2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用二一課一練含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)第1課時(shí)函數(shù)零點(diǎn)的判定與求解問(wèn)題考點(diǎn)1求函數(shù)的零點(diǎn)1.(2024·山東曲阜二中高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=-x2+5x-6的零點(diǎn)是()。A.-2,3B.2,3C.2,-3D.-2,-3答案：B解析：令-x2+5x-6=0,得x1=2,x2=3。2.(2024·湖南常德一中高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=lgx+1的零點(diǎn)是()。A.110 B.10 C.1010答案：A解析：由lgx+1=0,得lgx=-1,所以x=1103.函數(shù)f(x)=2x2-3x+1的零點(diǎn)是()。A.-12,-1 B.12C.12,-1 D.-12答案：B解析：方程2x2-3x+1=0的兩根分別為x1=1,x2=12,所以函數(shù)f(x)=2x2-3x+1的零點(diǎn)是12,4.函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,loA.{1} B.{-1}C.{-1,1} D.{-1,0,1}答案：C解析：當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x+1=0?x=-1;當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log2x=0?x=1,所以函數(shù)f(x)的全部零點(diǎn)組成的集合為{-1,1}。5.若函數(shù)f(x)=x2-ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3,則函數(shù)g(x)=bx2-ax-1的零點(diǎn)是()。A.-1和16 B.1和-C.12和13 D.-12答案：B解析：∵f(x)=x2-ax+b有兩個(gè)零點(diǎn)2和3,∴a=5,b=6?！鄃(x)=6x2-5x-1有兩個(gè)零點(diǎn)1和-166.若函數(shù)f(x)=x-1x,則函數(shù)g(x)=f(4x)-x的零點(diǎn)是答案：1解析：g(x)=f(4x)-x=4x-14x-x。令4x-14x-x=0,解得x=7.(2024·浙江桐鄉(xiāng)一中高一調(diào)研)函數(shù)f(x)=2x-3的零點(diǎn)是答案：log23 解析：f(x)=2x-3=0?x=log23,即零點(diǎn)是log8.(2024·山東濟(jì)寧一中高一檢測(cè))若f(x)=ax-b(b≠0)有一個(gè)零點(diǎn)3,則函數(shù)g(x)=bx2+3ax的零點(diǎn)是。

答案：-1和0 解析：因?yàn)閒(x)=ax-b的零點(diǎn)是3,所以f(3)=0,即3a-b=0,也就是b=3a,所以g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1),所以方程g(x)=0的兩個(gè)根為x=-1和x=0,即函數(shù)g(x)的零點(diǎn)為-1和0?？键c(diǎn)2探求零點(diǎn)所在的區(qū)間9.(2024·浙江臺(tái)州一中高一月考)函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()。A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)答案：C解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像是一條連綿不斷的曲線(xiàn),又f(-2)=e-2-4<0,f(-1)=e-1-3<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以f(0)·f(1)<0。故函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,1)。10.(2024·河北衡水中學(xué)高一期中)已知函數(shù)f(x)=6x-log2x,在下列區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4) D.(4,+∞)答案：C解析：函數(shù)f(x)=6x-log2x在其定義域上連續(xù),f(4)=32-2<0,f(2)=3-1>0,則f(4)·f(2)<0,故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2,411.(2024·山西太原五中高一月考)方程lgx+x=0的根所在的區(qū)間可能是()。A.(-∞,0) B.(0.1,1)C.(1,2) D.(2,4)答案：B解析：要使lgx有意義,必需x>0。令f(x)=lgx+x,明顯f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù),又f(0.1)=-0.9<0,f(1)=1>0,f(0.1)·f(1)<0,故f(x)在區(qū)間(0.1,1)內(nèi)有零點(diǎn)。12.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像為連綿不斷的一條曲線(xiàn),則下列說(shuō)法中正確的是()。A.若f(a)f(b)>0,則不存在實(shí)數(shù)c∈(a,b),使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,則存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈(a,b),使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,則有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a,b),使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,則不行能存在實(shí)數(shù)c∈(a,b),使得f(c)=0答案：C解析：對(duì)于函數(shù)f(x)=x2,f(-1)f(1)>0,但f(0)=0,故A錯(cuò);對(duì)于函數(shù)f(x)=x3-x,f(-2)f(2)<0,但f(0)=f(-1)=f(1)=0,故B錯(cuò);函數(shù)f(x)=x2滿(mǎn)意C,故C正確;由零點(diǎn)存在性定理知D錯(cuò)。13.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的部分對(duì)應(yīng)值如下表:x-3-2-101234f(x)6m-4-6-6-4n6不求a,b,c的值,推斷方程ax2+bx+c=0的兩根所在區(qū)間是()。A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-∞,-3)和(4,+∞)答案：A解析：因?yàn)閒(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以在(-3,-1)內(nèi)必有根。又f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以在(2,4)內(nèi)也有根。14.已知函數(shù)f(x)的圖像是連綿不斷的,有如下x,f(x)的對(duì)應(yīng)值表:x123456f(x)1510-76-4-5則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有()。A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)答案：B解析：由題表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又f(x)為連綿不斷的曲線(xiàn),故f(x)在區(qū)間[1,6]上至少有3個(gè)零點(diǎn)。15.(2024·河北冀州中學(xué)高一期中)函數(shù)f(x)=x3-12x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)答案：B解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3-12x-2在R上單調(diào)遞增,f(1)=13-121-2=1-2=-1<0,f(2)=23-122-2=8-1=7>0,f(1)·f16.(2024·山東濰坊高一期中)函數(shù)f(x)=2x+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()。A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)答案：B解析：函數(shù)f(x)=2x+3x是連續(xù)函數(shù),且在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,依據(jù)零點(diǎn)旁邊函數(shù)值符號(hào)相反,可采納代入解除的方法求解。A:f(-2)=14-6<0,f(-1)=12-3<0,故A錯(cuò)誤;B:f(-1)<0,f(0)=1>0,由零點(diǎn)存在性定理可知f(x)有零點(diǎn)在區(qū)間(-1,0)上,故B正確;C:f(0)>0,f(1)=2+3>0,故C錯(cuò)誤;D:f(1)>0,f(2)=4+6>0,故D錯(cuò)誤。故選17.依據(jù)表格中的數(shù)據(jù),若函數(shù)f(x)=lnx-x+2在區(qū)間(k,k+1)(k∈N*)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),則k的值為。

