時(shí),S取得最大值票,

?

??一x—_——3—?

y2

故答案為：

2

15.如圖，正四棱錐P-ABCD的體積為2,底面積為6,E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則直線BE

與平面PAC所成的角為60°.

【考點(diǎn)】直線與平面所成的角.

【分析】在正四棱錐中，連接AC,BD,交于O,連接PO,則POL平面ABCD得到NBEO

是直線BE與平面PAC所成的角，根據(jù)條件結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解答】解：在正四棱錐P-ABCD中，連接AC,BD,交于O

連接PO，則POL平面ABCD,

則在正四棱錐中，BO_L平面PAC,

則連接OE,DE,

則ZBEO是直線BE與平面PAC所成的角，

?.?正四棱錐P-ABCD的體積為2,底面積為6,

?'?V《X6?PO=2,則高PO=1,

?.?底面積為6,；.BC=&,OC=OB=V3>

則側(cè)棱PB=PC=4]+（付2=括2,

???E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，.?.取OC的中點(diǎn)H,

則EH±OC,

則EH=*PO=],OH=4OC

貝22=

ljOE=1/OH+EH

在直角三角形BOE中，tan/BEO=*1w^

0E1

則NBEO=60。,

故答案為：60°

16.已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，給出以下結(jié)論：

2

①若a-2b+3c=0,則"的最小值是3；

ac

②若a+2b+2ab=8,則a+2b的最小值是4；

③若a(a+b+c)+bc=4,貝?。?a+b+c的最小是2加；

④若a2+b2+c2=4,則泥ab+&bc的最大值是2

其中正確結(jié)論的序號(hào)是①3④.

【考點(diǎn)】基本不等式.

【分析】變形，利用基本不等式，分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

22

【解答】解：①若a-2b+3c=0,則2b=a+3c》2怎.?.b2\3ac,.23,.的最

acac

小值是3,正確；

2

②設(shè)t=a+2b,則t>0,由a+2b+2ab=8得2ab=8-(a+2b)C)2,即8-tW上一,整

理得t2+4t-32N0,解得tN4或tW-8(舍去)，即a+2b》4,所以a+2b的最小值是4.正

確；

③；a,b,c>0,/.a+c>0,a+b>0,Va(a+b+c)+bc=a(a+b)+ac+bc=a(a+b)+c(a+b)

=(a+c)(a+b)=4,2a+b+c=(a+b)+(a+c)22M(a+c)(a+b)=4,；.2a+b+c的最小值為

4,不正確；

(4)^a2+b2+c2=4,貝ij4=a?+申b2+申b2+c2》2^^ab+2^^bc,.,.加ab+亞bcW2?\/7，.?.娓

ab+J^bc的最大值是26，正確

綜上所述，正確結(jié)論的序號(hào)是①②④.

故答案為：①②④.

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分)

17.在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知向量(a+c,b)與向量嗝=

(a-c,b-a)互相垂直.

(1)求角C；

(2)求sinA+sinB的取值范圍.

【考點(diǎn)】余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.

【分析】(1)由7,三，得(a+c)(a-c)+b(b-a)=0化簡整理得a?+b2-c?=ab代入余弦

定理即可求得cosC,結(jié)合C的范圍進(jìn)而求得C.

(2)由第二問得到的A與B的關(guān)系式，用A表示出B,代入所求的式子中，利用兩角和與

差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化

為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍，求出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，可得出所求式子的范圍.

【解答】解：(1)由已知可得：(a+c)(a-c)+b(b-a)=0=>a2+b2-c2=ab>

a2b2-c21

:------+--------------——,

2ab2

V0<C<n,

,、K

(2)VC=^

.2兀

??A+B=W-，

22兀2打

sinA+sinB=sinA+sin(-7—_A)=sinA+sin——cosA-cos-sinA

0o3

=-l-sinA+^-cosA=V3("^■sinA+4'cosA)=V3sin(A+^~),

ZZZZo

???3<AS</=4<sin(A+3)4l，

66626

/.2^.<sinA+sinB=^/3sin(A+-^-)^5/3.

則sinA+sinB的取值范圍是(區(qū)，?].

18.如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是平行四邊形，

(1)求證：BD〃截面PQMN；

(2)若截面PQMN是正方形，求異面直線PM與BD所成的角.

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面平行的判定.

【分析】(1)利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可證明.

(2)由(1)的證明知PN〃BD,可得/NPM(或其補(bǔ)角)是異面直線PM與BD所成的角.再

利用正方形的性質(zhì)即可得出.

