第三章矩陣的初等變換練習(xí)題參考答案_第1頁(yè)
第三章矩陣的初等變換練習(xí)題參考答案_第2頁(yè)
第三章矩陣的初等變換練習(xí)題參考答案_第3頁(yè)
第三章矩陣的初等變換練習(xí)題參考答案_第4頁(yè)
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線性代數(shù)練習(xí)題fengyuan@PAGEPAGE2第三章矩陣的初等變換練習(xí)題參考答案一、判斷題()1.設(shè)A是n階可逆方陣,則齊次線性方程組只有零解。()2.若n階矩陣A可逆,則。(×)3.n元非齊次線性方程組有解的充分必要條件。()4.兩個(gè)n階矩陣A,B行等價(jià)的充要條件是存在n階可逆矩陣P使得。(×)5.任何矩陣都可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行階梯形矩陣,并且化為的行階梯形矩陣是唯一確定的。(×)6.若n階矩陣A的秩為,則A的所有階子式均不為零。()7.可逆矩陣總可以只經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為單位矩陣。()8.設(shè)矩陣的秩為,則中所有階子式必為零。(×)9.設(shè)為矩陣,則有無(wú)窮多解。(×)10.只有行等價(jià)的矩陣才具有相同的秩,列等價(jià)的矩陣不具有相同的秩.二、填空題1.矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣為。2.設(shè)是5階方陣,且滿足,則5。3.非齊次線性方程組的增廣矩陣為B=,則當(dāng)時(shí)方程組無(wú)解;當(dāng)時(shí)方程組有無(wú)窮解。4.設(shè)線性方程組的增廣矩陣為,則該方程組有解的充要條件是。5.設(shè)矩陣A經(jīng)初等行變換可化為行階梯形矩陣B。若A的秩為3,則B中非零行的行數(shù)為3。6.設(shè)矩陣,當(dāng)____9___時(shí),。三、簡(jiǎn)單計(jì)算題1.設(shè)矩陣A和B滿足關(guān)系式,其中,求矩陣B。解:由得,即。所以。2.設(shè)矩陣A和B滿足關(guān)系,其中。(1)試判定是否可逆,說(shuō)明理由。(2)求矩陣B。解:(1)由于,所以,從而可逆。(2)由得,即。利用初等變換法可求得B:,所以。說(shuō)明:此題目中證明矩陣可逆,可以直接由與單位矩陣行等價(jià)得到結(jié)論。四、綜合計(jì)算題設(shè),,且矩陣A滿足,其中E是4階單位矩陣,是C的逆矩陣,是C的轉(zhuǎn)置矩陣。求矩陣A。答案:(方法并不唯一)先化簡(jiǎn)關(guān)系式得到。所以。又由于,利用初等變換法可得,所以。2.已知矩陣,若,試至少用兩種方法證明:矩陣的秩.證法一:(利用矩陣的秩的概念證明)由于,所以矩陣有1階子式。又矩陣中任意兩行元素都成比例,所以,且矩陣的任意一個(gè)2階子式也為零。從而矩陣的最高階非零子式的階數(shù)為1,即。證法二:(利用初等行變換化行階梯形矩陣證明)由于,所以,從而對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換可得:。由于,所以矩陣的第一行為非零行,所以。證法三:(利用矩陣的秩的概念和矩陣的秩的性質(zhì)(教材70頁(yè)性質(zhì)⑦)證明)顯然,,則由矩陣的秩的性質(zhì)

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