x12345lnx00.691.101.391.61答案：3解析：f(1)=ln1-1+2=1>0,f(2)=ln2-2+2=ln2≈0.69>0,f(3)=ln3-3+2≈1.10-1=0.10>0,f(4)=ln4-4+2≈1.39-2=-0.61<0,f(5)=ln5-5+2≈1.61-3=-1.39<0,所以f(3)·f(4)<0。所以函數(shù)f(x)=lnx-x+2在區(qū)間(3,4)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),所以k=3。18.(2024·江蘇淮陰中學(xué)高一期中)設(shè)x0是函數(shù)f(x)=2x+x的零點(diǎn),且x0∈(k,k+1),k∈Z,則k=。

答案：-1解析：易知函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f(0)=1>0,f(-1)=-12<0,依據(jù)零點(diǎn)存在性定理知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),故k=-1考點(diǎn)3推斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)19.方程ex-x=2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解有()。A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)答案：C解析：由題意令y1=ex,y2=x+2,在同一坐標(biāo)系下作出兩個(gè)函數(shù)的圖像,如圖,由圖像可知兩圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即方程ex-x=2有兩個(gè)解,故選C。20.下列圖像表示的函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)的是()。圖4-5-1-1答案：A解析：沒(méi)有零點(diǎn)就是函數(shù)圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn),故選A。21.(原創(chuàng)題)函數(shù)f(x)=x2+x-b2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是。

答案：2解析：對(duì)于方程x2+x-b2=0,因?yàn)棣?12+4b2>0,所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。22.(2024·天津耀華中學(xué)高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為。

答案：2解析：函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn),即2x|log0.5x|-1=0的解,即函數(shù)g(x)=|log0.5x|和函數(shù)h(x)=12x的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),如圖所示,由圖可知,兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)f(x23.(2024·福建閩侯第八中學(xué)高一月考)函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是。

答案：1解析：因?yàn)閒(x)是R上的連續(xù)函數(shù),且f(0)=e0-3<0,f(1)=e1+4-3>0,所以f(x)在(0,1)上有零點(diǎn)。又f(x)是R上的增函數(shù),所以f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)?？键c(diǎn)4與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的綜合問(wèn)題24.(2024·河南鄭州第一中學(xué)高一期中)已知符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),函數(shù)f(x)=[x]x(x>0),則以下結(jié)論正確的是(A.函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,1]B.函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)C.函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù)D.函數(shù)g(x)=f(x)-a有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)34<a≤答案：D解析：當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=0,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)x∈[1,2)時(shí),f(x)=1x∈12,1;當(dāng)x∈[2,3)時(shí),f(x)=2x∈23,1;當(dāng)x∈[3,4)時(shí),f(x)=3x∈34,1,…,依此類(lèi)推,函數(shù)的值域?yàn)閧0}∪25.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-lnx(x>0),則y=f(x)()A.在區(qū)間1e,1,(1,B.在區(qū)間1e,1內(nèi)有零點(diǎn),在區(qū)間(1,C.在區(qū)間1e,1,(1,D.在區(qū)間1e,1內(nèi)無(wú)零點(diǎn),在區(qū)間(1,答案：D解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3-lnx(x>0),所以f1e=1e3-ln1e=13e+1>0,f(1)=13-ln1=13>0,所以y=f(x)在區(qū)間1e,1內(nèi)無(wú)零點(diǎn),而f(e)=e3-lne=e3-1<0,所以f(1)f(e)<0,所以y=f26.已知三個(gè)函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零點(diǎn)依次為a,b,c,則()。A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.c<a<b答案：B解析：函數(shù)f(x)=2x+x的零點(diǎn)即函數(shù)y=2x和y=-x圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo);函數(shù)g(x)=x-2的零點(diǎn)即函數(shù)y=-2和y=-x圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo);函數(shù)h(x)=log2x+x的零點(diǎn)即函數(shù)y=log2x和y=-x圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。作出函數(shù)圖像如圖所示,由圖可知a<c<b。故選B。27.求“方程35x+45x=1的解”有如下解題思路:設(shè)f(x)=35x+45x,則f(x)在R上單調(diào)遞減,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2。類(lèi)比上述解題思路,方程x6+x2=(x+2)答案：{2,-1}解析：x6+x2=(x+2)3+x+2?(x2)3+x2=(x+2)3+x+2,設(shè)f(x)=x3+x,則f(x)在R上單調(diào)遞增,又∵f(x2)=f(x+2),∴x2=x+2?x=2或-1,故方程的解集是{2,-1}。28.(2024·山東寧陽(yáng)四中高一期中)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x。(1)求f(x)的解析式,并畫(huà)出f(x)的圖像。答案：當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x。設(shè)x<0,則-x>0,則f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x?！吆瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),則f(x)=-f(-x)=-x2-2x,∴f(x)=x畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示。(2)設(shè)g(x)=f(x)-k,利用圖像探討:當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí),函數(shù)g(x)有①一個(gè)零點(diǎn)?②兩個(gè)零點(diǎn)?③三個(gè)零點(diǎn)?答案：由g(x)=f(x)-k=0可得f(x)=k,結(jié)合(1)中函數(shù)的圖像可知:①當(dāng)k<-1或k>1時(shí),y=k與y=f(x)的圖像有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)g(x)=f(x)-k有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng)k=-1或k=1時(shí),y=k與y=f(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)g(x)=f(x)-k有兩個(gè)零點(diǎn);③當(dāng)-1<k<1時(shí),y=k與y=f(x)的圖像有三個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)g(x)=f(x)-k有三個(gè)零點(diǎn)。第2課時(shí)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)綜合應(yīng)用問(wèn)題答案P242考點(diǎn)1一次、二次函數(shù)的零點(diǎn)的含參問(wèn)題1.(2024·廣東仲元中學(xué)高一上期末考試)若二次函數(shù)y=x2+2x+k+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則k的取值范圍是()。A.(-2,+∞)B.(-∞,-2)C.(2,+∞) D.(-∞,2)答案：B解析：Δ=4-4(k+3)>0,解得k<-2。故選B。2.(2024·甘肅蘭州鐵一中期末考試)若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()。A.(a,b)和(b,c)內(nèi)B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi)D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)答案：A解析：由于f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,因此f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi),故選A。3.已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+c,若a-b22>c,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)A.不存在 B.有且只有一個(gè)C.肯定有兩個(gè) D.個(gè)數(shù)不確定答案：C解析：令g(x)=(x-a)(x-b),則其圖像是頂點(diǎn)坐標(biāo)為a+b2,-a-b22的拋物線(xiàn),而f(x)=g(x)+c,且a-b22>c,故f(x)的圖像的頂點(diǎn)仍舊位于x4.(2024·四川成都雙流中學(xué)高一期中)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù),若方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有一個(gè)解,則實(shí)數(shù)λ的值是()。A.12B.18C.-78答案：C解析：∵f(2x2+1)+f(λ-x)=0,∴由f(x)為奇函數(shù)得f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),∴由題可知方程2x2+1=x-λ有唯一解,即2x2-x+1=-λ有唯一解。又2x2-x+1=2x-142+78,∴-λ=785.(2024·江蘇鹽城鹽阜中學(xué)高一期中)若函數(shù)f(x)=ax+1在區(qū)間(-1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()。A.-a>1 B.a<1C.a<-1或a>1 D.-1<a<1答案：C解析：函數(shù)f(x)=ax+1在區(qū)間(-1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn),則f(-1)·f(1)<0,即(1-a)·(1+a)<0,解得a<-1或a>1,故選C。6.(2024·湖南益陽(yáng)高一期中)已知函數(shù)f(x)=x+2,x>a,x2+5x+2,x≤a,若方程A.[-1,1) B.[-1,2)C.[-2,2) D.[0,2]答案：B解析：令g(x)=f(x)-2x,則由題意可得函數(shù)g(x)=-x+2,x>a,x2+3x+2,x≤a恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)。如圖,結(jié)合函數(shù)y=-x+2與7.已知函數(shù)f(x)=ax2-5x+2a+3的一個(gè)零點(diǎn)為0,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為。

