信號(hào)與系統(tǒng)第2版 課件 6離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析

信號(hào)與系統(tǒng)主講：嚴(yán)國(guó)志課程目錄

課程目錄第1章緒論第2章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析第4章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第5章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析第7章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z域分析2024/10/162第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的

頻域分析6.1引言6.2周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）6.3非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)6.6離散傅里葉變換（DFT）6.7離散傅里葉變換的性質(zhì)6.8用離散傅里葉變換近似分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)6.9離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析6.10應(yīng)用實(shí)例—電力系統(tǒng)諧波分析習(xí)題第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析6.1引言2024/10/165應(yīng)用實(shí)例離散系統(tǒng)的頻域分析用離散傅立葉變換近似分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散傅立葉變換（DFT）周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析，與連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析的思路類似，基本內(nèi)容包括：6.2周期序列的離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）2024/10/166時(shí)域分析法中，選用的基本信號(hào)是單位沖激信號(hào)，在頻域分析法中，將選用虛指數(shù)信號(hào)作為基本信號(hào)，也就是要將任意信號(hào)表示成虛指數(shù)信號(hào)的線性組合。這就是傅里葉表示。線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)一般都是非常容易求取的，根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，表示成基本信號(hào)的線性組合后的任意信號(hào)的響應(yīng)，也就非常容易得到。線性時(shí)不變系統(tǒng)分析的重要任務(wù)之一，就是要求取系統(tǒng)對(duì)于任意激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)，為此，需要將任意信號(hào)表示成基本信號(hào)的線性組合。將所有周期為N的虛指數(shù)序列組合起來(lái)，可構(gòu)成一個(gè)信號(hào)集：在中，由于虛指數(shù)序列的周期性而只有N個(gè)獨(dú)立信號(hào)，故其是一個(gè)完備正交函數(shù)集。因此，可以用集中的N個(gè)獨(dú)立的虛指數(shù)序列的線性組合來(lái)表示一個(gè)任一的周期序列，這就是離散傅里葉級(jí)數(shù)表示。對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)x(n)，如果滿足：x(n)=x(n+rN)，r、n、N為整數(shù)（6-1）則稱x(n)為周期信號(hào)，且其周期為N（N為正整數(shù)）。6.2.1DFS變換式（6-3）虛指數(shù)序列

是一個(gè)周期為N的周期序列。求取DFS的系數(shù)：對(duì)（6-4）式兩邊同乘，并在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)n求和：2024/10/1686.2.1DFS變換式（6-7）式為DFS正變換式，（6-4）式為DFS反變換式。故：（6-7）可以證明：

（6-4）6.2.1DFS變換式2024/10/169例6-3：

求周期序列，

（a為有界常數(shù)）的傅里葉級(jí)數(shù)分解。解：由式（6-7）有DFS的系數(shù)

的這一特性與連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的頻譜有著根本的不同。

k從0到N-1的取值部分，稱為主值周期。2024/10/1610是以N為周期的(2)(3)6.2.2DFS頻譜系數(shù)的特征

離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的周期性表明，離散時(shí)間周期信號(hào)可以而且只能分解為有限個(gè)虛指數(shù)序列的線性組合，因此其不存在收斂性問(wèn)題。

由于k只能取整數(shù)，因此，周期序列的頻譜具有離散性。2024/10/1611

通常，DFS的頻譜系數(shù)是一個(gè)關(guān)于k的復(fù)函數(shù)，當(dāng)xN(n)為實(shí)周期序列信號(hào)時(shí)，由（6-7）式易得：6.2.2DFS頻譜系數(shù)的特征

說(shuō)明，

的模是k的偶函數(shù)，其幅角是k的奇函數(shù)。說(shuō)明，

的實(shí)部是k的偶函數(shù)，其虛部是k的奇函數(shù)。2024/10/1612設(shè)周期矩形序列：如圖6-1所示6.2.3周期矩形序列的頻譜（6-12）6.2.3周期矩形序列的頻譜2024/10/16131：

時(shí)：2024/10/16142：時(shí)：6.2.3周期矩形序列的頻譜即周期矩形序列的頻譜為：（6-15）2024/10/1615n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;k=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;Xk=x*WN.^nk/N;%計(jì)算DFS系數(shù)X(k)

subplot(2,1,2);stem(k,Xk,'b');%繪制X(k)圖xlabel('k');title('X(k):N=20,N1=2');gridon;holdon;plot(k,Xk,'r');%繪制X(k)包絡(luò)圖holdoff;6.2.3周期矩形序列的頻譜例%Matlab代碼：周期矩形序列頻譜

N=20;N1=5;n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;f0=zeros(1,N-N1);f1=ones(1,N1);x=[f0,f1,f0,f1,f0,f1,f0];%產(chǎn)生x(n)

subplot(2,1,1);stem(n,x);%繪制x(n)圖xlabel('n');title('周期矩形序列x(n):(N=20,N1=2)');axis([-4040-0.01.1]);2024/10/16166.2.3周期矩形序列的頻譜現(xiàn)在，我們來(lái)考查

xN(n)的參數(shù)對(duì)其頻譜的影響。首先，固定半脈寬=2不變，改變周期N。分別取N=10、20、40，可分別得其頻譜圖如圖6-3所示：2024/10/16176.2.3周期矩形序列的頻譜由圖6-3可見，由于

不變，頻譜的正/負(fù)峰的個(gè)數(shù)也不變，都等于

個(gè)。而隨著周期N的增大，一個(gè)周期內(nèi)譜線的數(shù)量增多，譜線的間隔減小，且譜線的幅度也減小。再看，固定xN(n)的周期N=40不變，改變半脈寬，分別取N1

=2、3、4，可分別得其頻譜圖如圖6-4所示：可以預(yù)見，當(dāng)周期N趨于無(wú)窮大時(shí)，周期序列將變?yōu)榉侵芷谛蛄?，一個(gè)周期內(nèi)譜線的數(shù)量無(wú)窮增多，譜線的間隔無(wú)窮減小，離散頻譜將變?yōu)檫B續(xù)頻譜，且譜線的幅度也無(wú)窮減小。6.2.3周期矩形序列的頻譜2024/10/1618