【解答】(1)證明：?.,截面PQMN是平行四邊形，，PN〃QM,又PNQ平面BCD,QMc

平面BCD今PN〃平面BCD.

?；PNu平面ABD,平面ABDri平面BCD=BD=PN〃BD,

?.?PNu截面PQMN,BDC截面PQMN,；.BD〃截面PQMN.

(2)解：由(1)的證明知PN〃BD,.?.NNPM(或其補(bǔ)角)是異面直線PM與BD所成的

角.

?.,截面PQMN是正方形，ZNPM=45".

.?.異面直線PM與BD所成的角是45°.

19.已知數(shù)列｛aj的前項(xiàng)和為Sn.若a】=l,an=3Sn.i+4(n22).

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

bn

a,其中nWN+,記數(shù)列｛/｝的前項(xiàng)和為Tn.求Tn+哼的值.

(2)令bn=log2-^t?>C=--T7

7n2n+12n

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.

S],n=l

【分析】(l)根據(jù)題意和an.,分別列出式子化簡、驗(yàn)證后求出an；

ssn，2

n_n-p

b

(2)由(1)化簡和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡b產(chǎn)log20坦代入Cn=f化簡，利用錯(cuò)位相減

72n+I

法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出前n項(xiàng)和Tn，即可求出答案.

【解答】解：⑴由題意得,a!=l,an=3Sn-i+4(n22),

當(dāng)n=2時(shí)，a2=3Si+4=7,

當(dāng)n22時(shí)，由a1]=3Sn-i+4(n22),得an+i=3Sn+4,

兩式相減得,an+i=4an(n22),

?,?數(shù)列｛aj從第二項(xiàng)起是以4為公比、7為首項(xiàng)的等比數(shù)歹U,

則an=a2*4n-2=7X4“-2(22),此時(shí)對(duì)n=l不成立，

'1,n=l

7X4^2,n>2

(2)由(1)得，bn=log2^^=logj"=2n,

①一②得,亂奪旨導(dǎo)…方一*

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,ZDAB=Z

ABC=90°,E是CD的中點(diǎn).

（1）證明：CD,平面PAE；

（2）若直線PB與平面PAE所成的角和直線PB與平面ABCD所成的角相等，求二面角P

-CD-A的正切值.

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定.

【分析】（1）連接AC,推導(dǎo)出CDLAE,PA_LCD,由此能證明CD,平面PAE.

（2）推導(dǎo)出NPEA是二面角的平面角，

過點(diǎn)B作BG//CD,分別與AE,AD相交于F,G,連接PF，由此能求出

NBPF為直線PB與平面PAE所成的角.且BG1AE.由此能求出二面角P-

CD-A的正切值.

【解答】證明：（1）連接AC,由AB=4,BC=3,ZABC=90°,得AC=5.

又AD=5,E是CD的中點(diǎn)，.'CDLAE.

?；PAJ_平面ABCD,CDu平面ABCD,APA±CD.

而PAPlAE=A，，CD，平面PAE.

解：（2）平面PAE,/PEA是二面角的平面角，

過點(diǎn)B作BG//CD,分別與AE,AD相交于F,G,連接PF.

由（1）知，BGJ_平面PAE,

NBPF為直線PB與平面PAE所成的角.且BG1AE.

由PA1平面ABCD知，NPBA為直線PB與平面ABCD所成的角.

由題意知ZPBA=ZBPF>.-.RtAPBA^RtABPF,.\PA=BF.

YBCDG是平行四邊形.GD=BC=3,.\AG=2.

???AB=4,BG_LAF,.“GTAB莓『=2加，

于J是DBrF星BG斗2V5晅5”rA醫(yī)5.

又CD=BG=2^§，.?.CE=V5，AE=7AC2-CE2=2A/5-

PA4

???tan/PEA=笠T，

AE5

二面角P-CD-A的正切值是

21.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.

(1)若f(x)>0的解集為{x|-3VxV4},解關(guān)于x的不等式bx2+2ax-(c+3b)<0.

(2)若對(duì)任意x￡R,不等式f(x)22ax+b恒成立，求■的最大值.

a+c

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】(1)利用f(x)>0的解集為{x|-3<x<4},得出a,b,c的關(guān)系，再解關(guān)于x

的不等式bx2+2ax-(c+3b)<0.

(2)若對(duì)任意x￡R,不等式f(x)22ax+b恒成立，得出

fa>0'a>02

仔k丁的最大值?