答案：-∞,-5解析：由已知,得f(0)=2a+3=0,∴a=-32,∴f(x)=-32x2-5x,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為8.已知關(guān)于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2,且滿(mǎn)意x2<32<x1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。答案：-1解析：令f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16。要使方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的兩個(gè)實(shí)根x1,x2滿(mǎn)意x2<32<x1,由函數(shù)f(x)的圖像開(kāi)口向上,知只需f32<0,即f32=322-(2m-8)×32+m2-16<0,即4m2-12m-7<0,解得-12<m<9.(2024·山西高校附屬中學(xué)高一期中)若函數(shù)f(x)=ax2-x-1僅有一個(gè)零點(diǎn),則a=。

答案：0或-1解析：當(dāng)a=0時(shí),f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x=-1;當(dāng)a≠0時(shí),由Δ=1+4a=0,得a=-1410.函數(shù)f(x)=ax2-2x+1,若y=f(x)在區(qū)間-12,12上有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)答案：(-∞,0]解析：當(dāng)x=0時(shí),f(0)=1;當(dāng)x≠0時(shí),方程ax2-2x+1=0可化為a=-1x2+2x=-1x-12+1,由題意可得1x∈(-∞,-2]∪[211.(2024·湖南婁底高一第一次段考)已知二次函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和-2,且f(x)的最小值是-1,函數(shù)g(x)與f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。(1)求f(x)和g(x)的解析式;答案：依題意,設(shè)f(x)=ax(x+2)(a>0),圖像的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-1,∴f(-1)=-a=-1,∴a=1,∴f(x)=x2+2x?！吆瘮?shù)g(x)與f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴g(x)=-x2+2x。(2)若h(x)=f(x)-λg(x)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。答案：由(1)得h(x)=x2+2x-λ(-x2+2x)=(λ+1)x2+2(1-λ)x,①當(dāng)λ=-1時(shí),h(x)=4x滿(mǎn)意在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù);②當(dāng)λ<-1時(shí),h(x)圖像的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=λ-1λ+1,則λ-1λ+1≥1,又∵③當(dāng)λ>-1時(shí),有λ-1λ+1≤-1,又∴解得-1<λ≤0。綜上所述,滿(mǎn)意條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(-∞,0]。12.已知函數(shù)f(x)=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1恒有零點(diǎn)。(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;答案：當(dāng)m+6=0時(shí),函數(shù)f(x)=-14x-5,明顯有零點(diǎn);當(dāng)m+6≠0時(shí),由Δ=4(m-1)2-4(m+6)·(m+1)=-36m-20≥0,得m≤-59,∴當(dāng)m≤-59,且m≠-6時(shí),函數(shù)f(x綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為-∞,-5(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),且其倒數(shù)之和為-4,求實(shí)數(shù)m的值。答案：由題目條件可知m+6≠0,設(shè)x1,x2(x1≠x2)是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),則有x1+x2=-2(m-1)m+6,∵1x1+1x2=-4,∴-2(m-1)m又當(dāng)m=-3時(shí),Δ>0,符合題意,∴m=-3?？键c(diǎn)2常見(jiàn)非一、二次函數(shù)的零點(diǎn)含參問(wèn)題13.設(shè)a是函數(shù)f(x)=2x-log12x的零點(diǎn),若x0>a,則f(x0)的值滿(mǎn)意(A.f(x0)=0 B.f(x0)<0C.f(x0)>0 D.f(x0)的符號(hào)不確定答案：C解析：∵函數(shù)y=2x和y=log2x在(0,+∞)上均為增函數(shù),∴f(x)=2x-log12x=2x+log2x在(0,+∞)上為增函數(shù)。又∵a是函數(shù)f(x)=2x+log2x的零點(diǎn),∴f(a)=0,∴當(dāng)x0>a時(shí),f(x0)>014.(2024·重慶綦江高一期末聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,x≤2,3x-1,x>2A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3)答案：A解析：∵函數(shù)f(x)=|2x-1|,x≤2,3x-1,x>2,∴作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示。方程f(x)-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于函數(shù)y=f(x)的圖像與直線(xiàn)y=a有三個(gè)不同的交點(diǎn)。依據(jù)圖像可知,當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖像與y=a有三個(gè)不同的交點(diǎn),方程15.(2024·江西新余一中高一月考)設(shè)f(x)=|x-1|(x+1)-x,若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()。A.1<k<54 B.-1<k<C.0<k<1 D.-1<k<1答案：B解析：因?yàn)閒(x)=|x-1|(x+1)-x=-x2-x+1,x≤1,x2-x-1,x>1,故函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,由圖可知:當(dāng)-1<k<54時(shí),函數(shù)f(x)的圖像與直線(xiàn)y=16.(2024·河北邢臺(tái)二中高一月考)若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

