專題10 統(tǒng)計（3大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題10統(tǒng)計命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對統(tǒng)計的考查，重點是以下考點（1）分層隨機抽樣（2）統(tǒng)計圖表（3）會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)．（4）能用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度．（5）了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義.（6）理解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會運用這些方法解決簡單的實際問題.頻率分布直方圖、頻數(shù)分布表2022·新高考Ⅱ卷，19（1）2023·新高考Ⅱ卷，19（1）2024·新高考Ⅱ卷，4獨立性檢驗2022·新高考Ⅰ卷，20（1）數(shù)據(jù)的數(shù)字特征2023·新高考Ⅰ卷，9命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷未考查統(tǒng)計相關內容，Ⅱ卷中考查了頻數(shù)分布表中數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的求法。統(tǒng)計的考查應關注：相關性、頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征、獨立性檢驗、回歸分析等。這些考驗的是學生讀取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的能力。預計2025年高考還是主要考查頻率分布直方圖和數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，可以多留意方差的計算方法！試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅱ卷·4）某農業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（均在之間，單位：kg）并部分整理下表畝產量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)612182410據(jù)表中數(shù)據(jù)，結論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間【答案】C【分析】計算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計算出低于1100kg的頻數(shù)，再計算比例即可判斷B；根據(jù)極差計算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計算公式即可判斷D.【詳解】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,,所以畝產量的中位數(shù)不小于,故A錯誤；對于B，畝產量不低于的頻數(shù)為，所以低于的稻田占比為，故B錯誤；對于C，稻田畝產量的極差最大為，最小為，故C正確；對于D，由頻數(shù)分布表可得，畝產量在的頻數(shù)為，所以平均值為，故D錯誤.故選；C.一、多選題1．（2023新高考Ⅰ卷·9）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標準差不小于的標準差D．的極差不大于的極差【答案】BD【分析】根據(jù)題意結合平均數(shù)、中位數(shù)、標準差以及極差的概念逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：設的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因為沒有確定的大小關系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項B：不妨設，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對于選項C：因為是最小值，是最大值，則的波動性不大于的波動性，即的標準差不大于的標準差，例如：，則平均數(shù)，標準差，，則平均數(shù)，標準差，顯然，即；故C錯誤；對于選項D：不妨設，則，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：BD.二、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·20）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結合已知數(shù)據(jù)求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.2．（2022新高考Ⅱ卷·19）在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；【答案】(1)歲；【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應區(qū)間的中點值的和即可求出；【詳解】（1）平均年齡