由圖6-4可見，由于周期N不變，一個(gè)周期內(nèi)譜線的數(shù)量不變，也即譜線間隔不變，而隨著半脈寬

N1的增大，正/負(fù)峰的個(gè)數(shù)增加，也即頻譜包絡(luò)的主瓣寬度變窄，說(shuō)明信號(hào)的有效帶寬變窄，且幅值增大。2024/10/1619在6.2.3節(jié)討論周期矩形脈沖序列的頻譜中已經(jīng)看到，當(dāng)脈沖寬度不變而增大周期時(shí)，其譜線間隔及其幅值都隨之減小，但頻譜的包絡(luò)形狀仍保持不變。6.3非周期序列的離散時(shí)間傅立葉變換因而還用離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)表示其頻譜顯然是不合適的。為此，需要建立非周期序列的傅里葉表示，此即離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）。當(dāng)周期N趨于無(wú)窮大時(shí)，周期序列將演變?yōu)榉侵芷谛蛄?，其譜線將變得無(wú)限密集，離散頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)頻譜，且譜線的幅度也趨于無(wú)窮小量。2024/10/1620設(shè)

是周期為N的周期序列，當(dāng)其周期N趨于無(wú)窮大時(shí)，將演變?yōu)榉侵芷谛蛄?/p>

，有：6.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換即：根據(jù)DFS的定義式有：

（6-17）6.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換2024/10/1621可得：

（6-18）即為非周期序列的離散時(shí)間傅立葉正變換式。6.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換2024/10/1622離散時(shí)間傅里葉變換式DTFT也可以直接由連續(xù)時(shí)間傅里葉變換式推導(dǎo)得出：對(duì)x(t)進(jìn)行理想抽樣，再對(duì)抽樣信號(hào)

取傅里葉變換記x(nT)=x(n)，ωT=Ω，即有：可見：

表示的是單位頻帶內(nèi)的幅值，是頻譜密度函數(shù)?？梢姡?/p>

是以

Ω

為變量的周期為2π

的連續(xù)周期函數(shù)。通常把區(qū)間

[-π，π]稱為Ω

的主值區(qū)間。2024/10/16236.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換且有：非周期序列的頻譜具有連續(xù)性的特性。又：有：由

（6-19）6.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換2024/10/1624幅值頻譜和相位頻譜。

即：周期序列離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)

就是與其對(duì)應(yīng)的非周期序列離散時(shí)間傅里葉變換

在

點(diǎn)

處的抽樣值。比較（6-7）與（6-18）式可見：（6-20）6.3.1離散時(shí)間傅立葉正變換2024/10/1625【例6-5】

對(duì)周期矩形序列xN(n)，取其主值周期序列為一新的非周期序列——矩形序列x

(n)。比較離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)DFS[xN(n)]與離散時(shí)間傅里葉變換DTFT[x

(n)]的關(guān)系。解：6.3.2離散時(shí)間傅立葉反變換2024/10/1626由DFS反變換式有：即為非周期序列的離散時(shí)間傅立葉反變換公式。

即：（6-21）利用（6-20）式有：有：6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換2024/10/1627（1）矩形脈沖序列矩形脈沖序列為：由定義式有：2024/10/1628%Matlab代碼：矩形脈沖序列的DTFTN1=2;n=-N1:1:N1;x=1.^n;%產(chǎn)生x(n)dw=2*pi*0.001;w=-4*pi:dw:4*pi;X=x*exp(-j*n'*w);%計(jì)算DTFT[x(n)]6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換subplot(2,1,1),stem(n,x,'.');%繪制x(n)axis([-10,10,-0.3,1.3]);title('x(n)');xlabel('n');subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);grid;%繪制X(jΩ)title('X(jΩ)');xlabel('Ω/pi');2024/10/1629（2）單邊指數(shù)序列6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換單邊指數(shù)序列為：2024/10/1630（3）雙邊指數(shù)序列6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換雙邊指數(shù)序列為：此信號(hào)為n的奇函數(shù)，由定義式有：6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換2024/10/1631（4）偶雙邊指數(shù)序列此信號(hào)為n的偶函數(shù)，由DTFT定義式有2024/10/1632（5）單位樣值序列6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換2024/10/16336.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（6）常數(shù)序列時(shí)域離散化

頻域周期化2024/10/1634（7）符號(hào)函數(shù)序列可視為雙邊指數(shù)序列當(dāng)a趨于1時(shí)的極限。故：6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換6.3.3典型非周期信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（8）單位階躍序列由于：有：2024/10/16352024/10/1636由非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換定義式可知，由于任一離散時(shí)間周期信號(hào)均不滿足絕對(duì)可和條件，因而無(wú)法求得其離散時(shí)間傅里葉變換。6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)離散時(shí)間周期序列，將其表示成離散傅里葉級(jí)數(shù)的形式，即式（6-4）式中，

為周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。由式（6-7）有6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2024/10/1637考慮連續(xù)域里：因此，可以期望，離散域虛指數(shù)序列的傅里葉變換應(yīng)該是在處的沖擊。這里，我們把

視為序列長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)的離散時(shí)間非周期序列，同樣把也視為序列長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)的離散時(shí)間非周期序列，欲求周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換，可對(duì)式（6-4）的級(jí)數(shù)展開式兩邊取離散時(shí)間傅里葉變換，這要遇到求虛指數(shù)序列的離散時(shí)間傅里葉變換的問(wèn)題。由：在離散域情況下，時(shí)域的離散化導(dǎo)致頻域的周期化，周期為2π，2024/10/16386.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換即：（6-36）

其頻譜圖如圖6-13所示。為了驗(yàn)證（6-36）式的正確性，對(duì)其求反變換：2024/10/16396.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換（6-38）6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2024/10/1640利用（6-38）式，可對(duì)（6-4）式求離散時(shí)間傅里葉變換：對(duì)右邊，將l的求和打開看，當(dāng)l=1時(shí)：當(dāng)l=0時(shí)：6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2024/10/1641同理可得6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2024/10/1642（6-40）故：這就是周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換式。（6-40）式表明：周期序列

