2025年上海市春季高考模擬數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

第1頁/共1頁2025屆上海高三春季高考數(shù)學(xué)試卷時(shí)間：120分鐘滿分：150一?填空題：1.已知集合，集合，則____.2.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_________.3.現(xiàn)從甲、乙、丙人中隨機(jī)選派人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則甲被選中的概率為__________.4.若一組數(shù)據(jù)2，3，7，8，a的平均數(shù)為5，則該組數(shù)據(jù)的方差__．5.在平面直角坐標(biāo)系中，若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，且它的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為____.6.設(shè)函數(shù)，若，，成等差數(shù)列（公差不為零），則______.7.已知下列兩個(gè)命題：，不等式恒成立；，有最小值．若兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．8.設(shè)中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓+y2=1有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程是________．9.已知，，求使向量與向量的夾角為銳角的的取值范圍______.10.已知函數(shù)，函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.11.如圖，用一塊形狀為半橢圓的鐵皮截取一個(gè)以短軸為底的等腰梯形，記所得等腰梯形的面積為，則的最小值是______.12.給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：①函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?；②函?shù)在上增函數(shù)；③函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為；④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.其中正確命題序號(hào)是________二?選擇題：13.設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件14關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)②的最大值為2③在有4個(gè)零點(diǎn)④在區(qū)間單調(diào)遞減其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③15.如圖，面為的中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且到直線的距離為則的最大值為A.30° B.60°C.90° D.120°16.已知數(shù)列{an}滿足：an（n∈N*）．若正整數(shù)k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，則k＝（）A.16 B.17 C.18 D.19三?解答題：17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，其中.（1）若，求證：.（2）若，求的值.18.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.19.某化工單位采取新工藝、把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸．最多為600噸，處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元．已知月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為．每噸的平均處理成本．（1）該單位每月處理為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損？20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.21.已知函數(shù)（1）若為極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值．答案詳解一?填空題：1.已知集合，集合，則____.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意可知集合A表示四個(gè)實(shí)數(shù)，而集合B表示非負(fù)實(shí)數(shù)，所以兩個(gè)集合交集為.最后結(jié)果需用集合形式，是解答本類題目的注意點(diǎn).考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.2.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：先由復(fù)數(shù)乘法化為，再由純虛數(shù)的概念得即正確解答本題需正確理解純虛數(shù)概念.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算，純虛數(shù)的概念.3.現(xiàn)從甲、乙、丙人中隨機(jī)選派人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則甲被選中的概率為__________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：從甲、乙、丙人中隨機(jī)選派人，共有甲乙、甲丙、乙丙三種選法，其中甲被選中有甲乙、甲丙兩種選法，所以甲被選中的概率為.枚舉法是求古典概型概率的一個(gè)有效方法.考點(diǎn)：古典概型概率計(jì)算方法.4.若一組數(shù)據(jù)2，3，7，8，a的平均數(shù)為5，則該組數(shù)據(jù)的方差__．【答案】##5.2【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差的公式，運(yùn)算求解．【詳解】由題意可得：，解得a＝5，∴該組數(shù)據(jù)的方差故答案為：．5.在平面直角坐標(biāo)系中，若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，且它的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為____.【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為所以又所以而雙曲線的漸近線方程為即.解答本題需注意雙曲線的焦點(diǎn)位置.考點(diǎn)：雙曲線的漸近線及準(zhǔn)線，拋物線焦點(diǎn).6.設(shè)函數(shù)，若，，成等差數(shù)列（公差不為零），則______.【答案】2【解析】【分析】由題意可得，化簡，代入化簡即可.【詳解】因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，所以，故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及分式的加減運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7.