專題08 排列組合與二項式定理（2大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第⑤最大值：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．2、系數(shù)的最大項求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．六、二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題常用賦值舉例：1、設(shè)，二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：．2、若，則①常數(shù)項：令，得．②各項系數(shù)和：令，得．③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和（i）當(dāng)為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）（ii）當(dāng)為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）若，同理可得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．【排列組合常用結(jié)論】一、解決排列組合綜合問題的一般過程1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進(jìn)行，弄清楚分多少類及多少步；3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素；4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．二、常見排列組合類型及解法1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、錯位排列公式3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當(dāng)作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．一、單選題1．（2024·重慶·三模）重慶某高校去年招收學(xué)生來自成渝地區(qū)2400人，除成渝外的西部地區(qū)2000人，中部地區(qū)1400人，東部地區(qū)1800人，港澳臺地區(qū)400人.學(xué)校為了解學(xué)生的飲食習(xí)慣，擬選取40人作樣本調(diào)研，為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，則從該校去年招收的成渝地區(qū)學(xué)生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)計算即可?！驹斀狻繛楸ＷC調(diào)研結(jié)果的代表性，設(shè)從該校去年招收的成渝地區(qū)學(xué)生中抽取n人，則，解得，即從該校去年招收的成渝地區(qū)學(xué)生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為故選：C2．（2024·北京·三模）已知的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項為（

）A． B．240 C．60 D．【答案】B【分析】根據(jù)二項式系數(shù)之和可得，結(jié)合二項展開式分析求解.【詳解】由題意可知：二項式系數(shù)之和為，可得，其展開式的通項為，令，解得，所以其展開式的常數(shù)項為.故選：B.3．（2024·陜西·三模）2024年中國足球乙級聯(lián)賽陜西聯(lián)合的主場火爆，一票難求，主辦方設(shè)定了三種不同的票價分別對應(yīng)球場三個不同的區(qū)域，五位球迷相約看球賽，則五人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【分析】依題意，先將在同一區(qū)域的三個人選出并選定區(qū)域，再對余下的兩人分別在其它兩個區(qū)域進(jìn)行選擇，由分步乘法計數(shù)原理即得.【詳解】要使五人中恰有三人在同一區(qū)域，可以分成三步完成：第一步，先從五人中任選三人，有種方法；第二步再選這三人所在的區(qū)域，有種方法；第三步，將另外兩人從余下的兩個區(qū)域里任選，有種方法.由分步乘法計數(shù)原理，共有種方法.故選:C.4．（2024·四川成都·三模）成實外教育集團(tuán)自2000年成立以來，一直行走在民辦教育的前端，致力于學(xué)生的全面發(fā)展，對學(xué)生的教育視為終身己任，在教育事業(yè)上砥礪前行，永不止步.截至目前，集團(tuán)已開辦29所K-12學(xué)校和兩所大學(xué)，其中高中教育學(xué)校有11所.集團(tuán)擬召開綜合考評會.經(jīng)考評后，11所學(xué)校得分互不相同，現(xiàn)從中任選3所學(xué)校的代表交流發(fā)言，則排名為第一名或第五名的學(xué)校代表去交流發(fā)言的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率結(jié)合組合數(shù)的計算求解即可.【詳解】從11所學(xué)校中任選3所學(xué)校共有種選法.其中排名為第一名或第五名的學(xué)校，可以分為三種情況：第一類：只含有排名為第一名的學(xué)校的有種選法；第二類：只含有排名為第五名的學(xué)校的有種選法；第三類：同時含有第一名和第五名學(xué)校的有種選法；共種選法.根據(jù)概率公式可得.故選：D.5．（2024·重慶九龍坡·三模）用1，2，3，4，5，6這六個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則在數(shù)字1，3相鄰的條件下，數(shù)字2，4，6也相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出數(shù)字1，3相鄰時的六位數(shù)個數(shù)以及數(shù)字1，3相鄰，數(shù)字2，4，6也相鄰的六位數(shù)的個數(shù)，根據(jù)條件概率的計算公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)“數(shù)字1，3相鄰”，設(shè)“數(shù)字2，4，6相鄰”，則數(shù)字1，3相鄰時的六位數(shù)有個，數(shù)字1，3相鄰，數(shù)字2，4，6也相鄰的六位數(shù)的個數(shù)為，則.故選：A.6．（2024·新疆喀什·三模）展開式中，的系數(shù)為（