的離散時(shí)間傅里葉變換是由一系列沖激組成，各個(gè)沖激僅出現(xiàn)在基波頻率的各次諧波頻率點(diǎn)上，位于處的沖激強(qiáng)度為由于傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)

是以N為周期的，所以，也是一個(gè)周期等于N的周期函數(shù)。6.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換2024/10/1643式（6-40）與連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換式完全對(duì)應(yīng)，其含義也相同?？疾熘芷谛蛄械碾x散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)與單周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換之間的關(guān)系，可知既可以用DFS的定義式求取，又可以由DTFT變換式求取。

是周期為N=1的周期單位樣值序列，求其離散傅里葉級(jí)數(shù)及離散時(shí)間傅里葉變換。并與

的離散時(shí)間傅里葉變換作比較。2024/10/16446.4周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換【例6-6】解：由【例6-4】知，

的DFS頻譜是位于

處周期為2π

強(qiáng)度為1的周期單位樣值序列。由周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換式（6-40）有：2024/10/1645

離散時(shí)間傅里葉變換同樣有類似于連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的眾多的性質(zhì)，這些性質(zhì)不僅能深刻揭示變換的本質(zhì)，而且對(duì)于求取信號(hào)的正反變換具有重要的作用。6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)

離散時(shí)間信號(hào)x(n)的離散時(shí)間傅里葉變換

對(duì)Ω來(lái)說(shuō)是周期性的，且周期為2π，即：6.5.1周期性6.5.2線性若：則：（6-43）

離散時(shí)間傅里葉變換的許多性質(zhì)與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換既基本相同，又存在明顯的差異，因此，要特別注意它們的相似之處和不同之處。這一點(diǎn)與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換有著本質(zhì)的區(qū)別。（6-42）由于x(n)為實(shí)序列，故有：

（6-44）6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/1646實(shí)部是Ω的偶函數(shù)，虛部是Ω的奇函數(shù)。6.5.3奇偶性設(shè)x(n)為實(shí)序列，由DTFT的定義式（6-18）有：x(n)的共軛的DTFT為：將（6-44）式兩邊寫成實(shí)部與虛部的形式，有：即：同理：幅度頻譜是Ω的偶函數(shù)，相位頻譜是Ω的奇函數(shù)。6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/1647式（6-47）說(shuō)明，序列時(shí)移后，其幅度頻譜保持不變，僅相位頻譜附加了一個(gè)線性相移。（6-47）6.5.5頻移特性式（6-48）說(shuō)明，序列的頻移對(duì)應(yīng)于時(shí)域的調(diào)制。（6-48）6.5.4時(shí)移特性6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/1648若：則：式（6-50）表明，序列的時(shí)域卷積，對(duì)應(yīng)于序列頻域的乘積。（6-50）6.5.6時(shí)域卷積特性

進(jìn)一步利用歐拉公式和傅里葉變換的線性特性，可方便得到

、

的離散時(shí)間傅里葉變換。

利用這一性質(zhì)，可以很方便地求取虛指數(shù)序列的離散時(shí)間傅里葉變換。（6-36）在求取線性移不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，可將時(shí)域卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為頻域的乘積運(yùn)算來(lái)求解。6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/1649若：則：由DTFT定義式有：上式右端正好為

與的卷積，由于它們都是以2π為周期的周期函數(shù)，卷積的積分區(qū)間是在一個(gè)2π區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，其卷積的結(jié)果亦是以2π為周期的周期函數(shù)，故稱此卷積為周期卷積，記為：（6-51）6.5.7頻域卷積特性6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/1650式（6-51）表明，序列的頻域卷積，對(duì)應(yīng)于序列時(shí)域的乘積。式（6-51）的一個(gè)重要應(yīng)用是序列的時(shí)域截短（或加窗），在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)方面具有重要應(yīng)用。（6-51）6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/16516.5.8時(shí)域差分特性6.5.9時(shí)域累加特性若：則：若：則：當(dāng)信號(hào)中無(wú)直流分量時(shí)，6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/16526.5.10頻域微分特性若：則：由DTFT定義式有反復(fù)利用此式，可得：（6-57）6.5離散時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/1653若：則：由DTFT定義式有：（6-59）式（6-59）表明，序列在時(shí)域的總能量等于頻域的總能量。6.5.11帕塞瓦爾能量定理6.6離散傅里葉變換（DFT）2024/10/1654傅里葉變換建立了信號(hào)的時(shí)域特性與其頻譜特性之間的關(guān)系，在信號(hào)與系統(tǒng)的分析、處理方面具有鮮明的物理意義及重要的應(yīng)用作用，是不可或缺的重要分析工具。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展及其在工程領(lǐng)域的越來(lái)越深入和廣泛的應(yīng)用，自然，我們也希望能用計(jì)算機(jī)技術(shù)完成傅里葉分析。前面我們已經(jīng)建立了四種形式的傅里葉變換:在第3章，建立了連續(xù)時(shí)間下的傅里葉級(jí)數(shù)變換FS和傅里葉變換FT，這兩種傅里葉變換中，其時(shí)域變量或頻域變量?jī)烧咧辽儆幸粋€(gè)是連續(xù)變量。因此，這兩種形式的傅里葉變換都是無(wú)法利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的。在本章，建立了離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)變換DFS和離散時(shí)間傅里葉變換DTFT。在DTFT中，頻域變量是連續(xù)的，因此，它也無(wú)法利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。只有DFS，其時(shí)域變量和頻域變量都是離散的，具備由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的可能性。6.6離散傅里葉變換（DFT）2024/10/1655但是，我們考查DFS的變換式不難發(fā)現(xiàn)，其無(wú)論是時(shí)域序列

還是頻域序列

，都是無(wú)限長(zhǎng)序列。計(jì)算機(jī)是不可能計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)序列的，因此，DFS也是無(wú)法利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的。為了能由計(jì)算機(jī)完成傅里葉變換，必須尋找新的途徑?？疾镈FS的變換式，雖然其無(wú)論是時(shí)域序列還是頻域序列都是無(wú)限長(zhǎng)的，但是卻都是以N為周期的周期序列。對(duì)于周期序列，如果已知一個(gè)周期的序列值，則將其以N為周期進(jìn)行周期擴(kuò)展，就能得到長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)的周期序列。有鑒如此，我們?cè)谟?jì)算DFS時(shí)，可以不必計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)序列值，只要將其一個(gè)周期的序列值進(jìn)行計(jì)算，得到了一個(gè)周期的序列值，即可通過(guò)周期擴(kuò)展而得到整個(gè)序列值。這里通常取主值周期進(jìn)行計(jì)算。令