已知下列兩個(gè)命題：，不等式恒成立；，有最小值．若兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】或.【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)恒成立的等價(jià)條件及基本不等式，我們可以求出為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的最值，我們可以求出為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍；根據(jù)兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，我們分真假和假真，兩種情況討論，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：，不等式恒成立；即恒成立；由于的最小值為2，故為真命題時(shí)，，有最小值．表示以為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，且恒成立即，解得故為真命題時(shí)，兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，當(dāng)真假時(shí)，或，，，或，當(dāng)假真時(shí)，這樣的值不存在故實(shí)數(shù)的取值范圍是或故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假，全稱命題，二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值，函數(shù)恒成立問題，基本不等式在求最值時(shí)的應(yīng)用，其中分別求出命題和命題為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍，是解答本題的關(guān)鍵．8.設(shè)中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓+y2=1有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程是________．【答案】2x2﹣2y2=1【解析】【詳解】試題分析：橢圓中，∵中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，∴雙曲線中，∵橢圓的離心率為，橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．∴雙曲線的離心率為，∴雙曲線中，，，∴雙曲線的方程為.考點(diǎn)：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.橢圓的簡單性質(zhì)；3.雙曲線的簡單性質(zhì)．9.已知，，求使向量與向量的夾角為銳角的的取值范圍______.【答案】且【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角為銳角其數(shù)量積大于0，且不同向共線，即可得答案；【詳解】，，，即，又，不共線，∴，∴且.故答案為：且.【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意向量同向共線夾角不為銳角.10.已知函數(shù)，函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的范圍確定的值域和的值域，根據(jù)成立，推出的值域和的值域交集非空，先求二者交集為空集時(shí)的取值范圍，進(jìn)而可求交集非空時(shí)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，即，，當(dāng)時(shí)，，所以，可得在單調(diào)遞增，所以，即，所以的值域?yàn)?，因?yàn)榍?，所以，即，因?yàn)椋?，所以所以的值域?yàn)?，因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以，若，則或，此時(shí)或，所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍是：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，利用了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了利用單調(diào)性研究函數(shù)的值域問題，屬于中檔題.11.如圖，用一塊形狀為半橢圓的鐵皮截取一個(gè)以短軸為底的等腰梯形，記所得等腰梯形的面積為，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，求得梯形的面積為，化簡得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，可得且，所以梯形的面積為，則，所以，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，其中解答中結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，求得梯形的面積，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.12.給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：①函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?；②函?shù)在上是增函數(shù)；③函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為；④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.其中正確命題的序號(hào)是________【答案】①③④【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域和值域，可判斷①；化簡函數(shù)在上的解析式，可判斷②的正誤；利用函數(shù)周期性的定義可判斷③；利用函數(shù)對(duì)稱性的定義可判斷④.【詳解】對(duì)于①，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，存在，使得，則，可得，則，①對(duì)；對(duì)于②，，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，則函數(shù)在上不單調(diào)，②錯(cuò)；對(duì)于③，對(duì)任意的，存在，使得，則，，所以，，故函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為，③對(duì)；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，則存在，使得，所以，，則，，，則，所以，，當(dāng)時(shí)，則，，則，此時(shí)，，此時(shí)，綜上所述，對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，④對(duì).故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)基本性質(zhì)的判斷，解題的關(guān)鍵在于充分利用函數(shù)的新定義，結(jié)合函數(shù)基本性質(zhì)的定義判斷即可.二?選擇題：13.設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查指數(shù)，對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．