（歲）．3．（2023新高考Ⅱ卷·19）某研究小組經過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數(shù)據(jù)在組內均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；【答案】(1)，；【分析】（1）根據(jù)題意由第一個圖可先求出，再根據(jù)第二個圖求出的矩形面積即可解出；【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．一、分層隨機抽樣1、分層隨機抽樣的概念一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.2、分層隨機抽樣的平均數(shù)計算在分層隨機抽樣中，以層數(shù)是2為例，如果第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為和，抽取的樣本量分別為和，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為，，樣本平均數(shù)位，則.我們可以采用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)二、樣本的數(shù)字特征1、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平．（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應一組數(shù)據(jù)的中間水平．（3）平均數(shù)：個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，反應一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式變形：．2、標準差和方差（1）標準差：標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用表示．假設樣本數(shù)據(jù)是，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標準差．（2）方差：方差就是標準差的平方，即．顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標準差是一樣的．在解決實際問題時，多采用標準差．（3）數(shù)據(jù)特征標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大?。畼藴什?、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．反之亦可由離散程度的大小推算標準差、方差的大?。㈩l率分布直方圖1、頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法①eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．②eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于.2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)．（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設中位數(shù)為，利用左（右）側矩形面積之和等于，即可求出．（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和，即有，其中為每個小長方形底邊的中點，為每個小長方形的面積．四、百分位數(shù)1、定義一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．2、計算一組個數(shù)據(jù)的的第百分位數(shù)的步驟（1）按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．（2）計算．（3）若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項與第項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3、四分位數(shù)我們之前學過的中位數(shù)，相當于是第百分位數(shù)．在實際應用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第百分位數(shù)，第百分位數(shù)．這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．五、變量間的相關關系1、變量之間的相關關系當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性，則這兩個變量之間的關系叫相關關系．由于相關關系的不確定性，在尋找變量之間相關關系的過程中，統(tǒng)計發(fā)揮著非常重要的作用．我們可以通過收集大量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析的基礎上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關系作出判斷．注意：相關關系與函數(shù)關系是不同的，相關關系是一種非確定的關系，函數(shù)關系是一種確定的關系，而且函數(shù)關系是一種因果關系，但相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系．2、散點圖將樣本中的個數(shù)據(jù)點描在平面直角坐標系中，所得圖形叫做散點圖．根據(jù)散點圖中點的分布可以直觀地判斷兩個變量之間的關系．（1）如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關，如圖（1）所示；（2）如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為負相關，如圖（2）所示．3、相關系數(shù)若相應于變量的取值，變量的觀測值為，則變量與的相關系數(shù)，通常用來衡量與之間的線性關系的強弱，的范圍為．（1）當時，表示兩個變量正相關；當時，表示兩個變量負相關．（2）越接近，表示兩個變量的線性相關性越強；越接近，表示兩個變量間幾乎不存在線性相關關系．當時，所有數(shù)據(jù)點都在一條直線上．（3）通常當時，認為兩個變量具有很強的線性相關關系．六、線性回歸1、線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關系的兩個變量之間的關系（相關關系）的方法．對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點的中心．2、殘差分析對于預報變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減去預測值等于殘差，稱為相應于點的殘差，即有．殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過殘差分析，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關指數(shù)用相關指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是：．越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．七、非線性回歸解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設出回歸方程，通過換元將陌生的非線性回歸方程化歸轉化為我們熟悉的線性回歸方程．求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預報預測，注意計算要細心，避免計算錯誤．1、建立非線性回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（是否存在非線性關系）；（3）由經驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉化為線性回歸方程模型；（5）按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．八、獨立性檢驗1、分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{，}和{，}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為總計總計從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結論：兩個變量是否有關系．2、等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關系．3、獨立性檢驗計算隨機變量利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828【統(tǒng)計常用結論】均數(shù)、方差的性質：如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，那么①一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．②一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．③一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．常見的非線性回歸模型（1）指數(shù)函數(shù)型（且，）兩邊取自然對數(shù)，，即，令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．（2）對數(shù)函數(shù)型令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．（3）冪函數(shù)型兩邊取常用對數(shù)，，即，令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．（4）二次函數(shù)型令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．（5）反比例函數(shù)型型令，原方程變?yōu)椋缓蟀淳€性回歸模型求出，．一、單選題1．（2024·河南·三模）已知某學校高三年級甲、乙、丙三個班級人數(shù)分別為40，30，50，學校計劃采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法在三個班級中評選優(yōu)秀學生，已知乙班分配到的優(yōu)秀學生名單為6人，則高三年級三個班優(yōu)秀學生總人數(shù)為（

）A．16 B．30 C．24 D．18【答案】C【分析】利用分層隨機抽樣及已知，求出三個班級分配到的優(yōu)秀學生人數(shù)即得.【詳解】甲、乙、丙三個班級人數(shù)比為，由分層隨機抽樣知，三個班級優(yōu)秀學生名額分別為8，6，10，所以高三年級三個班優(yōu)秀學生總人數(shù)為人.故選：C2．（2024·山東·二模）某校高三共有200人參加體育測試，根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績等級為，則估計獲得的考生人數(shù)約為（

）A．100 B．75 C．50 D．25【答案】C【分析】首先計算出82分以上的考生的頻率，即可得獲得的考生人數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖可得82分以上的考生的頻率約為，所以獲得的考生人數(shù)約為人，故選：C.3．（2024·浙江紹興·三模）有一組樣本數(shù)據(jù)：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．則關于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為（