）A．20 B．30 C．25 D．40【答案】B【分析】分不含項和含有一個項兩種情況求解．【詳解】展開式中，的項為，則的系數(shù)為30．故選：．7．（2024·新疆·三模）西安、洛陽、北京、南京和開封并稱中國的五大古都.某旅游博主為領(lǐng)略五大古都之美，決定用兩個月的時間游覽完五大古都，且每個月只游覽五大古都中的兩個或三個（五大古都只游覽一次），則恰好在同一個月游覽西安和洛陽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出事件的總數(shù)以及目標(biāo)事件的數(shù)量，再用古典概型計算即可..【詳解】將古都分成2個、3個兩組，再在兩個月安排旅游順序，故事件總數(shù)為，分2個古都組中含西安、洛陽，或3個古都組中含西安、洛陽，故恰好在同一個月游覽西安和洛陽的事件數(shù)為：，所以恰好在同一個月游覽西安和洛陽的概率為：故選：B8．（2024·北京·三模）在的展開式中，項的系數(shù)為（

）A． B． C．16 D．144【答案】C【分析】寫出的展開式通項，即可列式求解.【詳解】，其展開式通項公式為，，所以所求項的系數(shù)為，故選：C．9．（2024·河北秦皇島·三模）三人被邀請參加同一個時間段的兩個晚會，若兩個晚會都必須有人去，去幾人自行決定，且每人最多參加一個晚會，則不同的去法有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．24種【答案】B【分析】根據(jù)參加晚會的人數(shù)分類討論，利用排列組合數(shù)求解即可.【詳解】第一種情況，只有兩人參加晚會，有種去法；第二種情況，三人參加晚會，有種去法，共12種去法.故選：B10．（2024·安徽蕪湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六個人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（

）種A．186 B．264 C．284 D．336【答案】D【分析】先考慮A和B不相鄰的排法，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，相減后得到答案.【詳解】先考慮A和B不相鄰的排法，將C、D、E、F四個人進(jìn)行全排列，有種情況，C、D、E、F四個人之間共有5個空，選擇2個排A和B，有種情況，故有種選擇，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，先從兩端選擇一個位置安排C，有種情況，再將D、E、F三個人進(jìn)行全排列，有種情況最后D、E、F三個人之間共有4個空，選擇2個排A和B，有種情況，故有種情況，則要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的安排有種情況.故選：D11．（2024·浙江紹興·三模）在的展開式中，含項的系數(shù)是10，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】在的展開式中含的項即從5個因式中取4個，1個常數(shù)項即可寫出含的項，則可得出答案.【詳解】根據(jù)二項展開式可知含項即從5個因式中取4個，1個常數(shù)項即可寫出含的項；所以含的項是，可得；即可得.故選：C12．（2024·湖北荊州·三模）已知，則被3除的余數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】先對二項展開式中的進(jìn)行賦值，得出，再將看作進(jìn)行展開，再利用二項展開式特點分析即得.【詳解】令，得，令，得，兩式相減，，因為，其中被3整除，所以被3除的余數(shù)為1，綜上，能被3整除．故選：D.二、多選題13．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（

）A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128B．二項式系數(shù)最大的項為第5項C．有理項共有兩項D．所有項的系數(shù)的和為【答案】AB【分析】先求出二項式系數(shù)和，奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和，即可確定A；二項式系數(shù)的最大項，即為中間項，可確定B；整理出通項公式，再對賦值，即可確定C；令，可求出所有項的系數(shù)的和，從而確定D.【詳解】對于A,二項式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為，故A正確；對于B,二項式系數(shù)最大為，則二項式系數(shù)最大的項為第5項，故B正確；對于C,，為有理項，可取的值為，所以有理項共有三項，故C錯誤；對于D,令，則所有項系數(shù)和為，故D錯誤.故選：AB.14．（2024·江西南昌·三模）已知的展開式中二項式系數(shù)的最大值與的展開式中的系數(shù)相等，則實數(shù)a的值可能為（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】先計算出的展開式中二項式系數(shù)最大值，根據(jù)二項式定理得到展開式的通項公式，從而得到方程，求出.【詳解】的展開式中二項式系數(shù)最大值為，的展開式通項公式為，令得，，故展開式中的系數(shù)為，故，解得.故選：AB15．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（

