3.7直線與圓的位置關(guān)系（B卷能力拓展）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）

3.7直線與圓的位置關(guān)系學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、填空題1．已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是_____________．【答案】【分析】根據(jù)題意，找到當(dāng)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，最大，作出相應(yīng)輔助線，可得出，，再由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得，根據(jù)切線定理確定四邊形PCOH為矩形，最后根據(jù)勾股定理即可得出．【詳解】過點(diǎn)A、B作⊙P，⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，最大，連接PA、PB、PC，作PH⊥y軸于H，如圖，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），∴，，∵PH⊥AB，∴，∴，∵點(diǎn)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C，∴PC⊥x軸，∴四邊形PCOH為矩形，∴，∴，在中，，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為．【點(diǎn)睛】題目主要考查隱圓模型，涉及知識(shí)點(diǎn)包括直線與圓的位置關(guān)系、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等，理解題意，找準(zhǔn)當(dāng)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，最大，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．2．如圖，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC、BD為切線，AC＝1，BD＝2，P為上一動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PD的最小值為__________．【答案】【分析】取CO中點(diǎn)M，利用相似三角形的判定和性質(zhì)推出，利用勾股定理即可計(jì)算求解．【詳解】解：連接CO、OP，取CO中點(diǎn)M，連接DM，PM，∵OA=AC=1，AC是切線，∴∠CAO=90°，∴CO=，∴OM=，∴，∠POM=∠COP，∴，∴，∴，∴，過M作MH⊥BD于H，MN⊥AB于N，∴，MN=，∴，∵BD是切線，BD=2，∴∠ABD=90°，∴四邊形MNBH為矩形，∴，BH=MN=，，∴∴，即最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是取CO中點(diǎn)M，利用相似三角形的性質(zhì)求解．3．（2021·江蘇·宜興市中考二模）如圖，中，，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，沿將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以為半徑的與的一邊相切時(shí)，的長為______．【答案】或【分析】設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，，則，由勾股定理可以求得，，，，由以為半徑的與的一邊相切，可分為兩種情況，與相切或相切，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，，，則由勾股定理得，即，解得即，由勾股定理得∴由勾股定理得由以為半徑的與的一邊相切，可分為兩種情況，與相切或相切∵，∴不可能與相切當(dāng)與相切，如下圖：則，∴∴∴設(shè)，則，則解得，即當(dāng)與相切時(shí)，如下圖：則，∴∴設(shè)，則，則解得，即故答案為或【點(diǎn)睛】此題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021—2022江蘇無錫市九年級(jí)期中）已知∠AOB＝60°，半徑為3cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng)，與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C．⊙P移動(dòng)到與邊OB相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若EF＝4cm，則OC的長是_____．【答案】cm【分析】分兩種情況分析，①當(dāng)P在∠AOB內(nèi)部，根據(jù)⊙P移動(dòng)到與邊OB相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，利用垂徑定理得出EF＝4cm，得出EM＝2cm，進(jìn)而得出OC的長．②當(dāng)P在∠AOB外部，連接PF，PC，PC交EF于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：可分兩種情況，①如圖1，當(dāng)P在∠AOB內(nèi)部，連接PE，PC，過點(diǎn)P做PM⊥EF于點(diǎn)M，延長CP交OB于點(diǎn)N，∵EF＝4cm，∴EM＝2cm，在Rt△EPM中，PM＝cm，∵∠AOB＝60°，∴∠PNM＝30°，∴PN＝2PM＝2cm，∴NC＝PN＋PC＝5cm，在Rt△OCN中，OC＝NC×tan30°＝5×＝cm．②如圖2，當(dāng)P在∠AOB外部，連接PF，PC，PC交EF于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，由①可知，PN＝2cm，∴NC＝PC?PN＝1cm，在Rt△OCN中，OC＝NC×tan30°＝1×＝cm．綜上所述，OC的長為cm或cm．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及垂徑定理，運(yùn)用分類思想進(jìn)行討論是解決問題的關(guān)鍵．5．（2021·山東·濟(jì)寧中考二模）如圖，中，，，點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)D，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)（包括端點(diǎn)），若使為直角三角形的點(diǎn)F恰好有三個(gè)，則的長為__________．【答案】2【分析】如圖，當(dāng)D，E分別為直角頂點(diǎn)時(shí)，一定存在兩個(gè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2滿足條件．以DE為直徑作圓，當(dāng)圓與直線AB相切時(shí)，存在一個(gè)點(diǎn)F，使得∠DFE＝90°，此時(shí)CD＝AD＝2，觀察圖象可知，滿足條件的CD的值為CD=2．當(dāng)時(shí)，觀察滿足條件的F；當(dāng)時(shí)，觀察滿足條件的F；當(dāng)點(diǎn)D與A重合時(shí)觀察滿足條件的F，觀察滿足條件的F．【詳解】解：如圖，當(dāng)D，E分別為直角頂點(diǎn)時(shí)，一定存在兩個(gè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2滿足條件．