）A．第75百分位數(shù) B．平均數(shù) C．極差 D．眾數(shù)【答案】A【分析】分別求出該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)、平均數(shù)、極差、眾數(shù)，比較大小，即可得到答案.【詳解】計算第75百分位數(shù)：，則取第8位數(shù)據(jù)，即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為5；平均數(shù)為；極差為；眾數(shù)為3.綜上，第75百分位數(shù)最大.故選：A.4．（2024·山西·三模）某次趣味運動會，設置了教師足球射門比賽:教師射門，學生守門.已知參與射門比賽的教師有60名，進球數(shù)的平均值和方差分別是3和13，其中男教師進球數(shù)的平均值和方差分別是4和8，女教師進球數(shù)的平均值為2，則女教師進球數(shù)的方差為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【分析】設參加射門比賽的男教師人數(shù)為，根據(jù)總體的平均數(shù)求出，設女教師進球數(shù)的方差為，根據(jù)方差公式計算可得.【詳解】設參加射門比賽的男教師人數(shù)為，則全部參賽教師進球數(shù)的平均數(shù)，解得，即參賽的男女教師各有人，設女教師進球數(shù)的方差為，依題意可得，解得.故選：B5．（2024·四川涼山·三模）樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，則樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)，方差分別為（

）A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1【答案】A【分析】由平均值、方差的性質求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．【詳解】由，得樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，由，得樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為.故選：A6．（2024·四川成都·三模）“數(shù)九”從每年“冬至”當天開始計算，每九天為一個單位，冬至后的第81天，“數(shù)九”結束，天氣就變得溫暖起來.如圖，以溫江國家基準氣候站為代表記錄了2023一2024年從“一九”到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫”(單位:)，下列說法正確的是（

）

A．“四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升B．“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”低0.1”C．“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小于“多年平均氣溫”的方差D．“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差【答案】D【分析】由圖表數(shù)據(jù)分析可判斷A，B；由方差的意義可判斷C；由極差的計算公式分析D.【詳解】對于A，“八九”、“九九”的平均氣溫比“七九”的“平均氣溫”低，故A錯誤；對于B，“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”高”，故B錯誤；對于C，由圖表，“平均氣溫”的波動比“多年平均氣溫”的波動大，則“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差大于“多年平均氣溫”的方差，故C錯誤；對于D，“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差為：，“多年平均氣溫”的極差為，則“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差，故D正確.故選：D.7．（2024·陜西·三模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學試卷出現(xiàn)新結構，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．已知在某次新結構數(shù)學試題的考試中，小明同學三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，則小明同學多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】先對各題得分情況分別進行統(tǒng)計，再對總得分情況分析排序，根據(jù)中位數(shù)規(guī)定即可求得.【詳解】由題意得小明同學第一題得6分：第二題選了2個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；第三題選了1個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；由于相同總分只記錄一次，因此小明的總得分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，所以中位數(shù)為.故選：C.8．（2024·浙江·三模）在對某校高三學生體質健康狀況某個項目的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計樣本的方差不可能為（

）A．11 B．13 C．15 D．17【答案】A【分析】根據(jù)題意，設男生體質健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，結合方差的公式，分析選項，即可求解.【詳解】設男生體質健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，則，，結合選項，可得A項不符合.故選：A.9．（2024·安徽安慶·三模）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.若數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，其中，則的大小關系為（

）A． B． C． D．的大小關系不確定【答案】B【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義表示，結合已知列等式，作差比較即可.【詳解】由題意可知，，，于是，又，所以，所以，兩式相減得，所以.故選：B10．（2024·陜西榆林·三模）在一次數(shù)學?？贾?，從甲?乙兩個班各自抽出10個人的成績，甲班的十個人成績分別為，乙班的十個人成績分別為.假設這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同?方差也相同，則把這20個數(shù)據(jù)合并后（