，

，對(duì)

及

只取主值周期，分別變成

及

，得到：式中，

是周期為N的時(shí)域序列，

是周期為N的頻域序列。2024/10/1656代入上式有：6.6離散傅里葉變換（DFT）由DFS定義式：2024/10/1657引入符號(hào)

，稱為旋轉(zhuǎn)因子，代入上式有：6.6離散傅里葉變換（DFT）該式稱為離散傅里葉變換式，即DFT。它定義了時(shí)域的N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列變換為頻域的N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換?？梢?，DFT是將DFS的主值序列提取出來(lái)定義的一種變換對(duì)，因此其與DFS具有完全相同的形式。DFS是具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)論證的變換對(duì)，而DFT是為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算而建立的時(shí)域及頻域有限長(zhǎng)序列的變換對(duì)。DFS是符合實(shí)際信號(hào)特性的，它反映了信號(hào)的客觀物理現(xiàn)象，而DFT則不然，DFT實(shí)際只是DFS的計(jì)算工具。6.6離散傅里葉變換（DFT）2024/10/1658該式表明，X(k)為的N點(diǎn)等間隔采樣?？梢?，有限長(zhǎng)序列x(n)的離散時(shí)間傅里葉變換可以用DFT來(lái)計(jì)算，其用DFT計(jì)算的X(k)就是的頻域抽樣。只要滿足抽樣定理，就可以由X(k)中恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)的頻譜。因此若對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)利用抽樣得到的序列進(jìn)行DFT變換，就可以近似分析其頻譜。由DFT的定義可知，DFT與DFS存在如下的關(guān)系：(2)(3)比較DFT與DTFT的變換式，有：即DFS的主值序列即為DFT的序列，DFT序列以N為周期的周期擴(kuò)展序列即為DFS的序列。2024/10/16596.6離散傅里葉變換（DFT）【例6-7】

對(duì)矩形序列

，求不同點(diǎn)數(shù)N（N≥M）的離散傅里葉變換。用MATLAB畫出M=4，N=16、32、48時(shí)序列的時(shí)域及頻域圖形。解：由DFT定義式（6-62）有2024/10/1660

DFT與DFS具有類似的性質(zhì)，掌握DFT的性質(zhì)，對(duì)于DFT的運(yùn)算及應(yīng)用具有重要作用。6.7離散傅里葉變換的性質(zhì)6.7.1線性若：則：6.7.2隱含周期性若：則：（1）頻域周期性證明：（2）時(shí)域周期性若：則：可見，其x(n)與X(k)均具有以N為周期的周期性，此即DFT隱含周期性。2024/10/1661由DFT的定義式有：6.7離散傅里葉變換的性質(zhì)（6-69）由（6-69）式有：可見，

具有偶函數(shù)特性，而

具有奇函數(shù)特性。6.7.3奇偶性和對(duì)稱性（1）將X(k)寫為實(shí)部與虛部的形式：設(shè)x(n)為實(shí)序列，對(duì)上式兩邊取共軛：6.7離散傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/1662（2）將

寫為模與幅角的形式：類似地可以得到：可見，|X(k)|具有偶函數(shù)特性，而arg[X(k)]具有奇函數(shù)特性。6.7離散傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/16636.7.4時(shí)頻互易特性若：則：

（6-78）式（6-78）表明，如果序列

x(n)的DFT為X(k)，則當(dāng)時(shí)域序列的表達(dá)式具有X(n)的形狀時(shí)，其對(duì)應(yīng)的DFT的頻域序列則具有x(-k)的形狀。6.7.5時(shí)域循環(huán)移位特性

對(duì)有限長(zhǎng)序列x(n)的移位序列為x(n-m)，從一般意義講，這是序列x(n)移位m位后形成的序列，但是，對(duì)于DFT來(lái)講，由于DFT具有隱含周期性，故這個(gè)移位要用循環(huán)移位。記為：6.7離散傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/1664若：則：式（6-79）說(shuō)明，序列的時(shí)域循環(huán)移位，對(duì)應(yīng)于頻域的移相。6.7.6頻域循環(huán)移位特性若：則：式（6-80）說(shuō)明，序列的頻域循環(huán)移位，對(duì)應(yīng)于時(shí)域序列乘上一個(gè)虛指數(shù)序列，這相當(dāng)于時(shí)域的調(diào)制。

（6-79）

（6-80）定義循環(huán)卷積為：兩個(gè)長(zhǎng)度均為N的有限長(zhǎng)序列

與對(duì)于

有：對(duì)于

有：設(shè)

的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，

的長(zhǎng)度為M2024/10/16656.7離散傅里葉變換的性質(zhì)（1）線性卷積線性卷積的定義式為：由（6-81）式可知：（6-81）將這兩個(gè)不等式相加，有：（6-82）

可見，線性卷積結(jié)果的序列長(zhǎng)度是與參與卷積運(yùn)算的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的長(zhǎng)度有關(guān)的。（2）循環(huán)卷積（6-83）循環(huán)卷積的長(zhǎng)度是與N有關(guān)的，稱為N點(diǎn)循環(huán)卷積，。6.7.7時(shí)域循環(huán)卷積特性（重點(diǎn)）因此，要使循環(huán)卷積的結(jié)果完全包含線性卷積的結(jié)果，必須滿足：2024/10/16666.7離散傅里葉變換的性質(zhì)（3）循環(huán)卷積與線性卷積的關(guān)系對(duì)于長(zhǎng)度為

L

的序列與長(zhǎng)度為

M

的序列其線性卷積的長(zhǎng)度為L(zhǎng)+M-1，循環(huán)卷積的長(zhǎng)度為N，（6-84）計(jì)算循環(huán)卷積是為了得到線性卷積的結(jié)果。在滿足（6-84）式的條件下，循環(huán)卷積的前