以DE為直徑作圓，當(dāng)圓與直線AB相切時(shí)，存在一個(gè)點(diǎn)F，使得∠DFE＝90°，此時(shí)CD＝AD＝2，

∴當(dāng)CD＝2時(shí)使為直角三角形的點(diǎn)F恰好有三個(gè)；當(dāng)時(shí)，如圖：使為直角三角形的點(diǎn)F只有二個(gè)；當(dāng)時(shí)，如圖，使為直角三角形的點(diǎn)F有四個(gè)；當(dāng)時(shí)，如圖使為直角三角形的點(diǎn)F只有二個(gè)；綜上，當(dāng)CD＝2時(shí)使為直角三角形的點(diǎn)F恰好有三個(gè)；故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．6．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝1，BD＝3．點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為1的⊙P與△ABC的一邊相切時(shí)，AP的長為___．【答案】或或．【分析】根據(jù)勾股定理得到AB，AD，當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，過P作PH⊥BC于H，求得PH，當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，⊙P與△ABC的AC邊相切時(shí)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BD+CD＝4，∴AB＝5，在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝3，CD＝1，∴AD＝，當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離＝1，過P作PH⊥BC于H

則PH＝1，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴，∴，∴PD＝，∴AP＝；當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離＝1，過P作PG⊥AB于G，過D作DN⊥AB于N，則PG＝1，∵∴∴∵PG⊥AB，DN⊥AB∴GP∥DN，∴△AGP∽△AND，∴，∴，∴AP＝，當(dāng)半徑為1的⊙P與△ABC的AC邊相切，過P作PM⊥AC于M，