）A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大B．中位數(shù)可能改變，方差可能變大C．中位數(shù)一定不變，方差可能變小D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小【答案】A【分析】不妨設，表達出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)相同得到或，則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是或者，中位數(shù)不變，再設第一組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，第二組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，根據(jù)公式得到合并后平均數(shù)為，方差為，，得到結論.【詳解】不妨設，則的中位數(shù)為，的中位數(shù)為，因為，所以或，則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是或者，所以中位數(shù)不變.設第一組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，第二組數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，合并后總數(shù)為20，平均數(shù)為，方差為，如果均值相同則方差不變，如果均值不同則方差變大.故選：A.二、多選題11．（2024·全國·三模）在某次數(shù)學測試中，甲、乙兩個班的成績情況如下表：班級人數(shù)平均分方差甲45881乙45902記這兩個班的數(shù)學成績的總平均分為，總方差為，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】代入公式計算即可.【詳解】依題意得，.故選：BD.12．（2024·廣東廣州·三模）在某次學科期末檢測后，從全部考生中選取100名考生的成績（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，五組后，得到如下圖的頻率分布直方圖，則（

）A．圖中a的值為0.005 B．低于70分的考生人數(shù)約為40人C．考生成績的平均分約為73分 D．估計考生成績第80百分位數(shù)為83分【答案】AC【分析】利用頻率分布直方圖逐項求解【詳解】對于A，由，解得，故A對；對于B，低于70分的考生人數(shù)約為，故B錯；對于C，考生成績的平均分約為，故C對；對于D，成績落在內頻率為，落在內頻率為，故考生成績第80百分位數(shù)落在，設為m，由，解得，故考生成績第80百分位數(shù)為82.5分，故D錯誤；故選：AC13．（2024·河北·三模）根據(jù)中國報告大廳對2023年3月~10月全國太陽能發(fā)電量進行監(jiān)測統(tǒng)計，太陽能發(fā)電量（單位：億千瓦時）月度數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：月份3456發(fā)電量/億千瓦時242.94230.87240.59259.33月份78910發(fā)電量/億千瓦時258.9269.19246.06244.31關于2023年3月~10月全國太陽能發(fā)電量，下列四種說法正確的是（

）A．中位數(shù)是259.115 B．極差是38.32C．第85百分位數(shù)是259.33 D．第25百分位數(shù)是240.59【答案】BC【分析】根據(jù)題意，由中位數(shù)，極差，百分位數(shù)的定義，代入計算，逐一判斷，即可得到結果.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，共8個數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)是，故A錯誤；極差是，故B正確；因為，所以第85百分位數(shù)是第7個數(shù)，即，故C正確；因為，所以第25百分位數(shù)是，故D錯誤；故選:BC14．（2024·廣東汕頭·三模）下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（

）A．樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差B．樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)C．樣本乙的方差一定小于樣本甲的方差D．樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)【答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)分布的最小值和最大值判斷A；根據(jù)眾數(shù)、方差、中位數(shù)的概念，并結合圖象判斷BCD.【詳解】對于A，甲的數(shù)據(jù)介于[1.5,7.5]之間，極差小于或等于6；乙的數(shù)據(jù)分布于[2.5,8.5]，極差小于或等于6；從而甲和乙的極差可能相等，A錯誤；對于B，根據(jù)頻率分布直方圖可知，甲的眾數(shù)介于[2.5,5.5)之間，乙的眾數(shù)介于(5.5,6.5]，乙的眾數(shù)大于甲的眾數(shù)，B正確；對于C，甲的數(shù)據(jù)比較分散，乙的數(shù)據(jù)比較集中，因此乙的方差小于甲的方差，C正確；對于D，甲的各組頻率依次為：，其中位數(shù)位于[3.5,4.5)之間，乙的各組頻率依次為：，其中位數(shù)位于[5.5,6.5)之間，所以甲的中位數(shù)小于乙的中位數(shù)，D正確.故選：BCD15．（2024·黑龍江·三模）在某市初三年級舉行的一次體育考試中(滿分100分)，所有考生成績均在[50,100]內，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五組，甲、乙兩班考生的成績占比如圖所示，則下列說法錯誤的是（