L+M-1個(gè)值就正好是線性卷積的結(jié)果。6.7離散傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/1667（4）時(shí)域循環(huán)卷積特性若：則：式（6-85）說(shuō)明，兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積的離散傅里葉變換，等于該兩個(gè)序列的離散傅里葉變換的乘積。（6-85）該特性提供了一條利用離散傅里葉變換計(jì)算循環(huán)卷積的途徑。2024/10/16686.7離散傅里葉變換的性質(zhì)圖6-13離散傅里葉變換計(jì)算卷積原理框圖

利用該特性，可以將求取系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的方法由時(shí)域的卷積變換到頻域的乘積來(lái)實(shí)現(xiàn)。雖然這樣要花費(fèi)的步驟更多，但是由于DFT具有快速算法

FFT，其實(shí)際花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間卻更少，因而使得該方法成為計(jì)算機(jī)計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)的重要方法。2024/10/16696.7離散傅里葉變換的性質(zhì)

例6-8已知4點(diǎn)有限長(zhǎng)序列

x1(n)=[1，1，1，1]和3點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x2(n)=[1，2，3]。（1）求線性卷積m-3-2-10123451111

123321132133216321632153213即：

x(n)=[1，3，6，6，5，3]m012345

111100

1000321

2100033

3210006

0321006

0032105

0003213m01234567

11110000

100000321

210000033

321000006

032100006

003210005

000321003

000032100

0000032106.7離散傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/1670（2）求4點(diǎn)循環(huán)卷積m01231111

10326210363210603216（3）求6點(diǎn)循環(huán)卷積（4）求8點(diǎn)循環(huán)卷積2024/10/1671%Matlabn=0:3;x1=1.^n;subplot(2,3,1);stem(n,x1);%x1(n)波形axis([-08-0.11.2]);xlabel('n');title('x1(n)');%---n=0:2;x2=n+1;subplot(2,3,2);stem(n,x2);%x2(n)波形axis([-08-0.33.5]);xlabel('n');title('x2(n)');

6.7離散傅里葉變換的性質(zhì)%%(1)線性卷積xc1=conv(x1,x2);n=0:5;subplot(2,3,3);stem(n,xc1);axis([-08-0.77]);xlabel('n');title('x1(n)*x2(n)');

%%(2)N點(diǎn)循環(huán)卷積N=4;%N=6;N=8;X1=fft(x1,N);X2=fft(x2,N);X=X1.*X2;xc2=ifft(X,N);n=0:N-1;subplot(2,3,4);stem(n,xc2);axis([-08-0.57]);xlabel('n');title('x1(n)*x2(n),N=4');6.7離散傅里葉變換的性質(zhì)2024/10/1672式（6-86）說(shuō)明，兩個(gè)有限長(zhǎng)序列時(shí)域的乘積的離散傅里葉變換，等于該兩個(gè)序列的離散傅里葉變換的循環(huán)卷積除以N。長(zhǎng)序列矩形加窗或說(shuō)截短后，頻譜發(fā)生了改變。若：則：（6-86）6.7.9帕塞瓦爾能量定理若：則：式（6-87）說(shuō)明，序列的時(shí)域能量與頻域能量是相等的。（6-87）6.7.8頻域循環(huán)卷積特性2024/10/16736.7離散傅里葉變換的性質(zhì)6.7.10IDFT的DFT計(jì)算式（6-88）說(shuō)明，欲計(jì)算X(k)的IDFT，可以利用DFT的算法實(shí)現(xiàn)。于是，利用DFT算法既可以計(jì)算正變換DFT，又可以計(jì)算其逆變換IDFT，可以實(shí)現(xiàn)DFT程序的通用化。若：則：（6-88）2024/10/16746.8用離散傅里葉變換近似分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)工程實(shí)際中遇到的信號(hào)，大多為非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)，而且往往也不存在數(shù)學(xué)表達(dá)式。對(duì)這樣的信號(hào)進(jìn)行DFT分析，具有重要和普遍的工程實(shí)際意義。6.8.1近似分析的方法

設(shè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)為x1(t)，其頻譜為X1(jω)，如圖6-19（a）。為使x2(n)成為有限長(zhǎng)序列，必須截短使其長(zhǎng)度為N的序列x3(n)。時(shí)域的截短，最簡(jiǎn)單的方法是將時(shí)域序列乘以矩形窗序列，由傅里葉變換的頻域卷積特性可知，截短后的信號(hào)的頻譜是原信號(hào)的頻譜與矩形窗函數(shù)的頻譜的卷積。因此截短后的信號(hào)的頻譜為X3(jω)，如圖6-19（c）。由于DFT只能對(duì)有限長(zhǎng)離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，故首先要對(duì)x1(t)進(jìn)行抽樣，成為離散時(shí)間序列x2(n)，時(shí)域的離散化導(dǎo)致頻域的周期化，故其頻譜為X2(jω)，如圖6-19（b）。2024/10/1675由圖6-19（c），信號(hào)的頻譜X3(jω)仍為連續(xù)函數(shù)，為了能用計(jì)算機(jī)運(yùn)算，還必須對(duì)頻譜進(jìn)行離散化，也就是進(jìn)行頻域抽樣，得到X4(k)，而頻域抽樣導(dǎo)致時(shí)域周期化為x4(n)，如圖6-19（d）。6.8.1近似分析的方法只要使序列時(shí)域一個(gè)周期的點(diǎn)數(shù)與其頻域一個(gè)周期的點(diǎn)數(shù)都為N，就可以利用DFT計(jì)算兩者之間的變換。下面從變換公式對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行分析。6.8.1近似分析的方法2024/10/1676已知非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換為：（1）首先對(duì)x(t)進(jìn)行抽樣，Ts為抽樣周期，fs為抽樣頻率。（2）再對(duì)x

(n)截短為N點(diǎn)長(zhǎng)度，有：（6-89）式（6-89）中，dt=(n+1)Ts-nTs=Ts，積分變?yōu)榍蠛停校海?-91）（6-93）（6-90）2024/10/16776.8.1近似分析的方法（3）再對(duì)X(jω)進(jìn)行頻域離散化，頻域抽樣間隔為ω0，有：保證對(duì)X(jω)的一個(gè)周期寬度抽樣N個(gè)點(diǎn)，即：，或（6-95）頻域抽樣導(dǎo)致時(shí)域周期化，其周期為