答案：(1,+∞)解析：由f(x)=ax-x-a=0,可得ax=x+a,設(shè)y1=ax,y2=x+a,由題意可知,兩函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),分兩種狀況:①當(dāng)0<a<1時(shí),如圖①所示,不合題意;②當(dāng)a>1時(shí),如圖②所示,符合題意。綜上所述,a的取值范圍為(1,+∞)。17.若方程lg|x|=-|x|+5在區(qū)間(k,k+1)(k∈Z)上有解,則全部滿(mǎn)意條件的k值的和為。

答案：-1解析：令y=lg|x|,y=-|x|+5,畫(huà)出兩函數(shù)的圖像。兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù),所以函數(shù)圖像的交點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),因而方程lg|x|=-|x|+5在區(qū)間(k,k+1)(k∈Z)上有解,一根位于(-5,-4)內(nèi),另一根位于(4,5)內(nèi),k的值為-5和4,則全部滿(mǎn)意條件的k值的和為-1。18.(2024·江蘇丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高一期中)已知函數(shù)f(x)=22-x,x<2,log3(x+1),x≥答案：(1,+∞) 解析：由題意作出函數(shù)f(x)=22-x則關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于函數(shù)f(x)=22-x,x<2,log3(x+1),x≥2的圖像與直線(xiàn)y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn),由圖像可知當(dāng)m19.對(duì)于實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“*”:a*b=a,a-b≤1,b,a-b>1,設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)*(x-1),x∈R,答案：(-2,-1]∪(1,2]解析：由題意知f(x)=x2-2,-1≤x≤2,x-1,x<-1或x>2,畫(huà)出20.已知函數(shù)f(x)=2a·4x-2x-1。(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);答案：當(dāng)a=1時(shí),f(x)=2·4x-2x-1。令f(x)=0,即2·(2x)2-2x-1=0,解得2x=1或2x=-12(舍)所以x=0。所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為0。(2)若函數(shù)f(x)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：若f(x)有零點(diǎn),則方程2a·4x-2x-1=0有解。于是2a=2x+14x=12x+因?yàn)?2x>0,所以2a>14-14=0,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,+∞)。考點(diǎn)3一元二次方程根的分布問(wèn)題21.(2024·四川成都第七中學(xué)高一期中)若方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一個(gè)根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(0,2)內(nèi),則m的取值范圍是()。A.5B.-C.-∞,53∪(5,D.-∞,答案：B解析：設(shè)f(x)=4x2+(m-2)x+m-5?！叻匠?x2+(m-2)x+m-5=0的一個(gè)根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(0,2)內(nèi),∴f(-1)>0,f(0)<22.(2024·云南昆明官渡一中高一期中)若關(guān)于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的兩根x1,x2滿(mǎn)意(x1-1)·(x2-1)<0,則a的取值范圍是。

答案：(-2,1)解析：由(x1-1)(x2-1)<0,得方程有一根比1大,另一根比1小,令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,則只需f(1)<0,求得-2<a<1,故答案為(-2,1)。23.(2024·江蘇南通、鹽城六校聯(lián)盟高一期中)若方程x2+(m-2)x+1=0的兩個(gè)實(shí)根分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)之內(nèi),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為。