∴PM＝1，∴，∴，∴AP，綜上所述，AP的長為或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，，過點(diǎn)A作BC的平行線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點(diǎn)，則AE的最小值為___．【答案】1【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC＝120°，由此推出點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接O'A交于E′，此時(shí)AE′的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接CE．∵APBC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接O'A交于E′，此時(shí)AE′的值最?。藭r(shí)⊙O與⊙O'交點(diǎn)為E'．∵∠BE'C＝120°∴所對(duì)圓周角為60°，∴∠BOC＝2×60°＝120°，∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，∴O′B＝O′C＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO'＝90°∴O'A＝，∴AE′＝O'A?O'E′＝5?4＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題．二、解答題8．（2021—2022江蘇東臺(tái)九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線分別交AB，AC的延長線于E，F(xiàn)，連接BD．（1）求證：AF⊥EF；（2）若，CF=2，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）5【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)和已知條件可證得，則可證得結(jié)論；（2）過作于點(diǎn)，連接，則可證得、，則可求得的長，可求得圓的半徑．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，是的切線，且點(diǎn)在上，，，，平分，，，，；（2）解：如圖2，過作于點(diǎn)，連接，，，，，，在和中，同理可得，，，，的半徑．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握過切點(diǎn)的半徑與切線垂直，注意全等三角形的應(yīng)用．9．（2021·湖北荊門·中考真題）某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛海里后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B處北偏東方向上．（1）求A，P之間的距離AP；（2）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．如果有觸礁危險(xiǎn)，那么海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域？【答案】（1）；（2）海監(jiān)船由B處開始沿南偏東小于的方向航行能安全通過這一海域【分析】(1)如圖1,作，交AB的延長線于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三角形APC計(jì)算即可;(2)作差比較x與r的大小，判斷有危險(xiǎn)；以P為圓心，半徑r為作圓，作圓的切線計(jì)算∠PBD的大小，從而得到∠CBD的大小，從而判斷即可.【詳解】解：（1）如圖1，作，交AB的延長線于C，由題意知：，．設(shè)：則，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意，；（2），．因此海監(jiān)船繼續(xù)向東航行有觸礁危險(xiǎn)；設(shè)海監(jiān)船無觸礁危險(xiǎn)的新航線為射線BD，以為圓心，為半徑作圓，過作圓P的切線交于點(diǎn)D，∴∠PDB=90°，由（1）得：∴，∴∠PBD=60°，∴∠CBD=15°，∴海監(jiān)船由B處開始沿南偏東小于的方向航行能安全通過這一海域．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，圓的切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活解直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2021·陜西·西安市中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是⊙O的內(nèi)接三角形，，為⊙O的直徑，過點(diǎn)作⊙O的切線，與的延長線相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若⊙O的半徑，，求的長．【答案】（1）見解答；（2）【分析】（1）連接，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)圓周角定理得到，所以，然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于，如圖，利用圓周角定理得到，，，則可判斷和都是等腰直角三角形，于是可計(jì)算出，利用勾股定理計(jì)算出，則，接著證明，利用相似比得到，設(shè)，，所以，解方程求出，從而得到的長．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵為的切線，∴，∴，∵，∴，∴；（2）過點(diǎn)作于，如圖，∵為的直徑，∴，∵，∴，，∴和都是等腰直角三角形，∴，，在中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)為方程的解，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．11．（2021—2022江蘇錫山九年級(jí)期中）如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿AB邊向終點(diǎn)A以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C→B→A向終點(diǎn)A以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．解答下列問題：（1）若Q在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t=秒時(shí)，PQ的長為cm？（2）如圖2，以P為圓心，PQ長為半徑作⊙P，在整個(gè)過程中，是否存在這樣的t的值，使⊙P正好與△ABD的一邊（或所在的直線）相切？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）2；（2）存在，t的值為秒或秒或秒【分析】（1）由題意得BP＝t，CQ＝3t，則AP＝6?t，BQ＝BC?CQ＝8?3t，在Rt△BCP中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）分情況討論：①若與BD相切，過P作PK⊥BD于K，則∠PKB＝90°，PK＝PQ＝PB?BQ＝t?（3t?8）＝8?2t，證△PBK∽△DBA，得，即可得出答案；②若與AD相切，Q在BC上，PQ＝PA，Q在BC上，則PQ＝PA＝6?t，在Rt△PBQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可；③若與AD相切，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中Q先到A點(diǎn)時(shí)，此時(shí)t＝；④若與AD相切，當(dāng)點(diǎn)Q未到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，則PA＝PQ，得6?t＝t?（3t?8），解得t＝2，舍去；即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意得：BP＝t，CQ＝3t，則AP＝6?t，BQ＝BC?CQ＝8?3t，∵四邊形ABCD是矩形，∴，在Rt△BCP中，由勾股定理得：，即，解得：或（不符合題意舍去），∴（2）①若與BD相切，過P作PK⊥BD于K，如圖所示：則∠PKB＝90°，PK＝PQ＝PB﹣BQ＝t﹣（3t﹣8）＝8﹣2t，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°＝∠PKB，AD＝BC＝8，∴BD＝10，∵∠PBK＝∠DBA，∴△PBK∽△DBA，∴，即，解得：t＝，②若與AD相切，Q在BC上，PQ＝PA，Q在BC上，如圖所示：則PQ＝PA＝6﹣t，在Rt△PBQ中，由勾股定理得：t2+（8﹣3t）2＝（6﹣t）2，解得：t＝，或t＝（不合題意舍去），∴t＝，③若與AD相切，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中Q先到A點(diǎn)時(shí)，如圖所示：此時(shí)t＝，∴⊙P的半徑為，④若與AD