，有：T0=NTs（6-96）于是，（6-94）式可寫為：（6-98）即：（6-98）式說(shuō)明，在已知x(t)的情況下，可用DFT對(duì)其頻譜近似分析。同理：（6-99）（6-94）2024/10/16786.8.2近似分析出現(xiàn)的問(wèn)題（1）

頻譜混疊頻譜混疊現(xiàn)象的出現(xiàn)，導(dǎo)致分析計(jì)算的頻譜的結(jié)果與信號(hào)的真實(shí)頻譜之間出現(xiàn)誤差。利用DFT分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜，頻譜混疊是不可避免的，我們只能尋找措施盡量減少誤差，使其能達(dá)到工程要求。由于這三個(gè)方面的原因，利用

DFT

分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜，必然出現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)象，如圖6-19（c）所示。由傅里葉變換特性(見圖3-12)，時(shí)域有限長(zhǎng)信號(hào)其頻域必為無(wú)限寬頻譜。為使x(n)為

N

點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，必須對(duì)其進(jìn)行截短，導(dǎo)致信號(hào)為有限長(zhǎng)時(shí)間信號(hào)。由于利用

DFT

對(duì)x(t)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，必須對(duì)時(shí)域離散化，這必導(dǎo)致頻域周期化。2024/10/1679減少混疊誤差可采取的措施：6.8.2近似分析出現(xiàn)的問(wèn)題可以加大連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣頻率。抽樣頻率越大，頻譜周期化時(shí)，相鄰周期的間隔距離也越大，其頻譜混疊造成的影響也會(huì)越少。可以對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)采取抗混疊濾波。實(shí)際的工程信號(hào)的有效帶寬總是有限的，抗混疊濾波實(shí)際上就是一個(gè)低通濾波器，使該濾波器的截止頻率不低于信號(hào)的最高有效頻率，于是，經(jīng)抗混疊濾波后的信號(hào)，就會(huì)近似成為頻帶有限信號(hào)，該信號(hào)頻譜周期化后，其頻譜混疊造成的影響就會(huì)減少。6.8.2近似分析出現(xiàn)的問(wèn)題2024/10/1680抽樣頻率越高，抗混疊效果越好，當(dāng)然，這也必然導(dǎo)致同樣時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)抽樣數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的增加，要求抽樣器件的工作頻率越高，抽樣數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)容量越大，DFT計(jì)算的數(shù)據(jù)量越大，計(jì)算所花費(fèi)的時(shí)間越長(zhǎng)，造成系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性越低。對(duì)抗混疊濾波器及抽樣頻率的選擇，不可盲目追求高性能，而應(yīng)以工程實(shí)際需求為目標(biāo)，達(dá)到工程誤差允許即可。抗混疊濾波器越接近理想低通濾波器，效果越好，當(dāng)然，這必然導(dǎo)致濾波器越復(fù)雜，成本越高。2024/10/16816.8.2近似分析出現(xiàn)的問(wèn)題（2）

頻譜泄露

利用DFT分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜，一般在將x(t)抽樣為序列后，必須對(duì)其截短為長(zhǎng)度為

N

的有限長(zhǎng)序列。時(shí)域序列的截短，最簡(jiǎn)單的方法就是將時(shí)域序列與長(zhǎng)度為

N

的矩形序列相乘。由DFT的頻域卷積性質(zhì)可知，時(shí)域信號(hào)的乘積，對(duì)應(yīng)于其頻譜的卷積，即：時(shí)域截短不可避免要產(chǎn)生頻譜泄露，工程上只能設(shè)法減少頻譜泄露的影響。影響對(duì)微小頻譜信號(hào)的檢測(cè)弱化頻譜分辨能力2024/10/1682時(shí)域矩形窗序列及其頻譜如圖6-21所示：6.8.2近似分析出現(xiàn)的問(wèn)題它有主瓣和旁瓣，正是矩形窗的頻譜特性引起了頻譜泄露。

不論選擇什么樣的寬度，其主瓣寬度與旁瓣幅度總是對(duì)立的，主瓣越窄，其旁瓣越高，反之，旁瓣越低，其主瓣越寬。2024/10/16836.8.2近似分析出現(xiàn)的問(wèn)題

要想較好地控制頻譜泄露，在選擇矩形窗截短的情況下，只能在邊沿的陡峭性與平坦部分的起伏性之間做選擇。要么追求邊沿的陡峭性而不計(jì)平坦部分的起伏性，要么追求平坦部分的起伏性而不計(jì)邊沿的陡峭性。要兩方面同時(shí)最優(yōu)是不可能的。三角形窗triang(N)、bartlett窗bartlett(N)、hamming窗hamming(N)、hanning窗hanning(N)、blackman窗blackman(N)、chebyshev窗chebwin(N)、kaiser窗Kaiser(N,b)等，如圖6-23~6-25所示。常見窗函數(shù)時(shí)域波形圖為了更好地抑制旁瓣，人們發(fā)明了不同于矩形窗boxcar(N)的許多窗函數(shù)，常見的有：這些窗函數(shù)在犧牲主瓣寬度下，能夠起到降低旁瓣的作用。2024/10/16846.8.2近似分析出現(xiàn)的問(wèn)題常見窗函數(shù)幅值頻譜圖常見窗函數(shù)對(duì)數(shù)幅值頻譜圖6.8.2近似分析出現(xiàn)的問(wèn)題2024/10/1685（3）

柵欄效應(yīng)