答案：-12<m解析：∵函數(shù)f(x)=x2+(m-2)x+1的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)之內(nèi),∴f(0)>0,f(1)<0,f(24.(2024·福建福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一月考)若一元二次方程-x2+2ax+4a+1=0有一個(gè)實(shí)根小于-1,一個(gè)實(shí)根大于3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：解:因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)=-x2+2ax+4a+1的圖像開(kāi)口向下,且在區(qū)間(-∞,-1),(3,+∞)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),所以f(-1即2a>0,10考點(diǎn)4函數(shù)的零點(diǎn)在函數(shù)中的應(yīng)用25.已知函數(shù)f(x)=4x-4,x≤1,x2-4x+3,x>1,g(x)=lnA.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：由題意得,函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù),分別作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖像,如圖所示,可得兩函數(shù)的圖像有3個(gè)不同的交點(diǎn),所以函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,故選C。26.(復(fù)旦高校自主選拔錄用申請(qǐng)資格測(cè)試)設(shè)函數(shù)y=f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x均滿(mǎn)意f(5+x)=f(5-x),且方程f(x)=0恰好有六個(gè)不同的實(shí)根,則這六個(gè)實(shí)根的和為()。A.10 B.12 C.18 D.30答案：D解析：由f(5+x)=f(5-x)可推斷函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于x=5對(duì)稱(chēng),所以六個(gè)根也關(guān)于x=5對(duì)稱(chēng),其和為5×6=30,故選D。27.對(duì)于函數(shù)f(x),若存在x0,使f(x0)=x0成立,則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn),已知f(x)=x2+bx+c。(1)若f(x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為-3,2,求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);答案：由題意知f(x)=x有兩根,即x2+(b-1)x+c=0有兩根,分別為-3,2。∴-3+2=-(從而f(x)=x2+2x-6。令f(x)=0,得x1=-1-7,x2=-1+7。故f(x)的零點(diǎn)為-1±7。(2)當(dāng)c=14b2時(shí),函數(shù)f(x)沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)b答案：若c=b24,則f(x)=x2+bx+又f(x)無(wú)不動(dòng)點(diǎn),即方程x2+bx+b24=x化簡(jiǎn)得方程x2+(b-1)x+b24=0∴Δ=(b-1)2-b2<0,即-2b+1<0,∴b>12。故b的取值范圍是128.(2024·廣東仲元中學(xué)高一期中)已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+1+b在x=1處取得最小值0。(1)求a,b的值。答案：當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-2x+1-b,無(wú)最小值,不合題意;當(dāng)a≠0時(shí),f(x)=ax-1a2-1a+1+b(2)設(shè)g(x)=f(①求函數(shù)y=g(|2x-1|),x∈12,2的最值及取得最值時(shí)②是否存在實(shí)數(shù)k,使關(guān)于x的方程g(|2x-1|)+k2|2x-1|-3=0在(-∞,0)∪(0,+∞)上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解?若存在答案：由(1)可知g(x)=x+1x-2①令t=|2x-1|,x∈12,2,則t∈[2-1,因?yàn)間(t)=t+1t-2在[2-1,1]上單調(diào)遞減,在[1,3]上單調(diào)遞增,所以ymin=g(1)=0,此時(shí)x=1因?yàn)間(2-1)=22-2,g(3)=43所以g(2-1)<g(3),所以ymax=g(3)=43,此時(shí)x=2②令t=|2x-1|,則t∈(0,+∞),當(dāng)t∈(0,1)時(shí),對(duì)應(yīng)x有2個(gè)解;當(dāng)t∈[1,+∞)時(shí),對(duì)應(yīng)x有唯一解。則t+1t-2+k2t即t2-(2+3k)t+2k+1=0。(*)若方程(*)有兩個(gè)相等的大于等于1的根,則Δ=(2+3k若方程(*)有兩個(gè)根t1,t2,t1≥1,t2≤0,則2k綜上所述,存在這樣的k且k=0。第3課時(shí)用二分法求方程的近似解考點(diǎn)1二分法概念的理解1.(2024·山西太原五中高一期末)用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的零點(diǎn)時(shí),須要的條件是()。①f(x)在區(qū)間[a,b]是連綿不斷的;②f(a)·f(b)<0;③f(a)·f(b)>0;④f(a)·f(b)≥0。A.①②B.①③C.①④D.②③答案：A解析：依據(jù)二分法定義得①②正確。2.(2024·江西九江一中高一檢測(cè))如圖4-5-3-1所示的圖像表示的函數(shù)能用二分法求零點(diǎn)的是()。圖4-5-3-1答案：C解析：對(duì)于選項(xiàng)A,圖像與x軸無(wú)交點(diǎn),不能用二分法求零點(diǎn);對(duì)于選項(xiàng)B,圖像與x軸有公共點(diǎn),但零點(diǎn)兩邊的函數(shù)值同號(hào),不能用二分法求零點(diǎn);對(duì)于選項(xiàng)D,函數(shù)零點(diǎn)兩邊的函數(shù)值同號(hào),不能用二分法求零點(diǎn);故選C。3.(2024·福建閩侯第八中學(xué)高一月考)用二分法求如圖4-5-3-2所示的函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí),不行能求出的零點(diǎn)是()。圖4-5-3-2A.x1 B.x2 C.x3 D.x4答案：C解析：由二分法的思想可知,零點(diǎn)x1,x2,x4左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反,即存在區(qū)間[a,b],使得f(a)·f(b)<0,故x1,x2,x4可以用二分法求解,但x3∈[a,b]時(shí),均有f(a)·f(b)≥0,故不行以用二分法求該零點(diǎn)。4.(2024·云南玉溪一中高一期中)下列關(guān)于二分法的敘述,正確的是()。A.用二分法可以求全部函數(shù)零點(diǎn)的近似值B.用二分法求方程近似解時(shí),可以精確到小數(shù)點(diǎn)后任一數(shù)字C.二分法無(wú)規(guī)律可循,無(wú)法在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行D.二分法只用于求方程的近似解答案：B解析：依據(jù)“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的方法要求,用二分法求方程的近似解時(shí),可以精確到小數(shù)點(diǎn)后任一數(shù)字,故選B。5.(2024·浙江海鹽高級(jí)中學(xué)高一期中)以下每個(gè)圖像表示的函數(shù)都有零點(diǎn),但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是()。圖4-5-3-3答案：C解析：依據(jù)二分法的思想,函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像連綿不斷,且f(a)·f(b)<0,即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn),才能將區(qū)間[a,b]一分為二,逐步得到零點(diǎn)的近似值。對(duì)各圖像分析可知,A,B,D都符合條件,而選項(xiàng)C不符合。因?yàn)镃中圖像所表示的函數(shù)零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值同號(hào),因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)。6.(2024·山東濟(jì)南一中高一期中)下列函數(shù)零點(diǎn)不能用二分法求解的是()。A.f(x)=x3-1 B.f(x)=lnx+3C.f(x)=x2+22x+2 D.f(x)=-x2+4x-1答案：C解析：對(duì)于C,f(x)=(x+2)2≥0,不能用二分法求解函數(shù)零點(diǎn)。7.(2024·黑龍江大慶一中高一月考)若用二分法求函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí),精確度為0.001,則結(jié)束計(jì)算的條件是。

