2024-2025學年高一數(shù)學必修第一冊（配湘教版）教學課件 5.1.2 弧度制

第5章三角函數(shù)5.1.2弧度制課標要求1.了解弧度制,體會引入弧度制的必要性.2.能進行弧度與角度的互化,熟悉特殊角的弧度數(shù).3.掌握弧度制中扇形的弧長和面積公式,會應用公式解決簡單的問題.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點一度量角的兩種單位制角度制定義用“

”作為單位來度量角的單位制

1度的角把周角分成360等份,每一份叫作1度的角弧度制定義以“

”為單位來度量角的單位制

1弧度的角長度等于

的弧所對的圓心角叫作1弧度的角,1弧度記作1

度弧度半徑長rad過關自診在大小不同的圓中,長度為1的弧所對的圓心角相等嗎?提示

不相等.因為弧長等于1,在大小不同的圓中,由于半徑不同,圓心角也不同.知識點二弧度數(shù)的計算與互化1.弧度數(shù)的計算(1)正角的弧度數(shù)是一個

.

(2)負角的弧度數(shù)是一個

.

(3)零角的弧度數(shù)是

.

(4)如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|=

.

正數(shù)負數(shù)02.角度制與弧度制的換算

3.一些特殊角與弧度數(shù)的對應關系

過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小無關.(

)(2)160°化為弧度數(shù)是

π

rad.(

)√√2.下列換算結果錯誤的是(

)C知識點三扇形的弧長和面積公式設扇形的半徑為r,弧長為l,α為其圓心角且α=xrad,則

扇形x為弧度數(shù)扇形的弧長l=|x|r扇形的面積過關自診設扇形的弧長為18cm,半徑為12cm,求這個扇形的面積.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一弧度制的概念【例1】

(多選題)下列說法中正確的是(

)A.弧度角與實數(shù)之間建立了一一對應的關系C.根據(jù)弧度的定義,180°一定等于π弧度D.無論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑的大小有關ABC解析

無論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑的大小無關,而是與弧長和半徑的比值有關,故D項錯誤.規(guī)律方法

1.用角度制和弧度制度量零角,單位不同,但數(shù)量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,單位不同,數(shù)量也不同.2.以弧度為單位表示角的大小時,“弧度”或“rad”通常省略不寫,但以度為單位表示角的大小時,“度”或“°”不能省去.3.以弧度為單位度量角時,常把弧度數(shù)寫成nπ(n∈R)的形式.若無特別要求,不必把π寫成小數(shù),如45°=rad,不必寫成45°≈0.785

rad.變式訓練1下列說法正確的是(

)A.1弧度是長度等于半徑的弧B.1弧度是1°的圓心角所對的弧C.1弧度是長度等于半徑的圓弧所對的圓心角D.1弧度等于1°C解析

1弧度角的定義:長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫作1弧度的角.由題意可知,只有C正確.探究點二角度與弧度的互化與應用【例2】

(1)①將112°30'化為弧度為

.

-75°規(guī)律方法

角度制與弧度制互化的關鍵與方法(1)關鍵:抓住互化公式π

rad=180°是關鍵;(3)角度化弧度時,應先將分、秒化成度,再化成弧度.變式訓練2(1)將-157°30'化成弧度為

.

-396°探究點三用弧度表示角或范圍【例3】

用弧度表示終邊落在圖中所示陰影部分內(不包括邊界)的角的集合.規(guī)律方法

用弧度制表示角應注意的問題:(1)用弧度表示區(qū)域角,實質是角度表示區(qū)域角在弧度制下的應用,必要時,需進行角度與弧度的換算.注意單位要統(tǒng)一,角度數(shù)與弧度數(shù)不能混用.(2)在表示角的集合時,可以先寫出一周角范圍(如-π~π,0~2π)內的角,再加上2kπ,k∈Z.(3)終邊在同一直線上的角的集合可以合并為{x|x=α+kπ,k∈Z};終邊在相互垂直的兩直線上的角的集合可以合并為

,在進行區(qū)間的合并時,一定要做到準確無誤.變式訓練3以弧度為單位,寫出終邊落在直線y=-x上的角的集合.探究點四弧長公式與扇形面積公式的應用【例4】

(1)已知扇形的周長為8cm,圓心角為2,求該扇形的面積;解

設扇形的半徑為r

cm,弧長為l

cm,由圓心角為2

rad,依據(jù)弧長公式可得l=2r,從而扇形的周長為l+2r=4r=8,解得r=2,則l=4.(2)已知扇形的周長為10cm,面積等于4cm2,求其圓心角的弧度數(shù).變式探究本例(1)中,將條件“圓心角為2”去掉,求扇形面積的最大值.規(guī)律方法

弧度制下有關弧長、扇形面積問題的解題策略(1)扇形的弧長公式和面積公式涉及四個量:面積S,弧長l,圓心角α,半徑r,已知其中的三個量一定能求得第四個量(通過方程求得),已知其中的兩個量能求得剩余的兩個量(通過方程組求得).(2)在研究有關扇形的相關量的最值時,往往轉化為二次函數(shù)的最值問題.(3)注意扇形圓心角弧度數(shù)的取值范圍是(0,2π),實際問題中注意根據(jù)這一范圍進行取舍.學以致用·隨堂檢測促達標123451.-300°化為弧度是(

)B12345C123453.若2弧度的圓心角所對的弧長是4cm,則這個圓的半徑r=

,圓心角所在的扇形面積是

.

2cm4cm2123454.[2024甘肅隴南高一統(tǒng)考期末]如圖,這是某公園的一條扇形閉合路OAB,其中弧AB所對的圓心角為2.4,OA=OB=80m,則這條扇形閉合路的總長度為

m.

352解析

根據(jù)