）

A．成績在[70,80)的考生中，甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)B．甲班成績在[80,90)內人數(shù)最多C．乙班成績在[70,80)內人數(shù)最多D．甲班成績的極差比乙班成績的極差小【答案】ACD【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，由圖知，每一組中的成績占比都是以各自班級的總人數(shù)為基數(shù)的，所以每一組中的甲班、乙班人數(shù)不能從所占的百分比來判斷，故A錯誤；對于BC，由圖可知甲班成績主要集中在[80,90)，乙班成績主要集中在[60,70)，B正確，C錯誤；對于D，由圖可知甲班成績的極差和乙班成績的極差的大小無法確定，故D錯誤.故選：ACD三、解答題16．（2024·青海海南·二模）某青少年跳水隊共有100人，在強化訓練前、后，教練組對他們進行了成績測試，分別得到如圖1所示的強化訓練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強化訓練后的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計強化訓練后的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.(2)我們規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”.優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計強化訓練前強化訓練后合計將上面的表格補充完整，并回答能否有的把握認為跳水運動員是否優(yōu)秀與強化訓練有關.附:.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】(1)(2)表格見解析，有.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，結合平均數(shù)公式，即可求解；（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算卡方，并與臨界值對比分析即可求解.【詳解】（1）強化訓練后的平均成績約為（2）根據(jù)圖1可知，強化訓練前的優(yōu)秀人數(shù)為，此時非優(yōu)秀人數(shù)為，根據(jù)圖2可知，強化訓練后的優(yōu)秀人數(shù)為，此時非優(yōu)秀人數(shù)為，補充完整的表格為優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計強化訓練前4060100強化訓練后6040100合計100100200則，所以有的把握認為跳水運動員是否優(yōu)秀與強化訓練有關.17．（2024·陜西·模擬預測）某公司新研發(fā)了一款智能燈，此燈有拍照搜題功能，學生遇到疑難問題，通過拍照搜題后，會在顯示屏上顯示該題的解答過程以及該題考查的知識點與相應的解題方法該產品投入市場三個月后，公司對部分用戶做了調研：抽取了200位使用者，每人填寫一份評分表（滿分為100分），現(xiàn)從200份評分表中，隨機抽取40份（其中男?女使用者的評分表各20份）作為樣本，經統(tǒng)計得到如下的數(shù)據(jù)：女生使用者評分：67，71，72，75，80，83，83，83，84，84，85，86，88，90，90，91，92，92，92，92男生使用者評分：67，68，69，69，70，72，72，73，74，75，76，76，77，78，79，82，84，84，89，92記該樣本的中位數(shù)為，按評分情況將使用.都對該智能燈的態(tài)度分為兩種類型：評分不小于的稱為“滿意型”，其余的都稱為“不滿意型”.(1)求的值，填寫如下列聯(lián)表女生評分男生評分合計“滿意型”人數(shù)“不滿意型”人數(shù)合計(2)能否有的把握認為滿意與性別有關？參考公式與數(shù)據(jù)：0.10.050.0250.012.7063.8415.0246.635【答案】(1)，表格見解析(2)有的把握認為滿意與性別有關【分析】（1）根據(jù)題意求中位數(shù)，結合題意完善列聯(lián)表；（2）根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)求，并與臨界值對比分析.【詳解】（1）將40份評分按從小到大的順序排列，，，中位數(shù)是第20個數(shù)80與第21個數(shù)82的平均值，即中位數(shù)等于，所以，女生男生合計“滿意型”人數(shù)15520“不滿意型”人數(shù)51520合計202040（2）由（1）可得所以有的把握認為滿意與性別有關.18．（2024·河南鄭州·三模）按照《中華人民共和國環(huán)境保護法》的規(guī)定，每年生態(tài)環(huán)境部都會會同國家發(fā)展改革委等部門共同編制《中國生態(tài)環(huán)境狀況公報》，并向社會公開發(fā)布．下表是2017-2021年五年《中國生態(tài)環(huán)境狀況公報》中酸雨區(qū)面積約占國土面積的百分比：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼123456.45.55.04.83.8(1)求2017—2021年年份代碼與的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；(2)請用樣本相關系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關系可用一元線性回歸模型進行描述，并求出關于的經驗回歸方程；(3)預測2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比．（回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：附：樣本相關系數(shù)，．【答案】(1)(2)(3)預測2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比為2.15%【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)結合題中數(shù)據(jù)，求出相關數(shù)值，代入相關系數(shù)，即可得出答案；（2）由（1）知，接近1，即可說明線性相關關系極強；根據(jù)（1）中求出的數(shù)據(jù)，即可求出，，進而得到回歸直線方程；（3）將代入回歸直線方程，即可預測2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比.【詳解】（1）由己知可得，，，由題可列下表：0121.30.4，．（2）由小問1知，與的相關系數(shù)接近1，所以與之間具有極強的線性相關關系，可用線性回歸模型進行描述．由小問1知，，，所求經驗回歸方程為．（3）令，則，預測2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比為2.15%．19．（2024·陜西渭南·三模）某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將100個樣本數(shù)據(jù)按，，，，，分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖．