）A． B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為C． D．的個位數(shù)字是1【答案】BD【分析】對于A：根據(jù)二項展開式分析求解；對于B：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)分析求解；對于C：利用賦值法，令、即可得結(jié)果；對于D：因為，結(jié)合二項展開式分析求解.【詳解】對于選項A：的展開式的通項為，令，可得，所以，故A錯誤；對于選項B：因為為偶數(shù)，可知二項式系數(shù)的最大值為，故B正確；對于選項C：令，可得；令，可得；所以，故C錯誤；對于選項D：因為，且的展開式的通項為，可知當(dāng)，均為20的倍數(shù)，即個位數(shù)為0，當(dāng)時，，所以的個位數(shù)字是1，故D正確；故選：BD.三、填空題16．（2024·山東煙臺·三模）展開式的中間一項的系數(shù)為.【答案】【分析】中間一項是第4項，結(jié)合二項展開式的系數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】因為展開式共有7項，它的中間一項是第4項，所以展開式的中間一項的系數(shù)為.故答案為：.17．（2024·安徽合肥·三模）北京時間2024年4月26日5時04分，神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）順利打開“家門”，歡迎遠(yuǎn)道而來的神舟十八號航天員乘組（葉光富、李聰、李廣蘇3人）入駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家?！保餐蛉珖嗣駡笃桨玻暨@6名航天員站成一排合影留念，葉光富不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有．【答案】504【分析】本題考查排列中分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.根據(jù)題目要求，分兩類進(jìn)行討論，第一類葉光富在最右側(cè)，第二類葉光富不在最右側(cè).然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理相加即可得到答案.【詳解】根據(jù)葉光富不站最左邊，可以分為兩種情況：第一種情況：葉光富站在最右邊，此時剩余的5人可以進(jìn)行全排列，共有種排法.第二種情況：葉光富不站在最右邊，根據(jù)題目條件葉光富不站最左邊，此時葉光富有4種站法.根據(jù)題目條件湯洪波不站在最右邊，可知楊洪波只有4種站法.剩余的4人進(jìn)行全排列,共有種排法，由分類加法計數(shù)原理可知，總共有種排法．故答案為：50418．（2024·福建福州·三模）的展開式中常數(shù)項為．【答案】49【分析】利用多項式乘法法寫出展開式的通項，令次數(shù)為0即為常數(shù)項．【詳解】展開式的通項公式為，，當(dāng)時，常數(shù)項為1；當(dāng)時，得常數(shù)項為；當(dāng)時，得常數(shù)項為；所以展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.19．（2024·新疆喀什·三模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機(jī)密碼時，計劃將的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進(jìn)行某種排列得到密碼．若排列時要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間一個數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為．【答案】96【分析】利用捆綁法即可求解.【詳解】從3，4，5，9中選擇一個數(shù)字放入兩個1之間，將其與兩個1看作一個整體，與剩下元素全排列，故不同的密碼個數(shù)為，故答案為：9620．（2024·河北衡水·三模）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項式的展開式的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】由題意，多項式的展開式中含有的項為：，所以的系數(shù)為．故答案為：.21．（2024·河南·三模）若的展開式中存在常數(shù)項，則的值可以是（寫出一個值即可）【答案】（答案不唯一，滿足的即可）【分析】寫出展開式的通項，令，求出，再根據(jù)且，即可確定的取值.【詳解】二項式展開式的通項為（且），令，則，又且，所以故答案為：（答案不唯一，滿足的即可）22．（2024·上海閔行·三模）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有種.【答案】4050【分析】先考慮兩對混雙的組合，再從余下4名男選手和4名女選手各有3種不同的配對方法組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，利用分步乘法原理可求得結(jié)果.【詳解】先考慮兩對混雙的組合有種不同的方法，余下4名男選手和4名女選手各有3種不同的配對方法組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，故共有.故答案為：405023．（2024·上?！と＃?024年重慶市高考數(shù)學(xué)科目采用新試卷結(jié)構(gòu)，我校高三年級將對來自三個班級的9名學(xué)生（每個班級3名學(xué)生）做一