14.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)②的最大值為2③在有4個(gè)零點(diǎn)④在區(qū)間單調(diào)遞減其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③【答案】A【解析】【分析】函數(shù)的奇偶性可根據(jù)定義判斷，最值、零點(diǎn)、單調(diào)性等可將函數(shù)去絕對(duì)值進(jìn)行分析.【詳解】解：定義域?yàn)?，因?yàn)?，故為偶函?shù)，結(jié)論①正確，當(dāng)，當(dāng)，故當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，作出大致圖象，如圖所示故函數(shù)最大值為2，結(jié)論②正確，根據(jù)圖象可得，在有3個(gè)零點(diǎn)，故結(jié)論③錯(cuò)誤，由圖象可以看出，在區(qū)間單調(diào)遞減，結(jié)論④正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力等.15.如圖，面為的中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且到直線的距離為則的最大值為A.30° B.60°C.90° D.120°【答案】B【解析】【詳解】試題分析：解：空間中到直線CD的距離為的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓柱面，它和面α相交得一橢圓，所以P在α內(nèi)的軌跡為一個(gè)橢圓，D為橢圓的中心，b=，a=，則c=1，于是A，B為橢圓的焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)關(guān)于兩焦點(diǎn)的張角，在短軸的端點(diǎn)取得最大，故為60°．故選B考點(diǎn)：橢圓的簡單幾何性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：本題是立體幾何與解析幾何知識(shí)交匯試題，題目新，考查空間想象能力，計(jì)算能力．16.已知數(shù)列{an}滿足：an（n∈N*）．若正整數(shù)k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，則k＝（）A.16 B.17 C.18 D.19【答案】B【解析】【分析】由題意可得a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，n≥6時(shí)，a1a2…an﹣1＝1+an，將n換為n+1，兩式相除整理得an2＝an+1﹣an+1，n≥6，求得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5，結(jié)合已知條件，即可得到所求值．【詳解】解：an（n∈N*），即a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，n≥6時(shí)，a1a2…an﹣1＝1+an，所以a1a2…an＝1+an+1，兩式相除可得an，則an2＝an+1﹣an+1，n≥6，由a62＝a7﹣a6+1，a72＝a8﹣a7+1，…，ak2＝ak+1﹣ak+1，k≥5，可得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5a12+a22+…+ak2＝20+ak+1﹣a6+k﹣5＝ak+1+k﹣16，且a1a2…ak＝1+ak+1，正整數(shù)k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，則ak+1+k﹣16＝ak+1+1，則k＝17，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，考查累加法求和，解題關(guān)鍵是由n≥6時(shí)，a1a2…an﹣1＝1+an，a1a2…an＝1+an+1，兩式相除得出，目的是配出．三?解答題：17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，其中.（1）若，求證：.（2）若，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）用坐標(biāo)表示出，，求出它們的數(shù)量積，利用可證.（2）由，可求解得，進(jìn)而可求得，即可求得.【詳解】（1）由題設(shè)知，.所以因?yàn)椋?故.（2）因?yàn)?，所以，即，解?因?yàn)?，所?因此，.從而.【點(diǎn)睛】本題以向量為載體，考查三角函數(shù)，數(shù)量積的運(yùn)算，考查兩角和的正弦公式，屬于中檔題.18.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見詳解；（2）.【解析】【分析】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理，可得，由線面平行的判定定理，即可得平面.（2）由已知中正方體的棱長為2，點(diǎn)到平面的距離為1，求出棱錐底面面積，代入棱錐體積公式，即可求出三棱錐的體積.【詳解】（1）連接與交于點(diǎn)，連接；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn).所以，又平面，平面.所以平面.（2）由于點(diǎn)到平面的距離為1，故三棱錐的體積.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定，等體積法求三棱錐的體積，屬于中檔題.19.某化工單位采取新工藝、把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸．最多為600噸，處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元．已知月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為．每噸的平均處理成本．（1）該單位每月處理為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損？【答案】（1）噸（2）該單位每月不能獲利，需要國家至少補(bǔ)貼40000元才能使單位不虧損【解析】【分析】（1）設(shè)每噸的平均處理成本為（元），得到，結(jié)合基本不等式求解即可；（2）設(shè)該單位每月獲利（元），得到函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】設(shè)每噸的平均處理成本為（元），則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以該單位每月處理為噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低【小問2詳解】設(shè)該單位每月獲利（元），則，函數(shù)圖像開口向下，對(duì)稱軸，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以該單位每月不能獲利，需要國家至少補(bǔ)貼40000元才能使單位不虧損20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）依題意，得，，由此能求出橢圓C的方程.（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，設(shè)，由于點(diǎn)在橢圓C上，故，由，知，由此能求出圓T的方程.（3）設(shè)，則直線MP的方程為：，令，得，同理：，由此能證