利用DFT分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜，由于頻域的離散性，只在有限個(gè)離散的頻率點(diǎn)上有序列值，即：柵欄效應(yīng)同樣是利用DFT分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜時(shí)所無(wú)法避免的現(xiàn)象。如需查看被柵欄遮擋的頻譜，能采取的辦法有兩個(gè)，一是改變柵欄的位置，使被遮擋的頻譜移動(dòng)到可見的柵欄縫隙處，二是加大柵欄縫隙數(shù)量。即DFT只分析了這些離散頻點(diǎn)上的頻譜值，但是，在這些頻率點(diǎn)之間的頻譜的情況卻是未知的，這就像是透過(guò)一個(gè)柵欄去看原信號(hào)的頻譜，只能看到柵欄縫隙透過(guò)的頻譜，而被柵欄遮擋的頻譜就看不到了。這種現(xiàn)象就被形象地稱為“柵欄效應(yīng)”。DFT分析時(shí)，其時(shí)域序列及頻域序列在一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)都為N，我們可以通過(guò)在時(shí)域序列尾部添加零值從而加大N的辦法來(lái)實(shí)現(xiàn)。添加零值的數(shù)量可以有兩種情況：一是小于N個(gè)，二是等于N的整數(shù)倍個(gè)。前者會(huì)改變柵欄的位置，后者會(huì)成倍增加?xùn)艡诳p隙數(shù)量。2024/10/1686（4）

基于DFT分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖6.8.2近似分析出現(xiàn)的問(wèn)題抗混疊濾波采樣

補(bǔ)零DFTx(t)x’(t)x(n)x’(n)x’’(n)X(k)

加窗圖6-26基于DFT分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜2024/10/16876.8.3頻率分辨率利用DFT分析信號(hào)頻譜時(shí)，其時(shí)域與頻域的參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖6-27所示。2024/10/16886.8.3頻率分辨率即X(k)的頻率點(diǎn)為：故其離散域相鄰頻率點(diǎn)之間的間隔為：這就是DFT分析的離散域的頻率分辨率。也稱為數(shù)字頻率分辨率。由（6-100）式可見，數(shù)字域頻率分辨率只與點(diǎn)數(shù)N有關(guān)，N越大，即一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)越多，ΔΩ

就越小，頻率分辨率就越高。（6-100）再由圖6-27中各參數(shù)之間的關(guān)系，有：T0=NTs，fs=NF0可得：（6-103）（6-103）式表明，DFT頻譜分析的模擬頻率分辨率為時(shí)域信號(hào)采樣記錄總時(shí)間長(zhǎng)度T0

的倒數(shù)，也即模擬頻率分辨率只與時(shí)域信號(hào)采樣記錄總時(shí)間長(zhǎng)度T0

有關(guān)，T0越大，F(xiàn)0

越小，模擬頻率分辨率越高。6.8.3頻率分辨率2024/10/1689

理解（6-100）式及（6-103）式很重要。如果只對(duì)x(n)通過(guò)補(bǔ)零增加點(diǎn)數(shù)N，即一個(gè)周期內(nèi)頻譜的數(shù)量增加了，使

ΔΩ

減少，這是提高了數(shù)字域的頻率分辨率，但是從（6-103）式可以看出，其T0并不增加，即F0

并不減少，即模擬頻率分辨率并沒有提高。因?yàn)?，在序列x(n)后面補(bǔ)零，實(shí)際并沒有增加信號(hào)的有效記錄長(zhǎng)度T0

，如果T0

不增加，則F0

也不會(huì)減少，當(dāng)然也就不會(huì)提高模擬頻率分辨率。例6-10：

設(shè)由頻率為49Hz和51Hz合成信號(hào)為：就取不同點(diǎn)數(shù)N比較頻譜分析結(jié)果。6.8.3頻率分辨率2024/10/1690解：采樣頻率選擇為200Hz對(duì)x(t)離散化，得到x(n)為：（a）對(duì)x(n)只取N=50個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度信號(hào)，得到x1(n)及其頻譜如圖6-28（a）所示。6.8.3頻率分辨率2024/10/1691（b）對(duì)x(n)仍然只取N=50個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度信號(hào)，但是在后面添加150個(gè)零得到x2(n)及其頻譜如圖6-28（b）所示。6.8.3頻率分辨率2024/10/1692（c）對(duì)x(n)取滿N=200個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度信號(hào)，得到x3(n)及其頻譜如圖6-28（c）所示。可以清楚看到兩根譜線2024/10/1693在利用DFT分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜時(shí)，其分析的結(jié)果是近似的，存在頻譜混疊、頻譜泄露、柵欄效應(yīng)的問(wèn)題，還要考慮模擬信號(hào)頻率分辨率。該如何選擇相關(guān)參數(shù)，才能使分析結(jié)果滿足工程實(shí)際的要求，這是必須要解決的問(wèn)題。6.8.4利用DFT近似分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜的參數(shù)選擇然后，要確定信號(hào)頻譜分析的模擬頻率分辨率F0，這個(gè)是分析的目標(biāo)，一般按工程實(shí)際要求給定。對(duì)被分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)，首先要確定其最高有效頻率

fm，這個(gè)參數(shù)通常情況下會(huì)由工程實(shí)際給定。也可依實(shí)際信號(hào)估計(jì)，如取信號(hào)的最短上升或下降時(shí)間td作為最高頻率分量的半周期，有：2024/10/1694再依采樣定理確定信號(hào)的最低采樣頻率：6.8.4利用DFT近似分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜的參數(shù)選擇由模擬頻率分辨率確定信號(hào)有效記錄長(zhǎng)度為：進(jìn)一步可確定采樣記錄點(diǎn)數(shù)為：例6-11對(duì)于由頻率為49Hz和51Hz合成的信號(hào)：確定DFT頻譜分析所需參數(shù)。6.8.4利用DFT近似分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜的參數(shù)選擇2024/10/1695設(shè)要分辨49Hz和51Hz兩個(gè)頻點(diǎn)，取模擬頻率分辨率為：

F0=1Hz；解：信號(hào)的最高頻率為：fm=51Hz；可得采樣頻率為：最后可得采樣點(diǎn)數(shù)為：可得信號(hào)有效記錄長(zhǎng)度為：6.9離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析2024/10/16966.9.1離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

對(duì)任意離散周期信號(hào)，利用DFS可以將其表示為虛指數(shù)信號(hào)

的線性組合，如（6-4）式，對(duì)任意離散非周期信號(hào)，利用DTFT可以將其表示為虛指數(shù)信號(hào)