O99,，即可求

△二(b_2a)2_4a(c-b)40bz+4az-4ac<0a%/

【解答】解：(1)???ax2+bx+c>0的解集為{x|-3VxV4},

.,.a<0,-3+4=-—,-3X4—_a,c=-12a(a<C0L

aa

Abx2+2ax-(c+3b)VOq-ax2+2ax+15a<0(a<0)=x2-2x-15<0,

???解集為(-3,5).

(2)Vf(x)^2ax+b?ax2+(b-2a)x+c-b20恒成立，

'a〉0(a〉0

=(

A=(b-2a)2-4a(c-b)=C0b2+4a2-4ac40

2

b,4a(c-a)a

.*.0^b2^4a(c-a),

2,22

a+c

1+(-)

a

令V4a(c-a)^b2^0,.\c>a>0=>—>l=>t^0.

a

2

b<：----4-t---------4t---

a2+c2、l+(t+l)2t2+2t+2

,4t

令g(t)=-5------(t^O).

t.2t+2

4

4

當(dāng)t=0時(shí)，g(0)=0,當(dāng)t>0時(shí)，g(t)=2<—7=—=2如-2,

療+2272+2

k2—

的最大值為2g-2.

a'+c”

22.函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意a,|3GR,都有f(a。)=af(B)+町(a),且f(2)=2,數(shù)

n

列｛an｝滿足an=f(2)(nSN+).

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

aabn1

(2)令bn=—1),Cn=11,記Tn=—(ci+c2+...+cn)(n￡N+).問：是否存在正

nnbn+ln

整數(shù)M,使得當(dāng)n>M時(shí)，不等式1-<冬恒成立？若存在，寫出一個(gè)滿足條件的M；

42

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的應(yīng)用.

【分析】(1)通過代入計(jì)算可知an+i=2an+2n+L進(jìn)而通過構(gòu)造出首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)

列｛』｝,計(jì)算即得結(jié)論;

2n

(2)通過⑴可知-/二1—7T>通過放縮可知?-5<<：巾2+...+.<?(n>2),

44(2~1)474

9100

利用等價(jià)條件可n>2—=146］，進(jìn)而整理即得結(jié)論.

77

【解答】解：⑴???數(shù)列｛aj滿足a『f⑵)(nSN+),

.,.ai=f(2)=2,

又?.?對(duì)任意a,peR,都有f(即)=af(p)+pf(a),

n+1nnn+1

.".an+i=f(2)=2f(2)+2f(2)=2an+2,

兩邊同時(shí)除以2什1得:

2n

a

...數(shù)歹心上n｝是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)歹u,

ann

--=n,BPan=n*2；

2n

(2)由(1)可知，bn=M(^2.-1)=2n(2n-1),

nn

I2n(2n-l)2n+1-2111

%+12n+1(2n+1-l)4(2n+1-1)44(2n+1-1)4

/.Ci+C2+...+C<—,

n4

.._1____I____1__1__1____I____

?Cn44(2-1-1)48-2n-447-2n+2n-4

1^->----1(n>2),

7-2n+2n-447-2n

H)

.?.ci+c2+...+cn>—-—-------^2_=n-L---1(n>2),

47,1477'2n47

1-T

—-—<Ci+C2+...+c<—(n>2),

47n4

1110n

?..不等式|Tn-<一直1恒成立等價(jià)于3<一仃1，等價(jià)于n>2_Q=1464-

42in27?

存在正整數(shù)M=146(或147,148,149,...),使得不等式Tn-恒成立.

42

2020-2021學(xué)年XXX學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

高一數(shù)學(xué)（理科）

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1、設(shè)。、b>ceR,且力，則（）

A、a2>b2B、-<yC,lga>lgbD、2~a<Tb

ab

2、下列說法不正確的是（）

A、有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰的兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾

何體叫棱柱

3、圓錐的過軸的截面是一個(gè)等腰三角形

C、直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐

。、圓臺(tái)平行于底面的截面是圓面

3、設(shè)加、〃是兩條不同的直線，a、，是兩個(gè)不同的平面，則（)

A>若加〃a,nilay則B、若milaymHp,則a〃/?

C、若〃2〃〃，〃-La,則加JLaD、若"?〃a,a_L/?,W>JmVp

4、下列各式中，值為1的是()

2

2乃.2""

A>sinl50-cosl5"B、cos---sin—

1212

,71

Ctan22S1+cos

、1-W22.50D、6

2

5、在銳角三角形中，角A、B所對(duì)的邊分別為a、匕，若2asinB=，則角A等于（）

71兀%或，

A、—D、

6-744

6、已知平面向量。=（1,2）,萬=（一2,加），且?！?，則實(shí)數(shù)m的值為（）

A、18、4C、-1D、-4

7、