(1)請通過頻率分布直方圖估計這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）和中位數(shù)；(2)該市決定表彰知識競賽成績排名前30%的市民，某市民知識競賽的成績是78，請估計該市民能否得到表彰．【答案】(1)平均值68.3，中位數(shù)71.5625；(2)該市民能得到表彰．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)以及中位數(shù)的計算公式，即可求得答案；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本的第70百分位數(shù)，與78比較，即可得結論.【詳解】（1）100份樣本數(shù)據(jù)的平均值為．根據(jù)圖象可得，對應的頻率為0.05，對應的頻率為0.10，對應的頻率為0.10，對應的頻率為0.20，對應的頻率為0.32，對應的頻率0.23.設中位數(shù)為t，則t在中.，解得．（2）成績低于70分的頻率為0.45，成績低于80分的頻率為0.77，則被表彰的最低成績?yōu)榈?0%分位數(shù)：，所以估計該市民能得到表彰．20．（2024·江西九江·三模）車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導致輪胎胎面磨損.某實驗室通過實驗測得轎車行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)，如下表所示：行駛里程萬0.00.41.01.62.42.83.44.4輪胎凹槽深度8.07.87.26.25.64.84.44.0(1)求該品牌輪胎凹槽深度與行駛里程的相關系數(shù)，并判斷二者之間是否具有很強的線性相關性；（結果保留兩位有效數(shù)字）(2)根據(jù)我國國家標準規(guī)定：轎車輪胎凹槽安全深度為（當凹槽深度低于時剎車距離增大，駕駛風險增加，必須更換新輪胎）.某人在保養(yǎng)汽車時將小轎車的輪胎全部更換成了該品牌的新輪胎，請問在正常行駛情況下，更換新輪胎后繼續(xù)行駛約多少公里需對輪胎再次更換？附：變量與的樣本相關系數(shù)；對于一組數(shù)據(jù)，，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為：.【答案】(1)，具有很強的線性關系(2)6.4萬公里【分析】（1）根據(jù)題意，由相關系數(shù)的公式代入計算，即可判斷；（2）根據(jù)題意，由最小二乘法公式代入計算，分別求得，即可得到線性回歸方程，即可得到結果.【詳解】（1）計算得，，由公式知，二者之間具有很強的線性關系.（2）設輪胎凹槽深度與行駛里程的線性回歸方程為，則==線性回歸方程為令，得即更換新輪胎后繼續(xù)行駛約6.4萬公里需要對輪胎再次更換.21．（2024·內蒙古·三模）現(xiàn)統(tǒng)計了甲12次投籃訓練的投籃次數(shù)和乙8次投籃訓練的投籃次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：甲777377818581778593737781乙7181737371738573已知甲12次投籃次數(shù)的平均數(shù)，乙8次投籃次數(shù)的平均數(shù).(1)求這20次投籃次數(shù)的中位數(shù)，估計甲每次訓練投籃次數(shù)超過的概率；(2)求這20次投籃次數(shù)的平均數(shù)與方差.【答案】(1)(2)平均數(shù)為78，方差為33【分析】利用中位數(shù)、平均數(shù)