答案：b-a2n解析：經(jīng)過(guò)1次取中點(diǎn)后,區(qū)間長(zhǎng)度為|a-b|2,則經(jīng)過(guò)n次取中點(diǎn)后區(qū)間長(zhǎng)度為|a-b|2n,因?yàn)榫_度為0.001,即|a-b8.(2024·云南昆明官渡一中高一期中)若函數(shù)f(x)=(a+2)·x2+2ax+1有零點(diǎn),但不能用二分法求其零點(diǎn),則a的值為。

答案：2或-1 解析：由題意知,對(duì)于方程(a+2)x2+2ax+1=0,Δ=4a2-4(a+2)=0,解得a=2或a=-1。考點(diǎn)2用二分法求方程的近似解9.(2024·吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中)用二分法探討函數(shù)f(x)=x5+8x3-1的零點(diǎn)時(shí),第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算得f(0)<0,f(0.5)>0,則其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間和其次次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為()。A.(0,0.5),f(0.125) B.(0.5,1),f(0.25)C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.25)答案：D解析：因?yàn)閒(1)=1+8-1=8>0,且f(0)<0,f(0.5)>0,所以其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,0.5),其次次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值為f(0.25)。故選D。10.(2024·湖南益陽(yáng)桃江一中高一期中)用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值時(shí),令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用計(jì)算器得到下表:x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918-0.3604-0.9989則由表中的數(shù)據(jù),可得方程ln(2x+6)+2=3x的一個(gè)近似解(精確度為0.1)為()。A.1.125 B.1.3125C.1.4375 D.1.46875答案：B解析：因?yàn)閒(1.25)·f(1.375)<0,所以依據(jù)二分法的思想,知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1.25,1.375)內(nèi),但區(qū)間(1.25,1.375)的長(zhǎng)度為0.125>0.1,因此須要取(1.25,1.375)的中點(diǎn)1.3125,兩個(gè)區(qū)間(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一個(gè)滿(mǎn)意區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相異。又區(qū)間的長(zhǎng)度為0.0625<0.1,因此1.3125是一個(gè)近似解,故選B。11.某方程在區(qū)間(2,4)內(nèi)有一實(shí)根,若用二分法求此根的近似值,要使所得近似值的精確度可達(dá)到0.1,則須要將此區(qū)間分()。A.2次 B.3次C.4次 D.5次答案：D解析：等分1次,區(qū)間長(zhǎng)度為1;等分2次,區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?.5;…;等分4次,區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?.125;等分5次,區(qū)間長(zhǎng)度為0.0625<0.1,符合題意,故選D。12.(2024·四川綿陽(yáng)南山中學(xué)高一期中)用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)內(nèi)近似根的過(guò)程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間()內(nèi)。A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能確定答案：B解析：∵f(1.25)<0,f(1.5)>0,∴f(1.25)·f(1.5)<0,從而根落在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi)。13.(2024·湖北宜昌葛洲壩中學(xué)高一期中)用二分法求方程x3-2x-5=0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實(shí)根,取區(qū)間中點(diǎn)x0=52,那么下一個(gè)有根的區(qū)間是。答案：2,解析：令f(x)=x3-2x-5。因?yàn)閒(2)=23-4-5=-1<0,f52=523-5-5=f(3)=33-11=16>0,故下一個(gè)有根區(qū)間為2,14.(原創(chuàng)題)用二分法求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,6)上的近似解,驗(yàn)證f(2)·f(6)<0,給定精確度ε=0.01,取區(qū)間(2,6)的中點(diǎn)x1=2+62=4。計(jì)算f(2)·f(x1)<0,則此時(shí)零點(diǎn)x0∈。(填區(qū)間答案：(2,4)解析：∵f(2)·f(4)<0,∴x0∈(2,4)。15.(2024·江西新余四中高一月考)用二分法求2x+x=4在[1,2]內(nèi)的近似解(精確度為0.2)。參考數(shù)據(jù)如下表:x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67答案：解:令f(x)=2x+x-4,則f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0。用二分法逐次計(jì)算,列表如下:區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)值xnf(xn)的值及符號(hào)(1,2)x1=1.5f(x1)≈0.33>0(1,1.5)x2=1.25f(x2)≈-0.37<0(1.25,1.5)x3=1.375f(x3)≈-0.031<0(1.375,1.5)——∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,∴2x+x=4在[1,2]內(nèi)的近似解可取為1.375。16.(2024·遼寧鞍山一中高一月考)推斷函數(shù)f(x)=x3-x-1在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)有無(wú)零點(diǎn),假如有,求出一個(gè)近似零點(diǎn)(精確度為0.1)。答案：解:因?yàn)閒(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函數(shù)y=x3-x-1的圖像是連續(xù)的曲線(xiàn),所以它在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)有零點(diǎn),用二分法逐次計(jì)算,列表如下:區(qū)間中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)近似值(1,1.5)1.25-0.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125-0.05(1.3125,1.375)——由于|1.3125-1.375|=0.0625<0.1,所以函數(shù)的一個(gè)近似零點(diǎn)可取1.3125?？键c(diǎn)3用二分法求方程的近似解的綜合問(wèn)題17.(2024·長(zhǎng)沙調(diào)考)若函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與g(x)=4x+2x-2的零點(diǎn)之差的肯定值不超過(guò)0.25,則f(x)可以是()。A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1 D.f(x)=lnx答案：A解析：因?yàn)間14=2-32<0,g1所以g14·g12所以g(x)=4x+2x-2的零點(diǎn)x0∈14B中,f(x)=(x-1)2的零點(diǎn)為x=1,則-34<x0-1<-1所以|x0-1|>12所以B不是。C中,f(x)=ex-1的零點(diǎn)為x=0,14<x0-0<1所以|x0-0|>14所以C不是。D中,f(x)的零點(diǎn)x0=32,則-54<x0-3所以x0-32>1A中,f(x)=4x-1的零點(diǎn)為x=14則0<x0-14<14,則x0所以A可以是。18.(2024·銀川模塊測(cè)試)已知f(x)的一個(gè)零點(diǎn)x0∈(2,3),用二分法求精確度為0.01的x0的近似值時(shí),推斷各區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)最多須要的次數(shù)為。