的線性組合，如（6-21）式，而且：

離散時(shí)間信號(hào)的頻域分析，我們已經(jīng)看到，其在信號(hào)的頻譜分析方面具有重要作用，同樣，在離散時(shí)間系統(tǒng)分析方面也具有重要作用，可以對(duì)系統(tǒng)的頻率特性進(jìn)行分析，還可以用于求取系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

因此，與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)的情況一樣，將虛指數(shù)信號(hào)

稱為離散時(shí)間系統(tǒng)分析的基本信號(hào)。6.9.1離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)2024/10/1697設(shè)LSI系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為h(n)，系統(tǒng)輸入為基本信號(hào)

時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)為：式中的求和項(xiàng)正好是h(n)的DTFT，記為

，即：

稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性函數(shù)，于是，式（6-110）可以寫為：（6-110）（6-111）（6-112）6.9.1離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)2024/10/1698

式（6-112）可見，一個(gè)穩(wěn)定的LSI系統(tǒng)，對(duì)基本信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)，是基本信號(hào)本身乘以一個(gè)與時(shí)間序數(shù)n無(wú)關(guān)的復(fù)常數(shù)

（系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)h(n)的DTFT）。這表明LSI系統(tǒng)在虛指數(shù)序列

信號(hào)的激勵(lì)下，系統(tǒng)的輸出仍然為同頻率的虛指數(shù)序列，只是幅值和相位發(fā)生了改變。

通常，

是Ω的連續(xù)復(fù)函數(shù)，將其寫成模與幅角的形式，有：

則稱

為系統(tǒng)的幅頻特性，稱

為系統(tǒng)的相頻特性。

由于h(n)是實(shí)序列，故由DTFT的奇偶性可知：

系統(tǒng)的幅頻特性是Ω的偶函數(shù)，相頻特性是Ω的奇函數(shù)。6.9.1離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)2024/10/1699對(duì)于

的求取，當(dāng)已知系統(tǒng)的h(n)時(shí)，可由（6-111）式求取，即：對(duì)該式兩邊取DTFT，并利用時(shí)移特性，有：即：離散時(shí)間LSI系統(tǒng)的差分方程一般式為：當(dāng)已知系統(tǒng)的差分方程時(shí)，可由對(duì)差分方程兩邊取DTFT求取。6.9.1離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)2024/10/16100【例6-12】

已知離散時(shí)間因果穩(wěn)定LSI系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為（1）求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)

；（2）畫出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線。解：（1）對(duì)系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)取DTFT，有（2）利用MATLAB軟件可畫出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線如圖6-29。可見，系統(tǒng)具有高通濾波特性。將得到的

取DTFT反變換，即得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)序列，即：6.9.2離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2024/10/16101已知，LSI系統(tǒng)對(duì)任意輸入序列

x(n)的零狀態(tài)響應(yīng)為：

由（6-114）式可見，把時(shí)域的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為頻域的乘積運(yùn)算，這為系統(tǒng)響應(yīng)的求取帶來(lái)了極大地方便。

工程實(shí)際中，一般利用DFT計(jì)算，其運(yùn)算過(guò)程如圖6-30所示。對(duì)該式兩邊取DTFT，并利用時(shí)域卷積特性有：（6-114）（6-113）6.9.2離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2024/10/16102

由圖6-30可見，要計(jì)算

，需要做兩次DFT變換、一次乘法運(yùn)算和一次IDFT變換。其計(jì)算過(guò)程比直接利用（6-113）式的卷積復(fù)雜，但是，由于DFT有快速算法FFT和IFFT，從而使依圖（6-30）的運(yùn)算比利用（6-113）式的運(yùn)算所需的時(shí)間要少得多。DFTDFTIDFTx(n)h(n)X(k)H(k)Yzs(k)yzs(n)6.9.2離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2024/10/16103例6-13：

已知離散時(shí)間因果穩(wěn)定LSI系統(tǒng)的差分方程為：（a）求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)；（b）當(dāng)

時(shí)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。整理得：解：（a）對(duì)差分方程兩邊取DTFT，有：6.9.2離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2024/10/16104（b）由

得到：6.10電力系統(tǒng)諧波分析2024/10/161056.10.1信號(hào)的表示電力系統(tǒng)的交流電是頻率為50Hz的工頻正弦信號(hào)，實(shí)際系統(tǒng)中還有頻率為工頻的整數(shù)倍頻率的諧波，進(jìn)行諧波分析，就是要從實(shí)際的電力系統(tǒng)交流信號(hào)中分析出工頻信號(hào)及諧波信號(hào)的具體參數(shù)。設(shè)電力系統(tǒng)交流信號(hào)的表達(dá)式為：式中，L為擬分析的諧波最高次數(shù)。這里，我們假定：（6-119）6.10.1信號(hào)的表示2024/10/16106利用MATLAB畫出x(t)的波形,如圖6.31所示。%信號(hào)的表示w0=2*pi*50;t=0:0.00001:0.04;xt1=10*sin(w0*t+0.1*pi);xt2=5*sin(w0*t*5+0.2*pi);xt3=3*sin(w0*t*9+0.3*pi);xt4=sin(w0*t*13+0.4*pi);x=x1+x2+x3+x4; %定義x(t)plot(t,x); %畫x(t)xlabel('t/s');title('x(t)');gridon;6.10.2信號(hào)的采樣2024/10/16107電力系統(tǒng)諧波是工頻（50Hz）的整數(shù)倍。故可知頻率分辨率為

確定采樣時(shí)長(zhǎng)至少為：再由要分析測(cè)量的最高次諧波要求，比如(6-1119)式設(shè)為13次，可知被測(cè)信號(hào)的最高頻率為

fmax=650Hz。采樣定理要求:故可得最少采樣點(diǎn)數(shù)為:按此參數(shù)，對(duì)圖6.31的信號(hào)采樣，得到波形如圖6.32所示。（6-120）我們先?。?.10.2信號(hào)的抽樣6.10.2信號(hào)的采樣2024/10/16108%信號(hào)的抽樣w0=2*pi*50;T=1./(50*13*5);N=65;n=0:1:N-1;xt1=10*sin(w0*t+0.1*pi);xt2=5*sin(w0*t