答案：7解析：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的長(zhǎng)度是1,用二分法經(jīng)過(guò)7次分割后區(qū)間的長(zhǎng)度變?yōu)?27<0.19.(2024·西安二中單元測(cè)試)求函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=3-x的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。(精確度為0.1)答案：解:求函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=3-x的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即求方程lnx=3-x的根。令f(x)=lnx+x-3。因?yàn)閒(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,所以可取初始區(qū)間為(2,3),列表如下:區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值(2,3)2.50.4163(2,2.5)2.250.0609(2,2.25)2.125-0.1212(2.125,2.25)2.1875-0.0297(2.1875,2.25)——由于區(qū)間(2.1875,2.25)的長(zhǎng)度為2.25-2.1875=0.0625<0.1,所以方程lnx+x-3=0在(2,3)內(nèi)的一個(gè)近似根可取為2.1875,即2.1875可作為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的一個(gè)近似值。20.已知函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,證明a>0,并利用二分法證明方程f(x)=0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。答案：證明:∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0?！遖+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,∴-b-c>c,即a>c?！遞(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0。取區(qū)間[0,1]的中點(diǎn)12,則f12=34a+b+c=34a+(-a)=-∵f(0)>0,f(1)>0,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間0,12又f(x)為二次函數(shù),最多有兩個(gè)零點(diǎn),∴f(x)=0在[0,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根?？键c(diǎn)4二分法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用21.在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里,從某水庫(kù)閘門(mén)到防洪指揮所的電話(huà)線(xiàn)路發(fā)生了故障,這是一條長(zhǎng)為10km,大約有200根電線(xiàn)桿的線(xiàn)路,設(shè)計(jì)一個(gè)能快速查出故障所在的方案,修理線(xiàn)路的工人師傅最多檢測(cè)幾次就能找出故障地點(diǎn)所在區(qū)域(精確到100m范圍內(nèi))?答案：解:如圖。工人師傅首先從中點(diǎn)C檢測(cè),用隨身帶的話(huà)機(jī)向兩端測(cè)試,發(fā)覺(jué)AC段正常,可見(jiàn)故障在BC段;再?gòu)木€(xiàn)段BC的中點(diǎn)D檢測(cè),發(fā)覺(jué)BD段正常,可見(jiàn)故障在CD段;再?gòu)腃D段的中點(diǎn)E檢測(cè)……由此類(lèi)推,每查一次,可以把待查的線(xiàn)路長(zhǎng)度縮減一半,可以算出經(jīng)過(guò)n次檢測(cè),所剩線(xiàn)路的長(zhǎng)度為100002nm,則有100002n≤100,即2又26=64,27=128,故至多只要檢測(cè)7次就能找到故障地點(diǎn)所在區(qū)域。22.(2024·黃岡中學(xué)周測(cè))某校辦工廠(chǎng)請(qǐng)了30名木工制作200把椅子和100張課桌。已知制作一張課桌與制作一把椅子的工時(shí)數(shù)之比為10∶7,問(wèn)30名工人如何分組(一組制作課桌,另一組制作椅子)能使任務(wù)完成最快?答案：解:設(shè)x名工人制作課桌(1≤x≤29,x∈N),則有(30-x)名工人制作椅子,因?yàn)橐幻と嗽谝粋€(gè)單位時(shí)間里可制作7張課桌或10把椅子,所以制作100張課桌所需的時(shí)間P(x)=1007x,制作200把椅子所須要的時(shí)間Q(x)=20010(30-x)。若要想任務(wù)完成最快,則應(yīng)求y=max{P(由圖可知x0即y取最小值時(shí)x的值,此時(shí)P(x)=Q(x)。下面用二分法的學(xué)問(wèn)求x0的整數(shù)值:令f(x)=P(x)-Q(x)=1007x+則f(1)=1007-2029>0,f(29)=100所以x0∈(1,29)。取中點(diǎn)x1=1+292=15,f(15)≈-0.38<0所以x0∈(1,15)。同理可得,x0∈(8,15),x0∈(11.5,15),x0∈(11.5,13.25),x0∈(12.375,13.25),x0∈(12.375,12.8125)。因?yàn)閤0∈N,所以x0=12或x0=13。當(dāng)x0=12時(shí),y=max{P(x),Q(x)}≈1.19;當(dāng)x0=13時(shí),y=max{P(x),Q(x)}≈1.18<1.19,所以取x0=13。即用13名工人制作課桌,17名工人制作椅子,可使任務(wù)完成最快。第4課時(shí)函數(shù)模型的應(yīng)用考點(diǎn)1圖表型實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題1.(2024·廣東仲元中學(xué)高一期中)在某種金屬材料的耐高溫試驗(yàn)中,溫度y(℃)隨著時(shí)間t(min)改變的狀況由計(jì)算機(jī)記錄后顯示的圖像如圖4-5-4-1所示,現(xiàn)給出下列說(shuō)法:圖4-5-4-1①前5min溫度增加越來(lái)越快;②前5min溫度增加越來(lái)越慢;③5min后溫度保持勻速增加;④5min后溫度保持不變。其中說(shuō)法正確的是()。A.①④ B.②④ C.②③ D.①③答案：C解析：前5min,溫度y隨x的增加而增加,增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢;5min后,溫度y隨x的改變曲線(xiàn)是直線(xiàn),即溫度勻速增加,所以②③正確,故選C。2.(2024·陜西西安一中高一月考)張敏下班回家的路上,起先時(shí)和同事邊走邊探討問(wèn)題,走得比較慢,然后他們爽性停下來(lái)將問(wèn)題徹底解決,最終他快速地回到了家。下列圖像中與這一過(guò)程吻合得最好的是()。圖4-5-4-2答案：D解析：由遠(yuǎn)及近先慢速,然后停止,最終快速,D符合。3.如圖4-5-4-3所示的折線(xiàn)是某電信局規(guī)定打長(zhǎng)途電話(huà)所須要付的電話(huà)費(fèi)y(元)與通話(huà)時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系圖像,依據(jù)圖像填空:圖4-5-4-3(1)通話(huà)2分鐘,需付電話(huà)費(fèi)元;

答案：3.6解析：由題圖可知,當(dāng)t≤3時(shí),電話(huà)費(fèi)都是3.6元。(2)通話(huà)5分鐘,需付電話(huà)費(fèi)元;

答案：6解析：由題圖可知,當(dāng)t=5時(shí),y=6,需付電話(huà)費(fèi)6元。(3)若t≥3,則電話(huà)費(fèi)y(元)與通話(huà)時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式為。

答案：y=1.2t(t≥3)解析：當(dāng)t≥3時(shí),y關(guān)于t的圖像是一條直線(xiàn),且經(jīng)過(guò)(3,3.6)和(5,6)兩點(diǎn),故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kt+b,則3k+b=3.6,5k+b=6,解得k=1.2,b=0。故電話(huà)費(fèi)y4.如圖4-5-4-4所示的是一位騎自行車(chē)和一位騎摩托車(chē)的旅行者在相距80km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時(shí)間之間的函數(shù)圖像。有人依據(jù)函數(shù)圖像,提出了關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信息:圖4-5-4-4①騎自行車(chē)者比騎摩托車(chē)者早動(dòng)身3h,晚到1h;②騎自行車(chē)者是變速運(yùn)動(dòng),騎摩托車(chē)者是勻速運(yùn)動(dòng);③騎摩托車(chē)者在動(dòng)身1.5h后追上了騎自行車(chē)者;④騎摩托車(chē)者在動(dòng)身1.5h后與騎自行車(chē)者速度一樣。其中正確信息的序號(hào)是。答案：①②③ 解析：看時(shí)間軸易知①正確;騎摩托車(chē)者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖像是直線(xiàn),所以是勻速運(yùn)動(dòng),而騎自行車(chē)者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖像是折線(xiàn),所以是變速運(yùn)動(dòng),因此②正確;兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)表示騎摩托車(chē)者追上騎自行車(chē)者,且橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著4.5,故可推斷出③正確,④錯(cuò)誤?？键c(diǎn)2指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題5.(2024·天津一中高一月考)2024年年底某偏遠(yuǎn)地區(qū)農(nóng)夫人均年收入為3000元,隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展,預(yù)料該地區(qū)今后農(nóng)夫的人均年收入的年平均增長(zhǎng)率為6%,那么2024年年底該地區(qū)的農(nóng)夫人均年收入為()。A.3000×1.06×7元B.3000×1.067元C.3000×1.06×8元D.3000×1.068元答案：B解析：設(shè)經(jīng)過(guò)x年,該地區(qū)農(nóng)夫人均年收入為y元,則依題意有y=3000×(1+6%)x=3000×1.06x,因?yàn)?024年年底到2024年年底經(jīng)過(guò)了7年,故x=7,所以y=3000×1.067。6.一個(gè)模具廠(chǎng)一年中12月份的產(chǎn)量是1月份產(chǎn)量的m倍,那么該模具廠(chǎng)這一年中產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率是()。A.m11 B.m12 C.12m-1 答案：D解析：設(shè)1月份的產(chǎn)量為a,月平均增長(zhǎng)率為x,則12月份的產(chǎn)量為ma。由題意,得a(1+x)11=ma,解得x=11m-1,故選D7.在不考慮空氣阻力的狀況下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)的函數(shù)關(guān)系式是v=2000·ln1+Mm。當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍時(shí),火箭的最大速度可達(dá)12千米/答案：e6-1解析：由題意可得2000ln1+Mn∴l(xiāng)n1+Mm=6,∴1+Mm=e6,即Mm8.(2024·湖北武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為:M=lgA-lgA0,其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線(xiàn)的最大振幅,A0是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅。假設(shè)在一次地震中,測(cè)震儀記錄的最大振幅是1000,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則此次地震的震級(jí)為級(jí);9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的倍。

答案：10000解析：由題意,得M=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6,即此次地震的震級(jí)為6級(jí)。設(shè)9級(jí)地震的最大振幅為x,5級(jí)地震的最大振幅為y,則9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102,∴xy=10619.某食品廠(chǎng)對(duì)蘑菇進(jìn)行深加工,每千克蘑菇的成本為20元,并且每千克蘑菇的加工費(fèi)為t元(t為常數(shù),且2≤t≤5),設(shè)該食品廠(chǎng)每千克蘑菇的出廠(chǎng)價(jià)為x元(25≤x≤40